第3题-蛛网模型——数学建模

六、问题三模型的建立与求解

7.1问题分析

由题可知,该问题是多目标优化问题,满足居民人体的营养均衡、平衡进出口贸易、土地面积等条件下，满足购买成本尽量低、使种植者获益尽量大这两个目标。

7.2弹性理论及蛛网模型

弹性描述的是两个变量之间的关系, 即因变量对自变量变化的敏感程度。在经济学中,弹性表示某一经济变量变动1%时,所导致的另一个经济变量变化的百分比：

弹性系数=因变量的变化比例/自变量的变化比例

1.需求弹性价格：价格每变动1%引起的需求量变化的百分比。通常用需求量变化的百分率除以价格变动的百分率表示。它们之间的比值称为弹性系数，记为Ep，即：

2..供给价格弹性:价格每变动1%引起供给量变化的百分比。

一般地，Es>0，斜率为正。

3.蛛网模型理论（Cobweb Model Theorom）

蛛网模型是对弹性理论的运用,用来考察某种商品(主要用于农产品)价格波动对下一周期产量的影响。蛛网理论有一系列假定条件:市场是完全竞争市场,任何消费者和厂商都不能单独影响商品的产量和价格;当期商品价格不受当期产量的影响,当期产量由前期价格决定。根据某种商品供给弹性和需求弹性之间的关系,蛛网理论分为收敛性蛛网、发散型蛛网和封闭型蛛网三种类型。

(l)收敛型蛛网

需求弹性绝对值大于供给弹性的绝对值,当市场受到干扰偏离均衡状态时,价格和产量围绕均衡水平波动,但是波动越来越小,最后恢复均衡,称为收敛型蛛

网。图中S曲线为供给曲线,D曲线为需求曲线,E点为均衡点,P

0,Q

分表代表均

衡价格和均衡产量。

在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Q

I

,导致价格

从P

0上升到P

l

。

在第二期:生产者在P

l

的位置上愿意把产量从Q

l

增至Q

4

,此时Q

4

>Q,生产者为

了把商品出清,价格跌到P

2,此时P

2

。

在第三期:生产者根据第二期P

2的价格愿意提供的产量为Q

3

,此时Q

3

,消费

者愿意支付的价格上升为P

3,此时P

3

l

,在P

3

的价格水平上生产者有安排了Q

2

的产量,如此循环,产量和价格波动越来越小,最后恢复到初始的均衡状态。可见,初始均衡点E是稳定的。

以时间为自变量将图2.6中价格波动的情况反映在坐标图中(如图2.7所示)。从图中可以看出:外因所导致的价格波幅越来越小,最后逐渐接近于初始均衡价格P

。

(2)发散型蛛网

当需求弹性绝对值小于供给弹性的绝对值的情况下,产量和价格波动越来越大,越来越远离初始均衡点,称为发散型蛛网(如图2.8所示)。图中符号及含义同图2.6。

在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Q

1

,导致价格

从P

0上升到P

l

。

在第二期:生产者在P

l

的位置上愿意把产量从Q

2

,此时Q

2

>Q

,生产者为了把

商品出清,价格跌到P

2,此时P

2

。

在第三期:生产者根据第二期P

2的价格愿意提供的产量为Q

3

,此时Q

3

费者愿意支付的价格上升为P3,此时P0

以时间为自变量将图2.8中价格波动的情况反映在坐标图中(如图2.9所示)。从图中可以看出:外因所导致的价格波幅越来越大,如果没有其他外力干预的情况下,价格和产量无法再回到初始均衡状态,而且偏离均衡状态越来越远。

(3)封闭型蛛网

在需求弹性的绝对值和供给弹性的绝对值相等的条件下,价格和产量始终按同一波动幅度进行,在没有外力干预的情况下,无法回归至初始均衡状态,上述情形称为封闭型蛛网(如图2.10所示)。

在第一期,假定由于受到外在因素干扰导致减产,实际产量Ql

在第二期:生产者在Pl的位置上愿意把产量增加至Q2,此时Q2>Q0,生产者为了把商品出清,价格跌到P2此时P2

在第三期:生产者根据第二期P2的价格愿意提供的产量为Q1,此时Ql