第3题-蛛网模型——数学建模
蛛网模型
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理.我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）.我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名.以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改.如填写错误，论文可能被取消评奖资格.）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：市场经济的分析摘要商品价格与产量的波动是市场经济的常态,认识我国商品价格与产量的波动规律,为宏观调控提供理论依据,是经济学研究的主要课题之一. 本文利用市场供求关系的需求函数和供应函数的图形,建立蛛网模型,并借助差分方程将模型结果用公式表示,再对结果进行分析.最后可将该模型进行适当推广,以实现对市场经济的调控作用.同时提出了相应的政策建议.关键字：市场经济市场供求关系蛛网模型政策建议一、问题重述在市场经济中有关商品的价格是由消费者的需求关系来决定，而下一期商品的数量又是由生产者的供应关系来决定，这就导致了市场经济中商品的数量与价格在震荡，即当供大于求的时候会导致价格的下降，价格的下降导致产量的减少，产量的减少又会导致供不应求，商品的供不应求导致商品的价格的上涨，这时候又会增加产量，产量的增加又会导致供大于求，数量与价格就在此之间震荡.问题一：描述商品数量与价格的变化规律.问题二：商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?问题三：当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?二、模型的假设1.该市场经济并没有经过政府的宏观调控.2.该市场经济遵循上述所提出的供求规律，即价格与产量的变化规律.3.近似的认为斜率大的曲线弹性小，斜率小的曲线弹性大.4.假设价格与产量紧密，可以用确定的关系来表现.三、符号的约定四、问题的分析4.1 名词解释1)需求关系：商品数量与商品价格的关系，商品数量的增加会导致商品价格的降低.2)供应关系：商品价格与商品数量的关系，商品价格的提高会导致商品数量的增加.3)需求函数f的斜率a(取绝对值)表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度.4)供应函数h的斜率B表示价格上涨1个单位时(下一时期)商品供应的增加量.5)平衡点：市场的商品数量与商品价格关于平衡点震荡，趋于平衡点.4.2 问题的背景分析随着社会主义市场经济的逐步完善，绝大多数产品的价格已经推向市场，对生产者来说，市场价格会影响下一个时间周期的产出决策，也就是说生产者要做出的产出决策只能受当时的市场价格影响，而产品则要到下一个时间周期才能售出，可见市场供应量对价格的反应是滞后的.但市场的需求量对价格变化的反应是瞬时的，所以必须讨论价格波动对下一个时间周期产量的影响，以及由此而产生的均衡的变动，即必须进行动态均衡分析.商品的价格是由消费者的需求关系决定的，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的，在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅减小趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经济崩溃.当然政府会对后者采取干预手段.4.3 问题分析商品的价格是由消费者的需求关系决定的，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的，面对这一震荡关系，必须对市场进行分析，让生产者能够更好的了解市场，也让政府能够掌握市场的趋向，使得政府能够实行宏观调控，让市场能够更好的发展.面对上文所提到的问题，再根据对社会主义市场经济的深入了解，根据社会主义市场经济的发展特点，即滞后性，编者建立了蛛网模型，利用蛛网模型对上述问题进行分析，编者还建立了方程模型，对蛛网模型进行检验.五、模型的建立5.1.蛛网模型的建立蛛网模型有3种表现形态：一是收敛型蛛网.当市场受到外力的干扰偏离原有的均衡状态后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度会越来越小，最终会回到原来的均衡点.二是发散性蛛网.当市场受到外力的干扰使得产量的价格偏离原有的均衡状态后，在实际价格和实际产量相互决定的周期循环运动过程中，其运动轨迹呈现出向外发散的蛛网形态，最终使价格和产量越来越远离原来的均衡点.三是封闭性蛛网.当市场受到外力的干扰使得产量和价格偏离原有的均衡状态后，在实际价格和实际产量相互决定的周期循环运动过程中，其运动轨迹旱现封闭形状，产量和价格与均衡点始终保持一定距离，永远达不到稳定的均衡水平.下文只对蛛网模型的两种表现形态进行分析，一是收敛型蛛网，二是发散性蛛网，对于封闭性蛛网不予以考虑.5.1.1 收敛型蛛网在外力的干扰下，市场会偏离原来的均衡状态，在这种情况下，商品实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但会逐渐减小幅度，最终会回到原来的均衡点，此时，与需求曲线斜率相比，供给曲线斜率要大一些，这时呈现的即为收敛型蛛网模型.