高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
类型一：椭圆定义
【典例1】(1)椭圆 x2 y2 1 上一点M到一个焦点距离为4，则M到另 25 16
一个焦点距离为 ( )
A.4
B.6
C.8
D.2
(2)已知定点A(0，-1)，点B在圆F：x2+(y-1)2=16上运动，F为圆心，
线段AB垂直平分线交BF于P.则点P轨迹是__________.
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2.对椭圆标准方程两点说明 (1)标准含义: 所谓“标准”,就是椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上. (2)用待定系数法求标准方程时注意点: 应从“定位”与“定量”两个方面去考虑,首先要“定位”,即确定焦 点所在坐标轴,从而确定椭圆方程类型;其次是“定量”,即利用条件 确定方程中a,b值.
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所以所求椭圆标准方程为 y2 x2 ＝1． 169 144
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【归纳总结】 1.对椭圆定义了解 椭圆定义中应注意常数大于焦距这个必要条件,即对椭圆上任一点M有 |MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|;不然,若2a=|F1F2|,则轨迹是线段F1F2;若 2a<|F1F2|,则轨迹不存在.
得|MF2|=10-|MF1|=10-4=6.
(2)由题意得|PA|=|PB|.
所以|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=4>|AF|=2，
所以动点P轨迹是以A，F为焦点椭圆.
答案：以A，F为焦点椭圆
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【规律总结】椭圆定义双向利用 (1)判断：符合定义中到两定点距离之和为常数(大于两定点距离)这 一条件点轨迹为椭圆. (2)求值：椭圆上点一定满足定义中条件即到两定点距离之和为2a. 提醒：在判断点轨迹时，易出现只注意到距离之和为常数，而忽略此 常数要大于两定点距离条件作犯错误判断.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆课件新人教A选修2_1
C.
3
D.8
3
【解析】由题意得 a2=2,b2=m,∴c2=2-m,又c=1,∴ 2-m=1,∴
a2
22
m=3.
2
【答案】B
3.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 5,且过点
5
P(-5,4),则椭圆为xa22+by22=1(a>b>0),
可化为
x2+y
2
=1,
8
故椭圆长轴的端点坐标为(0,-2 2),(0,2 2).
短轴长为 2.
【答案】(0,-2 2),(0,2 2) 2
预学 3:a,b 的几何意义
在椭圆中,a 是长轴的一半,b 是短轴的一半,故 a 叫作长半轴 长,b 叫作短半轴长.
议一议:椭圆方程xa22+by22=1(a>b>0)中 a,b,c 的几何意义是什 么?(指定小组回答,其他组补充)
第 4 课时 椭圆的简单几何性质
重点:椭圆的几何性质及其应用. 难点:对椭圆几何性质的灵活应用. 学法指导:仔细阅读教材和课程学习目标,结合椭圆的标准 方程和椭圆的图形熟练掌握椭圆的几何性质;椭圆的标准方程和 椭圆的性质息息相关,导学案中的问题导学给出了利用方程研究 性质、利用性质求方程、求离心率的方法,学习过程中注意体会 椭圆的几何性质,并结合习题强化几何性质的应用.
预学 2:顶点、长轴、短轴的概念
顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.
长轴:长轴是椭圆中过对称中心的所有弦中最长的弦,长度
为 2a.
短轴:短轴是椭圆中过对称中心的所有弦中最短的弦,长度
为 2b.
想一想:椭圆 8x2+y2=8 的长轴的端点坐标是
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则|MC1|=8-r,|MC2|=r+2.
即|MC1|+|MC2|=(8-r)+(r+2)=10.
∵|C1C2|=6,∴动圆圆心的轨迹是椭圆,且焦点为C1(0,3),C2(0,-3),且2a=10.
∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
∴动圆圆心 M
1
,
2
3 ,
0 × + 4 = 1,
= 1,
1
∴ 1
解得
+ 3 = 1,
= .
∵椭圆经过两点 A(0,2),
4
∴所求椭圆方程为 x2+
2
4
4
= 1.
