重积分例题 (2)

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重积分典型例题

重积分典型例题
重积分典型例题
例 1 在下列积分中改变累次积分的次序： (1) 解 (2) 解
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy ， ( a < b ) ；
a
x
ò
b a
dx ò f ( x , y ) dy = ò dy ò f ( x , y ) dx ．
a a y 2 ax 2 ax - x 2 2 ax 2 ax - x 2
òò ( x - a )( y - b ) dxdy £ òò | x - a | | y - b | dxd y £ òò
D D
| x - a || y - b | dxdy
[ a ,b ]´[ c , d }
= ò | x - a | dx × ò | y - b | dy
a c b =æ - x ) dx + ò ( x - a ) dx ö ç òa (a ÷× a è ø
2 2
f ( x , y ) dx + ò dy ò x , y ) dy ． y f (
2
2 a
2 a
a
2 a
例 2 计算下列重积分：
(1)
òò xy dxdy ，D 为抛物线 y
D p 2 òò xy dxdy = ò 2 xdx ò 0 D p 4 p 2 p 2 7 p 5 2 2 = × x 0 = ． 3 7 21 2 px - 2 px
解
令 x = ar cos q ， y = br sin q ，则 0 £ q £ 2 p ， 0 £ r £ 1 ，
¶ ( x, y ) = abr ．有 ¶ ( r , q )

§-9-重积分习题与答案(2021年整理精品文档)

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第九章重积分A1、填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）()=⎰⎰-dx y x f dy y y102,______________________________________________（2)()=⎰⎰dx y x f dy yy222,______________________________________________ （3）()=⎰⎰dx y x f dy y10,_______________________________________________(4）()=⎰⎰---dx y x f dy y y 11122,___________________________________________（5）()=⎰⎰dy y x f dx e x1ln 0,______________________________________________（6）()()=⎰⎰---dx y x f dy y y44214,________________________________________2)积分dy e dx xy ⎰⎰-2022的值等于__________________________________3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D⎰⎰+=的值则。

概率论二重积分的计算(二)

1 o DD1 D12 x
2 ( y x2 )dxdy 2 ( x2 y)dxdy
D1
D2
201dx
1
x2
(
y
x2 )dy
201dx
x
0
2
(x2
y)dy.
例3.17——3.18不作要求
小结
一、二重积分在直角坐标系中计算
D
f (x, y)dxdy
b
dx
a
y2 ( x) y1 ( x )
2
dy
2 y y2
x2 y2 dx
D
0
0
二重积分在极坐标下的计算
例6 计算 (x2 y2 )dxdy，其中D由圆x2 y2 2y,
x2 y2 4y, x D 3y 0, y 3x 0所围成的平面区域.
解
x2 y2 2 y r 2sinθ
x2 y2 4 y r 4sin
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
选择坐标系
选择积分次序
化为累次积分
计算累次积分
二重积分在极坐标下的计算
二. 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
(1)若D关于y轴对称,则
2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y) f ( x, y)
x
3y 0
θ1
π
6π
y 3x 0 θ2 3
故
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
4sin r 2 rdr
6
2sin
15( 2
3).
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I e x2 dx.(泊松积分,例3.19）

高等数学重积分 (9.1.2)--重积分的概念与性质

习题 9.11. 利用二重积分的几何意义，求下列积分的值.(1) d Dh σ⎰⎰，其中h 为常数，D 为圆形闭区域221x y +≤;(2) Dσ，其中D 为圆形闭区域221x y +≤;(3) Dσ，其中[0,4][0,3]D =⨯.2. 用重积分表示下列物理量.(1) 位于xOy 平面上，占有闭区域D ，电荷连续分布(面密度为(,)x y μ)的带电薄板上的全部电荷Q ;(2) 铅直浸没于水中，占有xOy 平面上闭区域D (其中x 轴铅直向下, y 轴位于水平面上)的薄板一侧所受到的水压力F ;(3) 半径为R 的非均匀球体(其上任一点的密度与球心到该点的距离成正比)的质量m .3. 利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小.(1) 21()d D I x y σ=+⎰⎰与32()d DI x y σ=+⎰⎰.(a) D 是由x 轴，y 轴及直线1x y +=所围成的闭区域； (b) D 是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成的闭区域.(2) 1e d xy D I σ=⎰⎰与22e d xy D I σ=⎰⎰.(a) D 是矩形区域01x ≤≤，01y ≤≤;(b) D 是矩形区域10x -≤≤，01y ≤≤.(3) 21sin ()d D I x y σ=+⎰⎰与22()d DI x y σ=+⎰⎰，其中D 是任一平面有界闭区域.4. 利用二重积分性质, 估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰，其中(){},|01,01D x y x y =≤≤≤≤；(2) 22sin()d DI x y σ=+⎰⎰, 其中()22π3π,|44D x y x y ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭; (3) d ln(4)DI x y σ=++⎰⎰，其中(){},|04,08D x y x y =≤≤≤≤; (4) 22e d xy D I σ+=⎰⎰，其中()221,|4D x y x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭. 5. 设函数(,)f x y 在区域D 内连续, 又{}22200(,)()()r D x y x x y y r =-+-≤, 其中00(,)x y 是D 的一个内点. 试求极限201lim (,)d πrr D f x y r σ+→⎰⎰. 6. 设函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续且非负. 证明(1) 若(,)f x y 不恒为零，则(,)d 0Df x y σ>⎰⎰;(2) 若(,)d 0D f x y σ=⎰⎰，则(,)0f x y ≡.。

重积分习题word版

41、设Ω是由x2+y2+z2≤2z+3所确定的立体，试将化成球面坐标下的三次积分式
42、设Ω是由x2+y2+z2≤2z+3所确定的有界闭区域，试将化成柱面坐标下的三次积分式
43、试将化成柱面坐标下的三次积分式。
44、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤2,z≥0及x2+y2≤1所确定的闭区域，试将
35、设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I= 分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。
36、设Ω是由x2+y2+z2≤a2, (a>0)及z≥0所确定的有界闭区域。试将
f(x,y,z)dv分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
37、试将化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
31、Ω是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2－y2及z=0所围的有界闭区域，试将I= f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式。
32、试将化成柱面坐标下的三次积分式。
33、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤4以及所确定的闭区域，试将I= 化成柱面坐标下的三次积分式。
34、设Ω是由 (0<a<R)及z≥0所确定的闭区域，试将I= 化成球面坐标下的三次积分式。
7、设Ω是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=－y所围的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
8、设Ω是由所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
9、设Ω是由x+y≥a,x2+y2≤a2及0≤z≤a－y(a>0)所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。

高等数学(2)第11章重积分典型例题解析

高等数学（2）第11章重积分典型例题解析例1 填空（1）根据二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222= 。

（其中{}222),(Ry x y x D ≤+=）（2）累次积分⎰⎰x xy y x f x d ),(d 10交换积分次序后，得到的积分为。

（3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D(,)d d ⎰⎰在直角坐标系下化为累次积分的结果是。

解（1）由二重积分的几何意义，⎰⎰--Dy x y x d d R222表示球心在圆点，半径为R 的上半球体的体积，故为332R π。

应该填写：332R π。

（2）由已知的累次积分，得积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x x 10，若变换积分次序，即先积x 后积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是y 的函数，因此积分区域应表为⎩⎨⎧≤≤≤≤102y y x y ，于是交换后的积分为⎰⎰yyx y x f y 2d ),(d 10。

应该填写：⎰⎰y yx y x f y 2d ),(d 10。

（3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式组⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得⎩⎨⎧≤≤-≤≤-0211y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填⎰⎰--0211d ),(d x y x f y ，反之应填d d x f x y y (,)--⎰⎰2011。

应该填写：d d x f x y y (,)--⎰⎰2011或⎰⎰--0211d ),(d x y x f y例2 单项选择（1）二重积分xx y x y 2d d 1422≤+≤⎰⎰可表达为累次积分（）。

A. d d θθπr r 321202cos ⎰⎰； B.r r 321202d d cos θθπ⎰⎰；C.d d 2x x y xx ----⎰⎰442222； D.d d 2y x x yy ----⎰⎰111122（2）由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y221+=所围的体积是（）。

(完整版)重积分习题及答案

第九章重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。

(3) 在极坐标系中，面积元素为。

2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所围成。

(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。

3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。

4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。

5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。

6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。

7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。

8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。

9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。

10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。

11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。

重积分练习题答案

重积分部份练习题1．计算()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。

2.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。

(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。

3．设()y x f ,持续，且()()⎰⎰+=D dudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由xy 1=，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。

4．设()()⎰⎰⎰≤++++=2222222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中()u f 为持续函数，()0f '存在，且()00=f ，()10='f ，求()50lim t t F t →。

5.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部份的曲面面积。

6.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部份面积最大?7.设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心。

8.计算以下二重积分:(1)24212sinsin 22xx x I dx dy dx dy y y ππ=+⎰⎰;(2) ⎰⎰--=Dd y x I σ221, 其中:1,1D x y ≤≤.（3）计算2||,:11,01Dy x dxdy D x y --≤≤≤≤⎰⎰.（4）⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=D d y f x x f y y x I σ221,其中(){}222,D x y x y R =+≤。

9. 求极限4/2/)(2/00221lim x x t du u t x x e e dt ---→-⎰⎰+ .10. 设Ω是曲面与所围成的立体，求Ω的体积V 与表面积S 。

重积分知识点总结例题

重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。

多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。

在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。

而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。

在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。

这就引出了重积分的概念。

重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。

重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。

作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。

如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。

2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。

下面我们将介绍一些重要的性质。

（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。

(整理)重积分典型例题.

