(完整版)5-3.4相似矩阵
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5-3.4相似矩阵2
E B P 1 EP P 1 AP
P 1 ( E A) P
这表明A与B 有相同特征值
P 1 E A P E A
1 对角阵 的特征值为 1 , , n。 n
推论
A与B相似; E A E B ; 都与相似
即如何将方阵 A 对角化
1 设 P ( p1 , p2 ,, pn )， n 1 P AP
三、 矩阵的相似对角化的条件 ? 存在一个 阶可逆阵P , 使 P 1 AP n A与对角阵 相似
( Ap1 , Ap2 ,, Apn )
1 ( p1 , p2 , , pn ) AP P O ? n Api i pi , (i 1,2,, n) p 是否为特征向量？, Pi1 ,, pn为非零向量 (1 p1 , 2 p2 ,, n pn ) 1 , , n 是特征值 p1 , , pn 是特征 向量。 ,
解之得基础解系
2 1 1 , 0 0 2 0 . 1
把 1代入 E A x 0,
(1,1,1)T , 故A 不能相似为对角矩阵.
例 设
1 2 2 A 2 1 2 2 2 1
判断A是否可以对角化，
若可以对角化， 求出可逆阵P，
使得 P 1 AP 为对角阵，并求 A100
解 （1）求特征值 1 2 E A 2 1
0 X 22 1 1
1 1 0 X 11 1 , X 21 0 , X 22 1 , 线性无关，故A可对角化 1 1 1 5 1 1 0 1 P AP 1 (2) 令 P 1 0 1 则有 1 1 1 1
相似矩阵
点评：对给定的数字矩阵， 点评：对给定的数字矩阵，一般不用定义判别它 们是否相似，其判别法以后介绍。 们是否相似，其判别法以后介绍。
性质 1. 定理 定理4.4 （P.184） A ~ B ⇒ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。 ） A ~ B ⇐ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。
1 0 1 − 1 例如： 例如： 与 1 0 1 0 证明思路： 证明思路：欲证 |λI-B|= |λI-A| 证明： 则存在可逆矩阵P， 证明：设 A B，则存在可逆矩阵 ，使得
注： 1. 能否取
− 1 0 − 2 P = ( X1 , X 3 , X 2 ) = 1 0 1 1 1 0 λi:－2 1 1 －
同一对角阵， 可能不唯一 可能不唯一。 同一对角阵，P可能不唯一。
能！
− 2 − 1 0 1 1 0 则 ＝ 2. 若 Λ＝ －2 ， P＝( X 2 , X 1 , X 3 ) = 1 0 1 1 1 -2 1 λ I: 1
§4.2
（一）、相似矩阵的概念及性质 ）、相似矩阵的概念及性质 概念 定义4.3（ 定义 （P183） 对于矩阵 、B，如果存在 ） 对于矩阵A、 ，如果存在 可逆矩阵P， 可逆矩阵 ，使
P −1 AP = B
则称 A与 B 相似， 记为 A B 与 相似， 记为: 化成” 即 A 可“化成” B . 注 不一定可逆。 （1） A, B 不一定可逆。 ） （2） 有以下几个结果： ） 有以下几个结果：
例
λ+2 0 0 λ −a −2 由 | λI − A |= − 2 λ − a − 2 = ( λ + 2) − 1 λ −1 − 3 −1 λ −1
由性质知， 与 有相同的行列式 有相同的行列式， 又 由性质知，A与B有相同的行列式， = λ2 − λ − 2
性质 1. 定理 定理4.4 （P.184） A ~ B ⇒ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。 ） A ~ B ⇐ A,B 的特征值相同。 的特征值相同。
1 0 1 − 1 例如： 例如： 与 1 0 1 0 证明思路： 证明思路：欲证 |λI-B|= |λI-A| 证明： 则存在可逆矩阵P， 证明：设 A B，则存在可逆矩阵 ，使得
注： 1. 能否取
− 1 0 − 2 P = ( X1 , X 3 , X 2 ) = 1 0 1 1 1 0 λi:－2 1 1 －
同一对角阵， 可能不唯一 可能不唯一。 同一对角阵，P可能不唯一。
能！
− 2 − 1 0 1 1 0 则 ＝ 2. 若 Λ＝ －2 ， P＝( X 2 , X 1 , X 3 ) = 1 0 1 1 1 -2 1 λ I: 1
§4.2
（一）、相似矩阵的概念及性质 ）、相似矩阵的概念及性质 概念 定义4.3（ 定义 （P183） 对于矩阵 、B，如果存在 ） 对于矩阵A、 ，如果存在 可逆矩阵P， 可逆矩阵 ，使
P −1 AP = B
则称 A与 B 相似， 记为 A B 与 相似， 记为: 化成” 即 A 可“化成” B . 注 不一定可逆。 （1） A, B 不一定可逆。 ） （2） 有以下几个结果： ） 有以下几个结果：
例
λ+2 0 0 λ −a −2 由 | λI − A |= − 2 λ − a − 2 = ( λ + 2) − 1 λ −1 − 3 −1 λ −1
由性质知， 与 有相同的行列式 有相同的行列式， 又 由性质知，A与B有相同的行列式， = λ2 − λ − 2
第六章相似矩阵