如图1所示：图1 收敛性蛛网5.1.2 发散性蛛网市场在外力的干扰下，会使得商品的价格偏离原有的均衡状态，其实际价格和实际产量的波动会偏离原来的均衡点越来越远，其轨迹呈现出向外发散的蛛网形态，此时，与需求曲线斜率相比，供给曲线斜率的绝对值要小一些，这时呈现的即为发散型蛛网模型，如图2 所示：图2 发散性蛛网5.2 差分方程模型的建立由()k k y f x =和1()k k x h y +=（1()k k y g x +=）可建立差分方程：1[()]k k x h f x +=1[()]k k y f h y +=设000(,)p x y 点满足：0000(),()y f x x h y ==，在000(,)p x y 点附近取函数(),()f x h x 的一阶近似：00()0k k y y x x αα=-->100()0k k x x y y ββ+=+->合并两式得：100()k k x x x x αβ+-=--上式是关于k x 的一阶线性差分方程.当然它是原来方程的近似模型．为了处理方便．适当取用其近似形式是合理的.其中α为f 函数在0p 点处的切线斜率：1β为g 函数在点0p 处切线的斜率.六、模型的求解6.1 蛛网模型的求解对蛛网模型的求解主要是求解蛛网模型中的两模型，一、收敛型蛛网模型；二、发散型蛛网模型.6.1.1 收敛型蛛网模型求解由()k k y f x =和1()k k x h y +=可以得到1()k k y g x +=.设1x 偏离0x ，则11223x y x y x →→→→→ ;当00,k k x x y y →→时，即1230P P P P →→→→ ，那么可以知道0p 是稳定平衡点.并且由上述式子可以推出f 函数和g 函数的曲线斜率的绝对值为f g K K <.图形如下：图3 收敛型蛛网模型由图中可以看出f g K K <，也可以看出0p 就是此图形的稳定平衡点.6.1.2 发散型蛛网模型求解由()k k y f x =和1()k k x h y +=可以得到1()k k y g x +=.设1x 偏离0x ，则11223x y x y x →→→→→ 当00,k k x x y y →→时，即1230P P P P →→→→ ，那么可以知道0p 是不稳定平衡点.并且由上述式子可以推出f 函数和g 函数的曲线斜率的绝对值为f g K K >.图形如下：图4 发散型蛛网模型由图中可以看出f g K K >，也可以看出0p 就是此图形的不稳定平衡点.6.2差分方程模型的求解由上文的模型分析可知，编者可以把在P0点附近用直线近似曲线，即：()k k y f x =⇒00()0k k y y x x αα=-->1()k k x h y +=⇒100()0k k x x y y ββ+=+->合并两式得： 100()k k x x x x αβ+-=--把上式经过1k -次迭代得：)()(0101x x x x k k --=-+αβ分析上式可以得到：当1αβ<时，即1/αβ<⇒0k x x →，说明了0p 点稳定.当1αβ>时，即1/αβ>⇒k x →∞，说明了0p 点不稳定.七、结果分析和结果检验7.1 结果分析基于问题一的回答：当供大于求的时候会导致价格的下降，价格的下降导致产量的减少，产量的减少又会导致供不应求，商品的供不应求导致商品的价格的上涨，这时候又会增加产量，产量的增加又会导致供大于求，数量与价格就在此之间震荡基于问题二的分析：由模型求解可知：00()0k k y y x x αα=-->α为商品数量减1单位, 价格上涨幅度100()0k k x x y y ββ+=+->β为价格上涨1单位(下时段)，供应的增量由上述式子可以看出α是消费者对需求的敏感程度，就是说α小，有利于经济的稳定. β是生产者对价格的敏感程度，就是说β小，有利于经济的稳定.由,αβ和上述求解的模型知当1αβ<，那么经济就是稳定的，否则经济是不稳定的.基于问题三的分析;面对经济不稳定的情况，政府一个如何去做，由模型的求解可知，影响经济的稳定性情况是,αβ这两因素，只要把,αβ这两因素的其中一个调小，或者两个一起调小，就可以让经济趋于稳定.方法一：使 α 尽量小，如 α=0，⇒需求曲线变为水平.0α=即政府可以以行政手段控制商品价格不变.方法二：使 β 尽量小，如 β =0，⇒供应曲线变为竖直.0β=即政府可以靠经济实力控制商品数量不变.7.2 结果检验已知f K α=，1/g K β=，那么由差分方程模型可知0p 稳定时，f g K K <.0p 不稳定时，f g K K >，从这个结果可以看出差分方程模型与蛛网模型是一致的，就是说蛛网模型所求出的结果是经得起检验的.八、模型的评价8.1 模型的优点1. 全面的回答了本文的问题，并给出了模型的解.2. 由蛛网模型和方程模型得出结果吻合，误差较小.3. 此蛛网模型还可以加以推广，得到更加广泛的应用8.2 模型的缺点1. 蛛网模型是根据市场的上一期价格对下一期进行预测，而实际生产者除了2. 据市场的上一期价格还可以根据自身经验逐步修正自己的预期价格，这就会使结果有一定的偏差.3. 此模型的建立有片面性，有些因素未考虑，是函数的大致趋势九、模型的推广在生产者管理水平提高的情况下，即1()k k x h y +=⇒112k k k y y x h -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的情况下，生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量.那么供应函数变为1010[()/2]k k k x x y y y β+--=+-，而需求函数不变，即00()k k y y x x α-=--，合并两函数得：9 21022(1)1,2,k k k x x x x k αβαβαβ++++=+=0x 为平衡点，编者将在0,k k x x →∞→的条件下，讨论平衡点的稳定.求解方程21022(1)k k k x x x x αβαβαβ++++=+，得它的通解为1122k k k x c c λλ=+，其中(c 1, c 2由初始条件确定)，12,λλ为方程220λαβλαβ++=的根.由上述方程可以看出在0,k k x x →∞→的条件下，0x 要想稳定，必须满足1,21λ< ，由方程220λαβλαβ++=解出12,λλ得1,2λ= 化简得：1,2λ=把方程1,2λ=1,21λ<得：2αβ<即0x 要想稳定，需要满足2αβ<，这比原来的1αβ<，条件放宽了，也就是说在生产者管理水平提高的情况下，即生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量，会有助于经济的稳定.十、参考文献[1]李忠民,张世英. 非线性蛛网模型的动态分析[J].数量经济技术经济究,1997,(02).[2]么海涛.蛛网模型的数学研究[期刊论文]-北京信息科技大学学报（自然科学版）. 2011(2).[3]刘广智,李宝营,宋科. 用蛛网模型分析市场经济趋于稳定的条件[J].大连轻工业学院学报,1999,(04):357-360.[4]王慧贤. 蛛网模型一市场供求稳定性分析[J].长春师范学院学报,2003,(02):5-6.。
