角平分线的几种辅助线作法与三种模型教学文案

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角的平分线作辅助线的方法

角的平分线作辅助线的方法角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

在几何学中，角的平分线是一个重要的概念，它可以帮助我们解决一些与角度有关的问题。

本文将介绍一种以角的平分线作为辅助线的方法，以帮助读者更好地理解和运用这一概念。

我们来看一个简单的例子。

假设有一个角ABC，我们想要找到角的平分线。

通过这个例子，我们可以总结出以角的平分线作为辅助线的一般步骤。

首先，选择角的两边上的两个点，记为D和E。

然后，通过点D 和E画出两条直线，分别与角的两边相交，交点分别记为F和G。

最后，连接点F和G，就得到了角的平分线。

当然，要想正确地画出角的平分线，我们还需要一些条件。

首先，角的两边必须在同一平面内。

其次，角的两边不能平行。

如果角的两边平行，那么它们永远不会相交，也就无法画出角的平分线。

此外，角的两边也不能重合，否则平分线就无法确定。

除了以上的基本方法，还有一些特殊情况下的辅助线方法。

例如，当角的两边垂直时，我们可以通过角的顶点引一条垂直平分线，将角分成两个相等的直角。

又如当角的两边相等时，我们可以通过角的顶点引一条垂直平分线，将角分成两个相等的锐角或钝角。

通过角的平分线，我们可以解决一些与角度有关的问题。

例如，我们可以利用角的平分线证明两个角相等。

具体方法是，通过角的平分线将角分成两个相等的角，然后利用两个相等的角的性质，证明原来的两个角相等。

又如我们可以利用角的平分线证明两条直线平行。

具体方法是，假设角的平分线与另一条直线相交于点H，通过证明角AHG和角HGB相等，从而证明直线AB与直线GH平行。

总结起来，角的平分线是一个重要的概念，在几何学中有着广泛的应用。

通过选择角的两边上的两个点，我们可以画出角的平分线，从而解决与角度有关的问题。

在实际应用中，我们还可以根据特殊情况选择不同的辅助线方法。

通过熟练掌握角的平分线的概念和方法，我们可以更好地理解和运用几何学中的相关知识。

角平分线类辅助线作法

角平分线类辅助线作法角平分线是天然的、涉疑对称的模型，一蒂情况T有下列三话啊乍辅助线的方式: 1*由角平另线L的一点问角的两边作垂线.2・过角平分线上的一点作角平分线的垂线』从而形成锌腰三角形.3. OA=O3f这种对称的團形应用得也较为普遍.注：1、以上三种角平分线类辅助线的作法主要用来解决线段或者是角的数量关系问题2、一些特征条件（例如角的倍数）需要用到主动翻折，利用轴对称的知识解决问题例题精讲1、已知：在四边形ABCD中，玄：三-一，—二-—「〜二，且—=:，BD平分/ ABC，求证：三「「匸-二:J .2、已知：如图，在△ ABC中，—U —，-亠-1 ,BE丄AE .求证：；「二=工三(1) (3)3、已知—…二,AC 平分/ MAN ，点B 、D 分别在AN 、AM 上.（1）如图1,若---5；=-<:; “，请你探索线段AD 、AB 、AC 之间的数量关系，并证明之；（2）如图2,若—「-亠「=—，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.、\£A _ -4j 5 N A BN ffilM24、（ 2015中考怀柔二模）在厶ABC 内侧作射线普，自B, C 分别向射线AP 引垂线，垂足分别为D ，E ，M 为BC 边中点，连接MD ，ME.依题意补全图1;(2)y TJ s r -V© = — （AC —上R i如图2,若射线二-平分一一，且' ，求证：-(1)(3)B0^A0 = .4B*SP5、如图，在△ ABC 中，-1=1二，AD 平分/ BAC ，求证：丄-二=「二.6、如图，已知在厶ABC 内，-:=~ ，P . Q 分别在BC 、CA 上, 并且AP 、BQ 分别是/ BAC 、/ ABC 的角平分线，求证:3pDCBA 右8 、已知等腰亠5'： , j = 1〕［'：，一二「的平分线交 V 于匚,求证：壬---f ,上=工.求-三的余弦值及AC 的长7、如图，在四边形 ABCD 中, AC 平分-=二，二—门于E .设•:灵9、（2014初二上期末房山区）在△ ABC中，-二―，二八二，点D是线1段BC上的一个动点（不与点B重合）.DE丄BE于E, EBA - ACB , DE与2AB相交于点F.（1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；（2）当点D与点C不重合时（如图2）,试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由.10、已知：-工三"，OM是/ AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D .（1）PC和PD的数量关系是____________ .（2）请你证明（1）得出的结论.11、如图1所示，AE、DE分别平分-二二和-匚匸，并交于E点.过点E的直线分别交AM DN于B、C.（1）如图2,当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD AB CD之间的存在的数量关系：____________________ .