第十六页，共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
利用(lìyòng)椭圆的定义求轨迹方程
【例2】 已知B,C是两定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形
看其是否符合(fúhé)椭圆的定义,若符合(fúhé),再利用待定系数法求
椭圆的方程.
第十八页，共24页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 设动圆M和定圆C1:x2+(y-3)2=64内切,而和定圆
C2:x2+(y+3)2=4外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解:设动圆M的半径(bànjìng)为r,圆心M(x,y),两定圆圆心C1(0,3),C2(0,-3),半
2
2
+
解法一:设椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
由点( 3, −2)和(-2 3, 1)都在椭圆上,
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2-1
【示例】已知 x2sin α－y2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在 y
轴上的椭圆，求 α 的取值范围．
【错解】将已知方程化为
x2 1
sin
α＋－cyo21s
＝1. α
∴s－in1cαo1s>0α，>0
⇔sin α>0， cos α<0.
∴π2<α<π.
【错因分析】忘记考虑在椭圆中存在关系a2>b2>0.
应用椭圆的定义解题 【例 1】 如图所示，已知椭圆的方程为x42＋y32＝1，若点 P 是椭圆上第二象限内的点且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2 的面积．
【解题探究】由椭圆定义和余弦定理可求得三角形边长 ．
【解析】由已知 a＝2，b＝ 3， 所以 c＝ a2－b2＝ 4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2 中，由余弦定理，得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2＝ |PF1|2＋4＋2|PF1|.①
1．求椭圆方程的方法： (1)曲线形状明确或易于判断且便于用标准形式时，用 待定系数法或定义法求得． (2)曲线形状不明确或不便于用标准形式表示时，一般 可用直接法、相关点法、参数法，或根据平面几何知识等求方 程．
2．重视数学思想、方法的运用，优化解题思维，简化 解题过程．
(1)数形结合思想：根据平面几何知识，通过观察发现 各量之间的关系，将位置关系转化为代数数量关系进而转化为 坐标关系，从而建立关系式．
2．求经过点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆的标准方程． 【解析】设所求椭圆方程为xm2＋yn2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
将 A(3， 3)，B(2,3)代入，得mm94 ＋＋3n9n＝＝11，，
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修2-1(2021年整
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椭圆及其标准方程一、教学目标:知识与技能目标：准确理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导.过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.情感、态度与价值观目标：通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度。
二、教学重点、难点：重点是椭圆的定义及标准方程，难点是推导椭圆的标准方程。
三、教学过程：教学环节教学内容和形式设计意图复习提问（1）圆的定义是什么？圆的标准方程的形式怎样?（2）如何推导圆的标准方程呢？激活学生已有的认知结构,为本课推导椭圆标准方程提供了方法与策略。
讲授新课一、授新1.椭圆的定义: (略）活动过程:操作--——-交流—-———归纳—-———多媒体演示——-——联系生活形成概念：在动手过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.操作: 〈1>固定一条细绳的两端,用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上你得到了怎样的图形? 〈2>如果调整1F 、2F 的相对位置，细绳的长度不变,猜想你的椭圆会发生怎样的变化? 在变化的过程中发现圆与椭圆的联系；建立起用联系与发展的观点看问题;为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔。
2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程讲义新人教A版选修
2．2.1 椭圆及其标准方程1．椭圆(1)□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，□02这两个定点叫做椭圆的焦点，□03两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 应用定义解题时，不要漏掉|MF 1|＋|MF 2|＝2a □04>|F 1F 2|这一个条件． (2)集合的语言描述为P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a,2a □05>|F 1F 2|}． 2．椭圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( )(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．( ) 答案(1)√(2)×(3)√(1)(教材改编P 38“椭圆的定义”)设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝10，则动点M 的轨迹是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段(2)a ＝5，c ＝3，焦点在x 轴上的椭圆标准方程为________________________． (3)椭圆的方程为y 29＋x 24＝1，则a ＝______，b ＝______，c ＝________.(4)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为________．答案 (1)A (2)x 225＋y 216＝1 (3)3 25 (4)6解析 (1)∵|MF 1|＋|MF 2|＝10>|F 1F 2|＝6，由椭圆定义可知，动点M 的轨迹为椭圆．探究1 椭圆的定义例1 已知△ABC 的周长是8，且B (－1,0)，C (1,0)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 29＋y 28＝1(x ≠±3) B.x 29＋y 28＝1(x ≠0) C.x 24＋y 23＝1(y ≠0) D.x 23＋y 24＝1(y ≠0) [解析] ∵|AB |＋|AC |＝8－|BC |＝6>|BC |＝2，∴顶点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝3，b ＝2 2.又∵A ，B ，C 三点不共线，∴顶点A 的轨迹方程为x 29＋y 28＝1(x ≠±3)．拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.【跟踪训练1】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴|PB|＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.探究2 椭圆标准方程的应用例2 若方程x 216－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9<m <16B ．