一元二次函数总结

一元二次函数的图象

一、 定义：

一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。

二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)

1.当a ＞0时

函数图象开口向上；

对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ；

当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；

2.当a ＜0时

函数图象开口向下；

对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ；

当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；

2.△＝b ²－4ac

当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。 (如下图所示)

三、抛物线

c bx ax y ++=2

中，c b a ,,的作用 (1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.

例1：画出21

2

y x =- 2y x =- 22y x =-的图象

21

2

y x =- 22y x =- 2y x =-

归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物

线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

(2)b 和a

共同决定抛物线对称轴的位置

例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，21

1)2

y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、

对称轴和顶点。

21(1)2y x =-+ 21

1)2

y x =--（

可以看出，抛物线21

(1)2

y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴

垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线21

1)2y x =--（的开口向下，对

称轴是x=1，顶点是（1,0）。

例3：画出函数21

(1)12

y x =-+-的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。

抛物线212y x =-经过怎样的变换可以得到抛物线21

(1)12

y x =-+-？

抛物线21

(1)12y x =-+-的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。

把抛物线21

2

y x =-向下平移1个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线

21

(1)12

y x =-+-。

归纳：一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =形状相同，位置不同。把抛物

线2y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2()y a x h k =-+。平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定。

抛物线2()y a x h k =-+有如下特点：

（1）当0a >时，抛物线的开口向上；当0a <时，抛物线的开口向下； （2）对称轴是直线x=h ；

（3）顶点坐标是（h ，k ） 例4：画出2

16212

y x x =

-+的图象

归纳：一般地，可以用配方法求抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠的顶点与对称轴

2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++

因此，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是2b

x a

=-

，顶点坐标是2

4(,)24b ac b a a

--. (2) c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )：

① 0=c ，抛物线经过原点; ② 0>c ,与y 轴交于正半轴； ③ 0

以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则

0

b

.

（2）a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧

|x

1-x

2

|=

a

ac

b4

2

, 与y轴交点为(0,c)

b2-4ac>0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根

b2-4ac<0，ax2+bx+c=0无实根

b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根

二．四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条件

1.若x＜y＜m﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＞0

┣﹣2a／b＜m

┗f(m)＞0

2.若m＜x＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＞0

┣﹣2a／b＞m

┗f(m)＞0

3.若x＜m＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：

4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＞0

┣m＜﹣2a／b＜n

┗f(m)＞0,f(n)＞0

5.若m＜x＜n＜y＜p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏f(m)＞0

┣f(n)＜0

┗f(p)＞0

6.若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m，n为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＝0

┗m＜﹣2a／b＜n

或f(m)·f(n﹚＜0

┏f(m)＝0

或

┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2