无理数的常见形式

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无理数的定义和性质

无理数的定义和性质无理数是数学中的一个重要概念，最早由希腊数学家毕达哥拉斯提出。

它是一种不能被表示成两个整数之比的实数，也就是说，它不能用有限小数或纯循环小数的形式表达。

例如，根号2、圆周率π和自然常数e都是无理数。

在本文中，我们将探讨无理数的定义和性质，以便更好地理解它们在数学中的应用。

定义无理数可以用以下方式定义：如果一个实数a不能表示成两个整数之比，那么a就是无理数。

与无理数相对的是有理数，有理数是可以表示成两个整数之比的实数，包括整数、分数和有限小数等。

例如，可以证明根号2是无理数。

假设存在两个整数p和q，使得根号2=p/q。

这意味着2=p^2/q^2，即p^2=2q^2。

因此，p的平方必须是偶数，因为2q^2是偶数。

由此得出，p本身也必须是偶数。

我们可以用这个结论来推导p和q之间的矛盾。

设p=2r，其中r是整数，则2q^2=p^2=4r^2，因此q^2=2r^2。

因为2r^2是偶数，所以q^2也是偶数，即q也是偶数。

但这与我们的假设矛盾，因为p和q应该是互质的，而偶数显然不是互质的。

所以，我们可以得出结论，根号2是无理数。

性质我们可以通过以下几个性质来进一步认识无理数。

1. 无理数是无限不循环小数。

由于无理数不能用有限小数或纯循环小数的形式表示，它们都是无限不循环小数。

例如，圆周率π在小数点后没有重复的模式，因此它是无限不循环小数，也是一个无理数。

2. 无理数是无限不重复的。

与无理数无限不循环的性质相似，无理数还具有无限不重复的性质。

这意味着，在无理数的小数表达式中，任意的数字序列都会无限地出现下去，但任何一个固定的数字序列都不会无限重复。

例如，自然常数e的小数点后也没有重复的模式，这是由于其无限不重复的性质所决定的。

3. 无理数可以用数列逼近。

虽然无理数不能表示为有限小数或纯循环小数的形式，但我们可以用数列来逼近它们。

例如，可以用有理数序列3、3.1、3.14、3.141、3.1415、...来逼近圆周率π，这个序列每一项都是一个有限小数，但它们的极限却是π。

初一无理数知识点归纳总结

初一无理数知识点归纳总结无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

与有理数不同，无理数不能被表示为一个整数或者分数。

在初中数学中，我们学习了一些关于无理数的基本概念和性质。

本文将对初一阶段学习的无理数知识点进行归纳总结。

1. 单位根的概念在初一数学中，我们首先接触到复数单位根的概念。

单位根指的是一个复数，它的幂等于1。

常见的单位根有平方根，即二次方等于1的复数，如±1；以及立方根，即三次方等于1的复数，如±1和±i。

初步了解单位根的概念为后续学习无理数打下了基础。

2. 无理数的概念无理数是指不能表示为分数形式的实数。

无理数的小数部分是无限不循环的。

我们通常用根号符号√来表示无理数。

无理数的运算规则同有理数，但不能用分数形式表示。

例如，√2和π（圆周率）都是无理数。

3. 开方运算初一数学中，我们开始学习开方运算。

对于一个正实数a，如果一个实数x的n次方等于a，那么x被称为a的n次方根。

开方运算就是求一个数的平方根、立方根等根的运算。

例如，√a表示a的平方根，a^(1/2)表示a的平方根，∛a表示a的立方根，a^(1/3)表示a的立方根。

4. 无理数的实数表达形式无理数可以用实数表示形式，其中包括小数形式和连分数形式。

对于无理数√a，如果a是一个无理数，那么√a也是一个无理数。

无理数也可以通过无限循环小数的方式表达，例如，π可以表示为3.14159...，其中小数部分没有规律。

5. 无理数的性质无理数有一些基本性质，其中包括无理数的相加、相减、相乘、相除仍然是无理数。

例如，√2 + √3是一个无理数，√2 × √3就是√6，也是一个无理数。

6. 无理数的应用无理数在几何中有广泛应用。

例如，建筑设计中的黄金分割比例就是一个无理数比例。

圆周率π也是一个无理数，它在圆的计算和模型中有着重要的应用。

通过对初一无理数的学习，我们不仅加深了对数学的理解，也为进一步的数学学习打下了基础。

无理数化简