（2）试证明你的猜想(3)若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD AB CD之间的关系，并选择一个写出证明过程•12、如图3,在四边形ABCD中，AC平分/ BAD,三〔二.二，■■- ’ .求AB的长.S 3随堂练习1、如图，在四边形ABCD中，二；三--，-二=■■ - , BD平分/ ABC，求证:ZJ-i-ZC=180c2、观察、猜想、探究：在厶ABC 中，--二= ：~S .(1)如图①，当-'，丁、，AD为/BAC的角平分线时，求证：(2)如图②，当-「八，AD为/ BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；(3)如图③，当AD ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.3、如图，已知：, AD // BC, P是AB的中点，PD平分/ ADC，求证:CP 平分/ DCB .4、已知--的顶点C在-一二的平分线0P上，CD交0A于F, CE交0B于G.(1)如图1,若二-二，「三-二三，则图中有哪些相等的线段，请直接写出你的结论： _____________ ;(2)如图2,若-• -，一二，试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明;(3)若工,当-匚二满足什么条件时，你在(2)中得到的结论仍然成立,请直接写出-「三满足的条件.课后作业1、（2014初二上期末昌平区）已知：如图，在厶ABC中，AD平分-二二，二一•二于点D，-二工=-匸，若「•二=二，「二―，求AB的长.2、如图，已知：△ ABC中AD垂直于/ C的平分线于D, DE// BC交AB于E.求证: 三=5533、已知：如图，△ ABC中，佃=MC, BD平分/ ABC BC上有动点P.(1) DP I BC时(如图1),求证：三：=匚「-二；(2) DP平分/ BDC时(如图2), BD、CD、CP三者有何数量关系?4、如图①，0P是/MON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图②，在△ ABC中，/ ACB是直角，-匸=「，AD、CE分别是/ BAC、/ BCA的平分线，AD、CE相交于点F,请你判断并写出FE与FD之间的数量关系(不需证明)；(2)如图③，在厶ABC中，：，请问，在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.在【一-,-三二'为锐角，二止，AD平分-二二交BC于点D.(1)如图1,若3C是等腰直角三角形，直接写出线段AC, CD AB之间的数量关系；(2) BC的垂直平分线交AD延长线于点E,交BC于点F.①如图2,若茁，判断AC, CE AB之间有怎样的数量关系并加以证明②如图3,若二•」，求-三二的度数.。

角平分线的几种辅助线作法与三种模型

一、角平分线的三种“模型”模型一：角平分线+平行线→等腰三角形如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点E，则EO=EP.A A AE P C E CD FE PO B B C O F B图1 图2 图3例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE.模型二：角平分线+垂线→等腰三角形如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF.例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C.模型三：角平分线+翻折→全等三角形在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题.DA EA P/ B CD B/ B C图5 图6例3如图6，点P是△ABC的外角∠CAD的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC.二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1()2BE AC AB =-2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。

求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠22、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ．21F EDCBANPEDCBAG21PFECB A AGCHDEF图2BABDCE F图求证：AE=ED 3、（四（2））四、以角的平分线为对称轴构造对称图形例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．2、例题：如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800，求证：AD=DC ．五、利用角的平分线构造等腰三角形1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分 ∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．BACD E图1ABDE CBACDE 图2。