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、 相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进 行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与 初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与 左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初 等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、 见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论 ：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和 特征值 ;
线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件
(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的 特 征 值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且 似 A 可 ,则 逆 B 也,可 且 A 1 与 逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则 似 k与 A k相 B,k 为 似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而 似 f(x)是一,多 则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特 征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3
4.3 相似矩阵
即
5 1
a b
3 2
1 1
1 1
，
解之得1 a3 b0.
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小结
相似矩阵的定义
设A B都是n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使 P1APB
则称矩阵A与B相似 或称B是A的相似矩阵. 注: 相似一定等价；或相似关系一种特殊的等价关系.
如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向使得Apii pi (i1 2 n).
于是(Ap1 Ap2 A pn) (1p1 2p2 n pn)
1
所以A(p1
对于232 解方程
得基础解系
(A2E)x0 p2(0 1 1)T p3(1 0 4)T
所以对应于232的全部特征向量为k2p2k3p3(k2,k3不同时为0).
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例3.1
讨论
A
2 0
4
1 2 1
031
能否对角化?若能,把它对角化.
问题1:一个n阶矩阵A能否对角化？ 问题2:如何寻求可逆矩阵P 使P1AP为对角阵？
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三、方阵与对角阵相似的条件
一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求可逆矩阵P 使
P1AP为对角阵？
设P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2
设n阶矩阵A与B相似 则有可逆矩阵P 使P1APB.
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二、相似矩阵的简单性质
设A B都是n阶矩阵 P1APB , 则A PBP1 ,
于是 Ak (PBP1 )k PBP1 PBP1 …PBP1 PBkP1 .
k个
4.3 相似矩阵
2
相似矩阵具备如下等价关系：
(1)反身性 A与A本身相似. A E 1 AE
( 2 )对称性 若A与B相似, 则B与A相似.
1 B P AP , P可逆 A ~ B
A P
1
1
B P 1 , P 1可逆
( 3 )传递性 若A与B相似, B与C相似, 则A与C相似.
1 1 0 A 0 2 1 . 0 0 3
问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆矩阵 P 和 对角矩阵 , 使 P-1AP = . 解： 矩阵 A 的特征多项式为 1 1 0 |A E| 0 2 1 (1 )( 2 )( 3 ), 0 0 3
19
当 3 3
2 1 0 1 2 0 1 r （ 2 ） r r 1 2 1 A 3E 0 1 1 即： 0 1 1 0 r1 （1） 0 0 0 0 0 0 0 1 x1 2 x3 基础解系为： p2 得方程组 x2 x3 x x 3 3 所以 p3 是对应于 3 3 的特征向量.
即 A p1 , p2 , , pn p1 , p2 , , pn 令P ( p1 , p2 , , pn ), n
p1 , p2 , pn线性无关， P 0,
即P可逆
1 2 1 1 P AP ( p1 , p2 , , pn ) p1 , p2 , , pn n
由 P 1 AP , 得AP P ,
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn
于是有 Api i pi
相似矩阵 PPT课件
3 3 6
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
当 2 是特征方程的二重根， 则有 22 16 18 3a 0 , 解得 a 2 .