无理数化简什么是无理数在数学中，无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数。

与之相对的是有理数，有理数可以表示为两个整数的比例，例如1/2、3/4等。

而无理数则包括了所有不能写成有限小数或者循环小数形式的实数。

最著名的无理数就是圆周率π，它是一个无限不循环小数。

其他常见的无理数还有根号2、根号3等。

无理数化简方法在实际计算中，我们经常需要对无理数进行化简。

化简后的结果更加简洁明了，方便我们进行进一步计算和分析。

方法一：近似值表示最直接的方法就是使用近似值来表示无理数。

例如，我们可以用3.14来近似表示圆周率π。

这种方法适用于只需要一个粗略结果或者计算量较大的情况下。

然而，近似值表示往往会引入误差，并且不能提供精确结果。

因此，在需要高精度计算或者准确结果时，我们需要采用其他方法进行化简。

方法二：连分数展开连分数展开是一种将无限不循环小数表示为一个连分式（也称为埃及分数）的方法。

连分数展开可以将无理数表示为一个无限的分数序列。

例如，根号2可以表示为以下连分式：连分数展开的优点是可以提供精确结果，并且可以通过截断展开来获得任意精度的近似值。

方法三：代数运算对于一些特殊的无理数，我们可以利用代数运算进行化简。

例如，对于根号2，我们可以进行如下计算：假设x = 根号2，则x^2 = 2。

通过移项可得x^2 - 2 = 0。

这样，我们就得到了一个关于x的二次方程。

通过求解这个方程，我们可以得到根号2的一个表达式。

方法四：特殊函数一些无理数可以表示为特殊函数的形式。

例如，圆周率π可以表示为级数或者积分形式。

这种方法需要一定的数学知识和技巧，并且适用范围有限。

应用举例例1：根号3化简我们来看一个具体的例子，如何将根号3进行化简。

首先，我们可以尝试使用连分数展开来表示根号3：根号3 = [1; (1, 2, 1, 2, …)]其中，[1; (1, 2, 1, 2, …)]表示一个无限循环的连分式。

通过截断展开，我们可以得到不同精度的近似值。

灵活应用无理数解决实际问题

灵活应用无理数解决实际问题无理数是指不能表示为两个整数比的形式的实数，它的小数部分是无限不循环的。

常见的无理数包括圆周率π、自然对数的底数e等。

在解决一些实际问题时，我们可以灵活运用无理数概念和性质，帮助我们得出准确而精确的结果。

本文将通过几个具体例子，展示无理数的应用。

例一：计算圆的周长和面积首先，我们来看一个最经典的例子：圆的周长和面积计算。

在几何学中，我们知道圆的周长C和面积A分别由半径r确定。

其中，圆周率π是一个无理数，它的近似值大约为3.14159。

利用无理数π的概念，我们可以得出周长和面积的计算公式：周长C = 2πr面积A = πr²这里的π就是无理数的一种应用，它确保了计算结果的准确性。

无论半径r取多少值，我们都可以通过这两个公式得出圆的周长和面积，而无需担心误差。

例二：金融领域的应用在金融领域，精确的计算是非常重要的。

例如，在计算复利时，我们需要求解的是一个无穷级数。

假设我们有一个投资，年利率为3%，每年复利1次。

如果我们想要计算投资最终的本金与利息总和，我们可以使用无理数e的概念。

利用复利公式，我们可以得到以下公式：总额 = 本金 × (1 + 利率)^时间其中，利率是一个小数，而时间是一个整数。

在这个问题中，我们可以将利息的增长看作是一个无穷级数，即利率的幂的和。

这个和可以用无理数e表示，近似值为2.71828。

例三：音乐中的应用在音乐创作和演奏中，音符的频率是一个重要的概念。

而频率与音高的关系是通过无理数来定义的。

以A调的音高为例，它的频率为440Hz。

而升高一个八度，则音高变为880Hz。

在音乐中，升高一个半音，则将频率乘以2^(1/12)。

这里的2^(1/12)就是一个无理数，它的近似值约为1.05946。

通过无理数的概念，音乐家和工程师可以精确地计算音高的变化，确保音乐作品的准确表达。

结语：通过以上几个例子，我们可以看到无理数在实际问题中的灵活应用，它帮助我们得到准确而精确的结果。

实数数学七年级

【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 无理数和实数的概念以及有理数和无理数的区别；2. 数的范围扩大后，实数的运算有什么发展；3. 实数和数轴上的点的关系，平面直角坐标系中的点和有序实数对之间的关系。