初中数学角平分线问题的六种方法

初中数学角平分线问题的六种方法
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线。

在初中数学中，有六种常见的方法可以求解角平分线问题。

方法一：作弧上的等分线法
以角的顶点为圆心，画一个圆，并将圆分成需要的等分数。

然后将等分点和角的两个端点相连，这些线段就是所求的角平分线。

方法二：作垂线法
以角的一边为直径作一个圆，然后将另一边的端点与圆上的点连成线段。

连接角的两个顶点与圆心，这两条线段就是所求的角平分线。

方法三：作过顶点的角平分线法
以角的顶点为圆心，任意作一个大于角的两边的弧，将弧上的两个点与角的两个端点连成线段。

连接圆心与弧的两个端点，这两条线段就是所求的角平分线。

方法四：作等距离线段法
以角的一边为直径作一个圆，在圆上选择等距离原点的多个点，然后将这些点与角的两个端点连成线段。

与角度相等的线段即为所求的角平分线。

方法五：作锐角三等分线法
将角分成三个相等的锐角，然后以这三个锐角的顶点为圆心，分别作三个圆。

连接圆心与圆上的点，这些线段即为所求的角平分线。

方法六：利用角度性质法
利用角的度数关系来求解角平分线。

如果角的两边垂直，则角平分线就是两边的垂线；如果角的两边相等，则角平分线就是两边的中垂线；如果角的两边呈比例关系，则角平分线是两边之比的垂线。

以上六种方法是初中数学中常见的角平分线求解方法。

每种方法都有其独特的应用场景，根据题目给出的条件，选择合适的方法来求解即可。

同时，理解角平分线的定义和性质，掌握角的几何构造技巧，也能在解决问题中起到很好的帮助作用。

角平分线及中点辅助线技巧要点大汇总

全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥ACB图1-2D B C例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。

试试看可否把短的延长来证明呢？练习 1．已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2．已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE3．已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。

三角形角平分线辅助线的几种做法

三角形角平分线辅助线的几种做法在数学的世界里，三角形就像一个个神秘的小家伙，角平分线更是它们的秘密武器。

嘿，你听说过吗？角平分线可是让三角形变得更有趣的神器。

想象一下，三角形的每个角都是一个小演员，而角平分线就像是导演，把它们的表演完美地分开，让它们各自发挥光彩。

说实话，这个过程就像是把一个美味的披萨切成两半，不仅让每一块都看起来更好看，还能让每个人都吃得开心。

好吧，咱们先聊聊怎么画这个角平分线。

你得有一个三角形。

你可以用铅笔和尺子，或者直接拿出那根神奇的圆规。

把三角形的一个角作为出发点，然后把圆规的尖尖扎在那个角上，转一圈，画一个小圆。

这个小圆像是个神秘的传送门，连接着三角形的两条边。

拿着尺子，把这个小圆和两条边的交点连起来。

哇，看看！这就是你的角平分线！就像魔法一样，瞬间就完成了。

角平分线不只是个小花样。

它还有很多秘密等着你去挖掘。

比如，你知道角平分线有什么特别的性质吗？它能把三角形的两条边分成比例，嘿，这可真是个大新闻！这就意味着，如果你知道了其中一条边的长度，你几乎可以轻松算出另一条边的长度。

就像在玩拼图，拼对了，结果就全对。

这个性质在解决一些复杂问题时，简直就像给你开了一扇窗，让光线照进来。

说到这里，很多小伙伴可能会问，角平分线到底有什么用呢？它在生活中随处可见！比如，建筑师在设计房子的时候，常常会用到角平分线来确保房子的结构均匀美观。

你想啊，谁不想住在一个美得让人拍手叫好的房子里呢？再比如，艺术家在创作的时候，也会用角平分线来找到最佳的构图，让作品更加和谐。

可以说，角平分线就像是生活中的一位默默无闻的英雄，虽然不张扬，但却在每一个重要时刻都能派上用场。

再说说不同的画法吧。

很多时候，老师会教我们用尺子和圆规。

可是，你知道吗？其实用简单的手法也能画出角平分线！比如，只用一个普通的三角板，就能轻松搞定。

把三角板的一个边对准三角形的一个边，另一边对准角的顶点，轻轻一划，嘿，角平分线又出现了！简单得不能再简单了，谁说数学就得复杂呢？此外，还有一种很酷的方式，叫做“分段法”。

