导数的变化率学案.doc
高三数学一轮复习14.变化率与导数学案
高三数学一轮复习 14.变化率与导数学案【学习目标】1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.预 习 案 1．导数的概念(1)f(x)在0x x =处的导数就是f(x)在0x x =处的 ，记作：0/x x y =或()0/x f即(2)当把上式中的0x 看做变量x 时，f ′(x)即为f(x)的 ，简称导数，即3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝ (C 为常数)； (2)(x n )′＝ (n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝ ； (4)(cos x )′＝ ； (5)(a x )′＝ ； (6)(e x)′＝ ； (7)(log a x )′＝ ； (8)(ln x )′＝ . 4．两个函数的四则运算的导数 若u (x )、v (x )的导数都存在，则(1)(u ±v )′＝ ； (2)(u ·v )′＝ ； (3)(u v)′＝ ； (4)(cu )′＝ (c 为常数)． 【预习自测】1．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s2B ．4 m/s2C ．10 m/s2D ．－4 m/s22．计算：(1)(x 4－3x 3＋1)′＝________. (2)(ln 1x)′＝________.(3)(x e 2x )′＝________. (4)函数y ＝log 2(ax 3)的导数为________．3．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．4．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定5.若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.探究案题型一利用定义求系数例1 (1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．(2)设f(x)＝x3－8x，则li mΔx→0f＋Δx－fΔx＝______；li mx→2f x－fx－2＝______； li mk→0f－k－f2k＝______.探究1.（1）已知f′(a)＝3，则limh→0f a＋3h－f a－hh＝________.(2)求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率题型二导数的运算例2. 求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x2cosx2；(3)y＝3x e x－2x＋e； (4)y＝ln xx2＋1.（5）y＝－sin x2(1－2cos2x4)；（6）y＝tan x；题型三复合函数的导数例3.求下列函数的导数：(1)y＝e2x cos3x； (2)y＝ln x2＋1；(3)y＝(2x－3)5. (4)f(x)＝ln(x－1)2；(5)f(x)＝cos(π3－2x)； (6)f(x)＝e－2x sin(2x)．题型四导数的几何意义例4.已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．探究2.求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．拓展：1.若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.2.若曲线y＝32x2＋x－12的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切点坐标为________，切线方程为________我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案导学案有答案
§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课前预习学案一．预习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容1．基本初等函数的导数公式表2.1．[]'()()f x g x ±= 2．[]'()()f x g x ⋅=3．'()()f x g x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦〔2〕推论：[]'()cf x =〔常数与函数的积的导数，等于： 〕三． 提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二． 学习过程〔一〕。
【复习回忆】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y x = 〔二〕。
【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx-=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。
那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。
〔三〕、【合作探究】1．〔1〕分四组比照记忆基本初等函数的导数公式表函数导数 y c = y x =2y x =1y x=y x =*()()n y f x x n Q ==∈函数导数y c ='0y =〔2〕根据基本初等函数的导数公式，求以下函数的导数． 〔1〕2y x =与2xy = 〔2〕3x y =与3log y x =2.〔1〕记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 推论：[]''()()cf x cf x =〔常数与函数的积的导数，等于： 〕提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.〔2〕根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求以下函数的导数． 〔1〕323y x x =-+ 〔2〕sin y x x =⋅；〔3〕2(251)xy x x e =-+⋅；*()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x ='cos y x = cos y x ='sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>()x y f x e == 'x y e =()log a f x x ='1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x=〔4〕4xx y =； 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 〔四〕．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p 〔单位：元〕与时间t〔单位：年〕有如下函数关系0()(15%)tp t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少〔精确到0.01〕？分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少〔精确到0.01〕？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯洁度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯洁度为%x 时所需费用〔单位：元〕为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到以下纯洁度时，所需净化费用的瞬时变化率：〔1〕90% 〔2〕98%分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：〔1〕分四组写出基本初等函数的导数公式表： 〔2〕导数的运算法则：四．当堂检测1求以下函数的导数〔1〕2log y x = 〔2〕2xy e =〔3〕32234y x x =-- 〔4〕3cos 4sin y x x =- 2.求以下函数的导数〔1〕ln y x x = 〔2〕ln xy x=课后练习与提高1．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为： A ()2(1)f x x =- B 2()2(1)f x x =- C 2()(1)3(1)f x x x =-+- D ()1f x x =-2．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a =A18 B 14 C 12D 1 3.设函数1()n y x n N +*=∈在点〔1,1〕处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 14.曲线21xy xe x =++在点〔0,1〕处的切线方程为-------------------5.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为------------6.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P 〔0,2〕，且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式。
学案15 导数的概念(文理)
学案 导数的概念及其运算（文理）一、 目标要求1、了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义。
2、能据导数定义，求函数y=c ，x y xy x y x y x y =====,1,,,32的导数， 3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数。
二、知识梳理⑴ 函数在点0x x =处的导数及导函数：⑵ 函数在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处⑶导数的基本运算① 基本初等函数的导数公式C C (0'=为常数) '()n x = =')(sin x '(cos )x ='()x e = ；'()x a = ；'(ln )x = ；'(log )a x = ② 函数的和、差、积、商的求导法则（4）、（理）复合函数的导数：一般地，设函数()u x ϕ=在x 处有导数''()x u x ϕ=，函数y=f(u)在x 的对应点u 处有导数''()x y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且三、基础训练1、设()ln ,f x x x =若()'02fx =，则0x =（ ） A 2e B e C ln 22 D ln2 2、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）)(A 034=--y x )(B 430x y -+= （C ）450x y +-=（D ）430x y ++=3、半径为r 的圆的面积2)(r r s π=，周长r r c π2)(=，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)('2=………………… ①①式可用自然语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数.对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子___________,且用自然语言叙述为____________.4、如图，函数f(x)的图像是折线段A,B,C ，其中的坐标分别为(O,4)，(2,0),(6,4),则f(f(0))= , 函数f(x)在x=1处的导数(1)f '= 四、典例精析 例 1 求下列函数的导数： ⑴ ;sin 2x x y = ⑵;ln x xy =(3)1cos x y xe -= (理) （4）y=21x + (理)例2 已知函数f(x)=x 3+x-16 ⑴ 求直线)(x f y =在点)6,2(-处的切线的方程； ⑵ 直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； ⑶如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程。
导数及其应用学案+作业 (答案)
变化率与导数、导数的计算1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．二、基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．1．用定义法求下列函数的导数．(1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →ΔyΔx.2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；[自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.3．求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5 与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成．∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12- ＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.4．若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( )A ．0B ．eC ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e. 5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x6．（1）曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2.又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C7．若上题 (1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1.∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．8．(1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)(直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B9．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.10．曲线y ＝x －x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0作业111．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．12．已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .13．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．14．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：815．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.17．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________.解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：018．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， 故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.19．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x 2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.导数的应用(一)1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f (x )在(a ，b )上为增函数⇒f ′(x )≥0 f (x )在(a ，b )上为减函数⇒f ′(x )≤0⇔ 2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．1.f ′(x )>0与f (x )为增函数的关系：f ′(x )>0能推出f (x )为增函数，但反之不一定．如函数f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0，所以f ′(x )>0是f (x )为增函数的充分 不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f ′(x 0)＝0是可导函数f (x )在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y ＝x 3在x ＝0处有y ′|x ＝0＝0，但x ＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．20．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝(x －1)(x ＋1)x，令y ′≤0，则可得0<x ≤1. 21．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－a 在x ∈[1，＋∞)上f ′(x )≥0， 则f ′(1)≥0⇒a ≤3. 答案：322．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间． [自主解答] (1)由f (x )＝ln x ＋ke x， 得f ′(x )＝1－kx －x ln xx e x，x ∈(0，＋∞)，由于曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与x 轴平行，所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝1x e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x >0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．23．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，∴f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)e x＞0，∵e x＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜ 2.∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≤0对x∈R都成立．∵e x＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．24．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4 D．5解析：选D∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0，∴a＝5.25．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：选D求导得f′(x)＝e x＋x e x＝e x(x＋1)，令f′(x)＝e x(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．