第4讲 Chapter2-3第二章 拉压变形及算例应变能

1
0.2m
2
3
F
0.4m
0.2m
解:
F 2 A2 30 252 N 18.75kN
3
F
1
0.2m
2
3
F
0.4m
0.2m
FN 1l1 FN 2l2 FN 3l3 l ＋ EA1 EA2 EA3
F 18.75kN
18750 0.2 0.4 0.2 ( ) 2 2 9 2 0.02 0.025 0.012 210 10 4 4
0
r a : 3q
32
不同大小的截面过渡区域也有应力集中
33
34
谢谢各位！
作业
P54： 2-11、2-12 P55： 2-15
下次课讲 材料的力学性能和强度条件
35
补充练习题
36
3
y
1 W P y 2
Pl 2 EA
29
§2-8 应力集中的概念
应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中常见的问题 开有圆孔的板条
F
带有切口的板条
F
max来自百度文库
max
F
F
F
F
30
因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象， 称为应力集中。
应力集中因数：
max K nom
Ay 2l2 Ax
Ay (l2 Ax cos 450 ) sin 450
2 2 1 Ay Pl EA
21
§2-5 拉（压）杆的应变能 Strain Energy in Axially Loaded Bar
弹性体受外力作用变形。外力对弹性体做的功储存 在弹性体内，称为变形能或应变能(strain energy)。 当外力逐渐减小时，弹性体变形逐渐恢复，所储存 的变形能被释放而做功。

解得 FN 1 FN 2
P 2 cos
16
两杆的伸长为：
Pl FN 1l l1 l2 2 EA cos EA
A点的最终位置可这样看：
①
EA l
②
EA l

l1
将两杆分别先拉长l后再组装于一起。 关于微小变形问题的处理
A
17
B C A
A


max ：发生应力集中的截面上的最大应力 nom ：同一截面上按净面积算出的平均应力
F
max
31
应力集中因数的大小：
2 4 a a 1 3 0 90 : q 1 2 4 2r 2r
q a2 a2 0 : 2 3 2 1 2r r
l
26
应变能计算的一般情况（续） 由应变能密度定义（单位体积变形能）：
dV v dV
dV v dV
V v dV
V
V
FN
V
A 2E
2
dV
2
V
2
V
2 E dV
V
1 V 2
dV
V
l
FN
A
A 2E
dAdl
V
小变形假设的处理方法 变形前后角度视为不变
l1


l 2
A’ A’ A
A cos l1
l1 A cos
Pl 2 EA cos 2
18
例：求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
EA, l 450 EA P
19
解: 受力分析如图
将力直接分解 450 FN2 P
( x)
E
dx
9
例题：
已知：EA， L及q。 求：B点的位移。
x
x
q
o
l EA, L
l ( x)dx
0
l

l
( x)
l
0
FN ( x) dx dx 0 EA E
l
B
2 qx ql dx ( ) 0 EA 2 EA
10
关于横向变形的计算
11
材料弹性模量为E，泊松比为
F
D
F
d
d
a
b
l
l2 l1
12
课本P54
13
14
例：求图示结构结点A的垂直位移。
EA ① l
② EA
l

15
解: 先求各杆的内力
受力分析如图
FN 1 cos FN 2 cos P 0 FN 1 sin FN 2 sin 0
EA ① l
FN1
② EA
l
FN2
1 W P 2
28
应变能计算的应用（2）
例：图示结构中三杆的刚度均为EA, AB 为刚体，P、l、EA 皆为已知。求C点的垂直和水平位移。 ?
x
FN 1 FN 3
系统应变能
P , 2
2
FN 2 0
P 2 2
l P 2l FNi li V i 1 2 2 Ei Ai 2 EA 4 EA
0.272 mm ( 缩短）
4
非均匀（变形）杆伸长量的计算
F l q F l F F
Fl l EA
FN FN ( x)
A A( x) E E ( x)
5
F
l
F
l
对于各段伸长不均匀的杆，有
x ( x )
A
A点沿x方向的线应变
x
O x
( x) d( x) x lim x 0 x dx
FN1
FN 1 P (拉)
FN 2 2 P (压)
Pl l1 (+ ) EA
2 P 2l 2 Pl l2 (-) EA EA
20
Ax 450 l2 450
l1 Ay
Pl (+) l1 EA
2P 2l 2Pl l2 (-) EA EA
变形协调关系的建立 Pl Ax l1 ( ) EA 0 0 Ay sin 45 Ax cos 45 l2
l
l l
l
0
l
FN ( x) dx EA
FN dx EA( x) FN dx E ( x) A
F
l
F
0 l
F
l
F
0
F
l F l
Fl l EA
7
积分式改写
( x) ( x)dx FN ( x) 1 FN ( x) dx . dx dx l E ( x) E ( x) A( x) E ( x). A( x)
1 2
E
1 2 v 2E 1 2 v E 2
25
应变能计算的一般情况
分段直杆
FNi 2li V i 2 Ei Ai
变截面直杆
FN2 V dx 0 2 E ( x ) A( x )
l
变截面且变外力直杆
FN ( x) 2 V dx 0 2 E ( x ) A( x )
l
x 0

l ( x)
FN ( x ).x ( x ) E ( x ). A( x )

FN ( x ) dx E ( x ). A ( x )
任何单轴情 形都适用
l
x dx

FN ( x ).d x E ( x ). A( x )
6
对于各段伸长不均匀的杆: q F
2 FN l 2 EA
dl
27
应变能计算的应用（1）
例：求图示结构结点A的垂直位移。 解： FN 1 FN 2 系统应变能
P 2 cos
EA ① l
② EA
l

FNi 2li l P V i 1 ( )2 2 Ei Ai EA 2 cos
2

Pl 2 EA cos 2
22
外力对弹性体做的功
F
W ?
1 W Fl 2
Fl l EA
l F
W
O
l
F 2l W 2 EA
23
拉（压）杆的应变能
F l W 2 EA
Fl l EA
2
功能原理 W＝ V
F l V 2 EA
2
EA 2 V l 2l
24
应变能密度：单位体积变形能
F l 1 V v V Al 2
第二章 轴向拉伸和压缩（三）
Axial Loading （Tension & Compression）
第 四 讲
1
内 容
§2-4 拉（压）杆的变形
关于拉（压）杆纵向变形和横向收缩的计算 （算例）
§2-5 拉（压）杆的应变能 §2-8 应力集中的概念
2
§2-4 拉（压）杆的变形
例：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2段为边长 a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆 内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l。 F
l ( x)dx
任何单轴情形都适用
( x) d( x) x lim x 0 x dx
积分
d( x) x dx
8
关于拉（压）杆伸长和缩短的计算公式：
Fl l EA FN ( x) l dx E ( x). A( x)
l ( x)dx