全等辅助线方法专题——角平分线

全等三角形辅助线方法---角平分线一、知，为行之始1.角平分线的定义2.角平分线的画法3.角平分线的性质定理4.角平分线的判定定理二、行，为知之成1.角平分线辅助线方法一：作垂线（角平分线的性质与判定定理）作法：过角平分线上一点向角两边作垂线，构造全等【例】如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C=180°．2.角平分线辅助线方法二：截长（角平分线的对称性）作法：在角的两边截取相等的线段构造全等CDBA【例】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，设AD＝x，BC＝y 且（x﹣3）2+|y﹣4|＝0．求AB的长．3.角平分线辅助线方法三：延长（三线合一）作法：延长垂直于角平分线的线段与角的另一边相交构成等腰三角形【例】如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠BAC，BE⊥AD于点E，求证：AD=2BE．三、知行合一1.如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．52.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，CD ＝2，BD=3，Q 为AB 上一动点，则DQ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．2．5D ．33.如图，△ABC 的三条角平分线交于O 点，已知△ABC 的周长为20，OD ⊥AB ，OD=5，则△ABC 的面积=_________.4.如图，已知△ABC 的周长是16，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D 且OD=2，△ABC 的面积是________________.5.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．6．如图，在△ABC中，以原点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC：AB=3：4，△ACD的面积是21，则△ABD的面积是______．7．如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB=CD，CF⊥AD于F. （1）求证：∠ABC+∠ADC=180°；（2）若AF：CF=3:4，CF=8，求四边形ABCD的面积.8．如图，△ABC 中AP 平分∠CAB ，PD 垂直平分BC 交AP 于P ，PE AE ⊥于E ．（1）当28PCB ∠=︒时，BPC ∠的度数是__________；（2）求证：2AC AB AE +=．9．四边形ABCD 中，,AB CD DE ∥平分ADC ∠．（1）如图1，若90ABE ∠=︒，E 是BC 的中点，求证：AE 平分BAD ∠；（2）如图2，若AE 平分BAD ∠，求证：E 是BC 的中点；（3）在（2）的条件下，若8,6AE DE ==，求四边形ABCD 的面积．10．如图1，在ABC △中，BD 平分,ABC CE ∠平分,ACB BD ∠与CE 交于点O ．（1）如图1，若60A ∠=︒，①求BOC ∠的度数；②作OF AB ⊥于点F ，求证：2AE AD AF +=；（2）如图2，若490,7A OD OB ∠=︒=，则OE OC的值为____________．图1CDB AF E O图2CD B A O E。

全等三角形辅助线 - 角平分线截长补短倍长中线三垂直半角模型-教师

全等三角形辅助线的作法一．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（AD 是ABC∆底边的中线)．二．角平分线类辅助线作法有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3．OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．三．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．易错点：1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．图3图2图1FEDNDMEAB CAB CDCBA知识精讲题模一：角平分线类例1.1.1如图，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ，求证：2BD CE =．【答案】见解析【解析】延长CE ，交BA 的延长线于点F ． ∵BD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE ， ∴△BEF ≌△BEC ，∴BC BF =，CE FE =． ∵90BAC ∠=︒，CE ⊥BE ，∴ABD ACF ∠=∠，又∵AB AC =，∴△ABD ≌△ACF ，∴BD CF =．∴2BD CE =．例1.1.1-2如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，若E 在AD 上。

有关角平分线的辅助线做法_含例题与分析

由角平分线想到的辅助线角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。

①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。

但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。

简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。

这里面用到了角平分线来构造全等三角形。

另外一个全等自已证明。

此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。

自已试一试。

例2．已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥ACB图1-2DBC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。

构造的方法还是截取线段相等。

其它问题自已证明。

例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。

专题、角平分线四种常见辅助线添加方法

角平分线具有两条非常重要的性质：一是对称性；二是角平分线上的点到角两边的距离相等。

对于有角平分线的辅助线的作法，一般有四种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）；③做角平分线的垂线，与角两边构造等腰三角形；④过角平分线上的点做边的平行线。

方法一、在证明线段的和差倍分问题中，常用到的方法是延长法或截取法来证明，以此来构造三角形全等，延长短的线段，或在长的线段上截取一部分，使之等于短的线段。

但无论延长，还是截取都要证明线段的相等。

延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所要证明的目的。

例2中，用到了角平分线，用到了做垂直，利用三线合一证明边相等，利用SAS来证明三角形全等。

此题的证明，也可以在AB上截取AE=AC，先证明△ADE≌△ADC，再利用AB=2AC，得出E 是AB的中点，再利用三线合一证明DE⊥AB，所以DC⊥AC.课后专项练习一，就是利用延长或者截取法，来证明的。

题目不难，非常基础，请同学们，认真仿照例题，认真推敲，加强练习。

方法二、角平分线上的点向角两边做垂线。

通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。

至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。

一般来说，出现角平分线，做双垂直，都是非常通用的方法。

要么过角平线上的点做角两边的垂直，要么做角平分线的垂直交两边，都是必出三角形全等。

方法三，过角平分线上的一点，做角平分线的垂线，必然交于角的两边，构造出等腰三角形。

这个方法，在很多题型中，非常实用。

专项练习三，有两个题，需要自行画图。

只要我们一个专题一个专题的突破，把基础扎实起来，那么初中几何还难吗？初中数学还难吗？方法四、过角平分想上一点，做角的另一边的平行线。

因为角平分线有两角相等，平行线则有内错角相等，则必然出现角相等，得等腰三角形。

角平分线的4种辅助线

角平分线的4种辅助线（方法总结，讲练结合）中考高频考点系列是笔者根据近两年中考的趋势及热点，结合《新课标》的要求，对中考经常出现的题型，进行了归纳总结，要想在中考时取得好成绩，这些都是必须要掌握的知识。