26．若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点． (1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点．[自主解答] (1)由题设知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点． 所以g (x )的极值点为－2. 求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．27．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b ， 从而f ′(x )＝6⎝⎛⎭⎫x ＋a 62＋b －a 26， 即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称．从而由题设条件知－a 6＝－12，即a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0， 得b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， 所以f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0， 即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x ＝－2或x ＝1，当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(－2,1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 即f (x )在(1，＋∞)上单调递增．从而函数f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝21， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－6.28．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]， 得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103.可知最小值为－173.答案：－17329．已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答] (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k－1；当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.30．上题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值．解：当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (1)＝(1－k )e.当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最大值为f (0)和f (1)较大者．若f (0)＝f (1)，所以－k ＝(1－k )e ，即k ＝e e －1. 当1<k <e e －1时函数f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e ，当ee －1≤k <2时，函数f (x )的最大值为f (0)＝－k ，当k －1≥1时，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减． 所以f (x )在[0,1]上的最大值为f (0)＝－k .综上所述，当k <ee －1时，f (x )的最大值为f (1)＝(1－k )e.当k ≥ee －1时，f (x )的最大值为f (0)＝－k .求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；31．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 1＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.课后作业232．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：选A 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)． 33．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )． 34．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，当x ＝2时，f ′(x )＝0；当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，所以x ＝2为函数f (x )的极小值点． 35．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( )A ．－2或2B ．－9或3C ．－1或1D ．－3或1解析：选A 设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减．若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.36．若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1解析：选A f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )． 37．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20.38．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m 2－12×(m ＋6)>0.所以m >6或m <－3. 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)39．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 答案：－440．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________． 解析：∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，⎩⎪⎨⎪⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝03×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2. ∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：441．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． 解：(1)∵f ′(x )＝2ax ＋bx . 又f (x )在x ＝1处有极值12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝12，f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0. 解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x.由f ′(x )<0，得0<x <1； 由f ′(x )>0，得x >1.所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)， 单调增区间是(1，＋∞)．42．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值． 解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛因x 2＝－13不在定 义域内，舍去．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3. 43．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)若f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3≥0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a ≤⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)． ∴a 的取值范围为(－∞，3]． (2)∵f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，x ∈[1,5]， f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1<x <3时，f ′(x )<0，当3<x <5时，f ′(x )>0， 即当x ＝3时，f (x )取极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9，最大值是f (5)＝15.44．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (1)＋f ′(1)＝0；选项D 中，f (1)>0，f ′(1)>0，不满足f ′(1)＋f (1)＝0.45．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1,2) B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C.⎝⎛⎭⎫12，2D ．(－2,1)解析：选A 由F (x )＝xf (x )，得F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝xf ′(x )－f (－x )<0，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，又可证F (x )为偶函数，从而F (x )在[0，＋∞)上单调递增，故原不等式可化为－3<2x －1<3，解得－1<x <2.46．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 解析：选D 由图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 47．已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax (a ∈R)．(1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)∵当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x ，f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x2(x >0)，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数． ∴f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2(x >0)．①当a ≥0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上是增函数； ②当－2<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上是增函数； ③当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数；④当a <－2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞和⎝⎛⎭⎫0，－1a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上是增函数．导数的应用(二)48． 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2ln x ＋x 2－1， f ′(x )＝2x ln x ＋3x .则曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝3，又f (1)＝0，所以切线方程为3x －y －3＝0. (2)f ′(x )＝2x ln x ＋(1－2a )x ＝x (2ln x ＋1－2a )，其中x ≥1.当a ≤12时，因为x ≥1，所以f ′(x )≥0，所以函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )≥f (1)＝0.当a >12时，令f ′(x )＝0，得x ＝e a －12.若x ∈[1，e a －12)，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在[1，e a －12)上单调递减．所以当x ∈[1，e a －12)时，f (x )≤f (1)＝0，不符合题意．综上a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．49．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )， 若x ＝0，则f ′(x )＝0；若x <0，则1－e x >0，所以f ′(x )<0； 若x >0，则1－e x <0，所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减． 故[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2，∴m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立． 故m 的取值范围为(－∞，2－e 2)． 50．（理科）已知函数f (x )＝e－kx·⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k (k <0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数k ，使得函数f (x )的极大值等于3e －2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f (x )的定义域为R. f ′(x )＝－k e －kx⎝⎛⎭⎫x 2＋x －1k ＋e －kx (2x ＋1)＝e－kx[－kx 2＋(2－k )x ＋2]，即f ′(x )＝－e－kx(kx －2)(x ＋1)(k <0)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2k . 当k ＝－2时，f ′(x )＝2e 2x (x ＋1)2≥0， 故f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)． 当－2<k <0时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，2k 和(－1，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k ，－1. 当k <－2时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下：所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)和⎝⎛⎭⎫2k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，2k . (2)当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.理由如下：当k ＝－2时，f (x )无极大值．当－2<k <0时，f (x )的极大值为f ⎝⎛⎭⎫2k ＝e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ， 令e －2⎝⎛⎭⎫4k 2＋1k ＝3e －2，即4k 2＋1k ＝3， 解得k ＝－1或k ＝43(舍去)．当k <－2时，f (x )的极大值为f (－1)＝－e kk . 因为e k <e－2,0<－1k <12，所以－e k k <12e －2.因为12e －2<3e －2，所以f (x )的极大值不可能等于3e －2.综上所述，当k ＝－1时，f (x )的极大值等于3e －2.51．（理科）已知函数f (x )＝x －12ax 2－ln(1＋x )，其中a ∈R.(1)若x ＝2是f (x )的极值点，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)若f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝x (1－a －ax )x ＋1，x ∈(－1，＋∞)．依题意，得f ′(2)＝0，解得a ＝13.经检验，a ＝13时，符合题意．故a ＝13.(2)①当a ＝0时，f ′(x )＝x x ＋1，由f ′(x )>0和f ′(x )<0，易得f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝1a －1.当0<a <1时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎭0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭1a －1，＋∞. 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)． 当a >1时，－1<x 2<0，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭1a －1，0，单调递减区间是⎝⎭－1，1a －1和(0，＋∞)． ③当a <0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)． 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)；当0<a <1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a －1，单调递减区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞； 当a ＝1时，f (x )的单调递减区间是(－1，＋∞)；当a >1时，f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a －1，0，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－1，1a －1和(0，＋∞)． (3)由(2)知a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由f (0)＝0，知a ≤0时不合题意．当0<a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的最大值是f ⎝⎛⎭⎫1a －1，由f ⎝⎛⎭⎫1a －1>f (0)＝0，知0<a <1时不合题意． 当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，可得f (x )在[0，＋∞)上的最大值是f (0)＝0，符合题意．所以f (x )在[0，＋∞)上的最大值是0时，a 的取值范围是[1，＋∞)．52． 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答] (1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x ) >0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：由(1)知[f (x )]min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝1e <12.