重积分典型例题一、二重积分的概念、性质n1、二重积分的概念： f (x, y) d lim0 f ( i, i) iD 0i 1其中：D：平面有界闭区域，：D 中最大的小区域的直径(直径：小区域上任意两点间距离的最大值者)，i ： D 中第i 个小区域的面积2、几何意义：当f(x,y) 0时， f (x, y) d 表示以曲面z f(x,y)为曲顶，DD 为底的曲顶柱体的体积。

所以1 d 表示区域 D 的面积。

D3、性质(与定积分类似) ：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理 (03 年)1、在直角坐标系下计算二重积分(1) 若 D 为X 型积分区域： a x b, y1(x) y y2( x) ，则b y2( x )f(x, y)dxdya dxy(x)f (x, y)dyD a y1( x)2)若 D 为Y 型积分区域： c y d, x1( y) x x2( y) ，则d x2( y)D f(x,y)dxdycdyx1(y)f(x,y)dx3)D 必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之和，如图，则f ( x , y) d x d y ( f , x ) y d x d y ( ,f )x y d x d y( ,f) x y d xD D1 D2 D3、二重积分的计算（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。

（5）对称性的应用f (x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy, f(x,y)关于y 为偶函数区域D关于 x 轴对称 D D10， f (x, y)关于y 为奇函数f ( x, y)dxdy 2 f (x, y)dxdy, f (x, y)关于x 为偶函数区域 D 关于 y 轴对称 D D10， f (x, y)关于x 为奇函数6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算积分例 1．设 f （x, y ）为连续函数，交换二次积分1 0 0 0dy f （x,y ）dx dy f （x,y ）dx 的积分次序。

重积分习题答案 (2)

第八章二重积分习题答案练习题1.设D：0y ≤0x a ≤≤，由二重积分的几何意义计算d Dx y解：d Dx y=200d πθ⎰⎰=222001()2r d a r πθ=--⎰⎰2. 设二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则2dxdy =⎰⎰ 解：2dxdy =⎰⎰22126d rdr πθπ=⎰⎰练习题1.2d Dx σ⎰⎰其中D 是两个圆,y x 122=+与,y x 422=+围成的环型区域.解：2d Dx σ⎰⎰=22222301001515cos [cos2]84d r dr d d πππθθθθθπ=+=⎰⎰⎰⎰ 2计算二重积分σd yx D)341(--⎰⎰，其中D 是由直线2,,2=-=x x ；1,1=-=y y 围成的矩形。

解：σd y x D)341(--⎰⎰= 221211212(1)[(1)]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰ =222(1)84xdx --=⎰3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.解：22242202320(42)28(2)|33x x xDA dxdy dx dy x x x x -===-=-=⎰⎰⎰⎰⎰4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积解： 2222220(4)(4)48DV x y d d r rdr d ππσθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰习题八一．判断题1.d Dσ⎰⎰等于平面区域D 的面积.（√）2.二重积分 100f(x,y)d ydy x ⎰⎰交换积分次序后为11f(x,y)d xdx x ⎰⎰ （×）二．填空题1.二重积分的积分区域为2214x y ≤+≤，则4dxdy =⎰⎰12π12π.2.二重积分d d Dxy x y ⎰⎰的值为112，其中2:0D y x ≤≤，01x ≤≤.1123.二重积分10(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为11(,)xdx f x y dy⎰⎰. 11(,)xdx f x y dy ⎰⎰4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =0.05.交换积分次序1d (,)y f x y dx ⎰=211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy+⎰⎰.211(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。

多重积分例题

1. 计算二重积分∫∫Dxy，其中D是由x^2+y^2≤1和x+y≥0所围成的闭区域。

解：首先作出不等式组对应的平面区域，然后利用极坐标变换进行求解。

将x²+y²=1代入x+y=0得，x=±√3/2，y=±1/2。

因此，D由圆心在原点，半径为1的上半圆和直线x=-√3/2，y=1/2以及直线x=√3/2，y=-1/2所围成。

将(x,y)代入极坐标系中，得到D的极坐标方程为：θ∈[0,π/4]∪[π/2,π]，r²=1-sin²θ。

因此，二重积分的计算结果为：∫∫Dxy = ∫[0,π/4]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/4,π/2]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/2,π]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr= (1/2)(1-cos²θ)|_0^{π/4} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/4}^{\pi/2} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/2}^{\pi}= π/8 - 3/4。

2. 计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz，其中Ω是由x²+y²+z²≤1和x+y+z≥0所围成的闭区域。

解：首先作出不等式组对应的空间区域，然后利用柱面坐标变换进行求解。

将x²+y²+z²=1代入x+y+z=0得，x=y=z=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。

因此，Ω由球心在原点，半径为1的球体和点(-dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3})所围成。

将(x,y,z)代入柱面坐标系中，得到Ω的柱面坐标方程为：r=1，θ∈[0,2π]，φ∈[0,π]。

因此，三重积分的计算结果为：∫∫∫Ωzdxdydz = ∫[0,2π]dφ∫[0,π]rdθ∫[0,1]r²sinφdz= (1/2)(r³sinφ)|_0^{π} |_0^{π} |_0^{1}= π/6。

重积分部分练习题

题目部分， (卷面共有 100 题 ,分 ,各大题标有题量和总分 ) 一、选择 (16 小题 ,共分 )(2 分 )[1]2(3 分 )[2] 二重积分xydxdy (此中 D ： 0≤ y ≤ x ,0≤ x ≤ 1)的值为D1111 （ A ）（ B ）（ C ）（ D ） 61224答 ()(3 分 )[3] 若地区D 为 0≤ y ≤ x 2,| x| ≤ 2,则xy 2 dxdy=D（A ）0；（ B ）32（ C ）64（ D ） 25633(3 分 )[4] 设D 1 是由ox 轴， oy轴及直线答 (x+y=1 所圈成的有界闭域， )f 是地区D ：| x|+| y| ≤ 1 上的连续函数，则二重积分f ( x 2, y 2 ) dxdy __________f ( x 2 , y 2 )dxdyDD 1（A ）2（ B ）4（ C ）8（D ）12答 ()(3 分 )[5] 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分0 1 x 21dxf ( x, y) dyx 11 y 12 y 21(A)dy1 f ( x, y)dxdyf (x, y)dx0 11(B)1 y 1dy1 f ( x, y)dx1 y 12y 2 1(C)dy 1 f ( x, y)dxdy f (x, y)dx1 1(D)2y 21dy1 f (x, y)dx答 ()x y dxdy(3 分 )[6] 设函数 f(x,y)在地区 D ：y2≤－ x,y ≥ x 2 上连续，则二重积分f可( , )D化累次积分为x 2f (x, y)dy0 x 2(A)dxx (B)dx f ( x, y)dy11 x1 y 21 y2 (C)dyf ( x, y)dx(D)dyf ( x, y)dxyy答( )13 y 2f ( x, y)dx 可互换积分序次为(3 分 )[7] 设 f(x,y)为连续函数，则二次积分dy1 2y21dx2 x3 3 x 2(A)f ( x, y)dydxf (x, y)dy0 0112x 21 3 dx3 x 2(B) 2dxf (x, y)dy 1 dxf (x, y)dy 2 f ( x, y)dy21 3 x 2(C)dx2 x (D) 2d3 2cos 0sin 2()f ( x, y)dyf (r cos , r sin )rdr答(3 分 )[8] 设 f(x,y)为连续函数，则积分1 x 22 2 xdxf (x,y)dydxf ( x, y)dy1可互换积分序次为1 y2 2 y(A)dyf (x,y)dx dy0 f ( x, y)dx0 0 1(B)1 x 22 2 xdy f ( x,y)dxdy0 f (x, y)dx0 0 11 2 y(C)dyf ( x,y)dxy12 x(D)dyx 2 f ( x,y)dx答 ()(4 分 )[9] 若地区 D(x 1) 2 +y 2≤ 1,则二重积分fx y dxdy 化成累次积分为为－( , )D2cos2cos(A)dF (r , )dr(C) 2d2cos F (r , )dr2此中 F(r,θ )=f(r cos θ,rsin θ)r.(B)dF (r , )dr0 (D) 2 2d2cos F (r , )dr答 ( )(3 分 )[10] 若地区 D 为 x 2+y 2≤ 2x ，则二重积分(x y) x 2y 2 dxdy 化成累次积分为D2d2cossin ) 2r cos rdr(A)(cos2(cossin )d2cos 3dr(B)r(C)22(cossin )d 2cosr 3dr(D) 22(cossin )d2cos r 3dr2答()(4 分)[11]设 I 1[ln( x y)]7 dxdyI, 2(xy) 7 dxdy,I 3sin 7(x y)dxdy此中D是DDD由 x=0,y=0, xy1I 1 ， I 2， I 3 的大小次序是,x+y=1 所围成的地区，则2(A)I 1＜ I 2＜ I 3;(B)I 3＜ I 2＜ I 1;(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .132312答( )(5 分 )[12] 设 Idxdy，则 I 知足11cos 2x sin 2 yx y2I 2(B)2I3(A)3 1(C) D(D)1 I 0I2答 ( )(4 分 )[13] 设 xy1及 x+y=1 所围成的地区，则 I 1， I 2，此中 D 是由直线 x=0,y=0,2I 3 的大小次序为(A)I ＜I ＜I ;(B)I ＜I ＜I;32 112 3(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .1 32312答 ( )(3 分 )[14] 设有界闭域 D与 D 对于 oy 轴对称，且 D ∩D =,f(x,y)是定义在 D ∪D 上的连续函121212数，则二重积分f (x 2, y)dxdyD(A) 2f ( x 2 , y)dxdy(B) 4f ( x 2 , y)dxdyD 1D 2(C)4f (x 2 , y)dxdy(D) 1f ( x 2 , y)dxdyD 12D 2答 ()(3 分 )[15] 若地区 D 为| x| ≤1,| y| ≤ 1,则xe cos(xy) sin( xy)dxdyD (A) e;－ 1(B) e ; (C) 0;(D)π.答 ( )(4 分 )[16] D： x2+y2≤ a2(a＞ 0),当 a=___________，a2x2y2 dxdy .D33(A)1(B)23331(C)4(D)2答 ()二、填空(6小 ,共分 )(4 分)[1] 函数 f(x,y)在有界地区 D 上有界，把 D 随意分红 n 个小地区σi(i=1,2,⋯,n),在每一个小地区σ i随意取一点(ξi,ηi),假如极限nlim f ( i , i ) i(此中入是σ i(i=1,2,⋯,n)的最大直径)存在，称此极限0 i1______________的二重分。

