第4讲 Chapter2-3第二章 拉压变形及算例应变能
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材料力学课件刘第二章拉压
P x A(x)
x
P P
P
P P P
例2-3 已知双压手铆机活塞 杆N图，横截面面积A=4cm2 , 求杆件AB、BC段应力。
解:
AB
N A
N 2.62 10 6.5 106 Pa A 4 10 4
3
AB
§2-3 材料在拉伸时的力学性能
力学性能、力学性质、机械性质 拉伸压缩试验、常温、静载 一、 低碳钢在拉伸时的力学性能
、
ζ 、ε成正比阶段的最高点
成正比
比例极限ζP— 对应的应力值。 E（=tgα）——弹性模量
E ——胡克定律
由此知：胡克定律的适用范围：
＜ p
第二阶段： 屈服阶段
特点：应力几乎不变，变形增加很快。材
料失去抵抗变形的能力。有塑性变形产生 屈服极限ζs — 屈服阶段最低 点对应的应力值
极限应力： 材料处于极限状态（失效）时的应力，用ζjx(ηjx)表示。 塑性材料：
jx S
脆性材料：
jx b
jx n
——
许用应力，构件工作应力不允许超过的数值。
塑性材料：
s ns
脆性材料：
b nb
ns , nb —— 安全系数
§2 — 6
轴向拉伸或压缩时的变形 b1
F
L L1
b F
一、轴向拉（压） 杆件变形 (一) 轴向变形 1. 杆件轴向总变形ΔL ： （即杆两端截面的相对位移）
L L1 L （拉正、压负） L 2.轴向线应变ε ： L
(二) 横向变形
1. 横向总变形Δb ：
（拉正、压负）
b b1 b
第3讲 chapter2-2第二章 拉压应力和变形
实验表明，纵向线应变和横向线应变成比例关系。
称为横向变形因数或泊松比(Poisson’s Ratio)。
17
泊松比的学术之争(1833-1879)
1821年:纳维首次用分子理论来研究各向同性材料弹性体的 平衡问题，所导出的方程中只有一个弹性常数C，因此被称为 “单常数理论”。
3
实验观察（平面假设）
F
p
F A
F F
A / cos
F A
cos
0 cos
p cos 0 cos2
p sin 0 sin cos
0 sin 2
2
F
p
p
4
斜截面上的应力
0
cos2
1807年因英国医生兼物理学家托马 斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名，主要是由于 杨在光学方面的贡献（关的波动 说）。
橡胶的弹性模量：8MPa 钢的弹性模量：210GPa 钻石的弹性模量：1100 GPa
1795年，他来到德国的格丁根大学学 习医学，一年后便取得了博士学位。
F
F
D
d
d
ab
l l2
l1
28
Thank you for your attention!
作业 P52：2-4
P53： 2-6；2-8(3)
下次课的内容： 拉（压）杆的变形、应变能
29
“泊松比之争”并没有就此告终，关于泊松比的又一个学术 争论至今尚未了结－－“泊松比的取值范围”。
21
泊松比的取值范围
经典的弹性固体力学已经严格证明： 等温条件下各向同性线弹性材料泊松比的取值范围为：
材料力学课件2拉压
第四节 轴向拉伸或压缩时的变形
1. 应变 变形 轴向（x方向）线段伸长，横向线段收缩。
l l
F
b
b b
F
应变 线应变伸长为正，收缩为负。 纵向线应变 横向线应变
lim
第二章
l
Δl l
l0
' lim
Δb b
19Байду номын сангаас
b 0
轴向拉伸和压缩
2. 胡克定律
单向胡克定律
例9：（续） 解： (2) 应用应变能计算AC相对位移 外力功 1
WF Vε F 2 4 2
AC
应变能
F N 1 Δl 1
2
1 2
2
F N 5 Δl 5 2a Fa EA
4F a 4 EA
F
2 EA
AC
W F V ε：
2
2
34
第二章
轴向拉伸和压缩
第六节
材料拉伸压缩力学性质
vr vε
l
FN d x 2 EA
V d V l l
FN FN A EA FN
2
Vε
Ad x
dx
O
轴向拉伸和压缩
29
EA
第二章
外力功与应变能的关系
外力功 外力在因变形而产生的位移上所作的功。 功能原理 在线性弹性、小变形的条件下，外力功全部转换为 应变能。 计算条件 1 F W F 2 线性弹性，小变形
（+）
FN
FN
（-）
轴向拉伸和压缩
FN
第二章
3
《拉压的应力和变形》PPT课件
实验表明：当应力小于比例极限时，横向应变与纵向应变成正比。
m －e’ e
.