∴[f (x )]min －[g (x )]max >12.∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.(3)在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3.因为f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，当0<1a <e 时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上单调递增， 所以[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； 当1a ≥e 时，f (x )在(0，e]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)，所以，此时a 不存在．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时f (x )有最小值3.利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0. 53．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间； (2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立． 解：(1)g (x )＝ln x ＋kx ， ∴令g ′(x )＝x －kx 2＝0得x ＝k . ∵x >0，∴当k ≤0时，g ′(x )>0.∴函数g (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当k >0时g ′(x )>0得x >k ；g ′(x )<0得0<x <k ， ∴增区间为(k ，＋∞)，减区间为(0，k )．(2)证明：设h (x )＝x ln x －2x ＋e(x ≥1)， 令h ′(x )＝ln x －1＝0得x ＝e ， h (x )，h ′(x )的变化情况如下：故h (x )≥0.即f (x )≥2x －e.课后作业354．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a )解析：选A ∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2≤－2f (x )x 2≤0.则函数f (x )x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f (a )a ≥f (b )b.即af (b )≤bf (a )． 55．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( ) A ．1百万件 B ．2百万件 C ．3百万件D ．4百万件解析：选C 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．56．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递增．又函数f (x )是R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝0.当x >0时，f (x )<0，∴0<x <1；当x <0时，图象关于y 轴对称，f (x )>0，∴x <－1.答案：(－∞，－1)∪(0,1)57．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点．答案：(－2,2)58．已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．解：(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x .∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x . ∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数．∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方． 59．已知函数(理)f (x )＝e x－m－x ，(文)f (x )＝1em e x －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． 解：(1)依题意，可知f (x )在R 上连续，且f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m<1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x－m>1，f ′(x )>0，f (x )单调递增；故当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e－m>0，f (0)·f (m )<0，∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (m )>g (1)＝e －2>0，即f (2m )>0.∴f (m )·f (2m )<0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点． 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点．60．已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ，x ∈[－2，t ](t >－2)．(1)当t <1时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)设f (－2)＝m ，f (t )＝n ，求证：m <n .解：(1)f ′(x )＝(2x －3)e x ＋e x (x 2－3x ＋3)＝e x x (x －1)， ①当－2<t ≤0，x ∈[－2，t ]时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增； ②当0<t <1，x ∈[－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，t ]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上，当－2<t ≤0时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2，t ]；当0<t <1时，y ＝f (x )的单调递增区间为[－2,0)，单调递减区间为(0，t ]． (2)证明：依题意得m ＝f (－2)＝13e －2，n ＝f (t )＝(t 2－3t ＋3)e t ，设h (t )＝n －m ＝(t 2－3t ＋3)e t －13e －2，t >－2，h ′(t )＝(2t －3)e t ＋e t (t 2－3t ＋3)＝e t t (t －1)(t >－2)． 故h (t )，h ′(t )随t 的变化情况如下表：由上表可知h (t )的极小值为h (1)＝e －13e 2＝e e2>0，又h (－2)＝0，故当－2<t <0时，h (t )>h (－2)＝0，即h (t )>0，因此，n －m >0，即m <n .61．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ，b ∈R)在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14.(1)求f (x )的单调区间；(2)令g (x )＝－x 2＋2x ＋k ，若对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－3a ，∵f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝9x －14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝4，f ′(2)＝9，则⎩⎪⎨⎪⎧ 8－6a ＋b ＝4，12－3a ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 3－3x ＋2，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 由f ′(x )>0，得x <－1或x >1； 由f ′(x )<0，得－1<x <1.故函数f (x )的单调递减区间是(－1,1)；单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)． (2)由(1)知，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2)上单调递增． 又f (0)＝2，f (2)＝4，有f (0)<f (2)，∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝4. 又g (x )＝－x 2＋2x ＋k ＝－(x －1)2＋k ＋1，∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max ＝g (1)＝k ＋1. ∵对任意x 1∈[0,2]，均存在x 2∈[0,2]，使f (x 1)<f (x 2)成立， ∴有f (x )max <g (x )max ，则4<k ＋1，即k >3. 故实数k 的取值范围是(3，＋∞)．62．设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R.(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围． 解：(1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)． 所以f ′(x )＝1x －1.由f ′(x )＝1x －1>0得0<x <1，由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0， 即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0，即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意； ②当－12<p <0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫1，－12p ，则ln x >0，1＋2px >0， 从而g ′(x )＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫1，－12p 上单调递增，从而存在x 0∈⎝⎛⎭⎫1，－12p 使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意． 综上所述，实数p 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12.集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·广州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤0，a x ，x >0，若f (1)＝f (－1)，则实数a 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4。
新人教版数学选修2-2全册导学案精品(全品学案)
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
► 考点二 利用图像理解导数的几何意义
1.1. 3 │ 考点类析
y轴 x轴 锐角 钝角
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1.1. 3 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点二导数的运算法则在求导中的应用 可导
f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x) af′(x)＋bg′(x)
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 导数公式及运算法则在切线方程中的应用
切线
导数值 曲线
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
1. 2.2 │ 考点类析
► 考点三 复合函数求导
1. 2.2 │ 考点类析
1.1.2 │ 三维目标
三维目标
【知识与技能】 (1)感受平均变化率的实际背景，理解函数的平均变化率的概 念，会求函数的平均变化率． (2)通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变 化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是 导数． 【过程与方法】 (1)经历由实例抽象出平均变化率的过程，体会平均变化率的 思想及内涵，培养学生观察、归纳、类比、猜想、验证的数学 思想，体验由特殊到一般的逻辑思维过程．
导数学案(完整版)精心整理
选修（ 1-1）第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标： 1. 了解函数的平均变化率、瞬时变化率的概念；2.理解导数的概念，理解、掌握导数的几何意义3.会利用定义求函数在某一点附近的平均变化率及导数；4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[ 开篇思考 ]：阅读开篇语，了解课程目标1.微积分的创立与自然科学中的哪些问题的处理直接相关？2.导数的研究对象是什么？[ 问题探究一 ]：气球膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。
从数学的角度如何描述这种现象 ? 阅读教材 P72并思考：（ 1）问题中涉及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2）“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“”，从数学角度进行描述就是“”，即气球的平均膨胀率就是.（ 3）运用上述数学解释计算一些具体的值当空气容量从0 增加到 1 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 1 L增加到 2 L时，气球半径r增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 2 L增加到 2.5 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；当空气容量从 2.5 L增加到 4 L时，气球半径r 增加了，气球的平均膨胀率为；可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐.（ 4）思考：当空气容量从V1增加到 V2时，气球的平均膨胀率是[问题探究二 ]：高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t) 4.9t 2 6.5t10如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？阅读教材 P73并思考：h若用运动员在某段时间t1 , t 2内的平均速度v 描述其运动状态，那么：（ 1）v =；（ 2）算一算：在0t0.5 这段时间内， v =ot 在1t2这段时间内， v =t1 t2在0t65这段时间内， v =49[新知 ]：设 y f (x) ， x1是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点 x2， x1与 x2的差记为x，即x =或者 x2 =， x 就表示从x1到 x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ，即 y =；如果它们的比值y ，则上式就表示为，此比值就称为平均变化率 .x平均变化率： _______________ = ______反思：所谓平均变化率也就是的增量与的增量的比值 .[ 试一试 ]：[探究 ]：计算[问题探究二]运动员在0 t 65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：例：已知函数 f ( x)2f ( x) 在下列区间上的平均变化率：49 x ，分别计算（1）1，1.1（2）1，2（ 1）运动员在这段时间内使静止的吗？（ 3）1，1x（ 2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：[知识回顾 ]：什么是函数y f ( x) 的平均变化率？如何求平均变化率？[ 思考 ] ：当x越来越小时，函数 f ( x) 在区间1 ， 1x 上的平均变化率有怎样的变化趋势？[想一想 ]：既然用平均速度不能精确描述运动员的运动状态，那该如何求运动员在某一时刻的速度呢？y =回答下列问题：[ 变式 ] ：已知函数 f (x)x2x 的图象上一点 1 ， 2 及邻近一点 1 x ， 2y，则1．什么是瞬时速度？x2. 当t 趋近于 0 时,平均速度v有什么样的变化趋势？3. 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？[ 学习小结 ]：[认识与理解 ]：求瞬时速度1.函数 f ( x) 的平均变化率是一物体的运动方程是 s 3t 2，则在t 2 时刻的瞬时速度是2.求函数 f ( x) 的平均变化率的步骤：（ 1）求函数值的增量；（ 2）计算平均变化率.[ 作业 ] ：形成练习 P41-42练习 21 函数的平均变化率[新知 ]：[再思考 ]：计算[问题探究二]中运动员在0 t 651. 函数y f ( x) 的瞬时变化率怎样表示？这段时间里的平均速度，思考以下问题：49（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、导数的概念 2. 什么是函数y f ( x) 在 x x0处的导数？如何表示？其本质是什么？[试一试 ]：例 1．（ 1）用定义求函数y 3x2在x 1 处的导数.（ 2）求函数f(x)=x 2x 在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例 2．阅读教材P75例 1, 计算第3h时和第5h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.[ 学习小结 ]：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．函数y f (x) 在 x x0处的导数及其本质[ 作业 ] ：形成练习P43-44练习 22 导数的概念三、导数的几何意义（阅读教材P74-75）[思考与探究一]：曲线的切线及切线的斜率如图 3.1-2，当P(x, f (x))( n 1,2,3,4)沿着曲线f (x)趋近于点 P( x, f (x)) 时，割线 PP n的n n n00变化趋势是什么？图3.1-2当点 P n沿着曲线无限接近点P 即x→0 时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的.[想一想 ]：（1）割线PP n的斜率k n与切线 PT 的斜率k有什么关系？（2）切线 PT 的斜率k为多少？（3）此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同？[新知 1]：导数的几何意义：1.函数 y f ( x) 在 x x0处的导数等于即 f (x0 )limf ( x0x) f ( x0 )0xkx2.函数 y f ( x) 在 x x0处的切线方程是.3.