10第十章重积分答案.

第十章重积分第一节二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。

解：由二重积分的几何意义知，解：由二重积分的几何意义知，2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。

解：由知即于是所以于是解：因在D内x+y>e, 故 ln(x+y>1,于是解：在D中，且而不在直线x+y=1上的D内任何点(x,y, 都有故于是3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。

解：从而即解：则f(x,y在D上的最大值最小值区域D的面积从而4．设f(x,y为一连续函数，试证：证：由于f(x,y连续，由二重积分中值定理知，存在点，使得所以第二节二重积分的计算1．计算下列二重积分(1解：。

(2解：。

解：。

(4解：。

(5解：。

2．画出积分区域，并计算下列二重积分。

(1解：。

解：。

(3解：。

3．将二重积分化为二次积分（两种次序都要），其中积分区域D是(1解：。

(2解：。

4．画出积分区域，改变下列二次积分的积分次序。

(1解：(2解：(3解：。

5．设平面板由曲线及直线所围成，质量面密度为，求板的质量。

解：所求板的质量。

6．求由坐标平面、平面、及抛物面所围成的立体体积。

解：立体在xoy面投影区域为，，所求立体体积为。

7．计算二重积分。

其中}。

解：设则8．把二重积分化为极坐标下的二次积分，其中积分区域是：(1 由所围成；(2 圆与圆之间的区域。

解：(1(29．将下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分。

(1 ；解：(1 两个二次积分所对应的重积分的积分区域分别是和两者的并集是环形区域在第一象限的部分，于是(2(3 。

10．利用极坐标计算下列各题。

(1 ，其中为的圆域；解：(2 ，其中；解：(3 ，其中；解：(4 ，其中。

解：11．选用适当的坐标计算下列积分。

(1 ，其中是由直线，，，所围成的闭区域；解：选用直角坐标计算二重积分(2 ，其中；解：选用极坐标计算二重积分（另外，本题亦可用对称性计算）(3 ，其中由直线，及上半圆周所围的区域。

第九章重积分单元测试题2

D D D
系是（） A I1 < I 2 < I3 3. 若 B I3 < I 2 < I1
π
a cosθ
C I1 < I3 < I 2
D I3 < I1 < I 2
∫∫
D
2
f ( x, y )dxdy = ∫ 2π dθ ∫
−
2 2 2
0
f ( r cos θ , r sin θ )rdr ，则积分区域 D 为（）
8 3
13. 设 D 是由摆线 ⎨
⎧ ⎪ x = a ( t − sin t ) 2 的一拱与 Ox 轴所围成的区域，则 ∫∫ y dxdy = （ ⎪ D ⎩ y = a (1 − cos t )
B.
）
A. 3π a 4
35 4 πa 12
C.
17 4 πa 6
D.
33 4 πa 12
2
海文钻石卡学员专用内部资料－数学部分
． 18．
∫ dy ∫
0
1
π -arcsin y
arcsin y 2 2
xdx =
2
．．．
19．积分 20．
∫
0
dx ∫ e- y dy 的值等于
x
x + y ≤1
∫∫
xy ( x 2 + y 2 )dxdy =
5
e
D I = dy
0
∫ ∫ f ( x, y)dx
9. 球面 x + y + z = a 含在 x + y = ax 内部的面积 S =（）
2
π
A 4 dθ
0
∫
2
a cosθ

2,3重积分练习题及思考题(含解答)

1 1 1 1 f ( u)du dv 1 f ( u )du 1 2 1
u
1
1 1 1
o
v
思考题计算 x[1 yf ( x 2 y 2 )]dxdy , 其中D是由
y x , y 1, x 1所围成的区域, f是连续函数.
3
D
解由于被积函数含有抽象函数, 故无法直接积出. 因此要采用
z
法二
( x
2
0
2
y )dv
2
8
2
d d 2
0 2
4
8
1024 dz 3
O
x
y
如此题改为：
这个旋转曲面与平面 2, z 8所围区域 z .
9、练习：被积函数改为e^z, 下题作为思考题！
思考题计算

2 2
e
2
z2 2
x y
b
x
思考题设函数f (u)连续,证明 1 f ( x y )dxdy f (u)du
x y 1 1
y o
1 1
证法一
x y 1
f ( x y )dxdy
f ( x y )dy dx
0 1 1 x x 1
1
x
1
dx
1
0
1
1 2
y x
y y
e dx .
y x
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
y x2