4.5-4
比例常数 称 μ为泊松比。弹性模量 E与泊松比μ 都是材料的弹性常数，
对于各向同性材料， E和 μ之值均与3方5 向无关。
如用N 代表杆中轴力，A 代表杆的截面面积，并将式（4.5-1）和式（4.5-3） 联合，则有
实践证明：杆件在加力点附近，应力 分布十分复杂，很大程度上受到加力 方式的影响，所以公式（4.3-4）不能 使用，除非所加的外力是分布力，而 且是均匀分布的。如图压杆，其附近 的横截面1-1和2-2，应力是非均匀分布 的，但是，距离外力作用稍远的横截 面3-3，应力很快趋于均匀（图4.34b），公式（4.3-4）即可使用，其影 响范围约等于截面高度h。以上概念称 之为圣维南原理（Saint_Venant‘s Principle）。需要说明的是，在材料力 学中，一般假定外力均匀地施加在作 用处，所以公式（4.3-4）对整个杆件 都适用。
图示杆受自重，已知单位杆长L，自重为r，试画轴力图。
解：（1）由总体平衡方程：得支反 R =rL
（2）由截面法无论保留自由体① 或自由体②平衡，均得相同的轴力N： • 对自由体①，可得
SX = 0, N = -rx • 对自由体②，可得
SX = 0, N = ρ(L-x)- R=-rx
（3）按比例画轴力图。
1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
⑶ 应力公式及其适用范围 由于横截面上的正应力是均匀分布的,故:
dA dA A N
A
A
得
N
第4讲--拉压杆的变形与变形能
第4讲教学方案——拉压杆的变形与变形能1 / 7§2-8拉伸或压缩时的变形1．沿杆件轴线的轴向变形如图2-23，设等直杆的原长为l ，横截面面积为A 。
在轴向力P 作用下，长度由l 变为1l 。
杆件在轴线方向的伸长，即轴向变形为l l l -=∆1 （1）由于杆内各点轴向应力σ与轴向应变ε为均匀分布，所以一点轴向线应变即为杆件的伸长l ∆除以原长l ： l l ∆=ε （2） 由εσE =得ll E A N ∆= 所以EAPl EA Nl l ==∆ （2-6） 式（2-6）表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l ∆与拉力P 和杆件的原长度l 成正比，与横截面面积A 成反比。
这是胡克定律的另一种表达形式。
式中EA 是材料弹性模量与拉压杆件横截面面积乘积，EA 越大，则变形越小，将EA 称为抗拉（压）刚度。
2．横向变形若在图2-23中，设变形前杆件的横向尺寸为b ，变形后相应尺寸变为1b ，则横向变形为 b b b -=∆1横向线应变可定义为bb ∆='ε 由实验证明，在弹性范围内3 / 7μεε=' （2-7） μ为杆的横向线应变与轴向线应变代数值之比。
由于μ为反映材料横向变形能力的材料弹性常数，为正值，所以，一般冠以负号εεμ'-=，称为泊松比或横向变形系数。
ε'与ε的关系为μεε-=' （2-8）3．变截面杆的伸长变形 ()()()x A x N x =σ例，变截面杆内应力相同，则杆截面面积按什么规律变化？()Adx A dA A γσσ+=+；dx A dA σγ= 积分：0ln C x A +=σγ；x e C A σγ0= 在0=x 处0A A =，所以：σP A C o ==0；x x e P e A A σγσγσ==0 即：A 按指数函数变化。
例2-6 图2-25所示为变截面杆，已知BD 段21=A cm 2，DA 段42=A cm 2，51=P kN ，102=P kN 。
轴向拉压变形及应变能力学性质
内容提要
• 拉（压）杆的变形与位移 • 拉（压）杆内的应变能 • 低碳钢和铸铁受拉伸和压
缩时的力学性能
§7—5 拉（压）杆的变形与位移
一、变形与线应变
d P
d1 P
l l1
d P
d1 P
l l1
杆件的纵向伸长为
l l1 l
纵向线应变为
l
l
伸长时纵向线应变为正，缩短时纵向线应变为负。
d P
可认为
AA AA
B
d1 P
l l1
杆件在纵向变形的同时，将有横向变形。
d d1 d
杆件的横向线应变为
d
d
伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正。