求曲线在某点 P 处的切线方程的基本步骤:①求出点的坐标 P( x0 , f ( x0 )) ；② 求出函数在点x x0处的变化率 f (x0 ) lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，x x得到曲线在点P( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.[新知 2]：导函数：1.什么是函数 y f ( x) 的导函数？2. 函数f ( x)在点x0处的导数 f (x0 ) 、导函数 f ( x) 、导数之间的区别与联系？[ 试一试 ]：例 1:（1）求曲线y f ( x) x 2 1 在点 P(1,2) 处的切线方程.例 2：在曲线y x2上过哪一点的切线平行于直线y 4 x 5？例 3：（1）试描述函数 f ( x) 在x5, 4, 2,0,1附近的的变化情况.（ 2）已知函数 f (x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大致形状.[练一练 ]：（ 1）求函数 f (x) 3x 2在点x 1 处的切线方程.（ 2）设曲线 f ( x) x2在点 P0处的切线斜率是3，则点P0的坐标是[学习小结 ]：1.导数的几何意义是什么？2.函数 f ( x) 在点 x0处的导数 f ( x0 ) 、导函数 f (x) 、导数之间的区别与联系？3.求曲线在某点 P 处的切线方程的基本步骤:[ 作业 ]：1. 形成练习 P44-45练习 23 导数的几何意义； 2.学探诊测试十一[课后思考 ]： 1. 本节知识内容有哪些？你学会了什么？ 2.你还有哪些困惑？快快去解决 .课题：§3.2导数的计算学习目标： 1．会利用导数的定义推导函数y c 、 y x 、 y x 2 、 y1 的导数公式；x2．掌握基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数[开篇语 ]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限， 这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们先来求几个常用的函数的导数．[思考与探究 ]：阅读教材 P 81-82，利用导数的定义，尝试自己推导函数y c 、 yx 、 yx 2 、y1的导数x[练一练 1]：利用导数的定义函数 y x 3的导数二、基本初等函数的导数公式及导数运算法则[记一记 1]：基本初等函数的导数公式1. ( c) _________2. ( x )________（为有理数）( 1)_________x3. ( e x )_________(a x )_________( a 0, a 1 )4. (ln x) __________(log a x) ________( a 0, a 1 ) 5. (sin x)_________(cos x)_________[练一练 2]例 1：求下列函数的导数（ 1） y x 3（ 2） y x x（3 ） y 1x 2（ 4） y 2 sin x cosx（ 5） y1 22x例 2：（ 1）求 y1 在点 ( 2, 1) 处的切线方程x 2（ 2）求 y ln x 在 xe 2 处的切线方程（ 3）求 ysin x 在点 A( , 1) 处的切线方程6 2（ 4）设曲线 f ( x) 2x 2在点 P 0 处的切线斜率是 3，则点 P 0 的坐标是（ 5）在曲线 yx 2 上过哪一点的切线平行于直线y 4 x 5？（ 6）求过点 P2, 8 所作的 yx 3 的切线方程 ___________.[记一记 2]：导数运算法则：设函数 f ( x), g (x) 是可导函数，1.( f ( x)g( x))_________________.2.( f ( x)g( x))_________________.cf (x)_____________.3.( f ( x) )_________________.g( x)[练一练 3]：练 1. 求下列函数的导数：（ 1）y1log 3 x ；（ 2） y2e x；x（ 3） y 2x53x2 5 x 4 ；（4）y3cos x 4sin x .练 2. 求下列函数的导数：3（ 1） y x3log 2 x ；（ 2） y x n e x；（ 3） y x 1sin x练 3.（ 1）设曲线y x 1在点(3, 2)处的切线与直线ax y 1 0垂直，则a的值. x1（ 2）（2013 年江西）若曲线y x 1( α∈ R)在点 (1,2)处的切线经过坐标原点,则α的值 .[提高篇 ]1.（朝阳一模）已知函数 f x x 2 a 2 x a ln x ，其中a R ，求曲线y f x在点2, f 2处的切线的斜率为1，求a的值 .（如改为已知切线方程）2. （ 2012 北京）已知函数f xax 2 1 a0 ， g x x 3bx .若曲线 y f x 与曲线 y g x在它们的交点 1, c 处具有公共切线，求a,b 的值.[学习小结 ]：1．对于简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。
高中数学第2章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案北师大版选修2_2
§1 变化的快慢与变化率1．函数的平均变化率(1)定义：对一般的函数y ＝f (x )来说，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，它的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.通常我们把自变量的变化x 2－x 1称作自变量的改变量，记作Δx ，函数值的变化f (x 2)－f (x 1)称作函数值的改变量，记作Δy .这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)作用：平均变化率用来刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 思考：函数的平均变化率是固定不变的吗？[提示] 不一定．当x 0取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值，x 0取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定．2．函数的瞬时变化率(1)定义：对于一般的函数y ＝f (x )，在自变量x 从x 0变到x 1的过程中，若设Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝f (x 1)－f (x 0), 则函数的平均变化率是Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点的瞬时变化率． (2)作用：瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢．1．如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1．]2．一质点运动规律是s ＝t 2＋3(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则在t ＝1 s 时的瞬时速度估计是________m/s.2 [Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝(1＋Δt )2＋3－(12＋3)＝2Δt ＋(Δt )2，∴ΔsΔt＝2Δt ＋(Δt )2Δt ＝2＋Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt趋于2．]3．一次函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)从x 1到x 2的平均变化率为________．a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变化率都等于常数a .]A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．思路探究：(1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔxB [(1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2．1)－f (2)＝2．12－22＝0.41．] (2)[解] 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1． 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2C [∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx ，故选C.]12速度哪个快？思路探究：比较相同的时间Δt 内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果． [解] 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但s 1(t 0－Δt )>s 2(t 0－Δt )， 故s 1(t 0)－s 1(t 0－Δt )Δt <s 2(t 0)－s 2(t 0－Δt )Δt.所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．平均变化率的意义1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．2．某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s (单位：个)与时间t (单位：天)的关系如图所示，则接近t 0天时，下列结论中正确的是( )A ．甲的日生产量大于乙的日生产量B ．甲的日生产量小于乙的日生产量C ．甲的日生产量等于乙的日生产量D ．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小B [由平均变化率的几何意义可知，当接近于t 0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．]1．高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t＋10，求运动员在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，6549时间内的平均速度为多少？ [提示] 易知h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549＝h (0)，v －＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫6549－h (0)6549－0＝0.2．物体的平均速度能否精确反映物体的运动状态？[提示] 不能．如高台跳水运动员从起跳高度到最高点后回到起跳高度的过程中，平均速度为0，而运动员一直处于运动状态．3．如何描述物体在某一时刻的运动状态？[提示] 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．要求物体在t 0时刻的瞬时速度，设运动方程为s ＝s (t )，可先求物体在(t 0，t 0＋Δt )内的平均速度Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt，然后Δt 趋于0，得到物体在t 0时刻的瞬时速度．【例3】 一辆汽车按规律s ＝3t 2＋1做直线运动，估计汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ；位移单位：m)思路探究：先求时间从3到3＋Δt 时的平均速度，再由Δt 趋于0求得瞬时速度． [解] 当时间从3变到3＋Δt 时， v －＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝3(3＋Δt )2＋1－(3×32＋1)Δt＝3Δt ＋18，当Δt 趋于0时，v －趋于常数18.∴这辆汽车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.求函数f (x )在点x ＝x 0处的瞬时变化率的步骤1．求Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；2．计算ΔyΔx ，并化简，直到当Δx ＝0时有意义为止；3．将Δx ＝0代入化简后的ΔyΔx即得瞬时变化率．3．求函数y ＝f (x )＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率． [解] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2＋(1＋Δx )－(3＋1)＝7Δx ＋3(Δx )2．∴Δy Δx ＝7Δx ＋3(Δx )2Δx＝7＋3Δx . ∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx ＝7＋3Δx 趋于7＋3×0＝7.∴函数y ＝3x 2＋x 在点x ＝1处的瞬时变化率为7.1．平均变化率与瞬时变化率之间的联系平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”，当平均变化率ΔyΔx中Δx →0时，平均变化率变为瞬时变化率．2．瞬时速度与平均速度的区别和联系(1)区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．(2)联系：瞬时速度是平均速度的极限值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画弯曲山路的陡峭程度．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6D ．－3Δt －6D [Δs Δt ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3)Δt＝－6－3Δt .]3．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 21 200，其中x 为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．1912 [ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝1912.] 4．在F1赛车中，赛车位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求：(1)t ＝20，Δt ＝0.1时Δs 与Δs Δt ；(2)t ＝20时的瞬时速度．[解] (1)Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝1＋20＋5×0.01＝21．05(m)， Δs Δt ＝21.050.1＝210.5(m/s)． (2)∵Δs Δt＝10(20＋Δt )＋5(20＋Δt )2－10×20－5×202Δt＝5Δt ＋210，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于210，所以在t ＝20时的瞬时速度为210 m/s.。
高中数学第二章导数及其应用4导数的四则运算法则学案北师大版选择性
§4导数的四则运算法则最新课程标准学科核心素养能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数．1.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(数学运算)2．利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)[教材要点]要点导数的运算法则若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有导数运算法则语言叙述1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．(g(x)≠0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方．状元随笔法则1：函数的和(差)的导数导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)．法则2：函数的积的导数(1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即[cf(x)]′＝cf ′(x)．(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常数．(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x).法则3：函数的商的导数(1)注意[]′≠.(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，[]′＝－.[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知函数y＝2ln x－2x，则y′＝－2x ln 2.( )(2)已知函数y＝3sin x＋cos x，则y′＝3cos x＋sin x．( )(3)函数f(x)＝x e x的导数是f′(x)＝e x(x＋1)．( )(4)若函数f(x)＝，则f′(x)＝.( )2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )A．1－sin 1 B．1＋sin 1C．sin 1－1 D．－sin 13．函数y＝sin x·cos x的导数是( )A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________．题型一利用求导公式和法则求导例1 求下列函数的导数(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x2＋ln x；(3)y＝x2·sin x；(4)y＝.方法归纳利用导数的公式及运算法则求导的思路跟踪训练1 (1)(多选题)下列求导运算中正确的是( )A．′＝1＋B．(lg x)′＝C．′＝D．(x2cos x)′＝－2x sin x(2)求下列函数的导数①y＝x2－2x－4ln x；②y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；③y＝.题型二导数与曲线的切线问题例2 已知曲线y＝在(2，2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值．变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直线方程．方法归纳应用求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．方法先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________．(2)已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R，若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．易错辨析不能正确应用导数的运算法则致误例3 求函数y＝的导数．解析：∵y＝＝3x－x＋5－，∴y′＝(3x－x＋5－)′＝)′＝＝－1＝－1.【易错警示】出错原因纠错心得不对求导的式子进行化简，而是直接利用商的导数公式求解，且误记＝致误．利用导数的四则运算法则求导时，应先把原式进行恒等变形进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式．本题就是把商化成和差求导，这样容易计算．[课堂十分钟]1．若f(x)＝x cos x，则f′＝( )A． B．1C．－ D．－12．函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为( ) A．y＝4x＋2 B．y＝2x－4C．y＝4x－2 D．y＝2x＋43．(多选题)下列结论中正确的有( )A．若y＝sin ，则y′＝0B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)的值等于________．