1 2 3 1 2 3 2E A 1 2 3 0 0 0 , 秩为1，
1 2 3 0 0 0
故 2 对应的线性无关的特征向量有两个,
从而A可相似对角化.
21
E A ( 2)(2 8 18 3a)
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
22
一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得
P 1 AP ,
则 A PP 1 ,于是
An (PP 1 )( PP 1 ) (PP 1 )
P(P 1P)(P 1P) (P 1P)P 1 Pn P 1 ,
转化为对角阵求幂.
23
例7
设
A
1 2
12 , 求 A100 .
1 (1 , 1 , 1)T , 2 (1 , 1 , 0)T , 3 (1 , 1 , 2)T ,
令
1 1
P (1 , 2 3 ) 1 1
1 1,
1
0
2
0
则
P 1 AP
1
.
9
14
例3
4 判断矩阵 A 1
10 3
0
0 能否对角化，若能，
3 6 1
当 2 是特征方程的二重根， 则有 22 16 18 3a 0 , 解得 a 2 .
1 2 3 1 2 3 2E A 1 2 3 0 0 0 , 秩为1，
1 2 3 0 0 0
故 2 对应的线性无关的特征向量有两个,
从而A可相似对角化.
21
E A ( 2)(2 8 18 3a)
3 3 6 3 3 6
1 1 0
10 0
( 1) 2 1 3 ( 1) 2 3 3
3 3 6
3 6 6
3 3
( 1)
( 1)( 9) ,
6 6
11
1 2 3 E A 2 1 3 ( 1)( 9) ,
3 3 6
1
对
1
0 ，0 E
A
2
2 1
3 1 3 0
22
一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A 能对角化，即存在可逆阵P，使得
P 1 AP ,
则 A PP 1 ,于是
An (PP 1 )( PP 1 ) (PP 1 )
P(P 1P)(P 1P) (P 1P)P 1 Pn P 1 ,
转化为对角阵求幂.
23
例7
设
A
1 2
12 , 求 A100 .
相似矩阵的定义及性质
P1A3P P1(3A)P P1EP
(P1AP)(P1AP)(P1AP) 3P1AP E
1
3 1
1
2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
2
3
1
1
1
3
19
所以矩阵
B
能与对角阵相似。 23
（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 n 阶方阵 A，如果可以找到可逆矩阵 P， 使得 P1AP 为对角阵，就称为把方阵 A 对角化。
4
定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似） A 有 n个线性无关的特征向量。
推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 可对角化。（与对角阵相似） (逆命题不成立)
再求乘积即为行列式的值。
设 f (x) x 3
A 的特征值是 2,4, ,2n 即 i 2i, A 3E 的特征值是 f (i ) 2i 3
n
A 3E 2i 3 (1) 1 3 (2n 3) i 1
20
方法2：已知 A有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，
二. 相似矩阵的定义及性质
定义: 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
则称矩阵 B是矩阵A 的相似矩阵，
或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 对 A进行运算 P－1 AP 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。
线性代数相似矩阵和二次型(“矩阵”相关文档)共7张
特征向量. [x y]称为向量x与y的内积。
则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似。
x (x1 x2
xn)T
二次型可记作 f xTAx 其中A是一个对称矩阵
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角 阵相似
5.3 相似矩阵理论
设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使
P则对 可称逆A1进矩BA是P行阵A运P的B称算相为P似把矩1AA变阵P成称B为或的对说相A矩似进阵变行A换与相矩B似阵相变。似换。 x则则则如含 则[2[则如y设二则二如x则则设如则2设[如Ay则xxxx称称称果有称称果A次称次果称称A果称A果称特特=((((为为λxyxyBBBnnBBn型 B型 nBBnBnByyy征征x1111]]]阶个 阶阶阶阶是是是是是n是是是是n是称B可可值值阶阶矩变 矩矩矩矩都AAAAAAAAAAx为x记记与与xyxy方 方11的的的的的的的的的的阵量 阵阵阵阵是2222向yy作作特特阵阵相相相相相相相相相相11AxAAAAn量1征征阶的的,的的,的ff似似似似似似似似似似若若xxx向向矩nnnnn与矩矩矩矩矩矩矩矩矩矩22存存xx个个个个个xyyTT量量阵y阵阵阵阵阵阵阵阵阵阵222在在AA特特特特特的xx数数征征征征征内若λλ或或或或或或或或或或值值值值值积和和其其xyxy有说说说说说说说说说说互互互互互。nnnn非非中中))))可矩矩矩矩矩矩矩矩矩矩TTTT不不不不不零零AA逆阵阵阵阵阵阵阵阵阵阵是是相相相相相的的矩AAAAAAAAAA一一等等等等等xxx与与与与与n与与与与n与阵nnn个个维维的yyBBBBBBBBBBPnn对对列列相相相相相相相相相相则则则则则二称称向向似似似似似似似似似似AAAAA次使矩矩与与与与与量量。。。。。。。。。。齐阵阵对对对对对xx次,,使使角角角角角函得得数阵阵阵阵阵相相相相相似似似似似
线性代数课件-5.3相似矩阵
1 2 2 (1) A 2 2 4
2 4 2
2 1 2
(
2)
A
5
3
3
1 0 2
解
1l
(1) 由 A lE 2
2
2
2l
4
2 4
2l
(l 22(l 7 0
得 l1 l2 2, l3 7.