1
x
2
x
e dy
y x

1

高等数学重积分 (9.4.2)--重积分的应用

习题 9.41. 求下列平面闭区域D 的面积.(1) D 由曲线e ,e x x y y -==及1x =围成；(2) D 由曲线21,1y x y x =+=--围成；(3) D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成；(4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤；(5) 1(cos ,sin )1cos 2D r r r θθθ⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；(7) D 由椭圆22(234)(567)9x y x y +++++=围成；(8) D 是由曲线3y x =，34y x =，3x y =，34x y =所围成的位于第一象限部分;2. 利用二重积分计算下列各题中立体Ω的体积.(1) Ω为第一卦限中由圆柱面224y z +=与平面2,0,0x y x z ===所围成；(2) Ω由平面0,0,y z y x ===及6236x y z ++=围成；(3) 22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤+；(4) 222{(,,)|1,11}x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤;(5) Ω由平面0,0,0,1x y z x y ===+=及抛物面226x y z +=-围成.3. 设平面薄片所占的闭区域是由直线2,x y y x +==和x 轴所围成，它的面密度22(,)x y x y ρ=+，求该薄片的质量.4. 在一半径为R 的球体内，以某条直径为中心轴用半径为r 的圆柱形钻孔机打一个孔(r R <)，求剩余部分的体积. 若圆柱形孔的侧面高为h ，证明所求体积只与h 有关，而与r 和R 无关.5. 利用三重积分求所给立体Ω的体积.(1) Ω是由柱面2x y =和平面0z =及1x z +=所围成的立体；(2) Ω是由抛物面22z x y =+和所2218z x y =--围成的立体；(3) Ω为圆柱体cos r a θ≤内被球心在原点、半径为a 的球所割下的部分;(4) Ω是由单叶双曲面2222x y z R +-=和平面0,z z H ==围成的立体;(5) 1Ω是Oxyz 坐标系中体积为5的立体，Ω为1Ω在变换448u x y z =++，274v x y z =++，43w x y z =++下的像.6. 已知物体Ω的底面是xOy 平面上的圆域222{(,)|}x y x y R +≤，当用垂直于x 轴的平面截Ω均得到正三角形, Ω的体密度函数为(,,)1x x y z Rρ=+，试求其质量. 7. 计算下列曲面的面积.(1) 平面63212x y z ++=位于第一卦限部分的曲面;(2) 正弦曲线的一拱sin y x =(0πx ≤≤)绕x 轴旋转一周而成的曲面;(3) 球面2222x y z a ++=含在圆柱面22x y ax +=内部的曲面;(4) 曲面222z x y =+被柱面22222()x y x y +=-所截下部分的曲面;(5) 抛物面22z y x =-夹在圆柱面221x y +=和224x y +=之间部分的曲面;(6) 球面22223x y z a ++=(0z >)和抛物面222x y az +=(0a >)所围成立体的表面;(7) 圆柱面229x y +=，平面4312y z +=和4312y z -=所围成立体的表面;(8) 两个底面半径都为R , 轴相互正交的圆柱所围立体的表面.8. 求占有下列区域D , 面密度为(,)x y μ的平面薄片的质量与质心：(1) D 是以(0,0),(2,1),(0,3)为顶点的三角形闭区域, (,)x y x y μ=+；(2) D 是第一象限中由抛物线2y x =与直线1y =围成的闭区域, (,)x y xy μ=；(3) D 是由心脏线1sin r θ=+所围成的闭区域, (,)2x y μ=；(4) 22{(,)|(1)1}D x y x y =+-≤, (,)|1|x y y y μ=+-.9. 计算下列立体Ω的体积和形心：(1) 2222{(,,)|3633}x y z x y z x y Ω=+≤≤--；(2) 2222(,,)1x y x y z z a b ⎧⎫⎪⎪Ω=+≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭; (3) Ω位于锥面3πϕ=上方，球面4cos ρϕ=下方.10. 若半径为R 的半球体上任一点密度与该点到底面之距离成正比(比例系数为k ), 求其质量与质心.11. 求下列平面薄片或物体对指定轴的转动惯量.(1) 均匀薄片{(cos ,sin )|2sin 4sin }D r r r θθθθ=≤≤(面密度为1)对极轴;(2) 底长为a ，高为h 的等腰三角形均匀薄片(面密度为1)对其高;(3) 质量为M , 半径为R 的非均匀球体(其上任一点的密度与球心到该点的距离成正比)对其直径;(4) 密度为1的均匀物体2222x y z ++≤，222x y z +≥对Oz 轴.12. 设物体Ω占有的区域为222{(,,)|,||}x y z x y R z H +≤≤，其密度为常数. 已知Ω关于x 轴及z 轴的转动惯量相等. 证明:2H R =.13. 求下列密度为1的均匀物体对指定质点的引力(引力常数为k ).(1) 高为h ，半顶角为α的圆锥体对位于其顶点的单位质量质点;(2) 柱体222x y R +≤(0z h ≤≤)对位于点0(0,0,)()M a a h >处的单位质量质点;(3) 半径为R 的球体对球内的单位质量质点P .。