－9<m <72C.72<m <16 D ．m >72[解析] 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，m ＋9>16－m ，解得72<m <16.[答案] C[条件探究] 若将例2条件“y 轴”改为“x 轴”，其他条件不变，试求实数m 的取值范围．解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，m ＋9>0，16－m >m ＋9，解得－9<m <72.[结论探究] 如果把例2的问题改为“求该椭圆的焦距的取值范围”，怎样解答呢？ 解 由题意得c 2＝(m ＋9)－(16－m )＝2m －7， 所以c ＝2m －7，又72<m <16，所以0<2m －7<25，c ∈(0,5)， 所以焦距2c ∈(0,10)． 拓展提升方程x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ，表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ，表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m <n .【跟踪训练2】 (1)“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由方程x 27－m ＋y2m －3＝1表示的曲线是椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧7－m >0，m －3>0，7－m ≠m －3，解得3<m <7且m ≠5，所以3<m <7且m ≠5⇒3<m <7， 而3<m <7推不出3<m <7且m ≠5.所以，“3<m <7”是“方程x 27－m ＋y 2m －3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m >0)，并且焦距为6，求实数m 的值．解 ∵2c ＝6，∴c ＝3.当椭圆的焦点在x 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2，a 2＝b 2＋c 2，得25＝m 2＋9，∴m 2＝16，又m >0，故m ＝4.当椭圆的焦点在y 轴上时，由椭圆的标准方程知a 2＝m 2，b 2＝25, a 2＝b 2＋c 2，得m 2＝25＋9＝34，又m >0，故m ＝34.综上，实数m 的值为4或34. 探究3 椭圆的标准方程例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,32)； (2)a ＝8，c ＝6；(3)经过两点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. [解] (1)由题意得，2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，得a ＝6. 又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32. ∴所求的椭圆的方程为x 232＋y 236＝1.(2)∵a ＝8，c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝64－36＝28.当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 264＋y 228＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 264＋x 228＝1.故所求的椭圆方程为x 264＋y 228＝1或y 264＋x 228＝1.(3)①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴焦点在x 轴上的椭圆不存在．②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫132a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－122a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝15.故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.[解法探究] 解答例3(1)(3)有没有其他解法呢？ 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上，设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16b 2＋18a2＝1，a 2－b 2＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.∴所求的椭圆方程为x 232＋y 236＝1.(3)设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝4，∴所求的椭圆方程为5x 2＋4y 2＝1，即y 214＋x 215＝1. 例4 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹．[解] 如图所示，由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .②由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹为椭圆，且以C 1与C 2为焦点．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48. ∴椭圆的方程为x 264＋y 248＝1，∴动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 拓展提升求椭圆标准方程的方法(1)求关键量代入法：先确定椭圆的焦点位置明确其标准方程的形式，再利用定义及a 2－b 2＝c 2求出参数a ，b ，最后代入椭圆标准方程．(2)待定系数法：构造a ，b ，c 三者之间的关系，通过解方程组求出a ，b .但是要注意先确定焦点所在的位置，其主要步骤可归纳为“先定位，后定量”．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．因为它包括焦点在x 轴上(m <n )或焦点在y 轴上(m >n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．(3)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后由定义确定椭圆的基本量a ，b ，c ，这就是定义法求椭圆标准方程的方法，但注意检验．(4)相关点法：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解．用相关点法求轨迹方程的基本步骤为①设点：设所求轨迹上动点坐标为P (x ，y )，已知曲线上动点坐标为Q (x 1，y 1)．②求关系式：用点P 的坐标表示出点Q 的坐标，即得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).③代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【跟踪训练3】 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案 x 2＋3y22＝1解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝1－b 2.因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的坐标为(c ，b 2)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，即⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3(x 0＋c )，－b 2＝3y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25(1－b 2)9＋19b 2＝1，得b 2＝23，所以椭圆方程为x 2＋3y22＝1.