将 l1 l2 2 代入( A lE x 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似．
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，则
P
(1,2,3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0
.
0 0 2
注意
若令
则有
1 2 0
P
(3,1,2
1
1
1
0
,
0 1
2 0 0
P 1 AP
0
1
0
.
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
小结
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.
5-3相似矩阵
得基础解系
0
p1
0
,
1
所以kp1 (k 0)是对应于1 2的全部特征值.
§3 相似矩阵
当2 3 1时, 解方程( A E)x 0.由
2 1 0 1 0 1
A
E
4
2
0
:
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
得基础解系
1
p2
2
,
1
所以kp2 (k 0)是对应于2 3 1的全部特征值.
33xx1166xx22
0 0
3x1 6x2 0
2
0
得基础解系1
1
,
2
0
.
0
1
§3 相似矩阵
将3 2代入 A E x 0,
得方程组的基础解系
1
3
1
.
1
由于 1,2 ,3 线性无关,所以A可以对角化.3 相似矩阵2 0 1
令
P
1,2
,3
1
0
1
,
证明
因A与B相似,即有可逆阵P,使得P1AP B.
故 B E P1AP P1 E P P1 A E P
P1 A E P A E .
§3 相似矩阵
推论 若n阶矩阵A与对角阵
1
2
O
n
相似,则λ1 ,λ2 ,…,λn即是A的n个特征值.
§3 相似矩阵
说明:若有可逆矩阵P ,使P-1AP=Λ为对角阵,则 Ak Pk P1, ( A) P ()P1
而对于对角矩阵Λ ,有
k
1
k
k 2 O
k n
,
()
(
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性质2 实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。
证 设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为 使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0
证 设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为 使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0
5.3相似矩阵
1 2 2 2 1 2 ,判断 是否可以对角 判断A是否可以对角 例2 设 A = 判断 2 2 1 若可以对角化,求出可逆阵 使得P 化,若可以对角化 求出可逆阵 使得 −1AP 若可以对角化 求出可逆阵P,使得 为对角阵,并求 并求A 为对角阵 并求 100.
的特征值为: 解: A的特征值为 λ1=5, λ2=λ3= −1 的特征值为
解: (1)
−2 −3 |λE−A|= − 2 λ −1 − 3 =λ(λ+1)(λ−9) − −3 −3 λ −6 的特征值为: ⇒A的特征值为 λ1=0, λ2= −1, λ3=9 的特征值为
λ −1
可对角化. ∵A有三个不同的特征值 ∴A可对角化 有三个不同的特征值 可对角化
(2)
2 −1 =(λ−1)3 |λE−A|= 5 − λ −3 3 0 λ −2 −1 的特征值为: ⇒A的特征值为 λ1=λ2=λ3=1 的特征值为
− 2 1 ⇒基础解系: P = 1 , P = 0 基础解系 1 2 0 1 解方程组 (−7E−A)X=0 − −
解方程组 (2E−A)X=0 −
1 2 基础解系: 3 ⇒基础解系 P = 2
∵A有三个线性无关的特征向量 有三个线性无关的特征向量 ∴A可对角化 可对角化. 可对角化
判断下列实矩阵能否化为对角阵? 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵
1 2 3 − 2 1 − 2 1 −2 2 2 1 3 ( 2) − 5 3 − 3 ( 3) − 2 − 2 4 (1) 3 3 6 1 0 2 2 4 − 2
Λ= O λn
(4)若P可逆 则P−1AP=Λ.即A与Λ相似 若 可逆 可逆,则 Λ 即 与 相似.