d P
d1 P
l l1
二、泊松比 当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩 沿纵向缩短时，横向则伸长。
d P
d1 P
l l1
横向线应变与纵向线应变之间的关系
1665年，胡克提出了光的波动学说，将光振动的传播同 水波的传播相比较。1672年，他进一步指出，光振动可以垂 直于光传播的方向，他还研究了云母片的颜色，确认光现象 随着云母片厚度的变化而变化。
胡克根据弹簧实验的结果，于1678年得出了胡克定律， 即在比例极限内，弹性物体的应力与应变成正比。
1674年，胡克根据修正的惯性原理，以及离开太阳的离 心力同向着太阳的吸引力之间的平衡，提出了行星运动的理 论。
FN 3l3 EA3
(2 105 1105 2.5105 )m
0.015mm
BC段的纵向变形 l2= -0.01mm 也就是 B 截面和 C 截面的相对纵 向位移 lBC。
1
2
3
30KN
• 拉（压）杆的变形与位移 • 拉（压）杆内的应变能 • 低碳钢和铸铁受拉伸和压
缩时的力学性能
§7—5 拉（压）杆的变形与位移
一、变形与线应变
d P
d1 P
l l1
d P
d1 P
l l1
杆件的纵向伸长为
l l1 l
纵向线应变为
l
l
伸长时纵向线应变为正，缩短时纵向线应变为负。
d P
可认为
AA AA
B
d1 P
l l1
杆件在纵向变形的同时，将有横向变形。
d d1 d
杆件的横向线应变为
d
d
伸长时横向线应变为负，缩短时横向线应变为正。
d P
d1 P
l l1
二、泊松比 当杆件受拉伸沿纵向伸长时，横向则缩短；当杆件受压缩 沿纵向缩短时，横向则伸长。
d P
d1 P
l l1
横向线应变与纵向线应变之间的关系
1665年，胡克提出了光的波动学说，将光振动的传播同 水波的传播相比较。1672年，他进一步指出，光振动可以垂 直于光传播的方向，他还研究了云母片的颜色，确认光现象 随着云母片厚度的变化而变化。
胡克根据弹簧实验的结果，于1678年得出了胡克定律， 即在比例极限内，弹性物体的应力与应变成正比。
1674年，胡克根据修正的惯性原理，以及离开太阳的离 心力同向着太阳的吸引力之间的平衡，提出了行星运动的理 论。
FN 3l3 EA3
(2 105 1105 2.5105 )m
0.015mm
BC段的纵向变形 l2= -0.01mm 也就是 B 截面和 C 截面的相对纵 向位移 lBC。
1
2
3
30KN
弹性变形能(应变能)
需用
Vc V v求c dVVc。
由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为
应力为
FN1
FN 2
F1
2 cos
s1
FN A
F1
2 A cos
2019/5/4
19
由
s k1/n （n>1）
得
s
(
)n
k
余能密度为
vc
s1 ds
0
s1 (s )n ds
0k
k
n
1 (n
F 和Me 同时作用在梁上， B 并按同一比例由零逐渐增加到
最终值——简单加载。
(a)
在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相
同的比例，由零逐渐增加到最终值。
上图中
2019/5/4
wC
Fl 3 48 EI
Mel2 16 EI
A
Fl 2 16 EI
M el 3EI
Vε
1 2
FwC
1 2
M e A
F 2l3 96 EI
M e2l 6EI
FM el 2 16 EI
12
先加F, 再加Me (图 b，c)
F
A
A,F
EI
B
C
,
l/2
wC,F
l/2
wC , F
Fl3 48 EI
Vε
1 2
F
wC,F
1 2
Me
A,Me
F wC,Me
1 2
弹性应变能
60
(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由剪应力控制杆的强
度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当a=60°时，由(2)式得
P60A /cos60/sin604501024/ 346.2kN
Pm a x50 kN
P
讨论：若 [ ]60MPa;Pmax?