蛛网模型
（三）蛛网理论的数学模型分析
｛
Qts = f ( Pt-1 ) Qtd = f ( Pt ) Qts = Qtd
典型实例：农产品的生产 典型实例：
（四）蛛网模型的类型
1价 格 生产过剩
ed ﹥ eS
S
P1
需求过剩
D
0
数量
2、发散型蛛网模型： ed ﹤ eS 、发散型蛛网模型：
价 格
生产过剩
S
P1 需求过剩
D 0
数量
3、封闭型蛛网模型：ed = eS 、封闭型蛛网模型：
价 格 生产过剩 P1 P2 需求过剩
S
D 0
数量
5、蛛网理论 — 一个动态均衡模型 、
含义： （一）含义： 引入时间因素的变化， 引入时间因素的变化，研究经济 事物有关的经济变量之间关系的经济 模型。 （二）假设条件 1、商品的本期产量Qts决定于前 商品的本期产量Q 一时期的价格P 一时期的价格Pt-1； 商品本期的需求量Q 2、商品本期的需求量Qtd决定于本 期的价格P 期的价格Pt
MATLAB蛛网模型
实验编号：002 数学实验报告计算机科学学院级班实验名称：差分方程实验姓名：学号：指导老师：韩鸿宇实验成绩：实验二差分方程实验一．实验目的及要求1)直观了解差分方程基本内容；2)掌握用数学软件求解差分方程问题。
二．实验内容蛛网模型：在自由贸易的集市上有这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨。
原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面。
在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试解释。
三．实验主要流程、基本操作或核心代码、算法片段模型的建立及求解：在k 段时间内，价格与猪的数量有关，即：该函数是一个减函数。
假设：；在k+1 段时间内，猪的数量是与第k 段时间猪肉的价格相关的。
即：该函数是一个增函数。
假设：；由此我们可以得知：由此可知：年月日这是一个等比数列形式。
我们可以得到它的通项：最终化简得到迭代格式：假设前两年的猪肉的产量和猪肉的价格分别为：39吨，28吨，12元/公斤，17元/公斤实验代码function [x0,y0]=fun(c1,r1,c2,r2,c3,k)%c1为产量1, c2为产量2, c3为产量3, r1为%肉价1, r2为肉价2, k 为K 年后产量与肉价%是否稳定a1=[c1 1;c2 1];b1=[r1,r2]';a2=[r1 1;r2 1];b2=[c2,c3]';a=a1\b1;b=a2\b2;x0(1)=39;for n=1:30y0(n)=a(1)*x0(n)+a(2);x0(n+1)=b(1)*y0(n)+b(2);x(n)=x0(n); y(n)=x0(n+1);endplot(x,y0,'-g',y,y0,'-b')hold onfor n=1:kfor j=1:30t1=x0(n)+(j-1)*(x0(n+1)-x0(n))/30;t2=x0(n)+j*(x0(n+1)-x0(n))/30;if t2<t1t=t1; t1=t2; t2=t;elseendt=t1:0.01:t2;plot(t,y0(n),'.r')t1=y0(n)+(j-1)*(y0(n+1)-y0(n))/30;t2=y0(n)+j*(y0(n+1)-y0(n))/30;if t2<t1t=t1; t1=t2;t2=t;elseendt=t1:0.01:t2;plot(x(n+1),t,'.r')endend实验结果图四．实验结果的分析与评价通过做此实验，让我对MATLAB有更进一步的了解，学会怎样才能正确运用MATLAB求解实际问题，了解如何利用数学模型去解释和分析社会经济问题，特别是这个典型经济问题的求解。
数学建模期末论文
论文题目：蛛网模型：差方程问题学院：班级：姓名：学号：一、题目蛛网模型：差方程问题二、摘要蛛网模型是经济学中刻画系统稳定性的一个模型。
它描述数量与价格的变化规律;商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定；当不稳定时政府采取什么干预手段使之稳定。
让人们预见商品投入市场后的价格波动过程，缓解价格波动给人们带来的压力。
本文先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象和问题进行分析，讨论市场经济趋于稳定的条件，用差分方程建模并对蛛网模型进行分析，对结果进行解释，再作适当推广和实例分析。
三、问题重述蛛网模型：在自由贸易的集市上有这样的现象：一个时期由于猪肉的上市量大于需求，销售不畅导致价格下降，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其他农副产业，过段时间后猪肉上市量大减，供不应求导致价格上涨。
原来的饲养户看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面。
在没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去，试解释。
四、模型假设(i)设k时段商品数量为x k，其价格为y k。
这里，把时间离散化为时段，一个时期相当于商品的一-个生产周期。
(ii)同一时段的商品的价格取决于该时段商品的数量，把y k=f(x k)（1）称之为需求函数。
