等比数列·例题解析

等比数列·例题解析

【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．

[ ]

A ．是等比数列

B ．当p ≠0时是等比数列

C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列

D ．不是等比数列

【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．

【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－

，求通项公12

式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求证…＜

．x x x a b n n 122

【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．

【例6】 求数列的通项公式： (1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2

(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．

【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 123412

22

42

2

13422

32

1234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．

【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．

【例9】已知等差数列{a n}的公差和等比数列{b n}的公比都是d，又知d ≠1，且a4=b4，a10=b10：

(1)求a1与d的值；(2)b16是不是{a n}中的项？

思路：运用通项公式列方程

【例10】{a}b=(1

2

)b b b=

21

8

b b b=1

8

n n

a n

123

123

设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．

【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．

分析本题有三种设未知数的方法

【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．

【例14】已知在数列{a n}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、a5成等比数列．

【例15】 已知(b －c)log m x ＋(c －a)log m y ＋(a －b)log m z=0．

(1)设a ，b ，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x ，y ，z 成等比数列．

(2)设正数x ，y ，z 依次成等比数列，且公比不为1，求证：a ，b ，c 成等差数列．

答案

【例1】

分析 由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1

故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10

(p 1)p 2

n n 1⇔--=-⎧⎨⎪

⎪⎪

⎩⎪⎪⎪--()()p p

p p p n 212 但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．

说明 数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注

意对任∈，≥，

都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a n n -1

【例2】解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1

x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)

=q

2n(1+2n)

2

==+q

n n n

()

212

【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－

，求通项公12

式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．

解 (1)a =a q

q =5252

-∴－

12

∴＝＝－

＝∵·＝··＝a a q

4()

()

(2)a a a a a a a =8

n 2n 2

n 2

n 4

3542

34543

----

12

12

∴a 4＝2

又＝＝∴a a a a a a a a a a =a

=32

2635423456452

【例4】

证明 设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1

∴∴……＜

q

b a

x x x aqaq aq aq

ab a b n n n n

n

n ++=

=

==

+1

1221

2

2

【例5】 证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列

∴

a b b c c d

==

∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc

∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边

证毕．

证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3

∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2