数学模型_第3版_姜启源_高等教育出版社_课后答案

综合题目参考答案

1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)

(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.

(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次n r 的上界”(如=5时

上界为1)是n ⎥⎦

⎤⎢

⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是,i j 两队, 队参加的下一场比赛是,两队(≠i i k k j ),要使各队每

两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,以外的2k r 支球队参赛,于

是,注意到32+≥r n r 为整数即得⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, =9可以得到: n n 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A

× 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 19

3A 5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 9 6 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 18 7 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 17

7A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 17

8A

25 16 2 19 7 22 12 × 4,4,3,2,2,2 17

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1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数

1A

× 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A 6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 23

4,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 19

3,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 14

4,4,3,3,3,3 23 7A

16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A

21 17 25 13 29 9 33 × 5

3,3,3,3,3,3,3, 21 9A 1 32 10 23 19 14 28 5 × 3,4,3,4,3,4,3 24 可以看到, =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, =9时每两场比赛相隔场次数只

有3,4,以上结果可以推广,即为偶数时每两场比赛相隔场次数只有

n n n 22-n ,12-n ,2n ,n 数时只有为奇23-n ,2

1-n . 量赛程优劣其他指标如

(4)衡的平均相隔场次 记第i 队第j 个ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,间隔场次数为则平均

相隔场次为∑∑=n i 1-=n r 21 =-j n n 1

)2(ij c r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算=8,=9的n n r ,并讨论它是否达到上界. 相隔场次的最大偏差 定义

||,r c Max f ij j i -=

∑---=2)2(|n r n c Max g =1

|j ij

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f 为整个赛程相隔场次的最大偏差, 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小

越好.可以计算=8,=9的,g ,并讨论它是否达到上界.

g n n f 参考文献工程数学学报第20卷第5期2003

2. 影院座位设计

建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,取尽量

简单的形式,

h 如αα=)(g ;0)(=βh (),030≤β0)(h h =β)30(0>β.

(1)可将作为必要条件,以030≤βα最大为最佳座位的标准.

在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处.又通过计算或分析可知030=βα也是x 的

减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.

(2)设定一个座位间隔(如0.5m), l x 从0(或

处)到030≤βd D -按离散,对于计算l )20~0(00θα的平均值,得时其值最大. 020=θ(3)可设地板线是x 的二次曲线,寻求,b 使2bx ax +a α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线. 3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题) 该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和. w w w .

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