(2)求过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程．解 ∵c 2＝9－4＝5，焦点在x 轴上，∴设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.∵点(－3,2)在椭圆上， ∴9a 2＋4a 2－5＝1，∴a 2＝15， ∴所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.探究4 椭圆的焦点三角形问题例5 已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由x 24＋y 23＝1可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4.② 由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.[条件探究] 例5中“∠PF 1F 2＝120°”改为“∠F 1PF 2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？解 由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos60°. ∴4＝16－3|PF 1||PF 2|. ∴|PF 1||PF 2|＝4，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×4×32＝ 3.拓展提升1.椭圆中焦点三角形的解题策略在解焦点三角形的相关问题时，一般利用两个关系式：(1)由椭圆的定义可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式，|PF 1|＋|PF 2|＝2a .(2)利用正、余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|的一个关系式． 这样我们便可求解出|PF 1|，|PF 2|.但是通常情况下我们是把|PF 1|±|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|看成一个整体进行转化求解，而不是具体求出|PF 1|与|PF 2|的值，所以在解题时注意椭圆定义及正、余弦定理的灵活运用．2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c .(2)在△MF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|cos ∠F 1MF 2. (3)焦点三角形的面积S △F 1MF 2＝12|MF 1||MF 2|·sin∠F 1MF 2＝b 2tan ∠F 1MF 22.【跟踪训练4】 椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析 ∵|PF 1|＝4，∴|PF 2|＝2a －4＝6－4＝2.∵|F 1F 2|＝2c ＝27，∴在△F 1PF 2中，利用余弦定理可得， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12，∴∠F 1PF 2的大小为120°.1.椭圆定义的应用(1)椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)．在解题过程中将|PF 1|＋|PF 2|看成一个整体，可简化运算.(2)椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决. 2.椭圆标准方程的两种应用由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围).(1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标.(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n＝1，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n >m >0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m >0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程的形式不是标准方程，需先进行转化. 3.求椭圆标准方程的常用方法 (1)求关键量代入法； (2)待定系数法； (3)定义法； (4)相关点法.4.椭圆的焦点三角形问题解答此类问题可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等.1．若平面内点M 到定点F 1(0，－1)，F 2(0,1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．直线F 1F 2 C ．线段F 1F 2D ．直线F 1F 2的垂直平分线 答案 C解析 |MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹为线段F 1F 2.2．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的方程是( ) A.y 225＋x 2＝1B.x 225＋y 2＝1 C.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 D ．以上都不对 答案 A解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125，∴椭圆方程为x 2＋y 225＝1.故选A.3．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为( ) A ．(±3,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±320，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，±320 答案 D解析 椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，知焦点在y 轴上，c 2＝116－125＝9400，故焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±320. 4．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，①12r 1r 2＝9，②r 21＋r 22＝(2c )2，③由①得r 21＋2r 1r 2＋r 22＝4a 2，由②得r 1r 2＝18，所以r 21＋r 22＋36＝4a 2，④ ④－③得36＝4a 2－4c 2，即4b 2＝36， 所以b 2＝9，b ＝3.5．点M (x ，y )与定点F (2,0)的距离和它到定直线x ＝8的距离的比是1∶2，求点M 的轨迹方程．解 设d 是点M 到直线x ＝8的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪|MF |d ＝12， 由此得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12.将上式两边平方，并化简，得3x 2＋4y 2＝48， 即点M 的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件3 新人教A版选修1-1.ppt
x b
2 2
＝1
表示焦点在y轴上的椭圆，即焦点在哪个轴上相应的那个项的分母就
大．
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【过关小练】 1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是( )
x2 A.
y2
1
36 20
x2 y2 C. 1
36 16
x2 B.
y2
1
20 36
x2 y2 D. 1
16 36
【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,
13
➡根据以上探究过程，试着写出椭圆的标准方程：
1.焦点在x轴上：_xa_22___by_22__1__(a>b>0). 2.焦点在y轴上：__ay_22 __xb_22___1_(a>b>0).