重积分经典例题

郑州大学重积分经典例题1．（P148,第2题）求函数()yx y x f 22sin.sin,=在闭正方形区域:D ()ππ≤≤≤≤y x 0,0上的函数值的平均值.解：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰ππ22sin.sin,ydy xdx dxdy y x f D202sin⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πxdx ；又.22sin 41222cos 1sin|02ππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰x x dx xxdx所以().4,2π=⎰⎰dxdyy x f D故()y x f ,在闭正方形区域D 上的函数值的平均值为 ()().414,122===⎰⎰ππσdxdy y x f D S D2．（P148,第3题）设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，证明不等式 ()()().22dx x fa b dx x f bab a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡证明：考虑积分 ()()[]d x d y y f x f I D⎰⎰-=2一方面 ()()()()dxdy y fdxdy y f x f dxdyx fI DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=22.2 （1）其中()()()();222dx x fa b dyx fdx dxdyx fbababaD⎰⎰⎰⎰⎰-==（2）()()()()dy y fa b dyy fdx dxdyy fbababaD⎰⎰⎰⎰⎰-==222()();2dx x f a b ba⎰-= （3）()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ba b a b a baDdy y f dx x f dxdy y f x f dx dxdy y f x f ...().2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ba dx x f （4）将（2）、（3）、（4）代入（1）得 ()()().2222⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ba badx x f dx x f a b I（5）另一方面显然0≥I ，即()()()02222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰ba badx x f dx x f a b ，故()()().22dx x fa b dx x f bab a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡3．（P149,第4题）设()x f 在闭区间[]b a ,上为正值连续函数.证明不等式()()()2..b b aa dx fx dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：()()⎰⎰=babay f dy x f dx ----（1）以及()().dy y f dx x f baba⎰⎰=-----（1）所以，()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Db a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ---------------（2）其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D同理，()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Db a b a dxdy x f y f x f dx dx x f -----------------（3），（2）+（3），得：()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DDb a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f()222.Dd x d y b a ==-⎰⎰ 即：()()()2..bba adx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法二：因为()0≥x f ，所以，20ba dx λ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即： ()()()220.bb aadx f x dx b a fx λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰------（1）（1）式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b ba adx b a fx dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，故 ()()()2..b b aa dx f x dxb a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰4．（书p149页习题8）设函数()x f 在[]b a ,上连续，证明：()()().dx x b x f dx x f dy ba baya-=⎰⎰⎰证法一：与累次积分()dx x f dy b ay a⎰⎰对应的二重积分的积分区域 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b x a b y x D交换积分次序后，重新计算()dx x f dy baya⎰⎰，则有()=⎰⎰dx x f dy baya()dy x f dx babx⎰⎰()().dx x b x f ba-=⎰.证法二：记()()dx x f y F ya⎰=，则()()dy y F dx x f dy babaya⎰⎰⎰=()[]()dy y F y y F y baba⎰'-=|.()()()dy y f y a aF b bF ba⎰--=.()()dx x f x dx x f b bab a⎰⎰--=.0.()().dx x b x f ba-=⎰5．（书p149页习题10）设()x f 为[]1,1-上的连续函数，证明： ().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by ax 证明：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰--≤≤b b a aby ax dy b y f dx a x f dxdy b y f a x f .（1）其中对于dx a x f aa⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛，令,ax u =则()()()dxx f a du u f a du u f a dx a x f aa⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--10101122；（2）同理，对于dy b y f bb⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,by v =则()()()dxx f b dv v f b dv v f b dy b y f bb⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--1010112.2；（3）故().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by a x6．（书p158页习题3）证明：dy yxdx xx⎰⎰2sin21π().242sin3242+=+⎰⎰πππdy yxdx x证明：（一）记⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:1x y x x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤2,42:2y x x D .分别画出草图.则12.D D D = （二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为-Y 型区域：⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:2y x y y D ，此时无须分块. 原式dx yxdy y y⎰⎰=22sin21π⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰y x d y x dy yy y22sin2221πππdy y x y y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21|22cos 2ππdyy y ⎰-=212cos2ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰y d y 2sin 4212ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰212122sin2sin 4|ydy y y πππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=|2122cos .214y πππ().2421432+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ππππ 7．（书p158页习题4）求⎰⎰-=112.2xydy edx x I解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D 的图形，交换积分次序.dx x dy eI yy⎰⎰-=212⎰-=13231dy y ey()⎰--=12261yed y()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--1210222|61yd eey yy[]().216116161111101|2------=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=e e e e e y8．（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分：（ⅰ）()D dxdy yxy xI D,22⎰⎰++=为由上半圆周122=+yx（0≥y ）与直线x y ±=围成的圆扇形；（ⅱ）Ddxdy y x y x I D,112222⎰⎰++--=为单位圆（122≤+y x ）；（ⅲ）D dxdy y x I D,sin22⎰⎰+=为圆环域（22224ππ≤+≤y x ）；（ⅳ）Ddxdy xy I D,arctan ⎰⎰=为单位圆（122≤+y x ）含在第一象限内的部分.解：（ⅰ）()=++=⎰⎰dxdy y xy xI D22()022++⎰⎰dxdyyxD.841422.22412πππθππ=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==⎰⎰dr r r d （ⅱ）rdrrr d dxdy y x y x I D ⎰⎰⎰⎰+-=++--=20122222211411πθrdrr r ⎰+-=122112π（令t r =2）dt tt ⎰+-=111πdt tt ⎰--=1211πdt t⎰-=1211πdttt ⎰--121π|10arcsin t π=()210211121t d t --⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰π2.ππ=|1021t-+π2.ππ=π-.12⎪⎭⎫⎝⎛-=ππ （ⅲ）⎰⎰⎰⎰=+=20222.sin 4sinπππθrdrr d dxdy y x I D⎰⎪⎭⎫⎝⎛=πππ2.sin .2.4rdr r ()⎰-=πππ2cos .2r rd .6sin 6cos cos 222222||πππππππππ-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰r rdr r r（ⅳ）rdrr r d dxdy xy I D.cos sin arctanarctan21⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .21πθθ .1621.21.21022022010||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d9．（书p158页习题6）计算下面的二重积分：（ⅰ）D dxdy x y I D,2⎰⎰-=为正方形（20,11≤≤≤≤-y x ）；（ⅱ）Ddxdy yxI D,422⎰⎰-+=为圆域（922≤+y x ）；（ⅲ）()Ddxdy y x I D,cos ⎰⎰+=为正方形（20,20ππ≤≤≤≤y x ）.解：（ⅰ）此题中积分区域本来是非常规范的矩形域⎩⎨⎧≤≤≤≤-.20,11:y x D （画图）但由于被积函数为分段函数2||y x -2222,,.,y x y x x y y x⎧-≥⎪=⎨-≤⎪⎩，故需要用抛物线2y x =将积分区域分成两个小区域.即12D D D = ，则原式=()()1222.D D y x dxdy x y dxdy -+-⎰⎰⎰⎰其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,2:21x y x D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,0:22x x y D于是，有()dy x y dx I x⎰⎰--=11222().15465115431122=+=-+⎰⎰-dy y xdx x（ⅱ）设222212:04,:49.D x y D x y ≤+≤≤+≤则12.D D D = 所以，()()12222244D D I xyd xy d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰()()22232224144.2d r rdr d rrdr πππθθ=-+-=⎰⎰⎰⎰（ⅲ）以直线2π=+y x 将区域D 分成两个子区域，12D D D =其中，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤,20,20:1ππx x y D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-,20,22:2πππx y x D()dy y x dx I x⎰⎰-+=22cos ππ()dyy x dx x⎰⎰-+-+222cos πππ其中()=+⎰⎰-dy y x dx x2020cos ππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-220|sin ππ()12s i n 120-=-=⎰ππdxx ；()dy y x dx x⎰⎰-+-222cos πππ()dxy x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-222|sin πππ().121c o s 20-=--=⎰ππdx x所以 .21212-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=πππI 10．（书p159页习题7）求(),t F '其中()()0002>=⎰⎰≤≤≤≤-t dxdy et F ty tx ytx .解：（一）()dxedy dxdy e t F ttytx ty tx ytx ⎰⎰⎰⎰-≤≤≤≤-==0022dy y tx d e t y t t y tx⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-00222dy et y tty tx⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-002|2dy e t y tyt⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-02122t d y e t y tyt⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-022122令,tu y =则,tdu dy =()()du t e u t F u 2101212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-()du e u tu ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1012212 （1）（二）)()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎰⎰--101221012121222uu e u t t du e u t t F（因为（1）式）().2t F t=11．