5．已知函数f(x)＝x3＋x－16(1)求f′(x)；(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程．§4导数的四则运算法则[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.答案：A3．解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.故选B.答案：B4．解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.答案：1题型探究·课堂解透题型一例 1 解析：(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x －5.(2)y′＝(x2＋ln x)′＝(x2)′＋(ln x)′＝2x＋.(3)y′＝(x2)′sin x＋x2·(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.(4)y′＝＝＝.跟踪训练1 解析：(1)′＝1－，A错误；(lg x)′＝，B正确；′＝，C正确；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．故选BC.(2)①y′＝2x－2－；②∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11；③y′＝＝.答案：(1)BC (2)见解析题型二例2 解析：因为y′＝＝－，所以y′|x＝2＝－1，即－＝－1.所以a＝2.变式探究1 解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0，直线方程x＋y＋＝0，所以所求距离d＝＝.变式探究2 解析：由例2知y′＝－.令－＝－1，得x＝0或2(x＝0舍去)，所以切线方程为x＋y－4＝0.跟踪训练2 解析：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即解得b＝0，c＝1.(2)f′(x)＝1－，由导数的几何意义，得f′(2)＝3，于是a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，可得f(2)＝2－＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.答案：(1)b＝0，c＝1 (2)见解析[课堂十分钟]1．解析：因为f′＝cos x－x sin x，所以f′＝－.故选C.答案：C2．解析：由已知y′＝2(ln x＋1)＋2x·＝2ln x＋4，则y′|x＝1＝4，又x＝1时，y＝2，则切线方程为y＝4x－2.故选C.答案：C3．解析：若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；若f(x)＝3x2－f′(1)·x，则f′(x)＝6x－f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．故选ABC.答案：ABC4．解析：由f(x)＝x2＋3xf′(2)，得f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，则f′(2)＝4＋3f′(2)，解得f′(2)＝－2，答案：－25．解析：(1) f′＝3x2＋1(2)可判定点在曲线y＝f上．∵f′(x)＝3x2＋1∴在点处的切线的斜率为k＝f′＝13.∴切线的方程为y＋6＝13，即y＝13x－32.。
学案4：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课标要求1．掌握导数的和、差、积、商的求导法则．2．会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题． 核心扫描1．应用四则运算法则求导是本节课的重点． 2．本节内容常与研究函数性质相结合命题. 课前探究学习自学导引导数运算法则想一想：⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g 2(x )成立的条件是什么？ 提示 f (x )，g (x )都有导数，且g (x )≠0.名师点睛1．运用导数运算法则的注意事项(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差，即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )．②[ af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )； ③当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )..(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x )这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．2．变形化简，减少求导的运算量应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘积和商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行 化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错. 课堂讲练互动题型一 求导法则的直接运用例1：求下列函数的导数．(1)y ＝3x －lg x ； (2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)； (3)y ＝x ＋3x 2＋3； (4)y ＝－sin x ＋e x .规律方法 应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确记忆公式．变式1：求下列函数的导数． (1)y ＝2x 2＋3x 3； (2)y ＝x 3·10x ；(3)y ＝cos x ·ln x; (4)y ＝x 2sin x.题型二 导数求导法则的灵活运用例2：求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(2)y ＝x sin x －2cos x ；(3)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ；(4)y ＝x －sin x 2cos x2.规律方法 解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，在求较复杂函数的导数时，首先利用代数或三角恒等变形对已知函数解析式进行化简变形．如，把乘积的形式展开，分式形式变为和或差的形式，根式化为分数指数幂，然后再求导，这样可减少计算量．变式2：求下列函数的导数． (1)y ＝－sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4；(2)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(3)y ＝x ·tan x .题型三 求导法则的应用例3：求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．变式3：若将本例改为求曲线y ＝x 3－2x 在点A (1，－1)处的切线方程，结果会怎样？方法技巧 数形结合思想在导数中的应用数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．示例：讨论关于x 的方程ln x ＝kx 解的个数．方法点评 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义 ，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某 种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁.参考答案：题型一 求导法则的直接运用例1：解：(1)y ′＝(3x )′－(lg x )′＝3x ·ln 3－1x ln 10. (2)y ＝(x 2＋1)(x ＋1)＝x 3＋x 2＋x ＋1， ∴y ′＝3x 2＋2x ＋1.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x 2＋3′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝(x 2＋3)－(x ＋3)·2x (x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3x 2＋32.(4)y ′＝(－sin x )′＋(e x )′＝－cos x ＋e x .变式1：解：(1)y ＝2x 2＋3x 3＝2x －2＋3x －3，y ′＝－4x －3－9x －4.(2)y ′＝(x 3)′·10x ＋x 3·(10x )′＝3x 2·10x ＋x 3·10x ·ln 10. (3)y ′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx .(4)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2·(sin x )′sin 2x ＝2x ·sin x －x 2cos x sin 2x.题型二 导数求导法则的灵活运用例2：解：(1)∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. (2)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x . (3)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝(x 2＋x 3＋x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3. (4)先使用三角公式进行化简，得 y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . 变式2：解 (1)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2·⎝⎛⎭⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝12cos x . (2)y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(3)y ＝x ·tan x ＝x sin xcos x ，∴y ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos 2x＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x＝x ＋sin x cos xcos 2x.题型三 求导法则的应用例3：解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2 故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.变式3：解：∵点A (1，－1)在曲线上，点A 是切点， ∴在A 处的切线方程为x －y －2＝0.示例：解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0) ，则kx 0＝ln x 0. ∵(ln x )′＝1x ，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0.∴x 0＝e ，k ＝1e .结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0<k <1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k >1e时，方程ln x ＝kx 无解．。
数学高中变化率教案
数学高中变化率教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念。
2. 掌握求导数的方法。
3. 能够运用导数分析函数的变化率。
教学重点：
1. 变化率的定义和意义。
2. 求导数的方法和思路。
3. 利用导数分析函数的变化。
教学难点：
1. 求导数过程中的细节和技巧。
2. 应用导数解决实际问题。
教学准备：
1. 彩色板书笔和黑板。
2. 教学PPT。
3. 示例题目和练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍变化率的概念，并举几个生活中的实例引导学生思考。
二、理论学习（15分钟）
1. 利用PPT介绍导数的概念和性质。
2. 分析导数的计算方法和求导的基本规则。
3. 通过示例解析导数的实际应用。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 教师布置几道导数计算的练习题，让学生尝试解答。
2. 学生互相讨论和分享解题思路，澄清疑惑。
四、小结与展示（5分钟）
教师总结本节课学习的重点内容，强调变化率的重要性，并展示几个导数应用的例题。
五、课堂作业（5分钟）
布置相关的作业题目，巩固学生对导数的理解和运用能力。
教学反思：
本节课注重引导学生理解变化率的概念，并通过实例和练习加深对导数的认识。
在教学过程中，要注重培养学生的分析和解决问题的能力，引导他们应用导数解决实际问题，提升数学思维能力。
1-1 3.1变化率与导数学案
§3.1 变化率与导数学案§3.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学过程：一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了Array气球的平均膨胀率为(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念 1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例 1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy. 解:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率. 解:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 .2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率.五、课堂反馈1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0 C ()x x f ∆⋅0 D ()()00x f x x f -∆+ 2． 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A －4B －8C 6D －63． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4． 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x D xx ∆-∆+12 5．函数()x f y =的平均变化率的物理意义是指把()x f y =看成物体运动方程时，在区间[]21,t t 内的6．函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的7．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是 8．正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？ 9．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度（单位：孤度）由函数()23.04t t t -=ϕ（单位：秒）给出（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度（2）求在t t ∆+≤≤22时间段内P 点转过的平均角速度，其中①1=∆t ，②1.0=∆t ③01.0=∆t§3.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 学习过程： 一、创设情景 (一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论: 小结:2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y =即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率; (2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x y x ∆∆→∆0lim .解: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C)为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. 解:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在0x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ）A xx f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'limB xx f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'lim C xx f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'limD xx x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim 3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ）A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0B 3C －2D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xyx lim7．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
1.2.2导数的运算法则(含复合函数的导数)(学生学案)
SCH 南极数学人教A 版选修2-2第一单元《导数及其应用》同步教学设计 班级 姓名 座号1．2导数的计算（学生学案）（2）1．2．2导数的运算法则（含复合函数的导数） 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x tan x .变式训练1 (1)若函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，且f ′(x )是函数f (x )的导函数，则f ′(1)等于( ) A ．24 B ．－24 C ．10 D ．－10(2)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f ′(π2)等于( )A ．－2π B.2π C.1π D ．－1π(3)已知y ＝x 2－sin x 2cos x2，则y ′＝________.例2：（课本P17例4）求下列函数的导数： （1）2(23)y x =+ （2）0.051x y e-+=（3）sin()y x πϕ=+ （其中,πϕ均为常数） 例3 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1；(2)y ＝1(2x ＋1)4；(3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．变式训练3(1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.(2)已知y ＝ln 3xex ，则y ′|x ＝1＝________.(3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝______________________________ 四．【课时作业】 一、选择题：1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．函数y ＝cos x1－x的导数是( )A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133 D.103 4．下列各函数的导数：①(x )′＝12x 12-；②(a x )′＝a 2ln x ；③(sin 2x )′＝cos 2x ；④(x x ＋1)′＝1x ＋1.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒6．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角 7．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－28、（课本P18习题1.2 A 组NO ：4） 9、（课本P18习题1.2 A 组NO ：5） 10、（课本P18习题1.2 A 组NO ：6） 11、（课本P18习题1.2 A 组NO ：7） 12、（课本P18习题1.2 B 组NO ：2） 13、（课本P18习题1.2 B 组NO ：3）。