出于对自经济的理解，商品的数量越多，其价格就越低，故可以假设:需求函数为一个单调下降函数。
(iii)下一时段商品数量由上一个时段的商品的价格决定，把x k+1=g(y k)（2）称之为供应函数。
由于价格越高可以导致产量越大，故可假设供应函数是一个单调升的函数。
五、模型的建立与求解在同一个坐标系中作出需求函数与供应函数的图形，设两条曲线相交于P0(x0,y0),则P0为平衡点。
因此此时x0=g(y0)，y0=f(x0)若某个k，有x k=x0，则可推出y l=y0，x l=x0，(l=k,k+1,⋯)即商品的数量保持在x0，价格保持在y0，不妨设x1≠x0，下面考虑x k，y k在图上的变化(k=1,2,⋯)。
数学模型-市场经济中的蜘蛛网模型
1
18
(9)、(10)与蛛网模型的(3)、(4)式是 一致的。
19
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
yk f ( xk )
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
xk 1 h( yk )
k x x ( ) ( x1 x0 ) xk 1 x0 ( xk x0 ) k 1 0
2
趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经 济崩溃。当然政府会对后者采取干预手 段。
这一节我们先用图形方法建立所谓 “蛛网模型”，对上述现象进行分析， 讨论市场经济趋于稳定的条件。用分差 方程建模，对结果进行解释，并适当推 广。
3
7.1 市场经济中的蛛网模型
供大于求 价格下降
数量与价格在振荡 增加产量 价格上涨 供不应求
13
等因素有关。
一旦需求曲线和供应曲线被确 定下来，如何判断它们的交点—平 衡点P0得稳定性呢？从图8-1和图8-2 不难看出，当市场经济偏离P0点不大 (|x1 – x0|较小)时，P0点得稳定取决于f 和 g 在P0的斜率。 记f 在P0点斜率的绝对值（因为 它是下降的）为Kf ， g 在P0点的斜率
(14)
31
当αβ > 8时显然有
( ) 2 8 2 4
4
从而，|λ2| > 2, λ2在单位圆外。下面设α
β < 8,可以算出
1, 2
2
（15）
32
由|λ2| < 1得到P0点稳定的条件为
αβ < 2
（16）
与原有模型中P0点稳定的条件（9） 式相比，保持经济稳定的参数α 、β 的范围放大了（α、β得含义未变）。 可以想到，这是生产经营者的生产 管理水平提高，对市场经济稳定起 着有利影响的必然结果。
蛛网模型
需求弹性大，则税负转嫁就很困难，且向前转给消 费者的少，向后转给原供应者的多；需求弹性小， 则税负容易转嫁，且向前转给消费者的多，向后转 给原供应者的少；需求完全无弹性，税负可能全部 向前转嫁给消费者；需求完全有弹性，税负可能全 部向后转嫁给原供应者。需求弹性越大，转嫁的可 能性越小；需求弹性越小，转嫁的可能快越大，税 负转嫁与需求弹性成反比
如果商品的供给弹性大于需求弹性， 则政府对该种商品征税后，赋税将 主要由消费者负担。 例如：粮食
如果商品的供给弹性 小于需求弹性，则政府 对该种商品征税后，赋 税将主要由生产者自己 负担。 例如：钻石，黄金。
为什么飞机票经常打折，火车票却很少打折？
第一：这与价格弹性有关。飞机票价格下跌需求就增加，总的 利润就会提高，这是所谓的“薄利多销”。然而火车票却是供 不应求，即使涨价，也会有很多人愿意购买，因为火车成本低， 涨价也不会涨得太厉害。
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为什么飞机票打折而火车票不打折 呢？
总体来说，飞机票是供大于求，所以航空公司总 是会采取打折的办法以吸引客源。而火车票是供 不应求，所以火车有时候总是宁愿空跑也不愿打 折。火车是国有制机构，是国家专制机构操作， 而飞机是处在几大航运公司的竞争下的，所以竞 争之下必有经营的不同手段而导致机票打折的现 象出现。然而本来就供不应求的火车票是没有多 大必要打折的。所以飞机票总是出现打折而火车 票不愿打折。
模蛛 型网
Co Cobweb model
在经济学中
蛛网模型(Cobweb model)
运用弹性原理解释某些生 的商品在失去均衡时发生 的不同波动情况的一种动 态分析理论
经济学中蛛网模型的数学分析设计
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)毕业论文（设计）论文（设计）题目：经济学中蛛网模型的数学分析毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明使用授权说明学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。
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3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。
4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。
图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）3）其它目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第1章蛛网模型研究的目的和意义 (3)第2章西方经济学中蛛网模型的基本理论 (4)2.1蛛网模型的介绍 (4)2.2 蛛网模型的分类 (4)第3章蛛网模型的数学分析 (8)3.1 连续时间下的蛛网模型的数学分析 (8)3.2 离散时间下的蛛网模型的数学分析 (10)3.3 模型中核心变量的实际意义 (15)第4章蛛网模型的优化 (17)4.1 优化后的蛛网模型 (17)4.2 分析优化后模型的稳定性 (18)第5章蛛网模型的应用 (22)5.1 2007年-2010年新乡市房地产供需情况的描述分析 (22)5.2 蛛网模型在新乡市房地产市场中的应用 (24)5.3 国家宏观调控手段 (26)第6章总结 (28)参考文献 (29)致谢 (30)摘要蛛网模型是动态经济分析中的经典模型，运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失去均衡时发生的不同波动情况。