14
【合作探究】 1.在推导椭圆方程时，为何要设|F1F2|=2c，常数为2a？为何令a2c2=b2？ 提示：在求方程时，设椭圆的焦距为2c(c>0)，椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为2a(a>0)，这是为了使焦点及长轴两个端点的坐 标不出现分数形式，以便使推导出的椭圆的方程形式简单.令a2-c2=b2 是为了使方程的形式整齐而便于记忆.
8
【过关小练】 1.已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a，其中 a为大于0的常数；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的
() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9
【解析】选B.若P点轨迹是椭圆，则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0，为常 数).所以甲是乙的必要条件.反过来，若|PA|+|PB|=2a(a>0，为常数)， 当2a>|AB|时，P点轨迹是椭圆；当2a=|AB|时，P点轨迹是线段AB；当 2a<|AB|时，P点的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲 是乙的必要不充分条件.
2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2-1
利用椭圆定义求动点轨迹方程的步骤
(1)结合平面图形中的条件转化为动点到两定点的距离为定常数． (2)判断是否在标准位置． (3)由定义求出 a、b、c 进而求出标准方程．
3．已知两定点 F1(－1,0)，F2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点 P
的轨迹方程是( )
解析：(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上， ∴可设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
∴2a22＋b02＝1， a02＋b12＝1，
∴ab22＝ ＝41， ，
故所求椭圆的标准方程为x42＋y2＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，∴可设它的标准方程为 ay22＋xb22＝1(a>b>0)． ∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于 2， ∴－c－(－10)＝2，故 c＝8， ∴b2＝a2－c2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是1y020＋3x62 ＝1.
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4，
②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20
③
③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)，
∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
探究二 椭圆的标准方程 [典例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 第1课时 椭圆课件 新人教A版选修1-1.pptx
练一练
1．已知命题甲：动点 P 到两定点 A，B 的距离之和|PA|＋|PB|
＝2a，其中 a 为大于 0 的常数；命题乙要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11
解析：若点 P 的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0， 为常数)． 所以甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，当 2a>|AB|时，点 P 的轨迹是椭圆；当 2a＝|AB|时，点 P 的轨迹是线段 AB；当 2a<|AB|时，点 P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综 上可知，甲是乙的必要不充分条件． 答案：B
12
2．已知定点 F1，F2，且|F1F2|＝8，动点 P 满足|PF1|＋|PF2|
＝8，则动点 P 的轨迹是
()
A．椭圆
B．圆
C．直线
D．线段
解析：因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以动点 P 的轨迹是线 段 F1F2. 答案：D
13
讲一讲
2．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并 且经过点52，－32，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． [尝试解答] (1)法一：∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
第 1 课时 椭圆及其标准方程
1
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P32～P36 的内容，回答下列问题． (1)阅读教材 P32“探究”的内容，思考下列问题：
①移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？ 提示： 椭圆. ②笔尖在移动的过程中，笔尖到两个定点 F1 和 F2 的距离之 和是一个定值吗？ 提示： 是．其距离之和始终等于线段的长度.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1椭圆及其标准方程1课件新人教A版选修
引申探究 若将本例中圆C的方程改为：x2＋y2－6x＝0且点P(－3，0)为其外一定点， 动圆M与已知圆C相外切且过P点，求动圆圆心M的轨迹方程. 解答
设M(x，y)，据题，圆C：(x－3)2＋y2＝9， 圆心C(3，0)，半径r＝3. 由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3， 即 x－32＋y－02－ x＋32＋y－02＝3， 整理得x92－2y72 ＝1(x<0).
(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨
论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).