二. 知识要点：1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数有以下几种形式：①字母型：指含有某种特定意义的字母，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π3＋8等；②构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间多一个0）就是一个无限不循环的小数； ③根号型：如2、5、36、…都是一些开方开不尽的数。

2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。

判断一个实数的属性（如有理数、无理数），应遵循：一化简，二辨析，三判断。

要注意：“神似”而不是“形似”：①所有的有理数都可以写成分数，无理数不可化成分数。

像32虽看似分数形式，但分子中的2不是整数，因此它实际上并不是分数，而是一个无理数；②要注意将“3.525225222522225”与“3.525225222522225…”区别开来，前者是一个有限小数，因此是有理数；③判断时要看结果，不要看表面形式，如25是一个有理数。

3. 实数的分类：①实数⎩⎪⎨⎪⎧ 有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ 整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数②实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数4. 当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的关系。

5. 实数的相反数、绝对值的概念及实数的运算实数a的相反数是－a，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

有理数与无理数

有理数与无理数有理数和无理数是数学中常见的两个概念。

它们在数轴上处于不同的位置，具有不同的性质和特点。

本文将深入探讨有理数与无理数的定义、性质以及它们之间的关系。

一、有理数的定义与性质有理数是可以用两个整数的比值来表示的数。

在数轴上，有理数可以表示为有限或无限循环小数，或者可以写成分数的形式。

有理数包括整数、正数、负数和零。

第一个性质是有理数的加法封闭性。

对于任意两个有理数a和b，它们的和a+b也是有理数。

例如，2和3是有理数，它们的和5也是有理数。

第二个性质是有理数的乘法封闭性。

对于任意两个有理数a和b，它们的乘积a*b也是有理数。

例如，2和3是有理数，它们的乘积6也是有理数。

有理数还满足加法和乘法的交换律、结合律和分配律。

这些性质使得有理数在数学运算中具有良好的性质和规律，方便进行各种运算。

二、无理数的定义与性质无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

无理数不能写成有限小数或无限循环小数的形式，也不能表示为分数。

无理数在数轴上处于有理数之间的位置。

最常见的无理数是圆周率π和自然对数的底数e。

这些无理数的小数表示是无限不循环的。

例如，π≈3.1415926...和e≈2.7182818...。

无理数具有一些特殊的性质。

首先，无理数和有理数的和仍然是无理数。

例如，π和2的和π+2是无理数。

其次，无理数和有理数的乘积也是无理数。

例如，e和3的乘积e*3是无理数。

三、有理数与无理数的关系在数轴上，有理数和无理数构成了实数的完整集合。

每个实数都是有理数或无理数。

事实上，无理数的存在使得数轴上的任意两个有理数之间都存在无限多个无理数。

有理数和无理数之间的关系可以通过无理数的不可度量性来描述。

例如，无理数π无法用有限多个有理数来逼近，无论多接近也无法完全等于π。

这是因为π是一个无限不循环的小数，不存在有理数与之相等。

在实际应用中，有理数和无理数都有广泛的应用。

有理数常用于计算和测量，可以准确地表示分数和比例关系。

专题09 实数-2020-2021学年七年级数学下册常考题专练(人教版)(原卷版)