B1
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N1 PA PB PC PD 0
N1 5P 8P 4P P 0 N1 2P
同理，求得AB、
N2
BC、CD段内力分
别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
127.4MPa
max 0/2127 .4/263.7MPa
a
0
2
(1c
os2a
)127.4(1c 2
os60)95.5MPa
a
0
2
s
in2a
127.4s 2
in6055.2MPa
例7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉
应力为[]=100MPa ；许用剪应力为[]=50MPa ，并设杆的强
1、杆的纵向总变形：
dL L1 L
3、平均线应变：
dL L1 L
L
L
P
a´
b´
P
c´
d´
x dx
L1 4、x点处的纵向线应变：
6、x点处的横向线应变：
应变能.
3 3
3
1
E 3
2
｛ 应变能:
体积改变而形成。
1 2E
12
2 2
2 3
2 1 2
2 3
31
形状改变而形成。
1 2 3
2 体积改变能密度
3
vv
1 2E
2
2
2
2
2
2
强度条件
变形分析 临界力
刚度条件 稳定条件
弯曲内力 弯曲超静定
弯曲应力
弯曲
压杆稳定
弯曲变形 组合变形
轴向拉压
对称弯曲
扭转
内力分量
内力分量
轴力FN 应力分布规律
弯矩M,剪力FS 应力分布规律
正应力均匀分布
FN
A
应力状态
单轴应力状态
正应力与中性轴距离成正比
My IZ
FS
S
* Z
IZb
W 1 T
f
2
F
W 1 M
2
统一表示为
W 1 F 2
广义力
广义位移
2 能（应变能或变形能）
能是一种可对物体做功的本领
根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能 V等于外力在物
体变形过程中所做的功W。
V W Fdu
AB
应变能密度：单位体积内积蓄的应变能
W
1 d
0
v
若微元各边分别为 dx, dy, dz dV v dxdydz
V V v dxdydz
FN
工程力学：拉压与剪切应变能
Vε W －弹性体功能原理
功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢 增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能 等的变化，均可忽略不计。
轴向拉压应变能
线弹性杆的外力功
f
Δ
dW fd W fd 0
W FΔ 2
线弹性拉压杆的外力功
W Fl FN2l 2 2EA
线弹性杆的拉压应变能
Vε W
F 2(lnD lnd ) 4hG
3. 位移计算
FΔ F 2(lnD lnd )
2
4hG
F (lnD lnd )
2hG
FN2＝FN3＝F （压）
2. 应变能计算
Vε
3 i1
FN2i li 2Ei Ai
Vε
FN21 2l FN22l FN23l 2EA 2EA 2EA
F 2l( 2 1)Biblioteka EA3. 位移计算
由
W Vε
W＝F By 2
可得 FBy F 2l( 2 1)
2
EA
By
2Fl( 2 EA
1)
拉压与剪切应变能
应变能概念 轴向拉压应变能 拉压与剪切应变能密度 例题
应变能概念
应变能与功能原理
构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移－相应位移
弹性体因变形而储存的能量－应变能 Ve 外力在变形过程中所作之功－外力功 W
根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能 ，数值上等于外力所作的功
Vε
FN2l 2EA
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dVε
dxdz edy
2
e dxdydz
2
单位体积内应变能－应变能密度
vε
e
2
2
功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢 增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能 等的变化，均可忽略不计。
轴向拉压应变能
线弹性杆的外力功
f
Δ
dW fd W fd 0
W FΔ 2
线弹性拉压杆的外力功
W Fl FN2l 2 2EA
线弹性杆的拉压应变能
Vε W
F 2(lnD lnd ) 4hG
3. 位移计算
FΔ F 2(lnD lnd )
2
4hG
F (lnD lnd )
2hG
FN2＝FN3＝F （压）
2. 应变能计算
Vε
3 i1
FN2i li 2Ei Ai
Vε
FN21 2l FN22l FN23l 2EA 2EA 2EA
F 2l( 2 1)Biblioteka EA3. 位移计算
由
W Vε
W＝F By 2
可得 FBy F 2l( 2 1)
2
EA
By
2Fl( 2 EA