(2)
与
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
有
公
共
焦
点
的
椭
圆
方
程
为
x2 a2＋λ
＋
y2 b2＋λ＝1来自(a>b>0，b2>－λ)，与椭圆ay22＋bx22＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为a2y＋2 λ
梳理
(1)椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
焦点 F1(－c，0)，F2_(c_，__0_)_ F1(0，－c) ，F2(0，c)
焦距 2c 2c
(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系
第二章 §2.2 椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程(一)
学习目标
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、 椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
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(1)求椭圆方程的方法：
方法
内容
适合题型或条件
分析条件判断出点的轨迹 定义法 是椭圆，然后根据定义确
定方程
动点满足|MA|＋|MB|＝ 2a，且 2a>|AB|
方法
内容
适合题型或条件
由题设条件能确定方程的类型，设
待定
①已知椭圆上的点的坐标；
出标准方程，再代入已知数据，求
系数法
②已知焦点坐标或焦距
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
依题意有a1－2＋a22－2＋2b2
b322＝1， 32＝1，
解得ab22＝＝51， 5. 因为 a>b>0，所以无解．综上所求椭圆的标准方程为1x52＋y52＝1.
法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 依题意有31m2m＋＋4nn＝ ＝11，， 解得mn＝＝1511.5， 所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
2．2 椭 圆 2．2.1 椭圆及其标准方程
考纲定位
重难突破
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体 重点：能够根据条件熟练求出椭
情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准 圆的标准方程．
方程的推导与化简过程． 难点：掌握椭圆的定义与椭圆的
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何 标准方程.
图形.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
∴a42＋b02＝1， a02＋b12＝1，
⇒ab22＝＝41，.
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
(3)法一 ①当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
解得ab22＝ ＝155. ，
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
∴b2＝36，故方程为1y020＋3x62 ＝1.
答案：C
探究一 圆定义及应用 [典例 1] 如图，已知 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的左、右两个焦点， (1)求 F1，F2 的坐标； (2)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦，求△ABF2 的周长．
[解析] (1)由椭圆方程2x52＋y92＝1 可知，a2＝25，b2＝9， ∴c2＝a2－b2＝25－9＝16， ∴c＝4， ∴F1(－4,0)，F2(4,0)． (2)由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10， ∴△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a ＝4a＝20.
1.如图所示，点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦 点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
解析：在椭圆x52＋y42＝1 中，a＝ 5，b＝2，
∴c＝ a2－b2＝1.
又∵P 在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，
①
由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°
3．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个 焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为( )ຫໍສະໝຸດ A.1x020＋3y62 ＝1
B.4y020＋3x326＝1
C.1y020＋3x62 ＝1
D.2y02 ＋1x22＝1
解析：由条件知 c＝8,2a＝20，∴a＝10，
利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭 圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到 涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
图形
在 x 轴上 xa22＋by22＝1
(a>b>0)
焦点坐标
(±c,0)
a，b，c 的关系 a2＝ b2＋c2
在 y 轴上 ay22＋xb22＝1 (a>b>0)
(0，±c)
[双基自测]
1．椭圆1x62＋2y52 ＝1 的焦点坐标是(
)
A．(±4,0)
B．(0，±4)
C．(±3,0)
D．(0，±3)
出相关参数
相关 点法
①已知或能确定动点满足的等量关
课时作业
[自主梳理]
一、椭圆的定义
定义
平面内与两个定点 F1、F2 的 距离的和等于常数
的轨迹叫作椭圆
焦点 两个定点 叫作椭圆的焦点
焦距 两焦点间的 距离 叫作椭圆的焦距
集合语言 P＝{M|| MF1|＋|MF2|＝2a ,2a>|F1F2|}
(大于|F1F2|)的点
二、椭圆的标准方程 焦点位置 标准方程
解析：由方程知 a2＝25，b2＝16，
∴c2＝9，故焦点坐标为(0，±3)．
答案：D
2．已知椭圆xm2＋1y62 ＝1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距
离为 3，到另一焦点距离为 7，则 m 等于( )
A．10
B．5
C．15
D．25
解析：由定义知 3＋7＝2a，∴a＝5，∴m＝a2＝25.
答案：D
[解析] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5. 又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4，
②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20
③
③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)，
∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
探究二 椭圆的标准方程 [典例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．