专题09 实数★ 知识归纳● 有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.要点梳理：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….● 实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.● 实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.●实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.★实操夯实一．选择题（共20小题）1．下列实数，，3.14159，﹣，，﹣0.1010010001…（每两个1之间多1个0）中无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．在3，0，﹣2，﹣四个数中，最小的数是（）A．3B．0C．﹣2D．﹣3．下列数中，无理数的是（）A．πB．C．D．3.14159264．下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与B．﹣2与C．2与（﹣）2D．|﹣|与5．下列说法中正确的是（）A．不循环小数是无理数B．分数不是有理数C．有理数都是有限小数D．3.1415926是有理数6．下列说法正确的是（）A．无限小数都是无理数B．没有立方根C．正数的两个平方根互为相反数D．﹣（﹣13）没有平方根7．实数的倒数是（）A．3B．C．﹣D．8．如图，数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S9．正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（）A．A B．B C．C D．D10．下列语句错误的是（）A．无理数都是无限小数B．任何一个正数都有两个平方根C．＝±2D．有理数和无理数统称实数11．的相反数的倒数是（）A．B．C．D．12．下列说法：①实数与数轴上的点一一对应；②﹣a2没有平方根；③任何实数的立方根有且只有一个；④平方根与立方根相同的数是0和1；⑤的算术平方根是2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．在﹣，，，1四个实数中，最大的实数是（）A．﹣B．C．D．114．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A．B．1﹣C．D．2﹣15．如图，数轴上点C所表示的数是（）A．2B．3.7C．3.8D．16．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）A．a+b＞0B．a﹣b＜0C．ab＞0D．ab﹣1＜017．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（）A．|a﹣b|＜1B．|a|＜|b|C．|a+1|+|1﹣b|＝a﹣b D．＜018．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜﹣b＜a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a19．如图，数轴上点A所表示的数是（）A．B．﹣1C．D．﹣120．若|a|＝4，，且a+b＜0，则a﹣b的值是（）A．1，7B．﹣1，7C．1，﹣7D．﹣1，﹣7二．填空题（共3小题）21．﹣的相反数是，的倒数是，的立方根是．22．比较大小：﹣﹣2．（填“＞”或“＜”号）23．比较大小：．三．解答题（共5小题）24．在数轴上将数﹣2.5，0，|﹣3|，（﹣2）2，﹣5，表示出来，并结合数轴用“＜”号将它们连接起来．25．课堂上，老师出了一道题，比较与的大小．小明的解法如下：解：﹣＝＝，因为42＝16＜19，所以＞4，所以﹣4＞0．所以＞0，所以＞，我们把这种比较大小的方法称为作差法．（1）根据上述材料填空（在横线上填“＞”“＝”或“＜”）：①若a﹣b＞0，则a b；②若a﹣b＝0，则a b；③若a﹣b＜0，则a b．（2）利用上述方法比较实数与的大小．26．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是，小数部分是．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值（3）已知：100+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x++24﹣y的平方根．27．如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD的长AD 是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为12．（1）填空：点H在数轴上表示的数是，点A在数轴上表示的数是．（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，求当x多少秒时，OM＝ON．（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，当两个长方形重叠部分的面积为6时，求长方形ABCD运动的时间．28．如图1，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3（1）数轴上点A表示的数为．（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′，移动后的长方形O′A′B'C′与原长方形OABC重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S①设点A的移动距离AA′＝x．当S＝4时，x＝．②当S恰好等于原长方形OABC面积的一半时，求数轴上点A′表示的数为多少．。

第三章实数考点4 无理数(解析版)