1)
拉压与剪切应变能
应变能概念 轴向拉压应变能 拉压与剪切应变能密度 例题
应变能概念
应变能与功能原理
构件在载荷作用点、沿载荷方向的位移－相应位移
弹性体因变形而储存的能量－应变能 Ve 外力在变形过程中所作之功－外力功 W
根据能量守恒定律，弹性体因变形所储 存的应变能 ，数值上等于外力所作的功
Vε
FN2l 2EA
拉压与剪切应变能密度
拉压应变能密度
dVε
dxdz edy
2
e dxdydz
2
单位体积内应变能－应变能密度
vε
e
2
2
2-3 拉压变形、超静定
§2--6 拉压杆的弹性应变能
一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存
与杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“U”表示。 二、 拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。
N（ x） F N(x)
1 d U = d W = FN ( x ) • ∆ d x 2
A
B
60C ° 60° D ∆1 ∆ C ∆
2
3）变形图如左图 ,
B'
C点的垂直位移为：
∆ LC = BB′ + DD ′ 2 ∆ 1 sin 60 + ∆ 2 sin 60 = 2
D'
A 800
B
60° 60° D C 400 P 400
∆L 1.36 = = 2 sin 60 2 sin 60o = 0.79 mm
FN 2 = 0.72 P = A2 [σ 2 ]
∴[P2 ] = A2 [σ 2 ] / 0.72 = 2502 × 12 / 0.72 = 1042kN
r求结构的许可载荷： 方法2:
[∆1 ] = L[σ 1 ]/ E1 = 0.8mm [∆ 2 ] = L[σ 2 ]/ E2 = 1.2mm
4N 1
FN 1 = 0.07 P ; FN 2 = 0.72 P
r求结构的许可载荷： 方法1: FN 1 = 0.07 P = A1 [σ 1 ]
1m
250
角钢面积由型钢表查得: A1=3.086cm2
∴[P1 ] = A1 [σ 1 ] / 0.07 = 308 .6 × 160 / 0.07 = 705 .4 kN
∑X
= FN 1 sin α − N 2 sin α = 0
材料力学应变能知识点总结
材料力学应变能知识点总结应变能是材料力学中的重要概念，它描述了物体在受力作用下发生形变时所具有的能量。
掌握应变能的基本原理和计算方法对于材料力学的学习和应用具有重要意义。
本文将对材料力学中应变能的知识点进行总结，并提供相应的计算方法。
一、应变能的定义及表示在材料力学中，应变能是指物体在受力作用下发生形变时所储存的能量。
通常用符号U表示，单位为焦耳（J）或牛顿·米（Nm）。
二、应变能的计算1. 弹性应变能弹性应变能是指物体在弹性变形过程中所储存的能量。
对于弹性体来说，弹性应变能可以通过下式计算：U = 0.5 × k × ε^2其中，k为弹性系数，ε为物体的应变。
2. 弯曲应变能弯曲应变能是指梁在弯曲变形过程中所储存的能量。
计算弯曲应变能需要考虑梁的截面形状和材料的性质。
一种常见的计算方法是使用梁的截面惯性矩和弹性模量，根据以下公式计算：U = (1/2) × E × I × ε^2其中，E为梁的弹性模量，I为梁的截面形状的惯性矩，ε为变形挠度。
3. 拉伸应变能拉伸应变能是指材料在拉伸变形过程中所储存的能量。
对于拉伸变形的材料来说，拉伸应变能可以通过以下公式计算：U = (1/2) × A × σ × ε其中，A为受力截面的面积，σ为应力，ε为应变。
4. 剪切应变能剪切应变能是指材料在剪切变形过程中所储存的能量。
对于剪切变形的材料来说，剪切应变能可以通过以下公式计算：U = (1/2) × V × τ × γ其中，V为受力断面的体积，τ为剪应力，γ为剪应变。
三、应变能的应用应变能的计算和应用在实际工程问题中具有广泛的应用。
例如，在弹性体的设计中，我们可以根据材料的应力-应变关系和几何形状，计算弹性应变能来确定物体需要具备的弹性性能。
在工程结构的设计中，可以通过计算弯曲应变能来确定材料和截面形状的选择。
第二章 拉压4
2
2E1A1 2EA
14.93103 P 4.48103 m N1
N2 P
9
§2. 10 拉伸、压缩静不定问题
u 静定问题 —— 未知力（内力或外力）个 数等于独立的平衡方程数;
u 静不定问题 —— 未知力个数多于独立的平 衡方程数;
u 静不定次数 —— 未知力个数与独立平衡方程 数之差，也称静不定度数;
d
dV
(01 d)dV
d
所以: dV dW (01 d)dV
1
应变能密度:
v
dV dV
当应力小于比例极限时
1 0
d
v
1
2
5
应变能密度:
v
dV dV
当应力小于比例极限时
由胡克定律 E
1 0
d
v
1 2
E1A1 cos
FN 3l E3 A3
cos
(4)
与平衡方程联立，可解出:
FN1
FN 2
F cos2
2cos3
E3 A3
,FN 3
1
2
F E1 A1
cos3
E1 A1
E3 A3
15
谢谢大家!