作有关角平分线的辅助线，常见的有四种方法：①如下图，由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；①②③④②如上图，以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；③如上图，当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”性质证题；④如上图，过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形——“角平分线+平行，必出等腰”.【典例1】如下图，已知在四边形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求证:∠A＋∠C=180°.证法一：如上图，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别是M、N.∵BD平分∠ABC∴DM=DN又∵AD=CD∴Rt△DMC≌Rt△DNA（HL）∴∠NAD=∠C∵∠BAD＋∠NAD=180°∴∠BAD＋∠C=180°.证法二：如上图，在BC上截取BE=AB，连接DE，可证得△ABD≌△EBD（SAS）∴∠A=∠BED,AD=ED∵AD=CD∴ED=CD∴∠C=∠DEC∴∠A＋∠C=∠BED＋∠DEC=180°.证法三：如上图，延长BA到E，使BE=BC,连接ED.可证△BDE≌△BDC（SAS）∴∠E=∠C，ED=CD.∵AD=CD∴AD=ED.∴∠E=∠DAE，∠C=∠DAE，∴∠BAD＋∠C=∠BAD＋∠DAE=180°.点评：法一用的是第一种模型“由角的平分线上的一点向角的两边作垂线”，法二和法三实际上用的是第二种模型：以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形.本题证明两角之和等于180°，实际上可以证明一个角等于另一个角的邻补角.许多证明线段、角关系的问题，往往转化为证线段、角相等.证明两个三角形全等是证明两线段、角相等的重要方法，许多时候要通过作辅助线，使图形出现全等三角形，将角或线段相对转移、等量代换，以使问题得到解决.【典例2】如下图，已知在△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE=1/2BD.思路分析：注意到BD 平分∠ABC，CE⊥BE，这种情况完全和第三种模型吻合，于是延长CE、BA相交于F，如下图，则易证△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=CE ∴CE=EF=1/2CF.∵CE⊥BE∴∠1=90°-∠F.同理∠3=90°-∠F∴∠1=∠3又∵AB=AC∠BAD=∠CAF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴CE=1/2BD.点评：本题解题的关键是抓住角平分线加垂直的条件，构造出等腰三角形.【配套练习】已知，如下图，AC是四边形ABCD的一条对角线，并且AC平分∠BAD，若∠B与∠D互补，而且AB＞AD.求证：CD=CB.第1题第2题2、如上图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠BAD=∠DAC＋∠C.第3题第4题第5题3、如上图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D是垂足，∠ABC 的平分线BE交CD于点G，交AC于点E，GF∥AB交AC于F.求证：AF=CG.4、如下图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于点D，且AB=AD，CM⊥AD交AD的延长线于点M.5、（乌鲁木齐中考）如上图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝5，AC＝2，则DF的长为________．【答案】1、分别过C作AB、AD的垂线，垂足为E、F，证△CBE≌△CDF，或在AB上截取AE=AD，连接CE，则CE=CD，证CE=CB.2、延长AD交BC于点F，则∠BAD=∠BFA=∠DAC＋∠C.3、过点E作EH⊥AB于H，则EH=EC，证∠CEG=∠CGE，则EC=GC，∴CG=EH，再证△CGF≌△EHA，则CF=EA.4、因AD平分∠BAC，过点C作CE∥AB，则△ACE是等腰三角形.因为CM⊥AD，所以AE=2AM，又AE=AD＋DE=AB＋DE，证DE=AC 即可.5、利用模型3的方法，延长CF交AB于点G，则△AFC≌△AFG，∴CF=GFAC=AG=2，∵AB=5∴BG=3又∵F是GC的中点，D是BC 的中点，即DF是△CBG的中位线，∴DF平行且等于BG的一半，即DF=角平分线专题训练，得熟悉此类题题1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，且AC＝AB+BD.求证：AD是∠BAC的平分线。