1.2.3 导数的四则运算法则 学案(含答案)
1.2.3 导数的四则运算法则学案（含答案）1.2.3导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识点一导数的四则运算法则已知fxx，gx1x.思考1fx，gx的导数分别是什么答案fx1，gx1x2.思考2试求Gxx1x，Hxx1x的导数并说出Gx，Hx与fx，gx 的关系答案Gx11x2.同理，Hx11x2.Gxfxgx，Hxfxgx思考3fxgxfxgx正确吗那么fxgxfxgxgx0且gx0是否正确答案fxgxfxgx，fxgxfxgx.梳理导数的四则运算法则1设fx，gx是可导的，则法则语言叙述fxgxfxgx两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数和或差fxgxfxgxfxgx两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数fxgxfxgxfxgxg2xgx0两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子的差除以分母的平方2特别地，CfxCfx，1gxgxg2xgx0特别提醒1fxgxfxgx可推广到任意有限个函数的和或差的求导2afxbgxafxbgx知识点二复合函数yfux的导数yfux是x的复合函数，则yfuxdydududxfuux1函数fxxex的导数是fxexx12当gx0时，1gxgxg2x.3函数yex的导数为yex.类型一利用导数的四则运算法则求导例1求下列函数的导数1yx3ex；2yxsinx2cosx2；3yx2log3x；4yex1ex1.解1yx3exx3ex3x2exx3exx23xex.2yx12sinx，yx12sinx112cosx.3yx2log3xx2log3x2x1xln3.4yex1ex1ex1ex1ex12exex1ex1exex122exex12.反思与感悟求函数的导数的策略1先区分函数的运算特点，即函数的和.差.积.商，再根据导数的运算法则求导数2对于三个以上函数的积.商的导数，依次转化为“两个”函数的积.商的导数计算跟踪训练11已知fxxaxbxc，则afabfbcfc________.答案0解析fxxaxbxcxaxbxcxaxbxcxbxcxaxcxaxb，faabac，fbbabcabbc，fccacbacbcafabfbcfcaabacbabbccacbcabcbaccababbcac0.2求下列函数的导数y2x33xx1xx；yx21x23；yx1x3x5；yxsinx2cosx.解313122223yxxxx，1352222333.22yxxxx方法一yx21x23x21x23x2322xx232xx21x2324xx232.方法二yx21x23x232x2312x23，y12x232x232x232x23x2324xx232.方法一yx1x3x5x1x3x5x1x3x1x3x5x1x32x4x5x1x33x218x23.方法二yx1x3x5x24x3x5x39x223x15，yx39x223x153x218x23.yxsinx2cosxxsinxxsinx2cosx2cosxcos2xsinxxcosx2sinx cos2x.类型二简单复合函数求导例2求下列函数的导数1yecosx1；2ylog22x1；3y2sin3x6；4y112x.解1设yeu，ucosx1，则yxyuuxeusinxecosx1sinx.2设ylog2u，u2x1，则yxyuux2uln222x1ln2.3设y2sinu，u3x6，则yxyuux2cosu36cos3x6.4设yu12，u12x，则yxyuux12u12x1232u212x32.反思与感悟求复合函数导数的步骤1确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系yfu，ugx2分步求导弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求yu，再求ux.3计算yuux，并把中间变量转化为自变量整个过程可简记为“分解求导回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程跟踪训练21已知函数fx2x15，则f0的值为________答案10解析fx52x142x1102x14，f010.2求下列函数的导数y3x；y12lnx21；ya12xa0，a1解设yu，u3x，则yxyuux12u1123x.设y12lnu，ux21，则yxyuux121u2x121x212xxx21.令yau，u12x，则yxyuuxaulna2a12xlna22a12xlna.类型三导数运算法则的综合应用命题角度1利用导数求函数解析式例31已知函数fxlnxx2xf1，试比较fe与f1的大小关系；2设fxaxbsinxcxdcosx，试确定常数a，b，c，d，使得fxxcosx.解1由题意得fx1lnxx22f1，令x1，得f11ln112f1，即f11.fxlnxx2x.felnee2e1e2e，f12，由fef11e2e20，得fef12由已知得fxaxbsinxcxdcosxaxbsinxcxdcosxaxbsinxaxbsinxcxdcosxcxdcos xasinxaxbcosxccosxcxdsinxacxdsinxaxbccosx.又fxxcosx，adcx0，axbcx，即ad0，c0，a1，bc0，解得ad1，bc0.反思与感悟1中确定函数fx的解析式，需要求出f1，注意f1是常数2中利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成12问的前提是熟练应用导数的运算法则跟踪训练3函数fxx2x1f1，则f1________.答案1解析对fx求导，得fx2x12x2x1212x12，则f11.命题角度2与切线有关的问题例41若曲线yxlnx上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是________答案e，e解析设Px0，y0yxlnx，ylnxx1x1lnx，k1lnx0.又k2，1lnx02，x0e.y0elnee.点P的坐标是e，e2已知函数fxax2bx3a0，其导函数为fx2x8.求a，b的值；设函数gxexsinxfx，求曲线gx在x0处的切线方程解因为fxax2bx3a0，所以fx2axb，又知fx2x8，所以a1，b8.由可得gxexsinxx28x3，所以gxexsinxexcosx2x8，所以g0e0sin0e0cos02087.又知g03，所以gx在x0处的切线方程为y37x0，即7xy30.反思与感悟1与切线有关的问题往往涉及切点.切点处的导数.切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系2准确利用求导法则求出导函数是解决与切线有关的问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确3分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪训练41设曲线y2cosxsinx在点2，2处的切线与直线xay10垂直，则a________.答案1解析ysin2x2cosxcosxsin2x12cosxsin2x，当x2时，y12cos2sin221.又直线xay10的斜率是1a，1a1，即a1.2曲线yesinx在0,1处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程解设usinx，则yesinxeusinxcosxesinx，即y|x01，则切线方程为y1x0，即xy10.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为xyc0.两平行线间的距离d|c1|22，所以c3或c1.故直线l的方程为xy30或xy10.1设函数y2exsinx，则y等于A2excosxB2exsinxC2exsinxD2exsinxcosx答案D解析y2exsinxexcosx2exsinxcosx2对于函数fxexx2lnx2kx，若f11，则k等于A.e2B.e3Ce2De3答案A解析fxexx2x31x2kx2，f1e12k1，解得ke2，故选A.3曲线yxx2在点1，1处的切线方程为Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2答案A解析yxx2xx2x222x22，ky|x121222，切线方程为y12x1，即y2x1.4函数y2cos2x在x12处的切线斜率为________考点简单复合函数的导数题点简单复合函数的导数的综合应用答案1解析由函数y2cos2x1cos2x，得y1cos2x2sin2x，所以函数在x12处的切线斜率为2sin2121.5在曲线yx33x26x10的切线中，斜率最小的切线的方程为________________答案3xy110解析y3x26x63x22x23x1233，当x1时，斜率最小，此时切点坐标为1，14，切线方程为y143x1，即3xy110.1应用和.差.积.商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数.三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错2注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“”，而商的导数公式中分子上是“”3求复合函数的导数应处理好以下环节1正确分析函数的复合层次2中间变量应是基本初等函数结构3一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导4善于把一部分表达式作为一个整体5最后要把中间变量换成自变量的函数。
人教版高中数学选修2-2学案：变化率与导数
变化率与导数（复习课）【学习目标】1.掌握平均变化率与瞬时变化率的关系；2.掌握导数的定义及其几何意义，并会求简单函数的导函数；3.会求经过简单曲线上的点的切线方程.【新知自学】 知识回顾1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，记作 .3.导数的几何意义：函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点 处的 .4.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ________________________________________ ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 . 对点练习：1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 .2.在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,kf k f k )2()2(lim 0-+→= . 3.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度为 .4.已知f(x)=x 2,则=')2(f ______________.【合作探究】 典例精析例1.若曲线y=x 2+6在点P 处的切线垂直于直线2x-y+5=0，求点P 的坐标及切线方程.例2．若0()2f x '=,则kx f k x f k )()2(lim 000--→ = .【当堂达标】1.函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为 _____________.2.若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为 米/秒.3.若0()2f x '=,则0lim →k 00()()2f x k f x k--= . 4.若函数f(x)=ax 2+c ，且2)1(f ='，求a 的值.【课时作业】1.汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12.2.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+5，则f(1)+(1)f '=__________.3.直线y=x 2+ax+b 在点处的切线方程是x-y+1=0，则（ ）A.a=1,b=1B.a=-1,b=1。
学案14：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 问题导学一、根据求导公式和导数运算法则求导数 活动与探究1求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋2x ＋1x 2；(2)y ＝3x ＋ln x ＋5； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； 迁移与应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的导数为( ) A ．y ′＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 B ．y ′＝cos x －sin x C ．y ′＝－sin x D ．y ′＝cos x 2．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ．名师点睛应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则，可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．(2)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．迁移与应用1．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________． 2．求过点(1，－1)与曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．名师点睛(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0．(2)注意区别“在P 处”求切线和“过P ”求切线的不同，后者点P 不一定是切点，要先设出切点再求切线． 三、导数的综合应用 活动与探究3已知函数f (x )＝x 2a －1(a ＞0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．迁移与应用1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫0，π4 B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫3π4，π 2．讨论关于x 的方程ln x ＝kx 的解的个数． 当堂检测1．已知函数π()=sin 2f x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π2f'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( ) A ．π2-B ．0C ．1D ．π22．下列结论正确的个数为( )①y ＝ln 2，则1'=2y ；②21=y x ，则=32'|=27x y -；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④12=log y x ，则1'=ln2y x -． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e4．设y ＝－2e x sin x ，则y ′＝__________．5．若曲线运动的物体的位移s 与时间t 的关系为221=2ts t t-+，则t ＝2时的瞬时速度为__________．课堂小结：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．参考答案一、根据求导公式和导数运算法则求导数活动与探究1解：(1)∵y ＝3x 2＋2x －1＋x －2，∴y ′＝6x －2x －2－2x －3＝6x －2x 2－2x 3．(2)y ′＝3x ln 3＋1x．(3)y ′＝e x cos x －e x sin x ＋cos x ． 迁移与应用 1．【答案】C【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝－sin x ． 2．解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3．(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x ． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2． 又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴k ＝0x x y ='＝3x 20－6x 0＋2．又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0．∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14．因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38． (2)解：∵f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，∴f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax ．设f (x )，g (x )的交点为(x 0，y 0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＝ax 0，y 0＝x 0，y 0＝a ln x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12e ，x 0＝e 2，y 0＝e.∴切线斜率k ＝f ′(x 0)＝f ′(e 2)＝12e ，切点为(e 2，e)，∴切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0．迁移与应用1．【答案】4x －y －3＝0【解析】因为y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0． 2．解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为：k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2．故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0．② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12．故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0． 三、导数的综合应用 活动与探究3解：∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a．又f (1)＝1a －1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是y －1a ＋1＝2a (x －1)．∴l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12⎪⎪⎪⎪－1a －1⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2 ≥14×(2＋2)＝1． 当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1．迁移与应用 1.【答案】D【解析】∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4e x ＋1′＝－4exe x＋12＝－4e x ＋1ex ＋2≥－1，即tan α≥－1． 由正切函数图象得α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π，选D ．2．解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 的交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0)，则kx 0＝ln x 0．∵(ln x )′＝1x ，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0．∴x 0＝e ，k ＝1e．结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0＜k ＜1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k ＞1e 时，方程ln x ＝kx 无解．当堂检测 1．【答案】A【解析】∵f (x )＝πsin 2x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ． ∴πππππ'=cos sin =22222f ⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．【答案】D【解析】对①，y ＝ln 2是常数函数，y ′＝0，故①错误；对②，221==y x x -，y ′＝－2x －3＝32x -，∴y ′|x ＝3＝227-，故②正确； 对③，易知其正确； 对④，12=log y x ，11'==1ln2ln 2y x x -，故④正确． 3．【答案】A【解析】根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1． 4．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )【解析】y ′＝－2[(e x )′·sin x ＋e x ·(sin x )′]＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 5．【答案】8 【解析】s ′＝21't t -⎛⎫⎪⎝⎭＋(2t 2)′ ＝2421t t t t --(-)＋4t ＝32t t-＋4t ． ∴t ＝2时的瞬时速度为s ′|t ＝2＝228-＋8＝8．。
高二第一课时 导数及其运算学案
第一课时 导数及其运算1.1数的平均变化率与导数一、知识要点1、 已知函数)(x f y =在点0x x =及其附近有定义，令=∆x _______,_______)()(00=-=-=∆x f x f y y y ,则当0≠∆x 时，比值______=xy∆∆,称作自变量在0x 附近的平均变化率.2、 一般地，如果物体的运动规律是)(t s s =，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t t ∆+这段时间内，当0→∆t 时__________，即v=______=________3、 设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，函数)(x f y =相应地有增量y ∆=____ ____.如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy ∆∆有极限（即xy∆∆无限趋近于某个常数），我们就把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x =处的导数，记做______或_______，于是可写作__ __=)(0/x f . 4、 如果函数)(x f y =在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间(a,b)内的______，简称______.1.2 导数的运算，导数公式表一、知识要点基本初等函数导数公式表二、典型例题例1：求下列函数的导数 （1）3x y = （2）x x y =（3）2x 1y =（4）x1y =【变式练习：求下列函数的导数】（1）6y x = （2）y =（3）21y x = （4）y =例2：求下列函数的导数（1）lg x y = （2）x2y =（3）2xcos 2x sin2y = （4）212sin 2x y =-三、巩固练习1. 函数52-=xy 的导数为（ ）5752 .-x A 5257 .--x B 5752 .x C - 5752 .--x D2. 设函数x x f sin )(=，则)0(f '等于 （ ）1 .A 1 .-B 0 .C 以上均不正确 .D3. 曲线n x y =在2=x 处的导数为12，则n 等于（ ）1 .A2 .B3 .C4 .D4. 下列计算正确的是 （ ）x x A a 1)(log .=' xx B a 10ln )(log .=' x C 3)(3 .x =' 3ln 3)3( .x x D =' 5. 设函数()cos f x x =，则()2f π'等于6. 设函数()cos f x x =，则()3f π'等于7. 设函数()f x =，则(3)f '等于8. 设函数()sin x f x =，1(a)2f '=，则a 等于 1.3 导数的四则运算法则一、课前预习1、 设函数)(),(x g x f 是可导函数，__________))()((/=±x g x f推广/12n ()__________f f f ±±±=2、 若)(),(x g x f 是可导的，则/(()())________________f x g x ⋅=/[()]________________Cf x =3、 )(),(x g x f 是可导的，/()()_______________()f x g x =/1()_______________()g x =4.复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．二、典型例题例1. 求下列函数的导数： （1）2log 2x y x =+； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.（5）52(23)(54)y x x x =--； （6）23cos y x x =.变式练习：.求下列函数的导数 （1）32log y x x =⋅； （2）n xy x e =；（3）31sin x y x-= （4）tan y x =(5)y ＝e x ·cos x ； (6)y ＝x －sin x 2cos x2； (7)y ＝ln (2x ＋1)x.例2.求下列函数的导数 （1）4)31(1x y -=. （2）x y 23-=（3）32)2(x y -=； （4）2sin x y =；（4）（5）)4cos(x y -=π； （6）ln(31)y x =-变式练习：（1）2x y e =； （2）21(31)y x =-（3）2ln x xy e=1.4导数的几何意义一、知识要点1．对于函数)(x f 的曲线上的定点),(00y x P 和动点))(,(n n n x f x P ，直线n PP 称为这条函数曲线上过P 点的一条__________；其斜率n k ＝_________________；当P P n →时，直线n PP 就无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为过P 点的__________；其斜率k =_____________（其中0x x x n -=∆），切线方程为_________________；过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条，而割线可以作_______条。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化]1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sinx .2．(选修2－2P18A 组T6改编)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝2.故所求切线方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．(选修2－2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在t ＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s ＝t 2＋3t ，所以s ′＝2t －3t2，所以s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案：134[易错纠偏](1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误； (2)不会用方程法解导数求值．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则f ′(x )＝________． 解析：f ′(x )＝[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3]′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．解析：因为f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， 所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ′(x )＝－cos x －sin x .故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 答案：－ 2导数的计算求下列函数的导数：(1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)；(2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝3x e x －2x＋e ；(4)y ＝ln(2x －5)．【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x)′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2. (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5.[提醒] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018， 所以2 018＋ln x 0＝2 018， 所以x 0＝1.2．求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x；(2)y ＝cos x sin x ；(3)y ＝e xln x ；(4)y ＝(1＋sin x )2. 解：(1)y ′＝nxn －1e x＋x n e x ＝xn －1e x(n ＋x )．(2)y ′＝－sin 2x －cos 2x sin 2x ＝－1sin 2x .(3)y ′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋ln x .(4)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x .导数的几何意义(高频考点)导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程(或斜率)求参数值． 角度一 求切线方程(1)曲线y ＝x 2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________．【解析】 (1)因为y ′＝2x －1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1， 所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1. (2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， 所以设切点为(x 0，y 0)． 又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以切点为(1，0)，所以f ′(1)＝1＋ln 1＝1. 所以直线l 的方程为y ＝x －1. 【答案】 (1)y ＝x ＋1 (2)y ＝x －1 角度二 已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y ＝e－x上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (x 0，y 0)，因为y ＝e －x， 所以y ′＝－e －x，所以点P 处的切线斜率为k ＝－e －x 0＝－2， 所以－x 0＝ln 2，所以x 0＝－ln 2， 所以y 0＝eln 2＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2)． 【答案】 (－ln 2，2)角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2020·宁波调研)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2(2)(2020·绍兴调研)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________．【解析】 (1)依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.(2)依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12.【答案】 (1)C (2)2e －12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)． (2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2020·杭州七校联考)曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2解析：选D.因为y ′＝12e 12x ，所以k ＝12e 12×4＝12e 2，所以切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，所以所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.2．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x(其中e 是自然对数的底数，a ∈R )，若f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，则a ＝________．解析：f ′(x )＝(x 2＋ax －1)′e x ＋(x 2＋ax －1)(e x )′＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ＝[x 2＋(a ＋2)x ＋(a －1)]e x，故f ′(0)＝[02＋(a ＋2)×0＋(a －1)]e 0＝a －1.因为f (x )在(0，f (0))处的切线与直线x ＋y －1＝0垂直，故f ′(0)＝1，即a －1＝1，解得a ＝2.答案：23．(2020·台州高三月考)已知曲线f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)与直线x ＝1交于点P ，设曲线y＝f (x )在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017的值为________．解析：f ′(x )＝(n ＋1)x n，k ＝f ′(1)＝n ＋1，点P (1，1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以x 1·x 2·…·x 2 017＝12×23×34×…×2 0162 017×2 0172 018＝12 018.则log 2 018x 1＋log 2 018x 2＋…＋log 2 018x 2 017＝log 2 018(x 1·x 2·…·x 2 017)＝log 2 01812 018＝－1.答案：－1两条曲线的公切线若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．【解析】 设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)， 依题意⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.【答案】 1－ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解． (2)利用公切线得出关系式．设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，y 1)，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，y 2)，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.1．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋4，g (x )＝x －1，则f (x )和g (x )的公切线的条数为( ) A ．三条 B ．二条 C ．一条D ．0条解析：选A.设公切线与f (x )和g (x )分别相切于点(m ，f (m ))，(n ，g (n ))，f ′(x )＝2x－4，g ′(x )＝－x －2，g ′(n )＝f ′(m )＝g （n ）－f （m ）n －m ，解得m ＝－n －22＋2，代入化简得8n 3－8n 2＋1＝0，构造函数f (x )＝8x 3－8x 2＋1，f ′(x )＝8x (3x －2)，原函数在(－∞，0)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上单调递增，极大值f (0)＞0，极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜0，故函数和x 轴有3个交点，方程8n 3－8n 2＋1＝0有三个解，故切线有3条．故选A.2．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为__________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1，0)．所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y ＝－1·(x ＋1)，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝0[基础题组练]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1D ．