蜘蛛网建模论文
A 题：蜘蛛网问题摘要因为蜘蛛主要依靠蜘蛛网捕食，所以需要建立合理的蜘蛛网结构，使得受力稳定，捕食效率最大化。
本文就捕食效率及受力稳定两个方面分别对蜘蛛网结构进行了分析，并提出了最合理的结构。
针对问题一：捕食效率最大化方面，我们分析了影响捕食效率的五个因素，即总耗材料、平均网眼面积、网眼面积标准差、网总面积和捕获路径等，采用lingo软件，分别对五个影响因素建立了控制条件，综合考虑各影响因素间的相互关系，在此基础上建立了一个多约束条件的优化模型。
该模型的本质是一个多目标的优化模型，采用选取核心影响因素建立目标函数，次要因素建立控制条件的方法，通过分析各因素对目标函数的影响并采用图表对比法，不断优化控制条件，得到了最优结构，使其捕食效率最大化。
针对问题二：受力稳定这方面对蜘蛛网结构经过力学分析后，我们明确给出了关于蛛网合理结构的分析结论最优模型为：27边形，19条纬线。
在文章的末尾，我们客观地分析了建模过程中的问题。
之后，我们又宏观地将模型推广到城市路网规划、水产捕鱼业渔网的设计。
当然我们的模型还是比较理想化的仍然需要很多的改进。
关键词：蛛网结构捕食效率Lingo 多目标规划一、问题重述1 第一阶段问题：问题：世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。
请你建立合理的数学模型，说明蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。
事实上，这就是一个多目标的优化问题。
从宏观上分析，有以下两方面需要讨论：（1）捕食效率：消耗尽可能少的资源而最大限度的提高捕食概率。
对于问题（1），具体可以展开为如下几点：（a）蛛丝总量消耗尽可能少；（b）蛛网的总面积尽可能大；（c）平均网眼面积尽可能小；（d）网眼面积标准差尽可能小；（e）平均捕食路径尽可能短。
（2）蛛网自身结构的力学特性：现实世界中的蛛网会承受风荷载、猎物碰撞所产生的冲击荷载以及蛛网自重作用等外荷载，合理的蛛网结构应能抵抗这些外力作用，使网格结构始终保持稳定。
蜘蛛网模型
数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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我们的参赛队号为：1144参赛队员(签名) ：队员1：刘阳队员2：吴平队员3：王臣杰参赛队教练员(签名)：邓昌瑞参赛队伍组别：专科组数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：1144竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题目探讨蜘蛛网结构的合理性关键词捕食期望能量守恒整形规划蛛网结构摘要自然界中绝大部分蜘蛛依靠织网捕食为生，但同一种类织网捕食的蜘蛛往往由于某种原因，其所织网的结构有所差异。
而蜘蛛网织成怎样的结构才最合理呢，对于这个问题，我们分别运用捕食期望、边界讨论、整型规划、阻尼运动等方法建立了数学模型，顺利地解决了该问题。
首先，蜘蛛停留在网的中心，由于蜘蛛网上每个点出现猎物的概率是相等的，运用函数方程求解出蜘蛛网上每个点的捕食期望，进而得出整个蛛网的捕食期望。
结构不同的蜘蛛网其捕食期望值也不同。
期望值越大，这种结构的蜘蛛网捕食能力越强。
把蜘蛛网的周长作为一个定值，可以衍生出的蜘蛛网结构有三角形，正四边形，正五边形，以此类推，当蜘蛛网半径趋于无穷大时，把此时的结构看作圆形来处理。
蜘蛛网模型
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而蜘蛛网织成怎样的结构才最合理呢，对于这个问题，我们分别运用捕食期望、边界讨论、整型规划、阻尼运动等方法建立了数学模型，顺利地解决了该问题。
首先，蜘蛛停留在网的中心，由于蜘蛛网上每个点出现猎物的概率是相等的，运用函数方程求解出蜘蛛网上每个点的捕食期望，进而得出整个蛛网的捕食期望。
结构不同的蜘蛛网其捕食期望值也不同。
期望值越大，这种结构的蜘蛛网捕食能力越强。
把蜘蛛网的周长作为一个定值，可以衍生出的蜘蛛网结构有三角形，正四边形，正五边形，以此类推，当蜘蛛网半径趋于无穷大时，把此时的结构看作圆形来处理。
蛛网模型
二、蛛网模型的数学综述
（一）蛛网模型收敛性的充要条件
在数学模型中，供求函数都是设定为严格单调连续的可微函数，必要时还要假设供求函数为凸函数，在进行系统的分析中，通常对供求函数有如下关系， = (S( ))=G( ),该式可看作价格变化演进过程的表达，G为价格演化的一种映射，对于一阶差分方程 =G( )，其中G平滑可微，若 为 =G( )的一个不动点，即
假设价格序列{ }收敛于 ，则序列{ }为递减序列，即| |<| |< <| |,( )( )<0,
则| |=|( - )-( - )|,| |=|( )-（ - ）|,
进一步可得
|( )-（ - ）|>|( - )-( - )|
对于D（P）,S(P),G(P)是严格单调连续可微函数，则价格序列收敛的充要条件是：
=G（ ）， = ，
| | <1,或者| |<1,又显然 为单调递减函数 <0,所以0> ,又有对于任意的 , ,存在
|f( )-f( )| r| - |,
即 ,
可得，需求函数 =D（ ）和供给函数 =S( )，连续可微，= (S（P）)=G(P)单调递减连续可微，对于价格序列{ }收敛于 的充要条件为
[2]高鸿业.西方经济学(第二版) [M].北京:中国人民出版社,2001年8月,58 -62 .