5-3 方阵的相似变换
由
AE 111
0 0 0
1x1~r 100
0 0 0
x011
所以当x1时 R(AE)1 此时矩阵A能对角化.
练习 1 判断下列矩阵是否与对角矩阵相似，若是，求出相 变似换矩阵和对角矩阵．
3 1 2 A 2 0 2
若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A
与B的特征值也相同.
推论
若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则1 2 n即是A的n个特征值.
相பைடு நூலகம்矩阵的作用
若APBP1 则AkPBkP1. A的多项式
(A)P(B)P1.
0 1 解 | AE | 1 1 x ( 1)2( 1)
1 0
得11 231. 矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根231 有2
个线性无关的特征向量 即方程(AE)x0有2个线性无关的解
亦即系数矩阵AE的秩R(AE)1. 因为
可相似对角化．
推论 若ｎ阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 ti重特征值 i 对应 ti 个线性无关的特征向量．
1、对角形的主对角线元素就是 A 的所有特征值
2、矩阵P是由矩阵 A 的所有特征向量构成的可逆矩阵
注意 （1）Ｐ中的列向量p1, p2 , , pn的排列顺序要与 1,2 , ,n 的顺序一致．
2 1 1 解 A 的特征多项式为
3 1 2 3 1 2
| A E | 2 2 2 2 2 1 1 0 1 1
3 1 2
( 1) 2 2 ( 1)2
0 1 1
因此 A 的特征值为 1 0, 2 3 1.
2 1 2 1 1 / 2 1 A E 2 1 2 ～ 0 0 0
线性代数5-3,4相似矩阵2
(ii) 对每一个ri重特征值i , 求出对应的ri个线性无关的 特征向量 i1 ,i 2 ,L ,iri（方程组 ( A i E)x O的基础解系）
令
(r1 r2 L rr n)
P1 P2
Pr1
则P ( p1 , p2 ,L , pn )为对角相似变换阵.
P中的pi与中的i
相对应! P1AP 先后次序一致！
1
2
O
Pn
n
例、 判断A是否可对角化,若可以,求变换阵P.
解
1 0
0
A E 2 5 2 (1 )2
化时，求可逆矩阵P，使 P1AP 为对角阵.
0 1
解
AE 1
1
1 x 1
0
1
1
( 1)2 ( 1)
得 1 1, 2 3 1
对于重根λ2 =λ3=1，要对应两个线性无关的特征向量
即方程(A-E)X=0有2个线性无关的解
即 R(A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
R( A E) R( E)
是k重特征根时， E的对角线上，有且仅有k个零
R( E) n k R( A E) n k. 1
证毕
E
2 O
N
用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值1 , 2 ,L , s ;
它们的重数依次为 r1 , r2 ,L rs (r1 r2 L rs n)
(n
)
(p122)对一般矩阵A，f ( )是A的特征多项式， f ( A) O.
f ( ) A E 哈密尔顿-凯莱定理（难证）
当 A 与 相似时,容易证明
i 是A的特征值
令
(r1 r2 L rr n)
P1 P2
Pr1
则P ( p1 , p2 ,L , pn )为对角相似变换阵.
P中的pi与中的i
相对应! P1AP 先后次序一致！
1
2
O
Pn
n
例、 判断A是否可对角化,若可以,求变换阵P.
解
1 0
0
A E 2 5 2 (1 )2
化时，求可逆矩阵P，使 P1AP 为对角阵.
