地球上两点之间的球面距离

地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15章简单几何体第6节内容，《上海市中小学课程标准》对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨；知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面.然后具体探究了如何求同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法，特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探究性学习的能力.二、教学目标设计1、知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的两点间的球面距离.2、在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球——半径为6371千米的球.（理想模型）2、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径,称为地轴.经线:经过北南极的半大圆,称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线,分别向东和向西计量经度，称为东经和西经,从0度到180度.经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成的二面角的度数.参见右图.赤道:过球心且垂直于地轴的大圆,称为赤道.赤道的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆,称为纬线.位于赤道以北的称为北纬,位于赤道之南的称为南纬.纬度:球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角.从0度到90度.参见上图.3、球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度——这个弧长叫两点的球面距离.问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧？解释如下：如图所示，A、B是球面上两点，圆O'是经过A、B的任一小圆（纬αθ线圆），O 是球心，设,,AOB AO B θα'∠=∠=,(0,),αθπ∈地球半径为,OA OB R ==小圆半径为,O A O B r ''==则A 、B 两地所在的大圆劣弧长为1,s R θ=小圆的劣弧长为2,s r α=下面只要说明12s s <即可。

在AOB ∆与AO B '∆中，由于2sin 2sin 22AB R r θα==，于是sin 2sin 2R r θα=， 从而 12sin sin 222sin sin 222s R s r αααθθθθθαα==⋅=. 由于,(0,),αθπ∈,(0,),222αθπ∈函数sin x y x =在(0,)2x π∈上单调递减（利用导数知2cos (tan )0x y x x x '=-<，从而单调递减），又由于,R r >从而sin sin 22θα<，即22θα<，于是有sin sin 2222θαθα>，即11221,s s s s <<,因此，在连结球面上两点的路径中，通过这两点的大圆劣弧最短. 4、一些记号设地球球面上A 地的纬度、经度分别为,αβ（弧度制为单位），类似于平面直角坐标系中点的坐标，用(,)A αβ表示A 地的球面坐标，显然[0,],[0,]2παπβ∈∈.（二）、创设问题情境飞机飞行的路线称为空中交通线，简称航线.飞机的航线不仅确定了飞机飞行具体方向、起讫点和经停点，而且还根据空中交通管制的需要，规定了航线的宽度和飞行高度，以维护空中交通秩序，保证飞行安全.飞机航线的确定除了安全因素外，也取决于经济效益和社会效益的大小，其中有一项毫无疑问是追求航线尽可能的“短”，那怎样才能做到这一点呢？（三）、地球上两点间的距离的常见题型1、同经度不同纬度的两点间的球面距离：如图所示，设12(,),(,)A B αβαβ为地球球面上同经度但不是同纬度的两点（纬度分别为12,αα，规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，经度为β），则球心角12||AOB αα∠=-，则A 、B两地的球面距离为12||s R αα=⋅-（R 为地球半径）.----------------（公式一）注：同经度不同纬度的A 、B 两地实质上已经在一个大圆上，只要求出球心角（圆心角），即两地的纬度差（和）即可.2、同纬度不同经度的两点间的球面距离：如图所示，设12(,),(,)A B αβαβ为地球球面上同纬度但不同经度的两点(纬度为α，经度分别为12,ββ，规定东经时经度为正，西经时经度为负)，点A 、B 在赤道平面上的投影分别为C 、D ，则,,AOC OAO BOD OBO αα''∠=∠=∠=∠=12||COD AO B ββ'∠=∠=-（若12||(,2)ββππ-∈，则122||AO B πββ'∠=--），且1212cos cos ||cos(2||)AO B ββπββ'∠=-=--.四边形ABDC 是矩形，AB =CD .小圆半径cos O A O B R α''==，于是在△AO ’B 中，由余弦定理得 2212||(cos )(cos )2cos cos cos 2cos sin 2AB R R R R AO B R ββααααα-'=+-∠=. 在AOB ∆中，由余弦定理得22222122||cos 12cos sin 22R R AB AOB R ββα-+-∠==-， 于是球心角2212||arccos(12cos sin )2AOB ββα-∠=-，则A 、B 两地的球面距离为2212||arccos(12cos sin )2s R ββα-=⋅-（R 为地球半径）.------------（公式二） 注：同纬度不同经度的A 、B 两地距离实质上只要考虑如右图所示的三棱锥O ABO '-，其中,OA OB OO R '===OAOOBO ''∠=∠为纬度，AO B '∠为两地的经度差（和）（或经度差相对周角的补角），,O A O B OO ABO ''''=⊥面，只要能求出球心角AOB ∠即可.3、（拓展）不同纬度不同经度的两点间的球面距离：如图所示，设1122(,),(,)A B αβαβ为地球上不同纬度不同经度的两点(纬度分别为12,αα，经度分别为12,ββ，规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，东经时经度为正，西经时经度为负)，点A 、B 在赤道平面上的投影分别为C 、D ，则12,AOC BOD αα∠=∠=，12||COD ββ∠=-（若12||(,2)ββππ-∈，则122||COD πββ∠=--），1212,cos ,cos ,sin ,sin ,OA OB R OC R OD R AC R BD R αααα======在COD ∆中，由余弦定理得22121222121212(cos )(cos )2cos cos cos cos cos 2cos cos cos ||CD R R R R CODR ααααααααββ=+-∠=+--在直角梯形ABDC 中，易求 22121212()22(sin sin cos cos cos ||)AB CD AC BD R ααααββ=+-=-+-在△AOB 中，由余弦定理有2221212122cos sin sin cos cos cos ||2R R AB AOB Rααααββ+-∠==+-. 于是球心角为121212arccos(sin sin cos cos cos ||)AOB ααααββ∠=+-，则A 、B 两地的球面距离为121212arccos(sin sin cos cos cos ||)s R ααααββ=⋅+-.（R 为地球半径）.-------------------（公式三）.注：不同纬度不同经度的A 、B 两地距离实质上只要考虑如右图所示的四棱锥O ABDC -，其中,OA OB R ==,AOC BOD ∠∠为A 、B 的纬度，COD ∠为两地的经度差（和）（或经度差相对于周角的补角），,AC COD ⊥面BD COD ⊥面，四边ABDC 为直角梯形，只要能求出球心角AOB ∠即可。