[3]王树和.微分方程模型与混沌[M].合肥：中国科技大学出版社，1998.
[4]龚德恩，雷勇.非均衡蛛网模型价格调节的稳定性分析[J].数学的实践与认识，2010,40（17）
蛛网-蛛网模型
• • •
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蛛网图象按供给曲线和需求曲线的斜 率、弹性不同和相互关系的不同状况可以 分为三种不同的类型： 收敛型蛛网：当市场由于受到干扰偏离原有
的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕 均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小， 最后会回复到原来的均衡点。 特征：供给曲线斜率大于需求曲线斜率的绝对 值。
特征：需求曲线斜率的绝对值大于供给曲线斜 率。
发散型蛛网
P S
P1 Pe P2 P3 E
D Q3 Q1 Qe Q2 Q
需求曲线斜率绝对值大于供给曲线斜率，即需 求曲线陡峭、供给曲线平缓时，表示供给弹性 大于需求弹性，市场价格变化对供给量的影响 大于对需求量的影响，从而产量和价格的波动 会逐渐加剧，距离均衡点越来越远，这是一种 不稳定的均衡。
各变量之间的关系
P玉米1上升 P玉米1上升 Q玉米2增加 P玉米2下降
P生猪1增加 Q玉米2增加； P玉米2下降； P生猪2下降
价格的涨跌不仅以成本的方式影响到生猪的 价格和产量，而且还影响到下一个生产周期玉米 的产量； 下一周期玉米产量的改变又会影响下一期玉米的 价格； 下一期玉米的价格继续既以成本的方式影响生猪 的价格和产量，又影响下下一期玉米的产量。 可见，玉米价格的循环变化，是伴随着生猪 的价格循环的，当然存在一定的滞后时间。
这个理论之所以在20世纪30年代盛行，与 上世纪30年代的大危机相关。大危机使经济产 生了剧烈波动，通过自由竟争自行调节和维持 均衡的理论，已不能解释现实问题。蛛网理论 就是在这种背景下提出来用以解释价格的剧烈 波动及其所产生的影响。
短期价格的决定
从短期看，价格对 供给量没有调节作 用，因此供给曲线 为垂直线； 价格对需求量则有 灵敏的调节作用， 因此需求曲线向右 下方倾斜。
数学在蜘蛛网模型的应用
蛛网模型及其在经济学只能感的应用摘要：蛛网模型是十分重要的数学模型之一，它在经济学中得到了广泛的应用。
本文运用了经济学原理和数学原理分析了蛛网模型，同时论证劳动力市场工程师数量与工资率波动形成的收敛型蛛网和我国近二十年小麦价格与产量波动形成的发散型蛛网。
从中得到如下的结论：1.在工程师市场中，工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成收敛型蛛网。
2.在农产品市场中，小麦的价格变动对供给量的影响大于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成发散型蛛网。
关键词：蛛网模型 求曲线 均衡 弹性引言：引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量，供给量和价格之间相互作用的考察，用动态分析的方法论述诸如劳动力市场调整，农产品市场等周期较长的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。
自改革开放以来，行业人才数量的培养和需求存在周期性变化，数量增多时，必然有工资率的下降；小麦价格的频繁波动和其产量的变化以及其他商品供求变化存在周期性的，都应该运用蛛网模型准确地把握变化趋势，采取灵活对策。
当然，供给弹性和需求弹性是这些波动的根本原因。
运用蛛网模型研究社会中的经济现象具有一定的指导意义。
1蛛网模型的经济学原理1.1条件假设蛛网模型所描述的数量和价格循环波动的现象是在一定的假设条件下出现的。
第一：本期产量供给不影响本期价格，本期产量供给s t Q 决定于前期价格1t P ；第二：本期的需求量td Q 决定于本期的价格t P ；第三：需求量弹性不变。
蛛网模型假定需求弹性不变，主要是指需求的价格弹性不变，特别是在农产品市场上，农产品的需求弹性小，假设其不变。
第四：一种完全自由竞争的市场，任何生产者和消费者都是被动地接受价格。
1.2 经济学分析蛛网模型以经济变量的时间先后分析了商品的价格和产量的波动，在其他有周期性的供给量和价格波动的市场也有类似的分析。
数学建模-蜘蛛网
数学建模*蜘蛛网世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。
请你建立合理的数学模型，说明蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。
最合适的结构：对数螺线对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。
方程：x=m*e^(t)*cos(t),x=m*e^(t)*cos(t),t是参数，范围是实数域方法：先向空中放出一根“搜索丝”。
之后放出一根悬垂丝，并在这根丝的中段加上第三根丝成Y字状，形成最初的3根不规则半径。
再加上n多条线形成网的雏形。
接下是铺设螺旋线，纺织成网。
以网心为起点，织出一根自内向外的螺旋线.从中心往边的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。
这种螺旋线把它放大或缩小都不会改变。
就像我们不能把角放大或缩小一样。