第三章实数（解析板）4、无理数知识点梳理无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数同步练习一．选择题（共14小题）1．π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．【解答】解：在π、，﹣，，3.1416，0.中，无理数是：π，共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中是有理数中的整数．2．在下列实数中：0，，﹣3.1415，，，0.343343334…无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：，0.343343334…是无理数，故选：B．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．3．下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（）A．1.414B．C．﹣D．0【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，解答即可．【解答】解：是无理数．故选：B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．4．四个数0，1，，中，无理数的是（）A．B．1C．D．0【考点】算术平方根；无理数．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：0，1，是有理数，是无理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．5．在实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据即可得出答案．【解答】解：实数0.3，0，，，0.123456…中，无理数有：，，0.123456…，共3个．故选：B．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．6．在数中，有理数的个数为（）A．3B．4C．5D．6【考点】无理数．【分析】根据有理数的概念可判断出有理数的个数．【解答】解：在数中，理数有，，﹣，0.303030…，共4个．故选：B．【点评】此题考查了有理数的定义及其分类．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例5＝5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示．7．在，3.33，，﹣2，0，0.454455444555…，﹣，127，中，无理数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：，0.454455444555…，﹣是无理数，故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．8．在下列实数：、、、、﹣1.010010001…中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义，可得答案．【解答】解：、、﹣1.010010001…是无理数，故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．9．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义以及实数的分类即可作出判断．【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；（4）正确；故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．10．在3.14159，4，1.1010010001…，4.，π，中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【解答】解：在3.14159，4，1.1010010001…，4.，π，中，无理数有1.1010010001…，π共2个．故选：B．【点评】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的常见类型是解题的关键．11．在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（）A．2B．3C．4D．5【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义及常见的无理数的形式即可判定．【解答】解：在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中，根据无理数的定义可得，无理数有、两个．故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，解题要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．12．下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．【解答】解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．13．在3.14，，，，π，2.01001000100001这六个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】无理数．【分析】无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数，根据以上内容判断即可．【解答】解：无理数有﹣，π，共2个，故选：B．【点评】本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些有规律的数，③开方开不尽的数．14．在﹣3，，π，0.35中，无理数是（）A．﹣3B．C．πD．0.35【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式求解．【解答】解：﹣3，，0.35为有理数，π为无理数．故选：C．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．二．填空题（共19小题）15．写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义即可．【解答】解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．故答案为：π（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．16．两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣（答案不唯一）．【考点】无理数．【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可求解【解答】解：∵两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是和﹣．（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了无理数的定义和性质，解题时注意无理数的积不一定是无理数．17．以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有②⑤③．（只填序号）【考点】无理数．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项【解答】解：②；③，⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，故答案为：②⑤③．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．18．下列一组数：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣π，﹣，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）中，无理数有2个．【考点】无理数．【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：﹣8，2.6，﹣|﹣3|，﹣是有理数，﹣π，0.101001…（每两个1中逐次增加一个0）是无理数，故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．19．在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有3个．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案．【解答】解：在所列实数中，无理数有2π，0.454454445…，这3个，故答案为：3．【点评】此题主要考查了无理数，关键是掌握无理数定义．20．在数3.16，﹣10，2π，，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2个无理数．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：在数3.16，﹣10，2π，﹣，1.，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）中有2π，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）是无理数，一共2个无理数．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，1.2121121112…（每两个2之间依次多1个1）等形式．21．在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有3个．【考点】无理数．【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，；（2）特定结构的无限不循环小数，（3）含有π的绝大部分数，如2π．如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）；【解答】解：是有理数，3.14159是一个有限小数，是有理数，是无理数，﹣8是有理数，是无理数，0.6是有理数，0是有理数，＝6是有理数，是无理数．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数常见类型是解题的关键．22．写出一个同时符合下列条件的数：﹣．（1）它是一个无理数；（2）在数轴上表示它的点在原点的左侧；（3）它的绝对值比2小．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义求解即可．【解答】解：写出一个同时符合下列条件的数﹣，故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．23．写出一个比﹣4大的负无理数．【考点】无理数．【分析】本题需先根据已知条件，写出一个负数并且是无理数即可求出答案．【解答】解：∵写一个比﹣4大的负无理数，首先写出一个数是无理数，再写出它是负数∴如﹣等．故答案为：﹣（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了无理数的概念，在解题时要根据无理数的定义写出结果是解题的关键．24．已知实数：﹣3.14，0，﹣，π，，其中无理数有2个．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此进行解答即可．【解答】解：在实数﹣3.14，0，﹣，π，中，无理数有﹣，π共2个．故答案为：2【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．25．在、π、、0.5、这五个数中，无理数有π，，．【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：是分数，属于有理数；0.5是有限小数，属于有理数；∴在、π、、0.5、这五个数中，无理数有π，，．故答案为：π，，．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．26．实数，，﹣8，，，中的无理数有3个．【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数即可．【解答】解：＝6，根据无理数的三种形式可得，无理数有，，，共3个．故答案为：3．【点评】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．27．在实数3.1415927，，2﹣，，中，无理数的个数是2个．【考点】立方根；无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．【解答】解：无理数有，2﹣，，两个，故答案为：2【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．28．在实数3.14，﹣，﹣，0.13241324…，，﹣π，中，无理数的个数是3．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：3.14、﹣＝﹣0.6、0.13241324…、这四个数是有理数，﹣、和﹣π这三个数是无理数，故答案为：3．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．29．下列各数：①﹣2π；②；③0；④2.3中，是无理数的是①（填写序号）．【考点】无理数．【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：无理数有﹣2π，故答案为：①．【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数．30．在下列各数：3.1415926、、0.5、、、、中无理数有2个．【考点】无理数．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：、是无理数．故答案为：2．【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．31．在实数﹣，﹣，0，，中，无理数有，．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数常见的三种类型：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【解答】解：﹣＝﹣2是有理数，﹣是有理数，0是有理数，是无理数，是无理数，故答案为：，．【点评】本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的常见类型是解题的关键．32．在实数﹣，0，﹣1，0.121121112，，π中，无理数的个数为2个．【考点】算术平方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：无理数有：，π共2个．故答案为：2【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．33．实数，，﹣7，中，无理数有2个．【考点】算术平方根；立方根；无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此进行解答即可．【解答】解：是分数，属于有理数；﹣7是整数，属于有理数；无理数有，共2个．故答案为：2．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．三．解答题（共2小题）34．已知实数x，y满足关系式+|y2﹣1|＝0．（1）求x，y的值；（2）判断是有理数还是无理数？并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；无理数．【分析】（1）根据非负数的和等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据开平方，无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：（1）由题意，得，解得：；（2）当x＝2，y＝1时，＝，是无理数．当x＝2，y＝﹣1时，＝＝2，是有理数．【点评】本题考查了非负数的性质，利用非负数的性质得出方程组是解题关键．35．课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：﹣，，|﹣|，0，2π，﹣0.6，﹣其中，甲说“﹣”，乙说“”，丙说“2π”．（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：【考点】算术平方根；无理数．【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；（2）根据有理数的分类解答即可．【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“2π”是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．故答案为：甲（2）整数有：0、；负分数有：、﹣0.6．故答案为：0、；、﹣0.6．【点评】本题主要考查了实数法分类，实数分为有理数与无理数，有理数又分为整数与分数。