（书p159页习题8）根据⎰⎰=DD dxdy 的面积，求下面曲线围成图形的面积：（ⅰ）由抛物线x y =2与半圆周22yx -=围成的图形；（ⅱ）曲线()xy y x =+222围成的图形. 解：（ⅰ）联立⎩⎨⎧-==.2,22y x x y 得⎩⎨⎧==.1,1y x 或⎩⎨⎧-==.1,1y x 故两曲线的交点为()1,1及()1,1-.化出区域D 的草图，并视之为-Y 型区域. 则所求面积为[]⎰⎰⎰⎰⎰-----===1122112222yydx dy dxdy A y yD32222a r c s i n .2223222|10212-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=--=⎰y y y d y y .312+=π （ⅱ）解法一：由()xy y x =+222，知0xy ≥，即图形分布在第一及第三象限.化为极坐标方程表示为()θθθsin .cos 2=r（1）故 ()θθθs i n .c o s =r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈2,ππθ或.2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πθ （2）所以，所求面积为()⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯==22021cos .sin sin cos 2122ππθθθθθθd d A A().21sin21sin .sin |2022===⎰ππθθθd解法二：记1D 为D 在第一象限内的那部分区域，则⎰⎰⎰⎰===20sin cos 01221πθθθrdrd dxdy A A D.21c o s .s i n 22202s i nc o s 02|⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππθθθθθθd d r12．（书p159页习题9）求下面立体图形的体积（ⅰ）球面()02222>=++a az z y x 的上半部分与圆锥面222y x z +=围成的图形；（ⅱ）圆柱面222a z y =+与222a z x =+围成的立体的图形. （ⅰ）解法一：画出积分区域Ω的草图. 联立⎩⎨⎧+==++.,2222222y x z az z y x ，消去z ，即得Ω在xoy 面上的投影区域为.:222a yx D ≤+所以，所求立体的体积为 ()[]d x d y y x yx a a V D⎰⎰+---+=22222()[]⎰⎰--+====πθ2022ar d r r ra a d 极⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰⎰aaar d rr a dr r ardr 02222π().32.21.23.22.23232233|a ra aaaππππ=---=解法二：画出积分区域Ω的草图，显然见Ω的体积为球体az z y x 2222≤++的体积的上半部分体积加上锥体()a z y x z ≤≤+≥0222的体积故 ..3134.2132321a a a a V V V πππ=+=+= （ⅱ）解法一：()()(),22222z a za D S z A z -=-==所以，()().31688322a dz z a dzz A V a a=-==⎰⎰解法二：()()().316338888333000222221111a a a dx y a dy dy x a dx V V V V a xay=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+==⎰⎰⎰⎰解法三：（切片法）[].3168883220a dz z a D dxdy dzdv V aaz=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω13．（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数()t s ,β与伽马函数()t Γ之间的关系为()()()()t s t s t s +ΓΓΓ=,β ()0,0>>t s其中()(),1,111dx x xt s t s --⎰-=β()dx ext xt -+∞-⎰=Γ01提示：（ⅰ）在()t Γ中用2x 替换x ，得()dx ext xt .20122-+∞-⎰=Γ.（ⅱ）()()()dxdy y x f t s Da ⎰⎰+∞→=ΓΓ,lim4，其中()a y a x D ≤≤≤≤0,0为正方形，函数()().,221212yx s t eyxy x f +---= （ⅲ）如图所示，()a K 表示半径为a 的圆)(222a y x ≤+含在第一象限的部分，()aK2表示半径为a 2的圆)2(222a yx ≤+含在第一象限的部分.由于函数()y x f ,的非负性，()()≤⎰⎰dxdyy x f a K ,()≤⎰⎰dxdyy x f D,()().,2d x d y y x f aK⎰⎰（ⅳ）计算上述不等式两端的积分，并让.+∞→a证明：（ⅰ）令2u x =，则 udu dx 2=，故()()udu eu t ut 22012-+∞-⎰=Γdueuut .20122-+∞-⎰=换记为 ()dx ext xt .20122-+∞-⎰=Γ. （1）（ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓ⎰--+∞→dx ext s axt a 0122lim2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰--+∞→dy eyays a 0122lim2.()d x d yy x f Da ⎰⎰+∞→=,lim 4. （2）其中(){}a y a x y x D ≤≤≤≤=0,0|,为正方形区域，()().,221212yx s t eyxy x f +---= （ⅲ）显然，由于()0,≥y x f ，故有 ()()≤⎰⎰dxdyy x f a K ,()≤⎰⎰dxdyy x f D,()().,2d x d y y x f aK⎰⎰ （3）其中()(){}222|,a y x y x a K ≤+= ；()(){}2222|,2a y x y x a K ≤+=分别是半径为a 及的a 2圆含在第一象限的部分. （3）式左端积分()dxdyeyxyx a K s t 221212----⎰⎰=（改为极坐标）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-----⎰⎰rdr e r r d rs a t s t .sin cos 212012121220θθθπ（4）其中()()θθθπd s t 121220sin cos --⎰()()()θθθθθπd s t sin .cos 2sincos 21121202--=--⎰（令u =θ2cos ，则du d =-θθθsin cos 2）()du u us t 111121----=⎰()().,21121111t s duu us t β=-=--⎰；（5）其中rdrerr rs t a.212120---⎰（令u r =2，则du rdr =）du eu us a--+⎰=120221dxex xt s a--+⎰=1221；（6）故由（5）、（6）两式，得（3）式左端积分().,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t s β⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰dx ex xs a120221()dxe x t s xa t s --+⎰=201,41β. （7）同理得（3）式右端积分()dxext s xat s --+⎰=2201,41β. （8）故（3）化为()dxext s xat s --+⎰21,41β ()dxdyy x f D⎰⎰≤,()dxext s xat s --+⎰≤2201,41β （9）（9）式两边令,+∞→a 有 ()()()()≤ΓΓ≤+Γt s t s t s .41.,41β()()t s t s +Γ.,41β故()()()()t s t s t s ΓΓ=+Γ.41..,41β （10）（10）化简，即得： ()()()().,t s t s t s +ΓΓΓ=β14．（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分：（ⅰ）()dxdy y x f I y x ⎰⎰≤++=1；（ⅱ）()D dxdy xy f I D,⎰⎰=为双曲线1=xy和2=xy （0,0>>y x ）与直线x y =和xy 4=围成的区域；（ⅲ）dxdy x y f I xy x ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛=22；（ⅳ）()dxdyc by ax f I y x ⎰⎰≤+++=122（022≠+b a ）.解：（ⅰ）画出积分区域D （如图，为一个正方形区域）. 作变量代换：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧-=+=.2,2.,v u y v u x y x v y x u由二重积分的换元法 ()()dudvJu f dxdyy x f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+=+=1. （1）其中()()2121212121,,-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=vy uy v xu x v u y x J ；（2）⎩⎨⎧≤≤-≤≤-'.11,11:u v D （3）故()()dv u f dududvu f I D ⎰⎰⎰⎰--'==11112121()()⎰⎰--==1111.221du u f du u f（ⅱ）画出积分区域D （如图）.作变量代换：⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==..,.,v u y v ux x y v xy u由二重积分的换元法 ()()dudvJu f dxdyxy f I D D⎰⎰⎰⎰'==. （1）其中()()v vu uv vv u uv v y uy v xuxv u y x J 1.2121212121,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=（2）⎩⎨⎧≤≤≤≤'.21,41:u v D （3）故()()dvvdu u f dudv v u f I D ⎰⎰⎰⎰=='21411.211.21()⎰=21..2ln du u f （ⅲ）画出积分区域D （如图）.作变量代换：⎩⎨⎧==.s i n ,c o sθθr y r x由二重积分的换元法()θθd r d J f d x d y x y f I D D⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan . （1）其中()()rr r y ry xr x r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,, （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤'.22,cos 0:πθπθr D （3）故()θθr d r df d x d y x y f I D D⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan ()r d r f d ⎰⎰-=22c o st a n ππθθθ().cos .tan 21222⎰-=ππθθθd f（ⅳ）作正交变量代换：..,22222222v u y x b a a vb u y ba b v a u x +=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=由二重积分的换元法 ()()dudvJ c ba uf dxdy c by axf I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+++=++=22122. （1）其中()().1,,22222222=+-+++=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=ba aba b ba b b a a vy uy v x u xv u y x J （2）.1:22≤+'vuD或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--'.11,11:22u u v uD （3）故()d udvc ba uf I D ⎰⎰'++=22()d vc ba u f du uu⎰⎰----++=11112222().1211222⎰-++-=du c ba uf u15．（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积：（ⅰ）()222a x y x =+-；（ⅱ）ky hx by ax +=+2222（0,0,0,0>>>>k h b a ）；（ⅲ）0,0,144===+y x by ax .)0,0(>>b a ；（ⅳ）()()122222111=+++++c y b x a c y b x a （01221≠-b a b a ）.解：（ⅰ）作变量代换：⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=.,.,u v y v x x v y x u则原方程化为222a v u =+. （1）于是，曲线所围成的面积为 d x d y S D⎰⎰=1dudvJD ⎰⎰'=1其中()().11110,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=vy uy v x u xv u y x J （2）222a v u ≤+ （3）所以.12a dudvS D π==⎰⎰'（ⅱ）令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则原方程化为 .s i n c o s θθkb ha r +=（1）由于0≥r ，故有0s i n c o s ≥+θθkb ha . （2）为使（2）式有解，首先要求θ不能落在第三象限（否则，.0sin cos ≤+θθkb ha）因此确定θ不能超出⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππθ,2的范围. 下面进一步讨论θ的取值范围.().a 若.2,20cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒≥ππθθ，则由（2）式，得： bh ak-≥θtan ，（3）由（3）式解得：2a r c t a n πθ≤≤-bh ak ；（4）().b 若.,20cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒≤ππθθ，则由（2）式，得： bhak -≤θtan ，（5）由（3）式解得：.a r c t a n 2bh ak -≤≤πθπ（6）综合（4）、（6）两式，知θ的取值范围为 .a r c t a n a r c t a n bhakbhak-≤≤-πθ于是，曲线所围成的面积为 d x d y S D⎰⎰=1θd r d JD ⎰⎰'=1其中()()abrbr b ra a y ry xr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,, （7）⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-≤≤'.arctan arctan ,cos 0:bh ak bh ak r D πθθ （8）故 θd r d abr S D ⎰⎰'=drr d ab bhak bhak kb ha⎰⎰--+=arctanarctansin cos 0πθθθ⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+=bhak bhak d k b h a ab arctanarctan2sin cos 2πθθθ⎰--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bhakbhak d k b h a kb ha kb ha ab arctan arctan 222222222sin cos 1.2πθθθ⎰--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bhakbhak d kb ha kbkb ha h a kb ha ab arctan arctan 2222222222222sin cos .2πθθθ （9）令 .tan ,.cos sin 02222022220bhak kb ha kb k b h a ha =⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααα（10）则()⎰--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bhakbhak d k b ha ab S arctan arctan 022222sin .2πθαθ()⎰--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bh