16
v
1 2
E 2
或:
v
2
2E
l 由应变能密度求应变能
u 应力分布均匀时 V vV
u 应力分布不均匀时 V V v dV
6
V
vV
2
V 2E
2-3变形胡克定律应变能解析
4
变换形式：
l FN l EA
l 1 FN l EA
E
（胡克定律 另一形式）
EA , l EA——杆件的抗拉(压)刚度
胡克定律的适用条件：
（1）材料在线弹性范围内工作，即 p ；
（2）在计算杆件的伸长l 时，l 长度内其 FN , l, A
均应为常数，否则应分段计算或进行积分。
2020/10/9
§2-6 拉压杆的变形
1. 轴向伸长（纵向变形）
F
胡克定律
b1
F
l
b
l1
纵向的绝对变形 l l1 l
纵向的相对变形（轴向线应变） l
l
横向的线应变： b1 b
b
2020/10/9
1
3. 胡克定律
F
实验证明： l Fl
A
引入比例常数E, 则
l Fl FN l EA EA
F
l l1
5
横向的线应变
泊松比（横向变形因数）：
0 0.5
横向的线应变：
E
2020/10/9
6
例1：图示变截面杆，A1＝2cm2，A2=4cm2，F1＝5kN， F2 ＝ 10kN 。 求 AB 杆 的 变 形 ΔlAB 。 ( 材 料 的 E ＝
120×103MPa)
F2
F1 FN1＝－5kN
L2
sin
uB L1
2020/10/9
9
§2－7 拉(压)杆内的变形能
一、弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存
于杆内，这种能成为变形能用 V 表示. 二、 拉压杆的应变能计算：
不计能量损耗时，外力功等于应变能 V W
NFN（(x）)
02拉压--变形及变形能
21
目录
§2-8 拉、压超静定问题
5、求解方程组
FN1
FN2
F cos2
2 cos3
E3 A3
，FN3
1 2
F E1 A1
cos3
E1 A1
E3 A3
4、 静不定问题特征 1）各杆的受力与刚度有关； 2）静不定问题可能产生初应力或温度应力。
22
§2-8 拉、压超静定问题
F 2l 2EA
EA 2l
(l ) 2
应变能密度 vε——单位体积内的应变能。
vε
Vε V
Hale Waihona Puke 1 F l 2Al
1
2
或
vε
2
2E
或
vε
E 2
2
应变能密度的单位为 J/m3。
15
§2-7 轴向拉伸或压缩的变形能
f
l
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f
fl
轴力图
f (x d x)
Vε
知
ΔA
2Vε P
2 64.67 N m 100103 N
1.293103 m 1.293 mm ()
18
§2-8 拉、压超静定问题
1. 静定问题：未知力个数独立的静平衡方程个数
静不定问题： 未知力个数>独立的静平衡方程个数
静定
静不定
静不定
静不定次数 = 未知力数的数目 - 静力平衡方程的个数 19 目录
02拉压--变形及变形能
1
第二章 拉伸与压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2-2 拉压时的内力和横截面上的应力 §2-3 直杆轴向拉压时斜截面上的应力 §2-4 材料拉、压时的力学性质 §2-5 失效、安全系数和强度计算 §2-6 轴向拉伸或压缩的变形
目录
§2-8 拉、压超静定问题
5、求解方程组
FN1
FN2
F cos2
2 cos3
E3 A3
，FN3
1 2
F E1 A1
cos3
E1 A1
E3 A3
4、 静不定问题特征 1）各杆的受力与刚度有关； 2）静不定问题可能产生初应力或温度应力。
22
§2-8 拉、压超静定问题
F 2l 2EA
EA 2l
(l ) 2
应变能密度 vε——单位体积内的应变能。
vε
Vε V
Hale Waihona Puke 1 F l 2Al
1
2
或
vε
2
2E
或
vε
E 2
2
应变能密度的单位为 J/m3。
15
§2-7 轴向拉伸或压缩的变形能
f
l
x
沿杆长均匀分布 的荷载集度为 f
fl
轴力图
f (x d x)
Vε
知
ΔA
2Vε P
2 64.67 N m 100103 N