无理数运算

无理数运算无理数运算是数学中一个非常重要的概念，在数学的发展历程中也扮演了非常重要的角色。

所谓无理数，就是无法用分数形式表示的数，比如$\sqrt{2}$和$\pi$。

一、无理数概述1.1 定义无理数是指不能写成分数形式的实数。

所谓分数形式，指的是一个有理数的分子和分母都是整数，并且分母不为零。

1.2 例子最常见的无理数是$\sqrt{2}$，其实$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$等等无限多个数都是无理数。

除此之外，$\pi$、$e$、黄金分割数$\phi$等也是无理数。

1.3 区别有理数和无理数是数学中两个互不相同的概念，有理数指的是可以写成分数形式的数，而无理数则意味着不能够写成此形式的数。

二、无理数运算2.1 加法两个无理数的加法，只需将它们的代数和相加即可。

例如：$\sqrt{2}+\sqrt{3}$我们可以考虑一下近似值，即将$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$都换算成有理数然后相加，无理数的近似值为$2.4$和$1.7$，两者相加得$4.1$。

但是，这不是真正的解决方案，我们不能确定这是精确的答案。

另一种方法，我们可以利用公式：$(a + b)^2=a^2+2ab+b^2$用这个式子可以将$\sqrt{2}+\sqrt{3}$平方，则得出：$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=2+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+3$所以，$ \sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{6}+1.4$但是，这个值来自近似，不是准确的值。

更多地，这并不是唯一的方法来处理无理数。

《数论导引》提到一个更好的方法，可以将$\sqrt{2}+\sqrt{3}$从经典几何角度考虑。

若$AB=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{3}$，如图所示，则应用勾股定理，有：$AC^2 = AB^2 + BC^2=2+3=5$因此，$AC=\sqrt{5}$，也就是说，$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$这样我们得到了准确的结果。

有理数与无理数知识讲解

（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【典型例题】类型一、有理数
1．下列说法正确的是（）
A．整数就是正整数和负整数
B．分数包括正分数、负分数
C．正有理数和负有理数统称有理数
D．无限小数叫做无理数
【答案】B
【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和 0；C 选项正有理数、负有理数和 0 统称有理数；
2
7
整数集合：
分数集合：
负有理数集合：
无理数集合：
【答案与解析】
整数集合： -2， 0，-（-2），2012
分数集合： - 1 ， 22 ，- 0.23
27
负有理数集合： -2， - 1 ，- 0.23
2
无理数集合： 3 ，3．020020002…，
【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应用，关键是能区分有关定义，注意：整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、0、负有理数；无理数是指无限不循环小数．类型三、循环小数化分数
有理数与无理数知识讲解
【学习目标】 1、理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念． 2、会判断一个数是有理数还是无理数．【要点梳理】要点一、有理数
我们把能够写成分数形式 m （m,n 是整数，n≠0）的数叫做有理数． n
要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数．（2）所有整数都可以写成分母是 1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数．
要点二、无理数 1．定义：
无限不循环小数叫做无理数．要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分不循环，
不能表示成分数的形式．