用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的.整个网看起来是一些半径等分的圆周.从中心开始，用一条线在半径上作出一条螺旋状的线。
这是一条辅助的线。
然后，从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。
在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。
这样半径上就有许多小球。
从外面看上去，就是许多个小点。
垂曲线的图形：当一根弹性线的两端固定，而中间松驰的时候，它就形成了一条垂曲线在同一个扇形里，所有的弦，也就是那构成螺旋形线圈的横辐，都是互相平行的，并且越靠近中心，这种弦之间的距离就越远。
每一根弦和支持它的两根辐交成四个角，一边的两个是钝角，另一边的两个是锐角。
而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。
这些相等的锐角和钝角，又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等。
这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。
这曲线在一根无限长的直线上滚动，焦点将要划出的轨迹是：垂曲线。
这个数字的值约等于这样一串数字＋1/1＋1/1*2＋1/1*2*3＋1/1*2*3*4＋…=e。
第3题-蛛网模型——数学建模
六、问题三模型的建立与求解7.1问题分析由题可知,该问题是多目标优化问题,满足居民人体的营养均衡、平衡进出口贸易、土地面积等条件下，满足购买成本尽量低、使种植者获益尽量大这两个目标。
7.2弹性理论及蛛网模型弹性描述的是两个变量之间的关系, 即因变量对自变量变化的敏感程度。
在经济学中,弹性表示某一经济变量变动1%时,所导致的另一个经济变量变化的百分比：弹性系数=因变量的变化比例/自变量的变化比例1.需求弹性价格：价格每变动1%引起的需求量变化的百分比。
通常用需求量变化的百分率除以价格变动的百分率表示。
它们之间的比值称为弹性系数，记为Ep，即：2..供给价格弹性:价格每变动1%引起供给量变化的百分比。
一般地，Es>0，斜率为正。
3.蛛网模型理论（Cobweb Model Theorom）蛛网模型是对弹性理论的运用,用来考察某种商品(主要用于农产品)价格波动对下一周期产量的影响。
蛛网理论有一系列假定条件:市场是完全竞争市场,任何消费者和厂商都不能单独影响商品的产量和价格;当期商品价格不受当期产量的影响,当期产量由前期价格决定。
根据某种商品供给弹性和需求弹性之间的关系,蛛网理论分为收敛性蛛网、发散型蛛网和封闭型蛛网三种类型。
(l)收敛型蛛网需求弹性绝对值大于供给弹性的绝对值,当市场受到干扰偏离均衡状态时,价格和产量围绕均衡水平波动,但是波动越来越小,最后恢复均衡,称为收敛型蛛网。
图中S曲线为供给曲线,D曲线为需求曲线,E点为均衡点,P0,Q分表代表均衡价格和均衡产量。
在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量QI <Q,导致价格从P0上升到Pl。
在第二期:生产者在Pl的位置上愿意把产量从Ql增至Q4,此时Q4>Q,生产者为了把商品出清,价格跌到P2,此时P2<P。
在第三期:生产者根据第二期P2的价格愿意提供的产量为Q3,此时Q3<Q,消费者愿意支付的价格上升为P3,此时P<P3<Pl,在P3的价格水平上生产者有安排了Q2的产量,如此循环,产量和价格波动越来越小,最后恢复到初始的均衡状态。
蛛网模型详解
蛛网模型详解蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。
第一种情况：供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。
当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。
假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平Qe减少为Q1。
根据需求曲线，消费者愿意支付P1的价格购买全部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。
根据第一期的较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2。
在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支付的价格P2，于是，实际价格下降为P2。
根据第二期的较低的价格水平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3。
在第三期，消费者愿意支付P3的价格购买全部的产量Q3，于是，实际价格又上升为P3。
根据第三期的较高的价格水平P3，生产者又将第四期的产量增加为Q4。
如此循环下去，实际产量和实际价格的波动的幅度越来越小，最后恢复到均衡点E所代表的水平。
由此可见，均衡点E所代表的均衡状态是稳定的。
也就是说，由于外在的原因，当价格和产量偏离均衡数值(Pe和Qe)后，经济制度中存在着自发的因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态。
产量和价格变化的途径形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是蛛网模型名称的由来。
