高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课件新人教A版选修

3．椭圆的两个焦点坐标分别为 F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个 焦点的距离之和为 20，则此椭圆的标准方程为( )
A.1x020＋3y62 ＝1
B.4y020＋3x326＝1
C.1y020＋3x62 ＝1
D.2y02 ＋1x22＝1
解析：由条件知 c＝8,2a＝20，∴a＝10，
课时作业
Hale Waihona Puke Baidu
[自主梳理]
一、椭圆的定义
定义
平面内与两个定点 F1、F2 的 距离的和等于常数
的轨迹叫作椭圆
焦点 两个定点 叫作椭圆的焦点
焦距 两焦点间的 距离 叫作椭圆的焦距
集合语言 P＝{M|| MF1|＋|MF2|＝2a ,2a>|F1F2|}
(大于|F1F2|)的点
二、椭圆的标准方程 焦点位置 标准方程
出相关参数
相关 点法
①已知或能确定动点满足的等量关
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)．
依题意有a1－2＋a22－2＋2b2
b322＝1， 32＝1，
解得ab22＝＝51， 5. 因为 a>b>0，所以无解．综上所求椭圆的标准方程为1x52＋y52＝1.
法二 设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 依题意有31m2m＋＋4nn＝ ＝11，， 解得mn＝＝1511.5， 所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
[解析] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5. 又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
(1)求椭圆方程的方法：
方法
内容
适合题型或条件
分析条件判断出点的轨迹 定义法 是椭圆，然后根据定义确
定方程
动点满足|MA|＋|MB|＝ 2a，且 2a>|AB|
方法
内容
适合题型或条件
由题设条件能确定方程的类型，设
待定
①已知椭圆上的点的坐标；
出标准方程，再代入已知数据，求
系数法
②已知焦点坐标或焦距
∴a42＋b02＝1， a02＋b12＝1，
⇒ab22＝＝41，.
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
(3)法一 ①当焦点在 x 轴上时， 设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)．
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11，，
解得ab22＝ ＝155. ，
故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点 M 的轨迹是椭 圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和必为 2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到 涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．
∴b2＝36，故方程为1y020＋3x62 ＝1.
答案：C
探究一 圆定义及应用 [典例 1] 如图，已知 F1，F2 是椭圆2x52＋y92＝1 的左、右两个焦点， (1)求 F1，F2 的坐标； (2)若 AB 为过椭圆的焦点 F1 的一条弦，求△ABF2 的周长．
[解析] (1)由椭圆方程2x52＋y92＝1 可知，a2＝25，b2＝9， ∴c2＝a2－b2＝25－9＝16， ∴c＝4， ∴F1(－4,0)，F2(4,0)． (2)由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10， ∴△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a ＝4a＝20.
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4，
②
①式两边平方，得
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20
③
③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)，
∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin 30°＝8－4 3.
探究二 椭圆的标准方程 [典例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1)．
图形
在 x 轴上 xa22＋by22＝1
(a>b>0)
焦点坐标
(±c,0)
a，b，c 的关系 a2＝ b2＋c2
在 y 轴上 ay22＋xb22＝1 (a>b>0)
(0，±c)
[双基自测]
1．椭圆1x62＋2y52 ＝1 的焦点坐标是(
)
A．(±4,0)
B．(0，±4)
C．(±3,0)
D．(0，±3)
2．2 椭 圆 2．2.1 椭圆及其标准方程
考纲定位
重难突破
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体 重点：能够根据条件熟练求出椭
情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准 圆的标准方程．
方程的推导与化简过程． 难点：掌握椭圆的定义与椭圆的
2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何 标准方程.
图形.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
解析：由方程知 a2＝25，b2＝16，
∴c2＝9，故焦点坐标为(0，±3)．
答案：D
2．已知椭圆xm2＋1y62 ＝1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距
离为 3，到另一焦点距离为 7，则 m 等于( )
A．10
B．5
C．15
D．25
解析：由定义知 3＋7＝2a，∴a＝5，∴m＝a2＝25.
答案：D
1.如图所示，点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦 点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2 的面积．
解析：在椭圆x52＋y42＝1 中，a＝ 5，b＝2，
∴c＝ a2－b2＝1.
又∵P 在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，
①
由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 30°