无理数的几何性质和图像表示

无理数的几何性质和图像表示无理数是一种特殊的数，它的小数部分无限不循环。

人们发现，无理数可以被看做几何体现形式的数学对象。

它不仅在几何学中具有很多应用，而且在代数学，分析学和拓扑学等学科中都有着重要的应用。

在这篇文章中，我们将探讨一些无理数的几何性质和图像表示，以及一些相关的概念和定理。

一、无理数的基本概念1、定义：无理数是小数部分无限不循环的实数，包括所有不是有理数的实数。

2、举例：如π、e和√2等无理数。

二、无理数的几何性质1、无理数是无限不循环的小数，因此可以通过一系列无限接近的有理数序列来逼近。

2、无理数是无限不循环的小数，因此可以通过一系列无限接近的有理数序列来逼近。

3、无理数的无限不循环的小数部分可以表现为无限不规则的数字序列，这个序列能够揭示出无理数的奇异性质。

4、一些无理数，例如√2、π和e等，具有特殊的几何性质，这些性质被广泛应用在科学和工程中。

三、无理数的图像表示1、数轴表示：无理数可以在数轴上表示，例如√2可以在数轴上标记为一条线段，使得其长度与√2的值相等。

2、几何图形表示：一些无理数具有特殊的几何图形表示，例如π可以在单位圆上表示为弧的长度，而e可以在区间[0,1]上表示为指数函数的图像。

四、无理数的相关定理1、无理数的存在性定理：任何有理数系的总体构成数轴的一个稠密子集，因此，数轴上必定有无理数存在。

2、无理数的逼近定理：对于每个无理数，都存在一个无限接近的有理数序列来逼近它。

3、独立性定理：任意两个不同的无理数之间都是互相独立的。

五、结论无理数是数学中引人入胜的一个研究对象，它的存在和性质具有深刻的数学内涵和物理意义。

通过对无理数的几何性质和图像表示的探索，我们可以更好地理解和应用它，使得数学知识得到更好的应用。

无理数论文800字

无理数论文800字无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。

例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。

必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。

数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

公元前500年,古希腊毕达拉斯(Pythagoras)学派的弟(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可子希勃索斯公度的(若正方形边长是1,则对角线的长不是一个有理数)这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭.这一发现使该学派人惶恐、恼怒,认为这将动摇他们在学术界的统治地位。

希勃索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竟遭到沉舟身亡的惩处。

毕氏的发现,第一次向人们揭示了有理数系的缺陷,证明它不能同连续的无限直线同等看待,有理数并没有布满数轴上的点,在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。

于是,古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。

不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次,对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明,推动了公理几何学与逻辑学的发展,并且孕育了微积分的思想萌芽。

不可通约的本质是什么?长期以来众说纷坛,得不到正确的解释,两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。

15世纪意大利著名画家达。

芬奇称之为“无理的数”,17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。

有理数与无理数的概念整理

位似图形的定义
有理数为整数和分数的统称。

正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

实数
有理数
无理数
整数
分数
正无理数
负无理数
正整数
负整数
正分数
负分数。

有理数和无理数的定义

有理数和无理数的定义
定义：
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有大部分的平方根、π和e等。

无理数和有理数的区别：
1、两者概念不同。

有理数是整数和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因此有理数的数集可分为正有理数、负有理数和零。

无理数，也称为无限不循环小数。

简单来说，无理数就是10进
制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。

2、两者性质不同。

有理数的性质是一个整数a和一个正整数b的比，例如3比8，通常为a比b。

无理数的性质是由整数的比率或分数构成的数字。

3、两者范围不同。

有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法4种运算均可进行。

而无理数是指实数范围内，不能表示成两个整数之比的数。

0.33333…是有理数吗

0.33333…是有理数吗
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e等。

无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。

而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。

于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。

不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展。

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第三章 实数 考点4 无理数(解析版)

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