0 1
解
AE 1
1
1 x 1
0
1
1
( 1)2 ( 1)
得 1 1, 2 3 1
对于重根λ2 =λ3=1，要对应两个线性无关的特征向量
即方程(A-E)X=0有2个线性无关的解
即 R(A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
R( A E) R( E)
是k重特征根时， E的对角线上，有且仅有k个零
R( E) n k R( A E) n k. 1
证毕
E
2 O
N
用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值1 , 2 ,L , s ;
它们的重数依次为 r1 , r2 ,L rs (r1 r2 L rs n)
(n
)
(p122)对一般矩阵A，f ( )是A的特征多项式， f ( A) O.
f ( ) A E 哈密尔顿-凯莱定理（难证）
当 A 与 相似时,容易证明
i 是A的特征值
线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化new
2 1 1 1 0 1
A 3E
1
2
1
r
~
0
1
1
1 1 2 0 0 0
无关的特征向量只有一个，可取为
1 q1 1
3
3
1 3
2019年11月13日2时42分
例2 求一正交相似变换阵
正交矩阵为
1
1
Q
1
2 2
2
1
2
所做正交变换为
QT
AQ
Q 1
AQ
1
3
1
3
x1
1
2 y1 1
2 y2
x2
1
2 y1 1
2 y2
二次型的标准形为： f (1 3) y12 (1 3) y22
二次曲线的标准方程为：
0
1
2
1 2
2019年11月13日2时42分
5
且QT
AQ
Q1 AQ
1
3
所做正交变换为x=Qy，即
x1 x2 x3
1 0
0
0
1 2
1 2
0 1
1
2 2
y1 y2 y3
（1）判断二次曲线
x12 x22 2 3 x1x2 1 的形状.
解： 令 f x12 x22 2 3x1x2
相似矩阵简.ppt
A ~ B E A E B 4）相似矩阵 有相同的特征值.
5）相似矩阵或者都可逆 或都不可逆，当它们都可逆 时,它们的逆矩阵也相似.
A~ B
A与B可逆性相同. 当它们都可逆时，A1 ~ B1
证2) 由 A ~ B
B P 1 AP
B P 1 AP P 1 A P 1 A P A P
" " 反推即得 .
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
设A的n个 线性无关的特征向量为
p11
p12
p1n
1
p21
2
p22
... n
p2n
pn1
相应的特征值为
pn
2
1,2 ,...,n
A ~ B Ak ~ Bk
当k=2,3,4,…时,由 A ~ B, B P1 AP
Bk
P 1 AP
k
(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)
...
(
P
1
AP
)
P 1 Ak P Ak ~ Bk
k个
证7) 由 A ~ B 知，B P1 AP
P 1 AP
0
2
0
0 0 4 1令P1 1 0
1 1
1 2
0 1
P1可逆,
2 0 0
P11 AP1
0
5）相似矩阵或者都可逆 或都不可逆，当它们都可逆 时,它们的逆矩阵也相似.
A~ B
A与B可逆性相同. 当它们都可逆时，A1 ~ B1
证2) 由 A ~ B
B P 1 AP
B P 1 AP P 1 A P 1 A P A P
" " 反推即得 .
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
设A的n个 线性无关的特征向量为
p11
p12
p1n
1
p21
2
p22
... n
p2n
pn1
相应的特征值为
pn
2
1,2 ,...,n
A ~ B Ak ~ Bk
当k=2,3,4,…时,由 A ~ B, B P1 AP
Bk
P 1 AP
k
(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)
...
(
P
1
AP
)
P 1 Ak P Ak ~ Bk
k个
证7) 由 A ~ B 知，B P1 AP
P 1 AP
0
2
0
0 0 4 1令P1 1 0
1 1
1 2
0 1
P1可逆,
2 0 0
P11 AP1
0
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反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
2
3 13
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
把 1代入E A x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能相似为对角矩阵.
例2
设 2 阶矩阵 A 的特征值为1, − 5, 与特征值
n
Ppi1 ,是否, p为n为特非征零向向量量？, (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
1,, n是特征值, p1,, pn是特征向量。
P 的列向量 pi是与A相似的对角阵中相应对角元素 i的特征向量
A 与 对 角线阵性相相关似性？ A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量
反之？
n P
关键是 P 可逆吗？
A 能否与对角阵 相似取决于
A 能否有 n 个线性无关的特征向量
且相似变换阵 P ( p1 , p2 ,, pn )
定理7 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件 为 A 有n 个线性无关的特征向量.