而且容易验证公式一、二都满足公式三.（四）例题应用例1：已知上海的位置约为东经121︒，北纬31︒，台北的位置约为东经121︒，北纬25︒，求两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1千米）分析：两地点经度相同，已保证两者已落在大圆上.解：作出如右图所示的简图，则球心角31256AOB ∠=-=o o o, 于是两个城市之间的距离为66371667180s π=⨯⨯≈oo （千米）. 例2：已知北京的位置约为东经116︒，北纬40︒，纽约的位置约为西经74︒，北纬40︒，求两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1千米）分析：两地同纬度不同经度.解：作出如右图所示的简图，(40,116),(40,74)A B -o o o o分别表示北京与纽约，则40,OAO OBO ''∠=∠=o 经度差360[116(74)]170AO B '∠=---=o o o o ，于是小圆半径为cos 40O A O B R ''==o ，使用公式二得两地的距离为 226371arccos(12cos 40sin 85)11062s =⨯-≈o o （千米）.五、教学反思本节课可以作为一节师生共同探究课.引入中，从学生学习的地理知识入门，问问学生在地理上了解的经度、纬度的定义及其中的道理，极大激起学生的学习热情.本节课中球面距离定义中“经过两点的大圆的劣弧长最短”是难点，因为这一结论的证明需要用到高等数学知识，即利用导数证明函数sin x y x =在(0,)2x π∈上单调递减，这可以作为部分学有余力的学生课下钻研。

在求两点的球面距离中，如何在棱锥中利用边角的关系求出球心角是解题的核心，只要学生能正确把握大圆、小圆的关系以及纬度差、经度差与棱锥的角的关系，并恰当使用余弦定理，解决这类问题还是非常容易的。

最后，我们可以给出地球上两点间的球面距离的一个统一公式，即球面距离121212arccos(sin sin cos cos cos ||)s R ααααββ=⋅+-，C DB AOA OB其中1122(,),(,)A B αβαβ分别表示地球上A 地的纬度为1α，经度为1β，B 地的纬度为2α，经度为2β，（规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，东经时经度为正，西经时经度为负)，R 为地球的半径.。