1.293103 m 1.293 mm ()
18
§2-8 拉、压超静定问题
1. 静定问题：未知力个数独立的静平衡方程个数
静不定问题： 未知力个数>独立的静平衡方程个数
静定
静不定
静不定
静不定次数 = 未知力数的数目 - 静力平衡方程的个数 19 目录
02拉压--变形及变形能
1
第二章 拉伸与压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2-2 拉压时的内力和横截面上的应力 §2-3 直杆轴向拉压时斜截面上的应力 §2-4 材料拉、压时的力学性质 §2-5 失效、安全系数和强度计算 §2-6 轴向拉伸或压缩的变形
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解得 FN 1 FN 2
P 2 cos
16
两杆的伸长为：
Pl FN 1l l1 l2 2 EA cos EA
A点的最终位置可这样看：
①
EA l
②
EA l
l1
将两杆分别先拉长l后再组装于一起。 关于微小变形问题的处理
A
17
B C A
A
l
l l
l
0
l
FN ( x) dx EA
FN dx EA( x) FN dx E ( x) A
F
l
F
0 l
F
l
F
0
F
l F l
Fl l EA
7
积分式改写
( x) ( x)dx FN ( x) 1 FN ( x) dx . dx dx l E ( x) E ( x) A( x) E ( x). A( x)
3
y
1 W P y 2
Pl 2 EA
29
§2-8 应力集中的概念
应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中常见的问题 开有圆孔的板条
F
带有切口的板条
F
max
max
F
F
F
F
30
因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象， 称为应力集中。
应力集中因数：
max K nom
l
26
应变能计算的一般情况（续） 由应变能密度定义（单位体积变形能）：
dV v dV
dV v dV
V v dV
V
V
FN
V
A 2E
2
dV
2
V
2
V
2 E dV
V
1 V 2
dV
V
l
FN
A
A 2E
dAdl
V
22
外力对弹性体做的功
F
W ?
1 W Fl 2
Fl l EA
l F
W
O
l
F 2l W 2 EA
23
拉（压）杆的应变能
F l W 2 EA
Fl l EA
2
功能原理 W＝ V
F l V 2 EA
2
EA 2 V l 2l
24
应变能密度：单位体积变形能
F l 1 V v V Al 2
1 2
E
1 2 v 2E 1 2 v E 2
25
应变能计算的一般情况
分段直杆
FNi 2li V i 2 Ei Ai
变截面直杆
FN2 V dx 0 2 E ( x ) A( x )
l
变截面且变外力直杆
FN ( x) 2 V dx 0 2 E ( x ) A( x )
max ：发生应力集中的截面上的最大应力 nom ：同一截面上按净面积算出的平均应力
F
max
31
应力集中因数的大小：
2 4 a a 1 3 0 90 : q 1 2 4 2r 2r
q a2 a2 0 : 2 3 2 1 2r r
F
D
F
d
d
a
b
l
l2 l1
12
课本P54
13
14
例：求图示结构结点A的垂直位移。
EA ① l
② EA
l
15
解: 先求各杆的内力
受力分析如图
FN 1 cos FN 2 cos P 0 FN 1 sin FN 2 sin 0
EA ① l
FN1
② EA
l
FN2
0
r a : 3q
32
不同大小的截面过渡区域也有应力集中
33
34
谢谢各位！
作业
P54： 2-11、2-12 P55： 2-15
下次课讲 材料的力学性能和强度条件
35
补充练习题
36
第二章 轴向拉伸和压缩（三）
Axial Loading （Tension & Compression）
第 四 讲
1
内 容
§2-4 拉（压）杆的变形
关于拉（压）杆纵向变形和横向收缩的计算 （算例）
§2-5 拉（压）杆的应变能 §2-8 应力集中的概念
2