A PP 1
为P 的列向量
推论(P.155) 若A有n 个互异的特征值，则 A与对角阵相 似。
1 0 2
解
1 2 2
(1)由 E A 2 2 4
2 4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入1E A X 0,得方程组
x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 4x3 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由3E A x 0,
求得基础解系 3 1,2,2T
201
由于
0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角
化.
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
E A 5 3
E B P1EP P1AP P1(E A)P
P1 E A P E A
这表明A与B 有相ຫໍສະໝຸດ 特征值对 角 阵 1n
的
特
征
值
为1
,,
n。
A与B相似; E A E B ; 都与相似
推论
若A与 对 角 阵 1
n 相 似 ， 则1,
, n为A的特征值。
例1
A
3 5
11,
4 0
02, P 11
因为P1AP B(1)
而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积, (1)式左端就相当于对A施行一系列的初等 行变换和列变换,因而秩不变.
(7)若A ~ B,则有A B;
P1AP B P1AP B P1 A P B
AB
(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则
A1 ~ B1。
二、相似矩阵的性质
（1）自反性 A~A （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似
(4) A ~ B, 则Ak ~ Bk （其中 k 是正整数） （5）若A~B ， (A) 是关于A 的多项式
则 ( A) ~ (B)
若A PB P1, 则 k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
由性质（7）有A B ,
从而A与B同时为0或不为0，
所以A与B或都可逆或都不可逆。
若A可逆，则有P1AP B (P1AP)1 B1
P1 A1(P1)1 P1 A1P B1
A1 ~ B1
定理6 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证 设 A与B 相似，由条件知存在可逆阵P, 使P 1 AP B，
第三节 相似矩阵
相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵的概念
定义 设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使 P1AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似 记作 A ~ B
对 A 进行运算 P1AP 称为对A进行相似变换 其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。
反之设1, 2 ,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
p1 , p2 设P
,, pn . ( p1, p2 ,,
pn
)，
1
若p1P,可pn2逆,,, pn
线性无关
A与相似
AP ( Ap1 , Ap2 ,, Apn ) (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
( p1, p2 ,, pn ) 1
15,验证 P 1 AP,并求Ak
A PP 1 Ak ( PP 1 )k Pk P 1
P 1
1 6
5 1
11
k
4k 0
0 (2)
k
Ak
1 6
54 5 4k
k (2)k 5 (2)
k
4k (2)k 4k 5 (2)k
问题：(1) A 满足什么条件时能与对角阵相似？
(2) A与对角阵相似时, 相似变换阵P及怎样求？
1
为对角矩阵，
即
0
0
2
0 0 ,
0 0 n
则 Ak Pk P 1, ( A) P ()P 1 ，而对于矩阵 有
k 1
k
k 2
(1 )
,则
()
0
k n
0
0
(2 )
0
0 0
(n )
利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 ( A)
(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1 an1 PB P1 an PE P1
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
特别地，若有可逆矩阵P,使 P1 AP
即如何将方阵 A 对角化
三、 矩阵的相似对角化的条件
A与对角阵相似 ?存在一个n阶可逆阵 P, 使 P 1 AP
设
P
( p1, p2 ,, pn
P 1AP AP P Api i
)，
1
n
pi,?(Oi
( p1 ,
1,2,, n)
p2
( Ap1 , Ap2 ,, Apn )
,, pn ) 1
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
2
3 13
1 0 2
所以A的特征值为 1 2 3 1.
把 1代入E A x 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T ,
故A 不能相似为对角矩阵.
例2
设 2 阶矩阵 A 的特征值为1, − 5, 与特征值
n
Ppi1 ,是否, p为n为特非征零向向量量？, (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
1,, n是特征值, p1,, pn是特征向量。
P 的列向量 pi是与A相似的对角阵中相应对角元素 i的特征向量
A 与 对 角线阵性相相关似性？ A 有 n 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量
反之？
n P
关键是 P 可逆吗？
A 能否与对角阵 相似取决于
A 能否有 n 个线性无关的特征向量
且相似变换阵 P ( p1 , p2 ,, pn )
定理7 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件 为 A 有n 个线性无关的特征向量.