1解析：选B.因为y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．(2020·衢州高三月考)已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝2x (x －t )＋(x 2－4)＝3x 2－2tx －4，所以f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，即t ＝12.3．(2020·温州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x 的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2＜0)处的切线互相垂直，则x 2－x 1的最小值为( )A.12 B ．1C.32D ．2解析：选B.因为x 1＜x 2＜0，f (x )＝x 2＋2x ， 所以f ′(x )＝2x ＋2，所以函数f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为f ′(x 1)，f ′(x 2)， 因为函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直， 所以f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1， 所以2x 1＋2＜0，2x 2＋2＞0，所以x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋(2x 2＋2)]≥－（2x 1＋2）（2x 2＋2）＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32，x 2＝－12时等号成立．所以x 2－x 1的最小值为1.故选B.4．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝( ) A ．－6 B ．－8 C ．6D ．8解析：选D.因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.6．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2距离的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y ′＝2x －1x＝1，解得x ＝1，则在P (1，1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2.7．已知f (x )＝ln x x 2＋1，g (x )＝(1＋sin x )2，若F (x )＝f (x )＋g (x )，则F (x )的导函数为________．解析：因为f ′(x )＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2， g ′(x )＝2(1＋sin x )(1＋sin x )′＝2cos x ＋sin 2x ，所以F ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x .答案：x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2＋2cos x ＋sin 2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y ＝14x 2－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m ，n )(m ＞0)，y ＝14x 2－3ln x 的导数为y ′＝12x －3x ，可得切线的斜率为12m －3m ＝－12，解方程可得，m ＝2. 答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2 018，若对任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜2x 成立，则不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x 2－2 014，则g ′(x )＝f ′(x )－2x ＜0，所以函数g (x )在定义域上为减函数，且g (－2)＝f (－2)－22－2 014＝2 018－4－2 014＝0，由f (x )＜x2＋2 014有f (x )－x 2－2 014＜0，即g (x )＜0＝g (－2)，所以x ＞－2，不等式f (x )＜x 2＋2 014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y ＝f (x )是可导函数，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，令g (x )＝f （x ）x，则g ′(4)＝________． 解析：g ′(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2.由题图可知，直线l 经过点P (0，3)和Q (4，5)， 故k 1＝5－34－0＝12.由导数的几何意义可得f ′(4)＝12，因为Q (4，5)在曲线y ＝f (x )上，故f (4)＝5. 故g ′(4)＝4×f ′（4）－f （4）42＝4×12－542＝－316. 答案：－31611．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18， 即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．已知函数f (x )＝ax ＋bx(x ≠0)在x ＝2处的切线方程为3x －4y ＋4＝0. (1)求a ，b 的值；(2)求证：曲线上任一点P 处的切线l 与直线l 1：y ＝x ，直线l 2：x ＝0围成的三角形的面积为定值．解：(1)由f (x )＝ax ＋b x ，得f ′(x )＝a －b x2(x ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝34，3×2－4f （2）＋4＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a －b 4＝34，5－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 2＝0.解得a ＝1，b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝x ＋1x，设曲线的切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0，f ′(x 0)＝1－1x 20，曲线在P 处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20(x －x 0)．即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1x20x ＋2x 0.当x ＝0时，y ＝2x 0.即切线l 与l 2：x ＝0的交点坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20x ＋2x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0，即l 与l 1：y ＝x 的交点坐标为B (2x 0，2x 0)．又l 1与l 2的交点为O (0，0)，则所求的三角形的面积为S ＝12·|2x 0|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＝2.即切线l 与l 1，l 2围成的三角形的面积为定值．[综合题组练]1．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.2．(2020·金华十校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B.12＜x 0＜1 C.22＜x 0＜ 2 D.2＜x 0＜ 3解析：选D.令f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x ，f (x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x (x ∈(0，1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln 22＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，从而2＜x 0＜3，选D.3．(2020·宁波四中高三月考)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数的是________(把你认为正确的序号都填上)．①f (x )＝sin x ＋cos x ； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝－x 3＋2x －1；④f (x )＝x e x.解析：①中，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＜0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；②中，f ′(x )＝1x －2(x ＞0)，f ″(x )＝－1x 2＜0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立；③中，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒小于0.④中，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝2e x ＋x e x ＝e x(x ＋2)＞0在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立，故④中函数不是凸函数．故①②③为凸函数．答案：①②③4．(2020·浙江省十校联合体期末检测)已知函数f (x )＝a e x＋x 2，g (x )＝cos (πx )＋bx ，直线l 与曲线y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线y ＝g (x )切于点(1，g (1))，则a ＋b＝________，直线l 的方程为________．解析：f ′(x )＝a e x＋2x ，g ′(x )＝－πsin (πx )＋b ，f (0)＝a ，g (1)＝cos π＋b ＝b －1， f ′(0)＝a ，g ′(1)＝b ，由题意可得f ′(0)＝g ′(1)，则a ＝b ， 又f ′(0)＝b －1－a1－0＝a ，即a ＝b ＝－1，则a ＋b ＝－2； 所以直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：－2 x ＋y ＋1＝05．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②－2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)．所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.④将④代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4. 6．(2020·绍兴一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0，所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)， 将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1. 当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
变化率问题学案
第三章导数及其应用3.1.1变化率问题命题人：秦显静 审题人：孙善东【学习目标】理解函数平均变化率的概念，会求已知函数的平均变化率。
【学习重点】通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；【学习难点】平均变化率的概念．【自学点拨】一．阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？二、问题提出问题1气球膨胀率问题：气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是__________.如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么___________.⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________.问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系___________.如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2， 1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，___________.；在21≤≤t 这段时间里，___________. 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以___________.， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（1）计算和思考，展开讨论；（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, 21()()y f x f x ∆=- (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xf x y ___________. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么? （1） 一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1；②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)； ③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y 2-y 1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ． 解：例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
学案1：1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
学习重点难点：
导数的四则运算
自主学习：
一．知识再现
1.导数的定义：设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数 在 处的导数，记作 ，即
解法二：∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝(x2)′－[(a＋b)x]′＋(ab)′＝2x－a－b，故选D.
2．【答案】B
【解析】解法一：f′(x)＝ ′
＝ ＝ ，
∴f′(x0)＝ ＝0，得：x0＝±a.
解法二：∵f′(x)＝ ′＝ ′＝1－ ，
∴f′(x0)＝1－ ＝0，即x ＝a2，∴x0＝±a.
故选B.
3．【答案】D
【解析】y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.故选D.
4．【答案】A
【解析】由f′(x)＝ － ＝ 得x＝3.故选A.
5．【答案】－3
【解析】设u＝3x，则y＝sinu，
∴y′x＝cosu·(3x)′＝3cosu＝3cos3x
法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即
证明：令 ，
，
∴ ，
即 ．
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即
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临清三中高二年级导学案
编号：1编者：张慧时间：2013.02.25
可以看出，随者气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考：当空气容量从％增加到巧时,气球的平均膨胀率是多少?
答：
问题2高台跳水
在高台跳水运动中，运动员相对于水而的高度力（单位：冲与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系此）=-4.9F+6.5片10.如何用运动员在某些时间段内的平均速1度粗略地描述其运动状态？
思考计算：0 V 1 £ 0.5和1 C £ 2的平均速度v,
^E0<r<0.5这段时间里盘=
在154 2这段时间里，? =
探究：计算运动员在重这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
49
（1）动员在这段时间内使静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：
- 65
v= ,虽然运动员在0£心一这段时间里的平均速度为___________________________________ （5/m）,但
49
实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
（二）平均变化率概念：
上述问题中的变化率可用式子表示，称为函数为）从X.到X2的*以穹化率，平均变化率为：
Aj
= V
=
/（尤2）-/（玉）=/（，+*）-/（叫）
Av Ax x2 -x（Av
思考：观察函数ZU）的图象，平均变化率：
生=心*）表示什么？心x2 -x}
三.典例分析
例1.已知函数Xx)=-x2 +X的图象I：的一点
A(— 1,- 2)及临近一点8(-1 + & ,- 2 + △)，)，则段= _____
Ax
例2. 求y = /在工=%附近的平均变化率.
三、训练巩
1 .质点运动规律为S =尸+ 3，贝U在时间(3,3 + &)中相应的平均速度为
2.物体按照雄)=3广+汁4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.
四、小结提升：
1.平均变化率的概念；
2.函数在某点处附近的平均变化率.
五、达标检测:
%+△d 内的平均速度是()
______ AJ ： ____ A ，"
s(to+ A t) — 5( to) s( Z()+ A Z)— s( to)
s( Z) C - A 7 D .—
10. 已知曲线和这条曲线上的一点《1, 9,0是曲线上点P 附近的一点，则点。
的坐标为()
C.(1+A X , f(Ax+l)j
D."x, f(l+Ax)j
二、填空题
11. 已知函数y=P —2,当x=2时，~^业=
12. 在x=2附近，△ x=；时，函数尸［的平均变化率为 _________ .
X X
13. 函数 尸山在*= 1附近，当△*=才时的平均变化率为.
乙
14. 已知曲线尸V —1上两点』(2,3), /?(2+A^3+Ay),当 官=1时，割线沥的斜率是 ;当△ x=0. 1时，割线,月的斜率是.
六、规范作业：
1. 己知函数广(x)=2x+l, g(x) = —2x,分别计算在区间［ — 3, —1］, ［0,5］上函数/'(x)及g(x) 的平均变化率.
2 ] 2.
过曲线f\x) =~的图象上两点J(l,2), /?(1+A X 2+A 7)作曲线的割线物 求出当△*=]时割 x 4
线的斜率.
3.求函数y=另在*=1、2、3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大?。