只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值时，即供给曲线比需求曲线较为陡峭时，才能得到蛛网稳定的结果，相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”。
在这里，我们看到，除第一期受到外在原因干扰外，其它各期都不会再受新的外在原因干扰，从而前一期的价格能够唯一决定下一期的产量。
按照动态的逻辑顺序，我们还看到，生产者错误地根据上一期的价格决定供给量，消费者被动地消费生产者提供的全部生产量，而价格则由盲目生产出来的数量所决定。
供求曲线各自只画了一条，但是，经济学在前面已经指出，供给的变动，不仅是指供给量沿着既定供给曲线的变动，还包括供给曲线的变动。
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六、问题三模型的建立与求解
7.1问题分析
由题可知,该问题是多目标优化问题,满足居民人体的营养均衡、平衡进出口贸易、土地面积等条件下，满足购买成本尽量低、使种植者获益尽量大这两个目标。
7.2弹性理论及蛛网模型
弹性描述的是两个变量之间的关系, 即因变量对自变量变化的敏感程度。
在经济学中,弹性表示某一经济变量变动1%时,所导致的另一个经济变量变化的百分比：
弹性系数=因变量的变化比例/自变量的变化比例
1.需求弹性价格：价格每变动1%引起的需求量变化的百分比。
通常用需求量变化的百分率除以价格变动的百分率表示。
它们之间的比值称为弹性系数，记为Ep，即：
2..供给价格弹性:价格每变动1%引起供给量变化的百分比。
一般地，Es>0，斜率为正。
3.蛛网模型理论（Cobweb Model Theorom）
蛛网模型是对弹性理论的运用,用来考察某种商品(主要用于农产品)价格波动对下一周期产量的影响。
蛛网理论有一系列假定条件:市场是完全竞争市场,任何消费者和厂商都不能单独影响商品的产量和价格;当期商品价格不受当期产量的影响,当期产量由前期价格决定。
根据某种商品供给弹性和需求弹性之间的关系,蛛网理论分为收敛性蛛网、发散型蛛网和封闭型蛛网三种类型。
(l)收敛型蛛网
需求弹性绝对值大于供给弹性的绝对值,当市场受到干扰偏离均衡状态时,价格和产量围绕均衡水平波动,但是波动越来越小,最后恢复均衡,称为收敛型蛛
网。
图中S曲线为供给曲线,D曲线为需求曲线,E点为均衡点,P
0,Q
分表代表均
衡价格和均衡产量。
在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Q
I <Q
,导致价格
从P
0上升到P
l。
在第二期:生产者在P
l
的位置上愿意把产量从Q
l
增至Q
4
,此时Q
4
>Q,生产者为
了把商品出清,价格跌到P
2,此时P
2
<P。
在第三期:生产者根据第二期P
2的价格愿意提供的产量为Q
3
,此时Q
3
<Q
,消费
者愿意支付的价格上升为P
3,此时P
<P
3
<P
l
,在P
3
的价格水平上生产者有安排了Q
2
的产量,如此循环,产量和价格波动越来越小,最后恢复到初始的均衡状态。
可见,初始均衡点E是稳定的。
以时间为自变量将图2.6中价格波动的情况反映在坐标图中(如图2.7所示)。
从图中可以看出:外因所导致的价格波幅越来越小,最后逐渐接近于初始均衡价格P。
(2)发散型蛛网
当需求弹性绝对值小于供给弹性的绝对值的情况下,产量和价格波动越来越大,越来越远离初始均衡点,称为发散型蛛网(如图2.8所示)。
图中符号及含义同图2.6。
在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Q
1<Q
,导致价格
从P
0上升到P
l。
在第二期:生产者在P
l
的位置上愿意把产量从Q
2
,此时Q
2
>Q
,生产者为了把
商品出清,价格跌到P
2,此时P
2
<P。
在第三期:生产者根据第二期P
2的价格愿意提供的产量为Q
3
,此时Q
3
<Q。
,消
费者愿意支付的价格上升为P3,此时P0<P1<P3,在P3的价格水平上生产者有安排了Q4的产量,如此循环,如图2.8所示,产量和价格波动越来越大,无法恢复到初始均衡状态,而且偏离情况越来越远。
可见,初始均衡点E是不稳定的。
这种蛛网称为发散型蛛网。
以时间为自变量将图2.8中价格波动的情况反映在坐标图中(如图2.9所示)。
从图中可以看出:外因所导致的价格波幅越来越大,如果没有其他外力干预的情况下,价格和产量无法再回到初始均衡状态,而且偏离均衡状态越来越远。
(3)封闭型蛛网
在需求弹性的绝对值和供给弹性的绝对值相等的条件下,价格和产量始终按同一波动幅度进行,在没有外力干预的情况下,无法回归至初始均衡状态,上述情形称为封闭型蛛网(如图2.10所示)。
在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Ql<Q0,导致价格从P。
上升到PI。
在第二期:生产者在Pl的位置上愿意把产量增加至Q2,此时Q2>Q0,生产者为了把商品出清,价格跌到P2此时P2<P。
在第三期:生产者根据第二期P2的价格愿意提供的产量为Q1,此时Ql<Q0,消费者愿意支付的价格上升为P1,此时又恢复到第一期出现的产量和价格水平上。
如此循环,价格和产量既不更多偏离初始均衡点,也不会逐渐恢复至初始均衡点,而保持一种循环往复的状态,其形成的蛛网大小由实际产量Q1决定。
蛛网理论主要用来分析粮食价格的波动对于未来粮食产量的影响。