akbhakd k b ha ab arctan arctan 0222222cos 1.2πθαθ⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bh akbhak d k b h a ab arctan arctan 2222.4πθ()⎰--+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-bhakbhak d k b h a ab arctan arctan 0222222cos .4πθαθπ.42222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k b h a ab ()|arctan arctan0222222sin .21.4bh akbhak k b ha ab --+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-παθπ.42222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k b h a ab 0-.42222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=k b ha ab π （（ⅲ））令⎩⎨⎧==.sin ,cos 88θθbr y ar x 则原方程化为.1=r （1）于是，曲线所围成的面积为 d x d y S D⎰⎰=1θd r d JD ⎰⎰'=1其中()().sin.cos 8cos .sin8sin sin .cos 8cos ,,777878θθθθθθθθθθθabr br b ra a y ry x r xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=（2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D （3）故 θθθd r d a b r S D 77s i n.c o s 8⎰⎰'=dr r d ab ⎰⎰=20177sin .cos 8πθθθ⎰=2077sin .cos 4πθθθd ab （令θsin =u ）()⎰-=2032714πdu u u ab()⎰-+-=20131197334πdu u u u u ab.7014141103814abab =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= （ⅳ）()()122222111=+++++c y b x a c y b x a （01221≠-b a b a ）.令⎩⎨⎧++=++=.,222111c y b x a v c y b x a u即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-+--=.,12212121211221122112b a b a a c c a u a v a v b a b a b c b c v b u b x则原方程化为.122=+v u （1）于是，曲线所围成的面积为 d x d y S D⎰⎰=1dudvJD ⎰⎰'=1其中()().1,,122112211122121221112212b a b a b a b a a b a b a a b a b a b b a b a b vy uy v x u xv u y x J -=------=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=（2）.1:22≤+'v u D （3）故 dudvb a b a S D 122111-=⎰⎰'..11221πb a b a -=（令θsin =u ）16．（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积：（ⅰ）1222222=++c z b y a x （椭球面）；（ⅱ）1222222-=-+c z b y a x （双叶双曲面），12222=+by ax （椭圆柱面）；（ⅲ）12222=++c zby ax ，.0,13232==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 解：（ⅰ）根据对称性及二重积分的几何意义，知 ⎰⎰--==122221144D dxdyby ax c V V （1）其中 .0,0,1:22221>>≤+y x by ax D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为2222211rc by ax c z -=--= （2）积分区域1D 化为 .20.1:21⎪⎭⎫⎝⎛≤≤≤'πθr D（3）于是⎰⎰'-==121144D drd J rc V V θ其中()()abrbr b ra a y ry xr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,, （4）故⎰⎰'-==D drd J r c V V θ21144⎰⎰'-=D rdrd r abcθ214⎰⎰-=201214πθrdr r d abc().341322|10232abc r ab ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅱ）根据对称性及二重积分的几何意义，知 ⎰⎰++==Ddxdyby ax c V V 2222122上（1）其中 .1:2222≤+by ax D为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为2222211rc by ax c z +=++= （2）积分区域D 化为 .1:2≤'r D （3）于是⎰⎰'+==D drd J rc V V θ21122其中()()abrbr b ra a y ry xr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,, （4）故⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122⎰⎰'+=D rdrd r abcθ212⎰⎰+=πθ201212rdr r d abc()().122341322|10232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=abc r ab ππ（ⅲ）12222=++c zby ax ，.0,13232==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 根据对称性及二重积分的几何意义，知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1222214D dxdyb y a xc V （1）其中 ()0,0,1:32321≥≥≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x b y a x D 为计算方便，特引入变量替换令⎩⎨⎧==.sin ,cos 33θθbr y ar x 则被积函数化为().s i n c o s 16262θθr r c z --= （2）积分区域1D 化为 ⎪⎭⎫⎝⎛≤≤≤'20.1:1πθr D （3）于是()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ其中()().sin.cos 3cos .sin3sin sin .cos 3cos ,,222323θθθθθθθθθθθabr br b ra a y ry xr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=（4）故()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()⎰⎰--=201226262sin .cos sin cos 112πθθθθθrdr r r d abc⎰⎰=192022sin .cos 12rdr d abc πθθθdr r d abc ⎰⎰-132028.sin .cos 12πθθθdr r d abc ⎰⎰-13228.cos .sin 12πθθθ⎰=2022sin .cos 6πθθθd abc ⎰-2028sin .cos 3πθθθd abc⎰-2028cos .sin 3πθθθd abc()⎰-=2042cos cos 6πθθθd abc ()⎰--20108cos cos 3πθθθd abc()⎰--20108sinsin 3πθθθd abc⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-=2.!!10!!9!!8!!732.!!4!!346πππabc abc ⎪⎭⎫ ⎝⎛--2.!!10!!9!!8!!73πabc.25675abc π=17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）：（ⅰ）()dzdxdy z y x dxdydz⎰⎰⎰Ω+++31，其中Ω为由坐标平面0,0,0===z y x 和平面1=++z y x 围成的四面体；（ⅱ）dz dxdy z xy ⎰⎰⎰Ω32，Ω为由曲面xy z =和平面0,1,===z x x y 围成的区域；（ⅲ）dz xyzdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω为单位球1222≤++z y x 位于第一卦限的那部分区域；（ⅳ）dz zdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω为圆锥面()0,022>>+=R h yx Rh z 与平面h z =围成的区域；解：（ⅰ）()dzdxdy z y x dxdydz⎰⎰⎰Ω+++31；Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故()d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dzz y x dy dx xyx ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---111110103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=110102|11.21xy x dy z y x dx()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=1102411121xdy y x dx⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=101144321dx x x().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x（ⅱ）dz dxdy z xy ⎰⎰⎰Ω32；Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故d x d y d z z xy ⎰⎰⎰Ω32=dz z dy y xdx xxy⎰⎰⎰132⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1042|41x xy dyz y xdx ⎰⎰=16441xdyy x xdx⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=175|7141dx y x x ⎰=112281dxx.3641131.281|1013==x（ⅲ）dz xyzdxdy ⎰⎰⎰Ω；Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.10,10:2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故dx d y d z x y z ⎰⎰⎰Ω=dzz ydyxdx xyx ⎰⎰⎰---11010222⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110102222|21xy x dy z y xdx ()⎰⎰---=110222121xdy yx y xdx()()⎰⎰-----⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11022222112121xy x d y x x d x()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-110222|212141dx y x x x()⎰-=122181dxxx()()⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1022211.2181x d x x ().481131.161|1032=--=x（ⅳ）由对称性知，dz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdz zdxdy ⎰⎰⎰Ω=14其中1Ω为Ω在第一卦限内的那部分区域，1Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.0,0:221⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤Rx x R y D 故d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰+-R hyx RhxR zdzdy dx 022224⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=R xR hy x R hdy z dx 0022222|214()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=RxR dy y x R h h dx 022222222dxy y x R y hRx R ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-003222|223112()dx xR xR x R x R hR⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=032222222223112⎰-=Rdx x R h2222dxx R xRh R⎰--0222222()dx xR Rh R⎰--3222232其中22222222141.22R h Rh dx x R h R ππ==-⎰ ；=--⎰dx x R xRh R222222tdtR t tR R Rh cos .cos sin222222⎰-πdt t t Rh ⎰-=22222cossin2π()dtt t Rh ⎰--=204222sinsin2π222282.!!4!!32.!!2!!2R h R h πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=；()=--⎰dx xR Rh R3222232⎰-23322c o s .c o s 32πt d t R t R Rh⎰-=2422c o s 32πt d t Rh .82.!!4!!3322222R h Rh ππ-=-= 所以d x d y d zz ⎰⎰⎰Ω222Rh π=228Rh π-=-228Rh π.422R h π=18（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一重积分（ⅰ）()ρρηξξηd f d d I x⎰⎰⎰=；（2）().110dz z f dy dx I yx ⎰⎰⎰+=解：（1）先将后两次积分()ρρηξηd f d ⎰⎰0中的积分次序进行变换：()()()[]()()ρρξρρηρηρρρρηξξρξξξρξηd f d f d f d d f d -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰0|---（14）所以，()()()()ξρξρρρρξρξρξd f d d f d I xxx-=-=⎰⎰⎰⎰0()()ρρρρρρρξξρρd x x f d f xxx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰22202222|()().220ρρρd x f x-=⎰（2）先将后两次积分()dz z f dy yx ⎰⎰+10中的积分次序进行变换：()()()dy z f dz dy z f dz dz z f dy x z x xxyx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+++=11101()()()dz x z z f dz z f x x x+-+=⎰⎰+11所以， ()()()∏+I =+-+=∧+⎰⎰⎰⎰dz x z z f dx dz z f dx I x xx11011----（15）.其中，()()()dz z z f dx z f dz z -==I ⎰⎰⎰1111--------（16）， ()()()()dx x z z f dz dx x z z f dz z z+-++-=∏⎰⎰⎰⎰-11211110()()()dzz z f dz z z z f 22222121-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰，。