§2-4 拉（压）杆的变形
例：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2段为边长 a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆 内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l。 F
0.272 mm ( 缩短）
4
非均匀（变形）杆伸长量的计算
F l q F l F F
Fl l EA
FN FN ( x)
A A( x) E E ( x)
5
F
l
F
l
对于各段伸长不均匀的杆，有
x ( x )
A
Байду номын сангаас
A点沿x方向的线应变
x
O x
( x) d( x) x lim x 0 x dx
2 FN l 2 EA
dl
27
应变能计算的应用（1）
例：求图示结构结点A的垂直位移。 解： FN 1 FN 2 系统应变能
P 2 cos
EA ① l
② EA
l
FNi 2li l P V i 1 ( )2 2 Ei Ai EA 2 cos
2
Pl 2 EA cos 2
FN1
FN 1 P (拉)
FN 2 2 P (压)
Pl l1 (+ ) EA
2 P 2l 2 Pl l2 (-) EA EA
20
Ax 450 l2 450
l1 Ay
Pl (+) l1 EA
2P 2l 2Pl l2 (-) EA EA
变形协调关系的建立 Pl Ax l1 ( ) EA 0 0 Ay sin 45 Ax cos 45 l2
小变形假设的处理方法 变形前后角度视为不变
l1
l 2
A’ A’ A
A cos l1
l1 A cos
Pl 2 EA cos 2
18
例：求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
EA, l 450 EA P
19
解: 受力分析如图
将力直接分解 450 FN2 P
Ay 2l2 Ax
Ay (l2 Ax cos 450 ) sin 450
2 2 1 Ay Pl EA
21
§2-5 拉（压）杆的应变能 Strain Energy in Axially Loaded Bar
弹性体受外力作用变形。外力对弹性体做的功储存 在弹性体内，称为变形能或应变能(strain energy)。 当外力逐渐减小时，弹性体变形逐渐恢复，所储存 的变形能被释放而做功。
1
0.2m
2
3
F
0.4m
0.2m
解:
F 2 A2 30 252 N 18.75kN
3
F
1
0.2m
2
3
F
0.4m
0.2m
FN 1l1 FN 2l2 FN 3l3 l ＋ EA1 EA2 EA3
F 18.75kN
18750 0.2 0.4 0.2 ( ) 2 2 9 2 0.02 0.025 0.012 210 10 4 4
1 W P 2
28
应变能计算的应用（2）
例：图示结构中三杆的刚度均为EA, AB 为刚体，P、l、EA 皆为已知。求C点的垂直和水平位移。 ?
x
FN 1 FN 3
系统应变能
P , 2
2
FN 2 0
P 2 2
l P 2l FNi li V i 1 2 2 Ei Ai 2 EA 4 EA
( x)
E
dx
9
例题：
已知：EA， L及q。 求：B点的位移。
x
x
q
o
l EA, L
l ( x)dx
0
l
l
( x)
l
0
FN ( x) dx dx 0 EA E
l
B
2 qx ql dx ( ) 0 EA 2 EA
10
关于横向变形的计算
11
材料弹性模量为E，泊松比为
l ( x)dx
任何单轴情形都适用
( x) d( x) x lim x 0 x dx
积分
d( x) x dx
8
关于拉（压）杆伸长和缩短的计算公式：
Fl l EA FN ( x) l dx E ( x). A( x)
l ( x)dx
l
x 0
l ( x)
FN ( x ).x ( x ) E ( x ). A( x )
FN ( x ) dx E ( x ). A ( x )
任何单轴情 形都适用
l
x dx
FN ( x ).d x E ( x ). A( x )
6
对于各段伸长不均匀的杆: q F