A PP 1
为P 的列向量
推论(P.155) 若A有n 个互异的特征值，则 A与对角阵相 似。
1 0 2
解
1 2 2
(1)由 E A 2 2 4
2 4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入1E A X 0,得方程组
x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 4x3 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由3E A x 0,
求得基础解系 3 1,2,2T
201
由于
0 1 2 0,
112
所以 1,2 ,3线性无关.
即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角
化.
2 1 2 (2) A 5 3 3
1 0 2
2 1
E A 5 3
E B P1EP P1AP P1(E A)P
P1 E A P E A
这表明A与B 有相ຫໍສະໝຸດ 特征值对 角 阵 1n
的
特
征
值
为1
,,
n。
A与B相似; E A E B ; 都与相似
推论
若A与 对 角 阵 1
n 相 似 ， 则1,
, n为A的特征值。
例1
A
3 5
11,
4 0
02, P 11
因为P1AP B(1)
而可逆矩阵是若干个初等矩阵的乘积, (1)式左端就相当于对A施行一系列的初等 行变换和列变换,因而秩不变.
(7)若A ~ B,则有A B;
P1AP B P1AP B P1 A P B
AB
(8)若A~B,则A,B或都可逆或都不可逆,且若A可逆,则
A1 ~ B1。
二、相似矩阵的性质
（1）自反性 A~A （2）对称性 若A~B，则B~A （3）传递性 若A~B，B~C，则A~C相似
(4) A ~ B, 则Ak ~ Bk （其中 k 是正整数） （5）若A~B ， (A) 是关于A 的多项式
则 ( A) ~ (B)
若A PB P1, 则 k个
Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
由性质（7）有A B ,
从而A与B同时为0或不为0，
所以A与B或都可逆或都不可逆。
若A可逆，则有P1AP B (P1AP)1 B1
P1 A1(P1)1 P1 A1P B1
A1 ~ B1
定理6 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证 设 A与B 相似，由条件知存在可逆阵P, 使P 1 AP B，
第三节 相似矩阵
相似矩阵的定义 相似矩阵的性质 利用相似变换将方阵对角化
一、相似矩阵的概念
定义 设A,B 都是 n 阶方阵,若有可逆矩阵P, 使 P1AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵A 与B 相似 记作 A ~ B
对 A 进行运算 P1AP 称为对A进行相似变换 其中可逆矩阵 P 称为把A变成B的相似变换矩阵。
反之设1, 2 ,, n是A的特征值, 对应的特征向量为
p1 , p2 设P
,, pn . ( p1, p2 ,,
pn
)，
1
若p1P,可pn2逆,,, pn
线性无关
A与相似
AP ( Ap1 , Ap2 ,, Apn ) (1 p1, 2 p2 ,, n pn )
( p1, p2 ,, pn ) 1
15,验证 P 1 AP,并求Ak
A PP 1 Ak ( PP 1 )k Pk P 1
P 1
1 6
5 1
11
k
4k 0
0 (2)
k
Ak
1 6
54 5 4k
k (2)k 5 (2)
k
4k (2)k 4k 5 (2)k
问题：(1) A 满足什么条件时能与对角阵相似？
(2) A与对角阵相似时, 相似变换阵P及怎样求？
1
为对角矩阵，
即
0
0
2
0 0 ,
0 0 n
则 Ak Pk P 1, ( A) P ()P 1 ，而对于矩阵 有
k 1
k
k 2
(1 )
,则
()
0
k n
0
0
(2 )
0
0 0
(n )
利用上述结论可以很方便计算矩阵A 的多项式 ( A)
(6)若n阶矩阵A~B,则有秩A=秩B;
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a0 P Bn P1 a1 P Bn1 P1 an1 PB P1 an PE P1
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
特别地，若有可逆矩阵P,使 P1 AP
即如何将方阵 A 对角化
三、 矩阵的相似对角化的条件
A与对角阵相似 ?存在一个n阶可逆阵 P, 使 P 1 AP
设
P
( p1, p2 ,, pn
P 1AP AP P Api i
)，
1
n
pi,?(Oi
( p1 ,
1,2,, n)
p2
( Ap1 , Ap2 ,, Apn )
,, pn ) 1