角平分线辅助线自编

角平分线的辅助线做法角平分线的辅助线做法常见的有三种：①利用角分线易构成全等三角形②沿角分线，碰直角构等腰③做平行线，构等腰。

一、利用角分线易构成全等三角形〔SAS 〕该方法常见有两种情况，一是在角两边截取相等的线段，利用SAS 构成全等三角形，另一种是利用角分线上一点向角两边做垂线构成全等三角形。

例1：如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，AB>BC ，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD提示：该题目可运用两种情况中的任何一种同类型拷贝：如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ．求证：︒=∠+∠180C A .例2：：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC同类型拷贝：，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 。

求证：△ABC 是直角三角形。

A BCD ADB CABCCAB例3 如图，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，∠EDF ＋∠BAF=180°，求证：DE=DF.提示：过D 做角两边的垂线。

同类型拷贝：如图，AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180例4：：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD同类型拷贝：：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD例5 ：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。

求证CF=BH 。

_ A_B _ C_ EAB CD 图2-1ABCDE F例6：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想方法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点．：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上．证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、G 、F ．∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG 〔角平分线上的点到角的两边距离相等〕同理 IH=IF ∴IG=IF 〔等量代换〕又IG ⊥AC 、IF ⊥BC∴点I 在∠ACB 的平分线上〔到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上〕.即：三角形的三条角平分线交于一点．同类型拷贝：【例2】：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线，•它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ．求证：BP 为∠MBN 的平分线．二、沿角分线，碰直角构等腰例1．：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。

角平分线常见辅助线作法

DCBA图三F'DFABCE图一F'AB CEDFF'ABCEDF角平分线常见辅助线作法一、过角平分线上一点向角两边作垂线1.如图，在△ABC 中,AD 是它的角平分线，AB=5cm ，AC=3cm ，则S △ABD ︰S △ACD = 。

2.如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，求证:点F 在∠BAC 的平分线上。

3。

如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证:DA ＝CD4.如图，△ABC 中,AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上一点，且∠EDF＋∠BAF =180°，求证：DE =DF .二、截长补短A BCD ABCFED1. 如图所示,已知AD //BC ，AE 平分∠DAB,BE 平分∠ABC ，直线DC 过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：（1）E 为DC 的中点；(2)AD ＋BC =AB 。

2.如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠,且AD=BD ，求证：CD ⊥AC3。

在△ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分线，P 是AD 上的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．4.如图，已知在△ABC 中,∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：（1）OD=OE （2)AE ＋CD=AC 。

三、延长垂线段ADECBDOCEBA1E AFG1. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90 ,∠1＝∠2,CE ⊥BE,BD=10。

则CE= 。

2。

如图,已知△ABC 中,CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE,∠AED ＋∠CAE ＝1800，求证：DE ∥BC四、作平行线如图∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA,若PC=10，则PD 等于=ACDEB图2-121DAE43图2-221DAE角平分线常见辅助线作法解法一：解法二:。

北师大版八年级数学下册_角平分线定理使用中的几种辅助线作法

角平分线定理使用中的几种辅助线作法一、已知角平分线，构造三角形例题、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。

求证：1()2BE AC AB =-证明：延长BE 交AC 于点F 。

因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，所以AD 为∠BAC 的对称轴，又因为BE ⊥AD 于F ，所以点B 和点F 关于AD 对称，所以BE=FE=12BF ，AB=AF ，∠ABF=∠AFB 。

因为∠ABF ＋∠FBC=∠ABC=3∠C ，∠ABF=∠AFB=∠FBC ＋∠C ，所以∠FBC ＋∠C ＋∠FBC=3∠C ，所以∠FBC=∠C ，所以FB=FC ，所以BE=12FC=12（AC －AF ）=12（AC －AB ），所以1()2BE AC AB =-。

二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。

求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。

证明：经过点P 作PE ⊥AB 于点E 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，∠1=∠2，所以PE=PD 。

在Rt △PBE 和Rt △PBC 中BP BPPE PD =⎧⎨=⎩所以Rt △PBE ≌Rt △PBC （HL ），所以BE=BD 。

21F EDCBANPE DCBA因为AB ＋BC=2BD ，BC=CD ＋BD ，AB=BE －AE ，所以AE=CD 。

因为PE ⊥AB ，PD ⊥BC ，所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE 和Rt △PCD 中PE PD PEB PDC AE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△PAE ≌Rt △PCD ，所以∠PCB=∠EAP 。

因为∠BAP ＋∠EAP=180°，所以∠BAP ＋∠BCP=180°。