数学分析21重积分总练习题

第二十一章重积分总练习题1、求下列函数在所指定区域D 内的平均值： (1)f(x,y)=sin 2xcos 2y, D=[0,π]×[0,π]；(2)f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2, D={(x,y,z)|x 2+y 2+z 2≤x+y+z}. 解：(1)∵D 的面积为：π2, ∴平均值为：⎰⎰πππ02022cos sin 1ydy dx x =41. (2)由x 2+y 2+z 2=x+y+z 得(x-21)2+(y-21)2+(z-21)2=43, ∴V D =34π323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23π. 令x=21+rsin φcos θ, y=21+rsin φsin θ, z=21+rcos φ, 则平均值为：⎰⎰⎰++Ddxdydz z y x )(32222π=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕϕθϕθϕϕθπ02302220sin )cos sin sin cos (sin 4332dr r r r d d =⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕθϕθϕϕϕθπ023043220)cos sin sin cos (sin 43sin 32dr r r r d d =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ππϕϕϕθθϕϕθπ0220)cos sin )sin (cos sin 649sin 203332d d =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πθθθππ20)sin (cos 1289103332d =53332ππ⋅=56.2、计算下列积分：(1)⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ；(2)⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ. 解：(1)如图，被积函数等价于[x+y]= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈4321),(3),(2),(1),(0D y x ，D y x ，D y x ，D y x ，,⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ=⎰⎰10D d σ+⎰⎰21D d σ+⎰⎰32D d σ+⎰⎰43D d σ=23+3+23=6. (2)如图被积函数为sgn(x 2-y 2+2)=⎩⎨⎧∈-∈321),(1),(1D D y x ，D y x ， ,⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y xσ=⎰⎰1D dxdy -⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy . 其中⎰⎰2D dxdy =⎰⎰-+-224211x x dy dx =⎰-+--1122)24(dx x x =32π-2ln 231+=⎰⎰3D dxdy . 又⎰⎰3D dxdy =4π-⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy ,∴⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ=4π-4 ⎝⎛32π-2ln ⎪⎪⎭⎫+231=34π+4ln )32(+.3、应用格林公式计算曲线积分：⎰-L ydx x dy xy 22, 其中 L 为上半圆周x 2+y 2=a 2从(a,0)到(-a,0)的一段. 解：由y ∂∂(-x 2y)=-x 2, x∂∂xy 2=y 2, 得 ⎰-Lydx x dy xy22=⎰⎰+Dd x y σ)(22=⎰⎰adr r d 030πθ=44a π.4、求⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f , 其中f(x,y)为连续函数.解：由中值定理知，存在(ξ,η), 使得⎰⎰≤+222),(ρσy x d y x f =f(ξ,η)πρ2, 其中(ξ,η)∈D={(x,y)|x 2+y 2≤ρ2}, ∴⎰⎰≤+→222),(1lim 2ρρσπρy x d y x f =22),(lim πρπρηξρf →=),(lim 0ηξρf →. 又f(x,y)为连续函数，∴⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f=f(0,0).5、求F ’(t)，设(1)F(t)=⎰⎰≤≤≤≤ty t x ytxd e 1.01.02σ,(t>0)；(2)F(t)=⎰⎰⎰≤++++2222)(222t z y x dV z y xf ,其中f(u)为可微函数；(3)F(t)=⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤tz t y t x dV xyz f 000)(,其中f(u)为可微函数.解：(1)令x=tu, y=tv, 则|J|=t 2, F(t)=t 2⎰⎰112dv e du v u.∴F ’(t)=2t ⎰⎰10102dv e du v u=t2F(t).(2)令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ, 则F(t)=r d r f r d d t ⎰⎰⎰022020)(sin ϕϕθππ=4πr d r f r t⎰022)(, ∴F ’(t)=4πt 2f(t 2).(3)令x=tu, y=tv, z=tw, 则|J|=t 3,F(t)=⎰⎰⎰10331010)(dw uvw t f t dv du =⎰⎰⎰10310103)(dw uvw t f dv du t , ∴F ’(t)=⎰⎰⎰10310102)(3dw uvw t f dv du t +⎰⎰⎰'10310105)(3dw uvw t f uvw dv du t =)(3t F t+⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤'t z t y tx dV xyz f xyz t 000)(3.6、设f(t)=dx e t x ⎰-221, 求dt t tf ⎰10)(. 解：令dF(t)= 2x e-dx, 则f(t)=dx e t x ⎰-221=F(t 2)-F(1), f ’(t)=2tF ’(t 2)=2t 4t e -.dt t tf ⎰1)(=210)(21dt t f ⎰=21t 2f(t)|10-)(21102t df t ⎰=21f(1) -dt e t t ⎰-1034=-410441dt e t ⎰-=10441te -=41(e -1-1).7、证明：⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(, 其中V ：222222cz b y a x ++≤1；Ω：x 2+y 2+z 2≤1.证法一：若令x=arsin φcos θ, y=brsin φsin θ, z=crcos φ. 则⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(=r d cr br ar f abcr d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；若令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, r=rcos φ. 则⎰⎰⎰ΩΩd cz by ax f ),,(=r d cr br ar f r d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；∴⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.证法二：令x=au, y=bv, z=cw, 则|J|=abc,⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(= abc ⎰⎰⎰≤++1222),,(w v u dudvdw cw bv au f = abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.8、试写出单位立方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.解：在柱面坐标系下，用z=c 的平面截立方体，截口为正方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤40cos 1010πθθr z 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤24sin 1010πθπθr z ， ⎰⎰⎰11010),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰θπθθθcos 14010),sin ,cos (dr z r r rf d dz +⎰⎰⎰θππθθθsin 10241),sin ,cos (dr z r r rf d dz .在球面坐标系下，用θ=c 的平面截立方体，截口为长方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθcos 10cos tan 040r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθcos sin 102cos tan 40r arcc 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθπcos 10sin tan 024r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθπsin sin 102sin tan 24r arcc ， ⎰⎰⎰1101),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰ϕπθϕθcos 140cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕππθϕθcos sin 10402cos tan ),,(drw v u kf d d arcc+⎰⎰⎰ϕππθϕθcos 1024cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕπππθϕθsin sin 10242cos tan ),,(dr w v u kf d d arcc ,其中k=r 2sin φ, u=rsin φcos θ, v=rsin φsin θ, w=rcos φ.9、证明：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积, 则2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b a dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.证：构造函数φ(t)=t2⎰badx x f )(2+2t ⎰b a dx x g x f )()(+⎰badxx g )(2=[⎰ba dx x f )(t 22+2tf(x)g(x)+]dx x g )(2=[]⎰+ba dx x g x f 2)()(t ≥0.∴函数φ(t)的图象与x 轴至多有一个交点，即△=2)()(2⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a dx x g x f -4⎰⎰⋅ba b a dx x g dx x f )()(22≤0.∴2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.注：当且仅当f(x)与g(x)线性相关时等号成立.10、设f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，且恒取正值，试求：⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x nn d y x f x00),(sin lim.解：∵f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，即 0<m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈[0,π]×[0,π]. 从而⎰πdy m n≤⎰π),(dy y x f n≤⎰πdy M n→π (n →∞).∴⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x n n d y x f x 00),(sin lim =⎰⎰∞→ππ00),(sin lim dy y x f xdx nn =2π.11、求由椭圆(a 1x+b 1y+c 1)2+(a 2x+b 2y+c 2)2=1所界面积, a 1b 2-a 2b 1≠0. 解1：令x=12212112)sin ()cos (b a b a c r b c r b ----θθ,y=12211221)cos ()sin (b a b a c r a c r a ----θθ,则J=122121122121122112122112sin cos cos sin cos sin sin cos b a b a r a r a b a b a a a b a b a r b r b b a b a b b -+-------θθθθθθθθ=1221b a b a r -.∴⎰⎰Dd σ=⎰⎰-⋅1122120dr b a b a rd πθ=1221b a b a -π. 解2：令u= a 1x+b 1y+c 1, v=a 2x+b 2y+c 2, 则),(),(v u y x ∂∂=),(),(/1y x v u ∂∂=12211b a b a -. ∴S=⎰⎰Dd σ=⎰⎰≤+-1122122v u b a b a dudv=1221b a b a -π.12、设△=333222111c b a c b a c b a ≠0, 求由平面a 1x+b 1y+c 1z=±h 1, a 2x+b 2y+c 2z=±h 2, a 3x+b 3y+c 3z=±h 3,所界平行六面体的体积.解：令u=a 1x+b 1y+c 1z, v=a 2x+b 2y+c 2z, w=a 3x+b 3y+c 3z, 则J=∆1. ∴V=⎰⎰⎰Ωdxdydz =⎰⎰⎰Ω∆dudvdw ||1=⎰⎰⎰---∆332211||1h h h h h h dw dv du =||8∆h 1h 2h 3.13、设有一质量分布不均匀的半圆弧x=rcos θ, y=rsin θ (0≤θ≤π), 其线密度为ρ=a θ(a 为常数), 求它对原点(0,0)处质量为m 的质点的引力. 解：r=(x,y), dF=k r r r ds m ⋅2ρ=km ⎪⎭⎫ ⎝⎛33,r y r x ρρds, (k 为引力常数) ∴dF x =3r x km ρds, dF y =3rykm ρds. F x =ds r x km L ⎰3ρ=θθθπd r ra km ⎰022cos =r amk 2-； F y =ds ry km L ⎰3ρ=θθθπd r a km ⎰0sin =r amkπ； ∴F=(F x ,F y )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r amk r amk π,2, 且|F|=24π+r amk .14、求螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (0≤t ≤2π)对z 轴的转动惯量，设曲线的密度为1.解：ds=)()()(222t z t y t x '+'+'dt=22b a +dt. J z =ds y x L ⎰+)(22=dt b a a 22202+⎰π=2πa 222b a +.15、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，质量分布均匀. 解：由ds=)()(22t y t x '+'dt=t a t a 2222sin )cos 1(+-dt=2sin2ta dt ，得 ⎰L ds =2a dt t ⎰π02sin =4a;⎰L xds =2a 2dt t t t ⎰-π02sin )sin (=316a 2;∴⎰⎰=L L ds xds x /=34a .又⎰L yds =2a2dt t t ⎰-π2sin )cos 1(=316a 2;∴⎰⎰=L L ds yds y /=34a. ∴摆线质心的为⎪⎭⎫⎝⎛34,34a a .16、设u(x,y), v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，证明：(1)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v σ2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D d y v y u x v x u σ+ds n uv L ∂∂⎰； (2)⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n v u L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂，其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而n u ∂∂=),cos(∧∂∂x n x u +),sin(∧∂∂x n y u , n v ∂∂=),cos(∧∂∂x n xv+),sin(∧∂∂x n y v是u(x,y), v(x,y)沿曲线L 的外法线n 的方向导数. 证：在格林公式中，以P 代替Q ，-Q 代替P 得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y Q x P =⎰-L Qdx Pdy =⎰∧∧+L ds x n Q x n P )],sin(),cos([. a 式(1)令P=vxu∂∂, Q=v y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u v 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uv x n x u v )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u v 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u v . b 式 (2)令P=uxu∂∂, Q=u y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u u 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uu x n x u u )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u u 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u u . c 式由c 式-b 式得：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n vu L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.17、求指数λ, 使得曲线积分k=dy r yx dx r y x y x y x λλ22),(),(0-⎰与路线无关(r 2=x 2+y 2), 并求k.解：设P=λr yx , Q=λr y x 22-, 则y P ∂∂=])([2222x y x y x r λλ++--, x Q ∂∂=-])(2[232222λλy x y x y x r ++-，由y P ∂∂=x Q ∂∂得 x y x yx λ++-)(222=λ23222)(2y x y x y x ++, 得λ=-1. 这时k 与路径无关，且P=22yx y x +, Q=2222y x y x +-. d(y y x 22+)=22yx y x+dx-2222y x y x +dy. ∴k=dy y x y xdx yx y xy x y x 2222),(),(220+-+⎰=()),(,2200y x y x y yx +=yy x 22++C.。