均值不等式教学设计
教学设计1：2.2.4 第1课时 均值不等式
2.2.4 第1课时 均值不等式教学目标1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．教学知识梳理知识点一 均值不等式(1)如果a ，b 都是正数，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，我们称a ＋b2为a ，b 的算术平均值，称ab 为a ，b 的几何平均值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 思考1．如何证明均值不等式？提示：因为a >0，b >0，所以a ＋b 2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0，即a ＋b2≥ab .当且仅当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立． 2．从几何角度如何解释均值不等式？ 提示：以长为a ＋b 的线段为直径作圆，在直线AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b .过点C 作垂直于直线AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，如图，连接BD ′，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝AC ·CB ，得CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b 2，显然，它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab .当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立． 知识点二 均值不等式的应用设x ，y 都为正数，则有如下关系：(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 思考3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？ 提示：(1)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy .又x ＋y ＝s ，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝s 24，当且仅当x ＝y 时，取等号．故若x ＋y ＝s ，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y2≥xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立．又xy ＝p ，∴x ＋y ≥2p .故若xy ＝p ，当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 教学案例类型一 均值不等式应用的条件[例1] 下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab≥2b a ·a b＝2 B ．若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |C ．若x 为负实数，则x ＋4x ≥－2x ·4x＝－4 D ．若x ≠0，则x 2＋1x2≥2x 2·1x2＝2 【解析】因a ，b ∈R ，故当a ，b 异号时，b a 与ab 均负，故直接用均值不等式是错误的，则A选项错误；若x ，y ∈R ，⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |，没有条件xy >0，不成立，所以B 选项错误；C 选项中，在x <0时，4x <0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x ＋4x＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭⎫－4x ＝－4，故C 选项错误；故选D. 【答案】D 通法提炼在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式. [变式训练1] 已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2【解析】利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，b ∈R .对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误； 对于D ，因为ab >0，所以b a >0，ab >0.所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ，即b a ＋ab≥2成立． 【答案】D类型二 用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a 、b 、c 是正实数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .证明：∵a 、b 、c 是正实数， ∴bc a ＋acb ≥2bc a ·ac b ＝2c (当且仅当bc a ＝acb ，即a ＝b 时，取等号)； ac b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a (当且仅当ac b ＝abc ，即b ＝c 时，取等号)； ab c ＋bc a≥2ab c ·bc a ＝2b (当且仅当bc a ＝abc ，即a ＝c 时，取等号)； 上面3个不等式相加得2·bc a ＋2·ac b ＋2·abc ≥2a ＋2b ＋2c (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)．∴bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 通法提炼1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.[变式训练2] 已知a >0，b >0，c >0，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .证明：因为a >0，b >0，c >0， 故a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 2·b 2c 2＝2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2b 2c 2·c 2a 2＝2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2c 2a 2·a 2b 2＝2a 2bc .将上述三式相加，得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2abc (a ＋b ＋c )， 又a ＋b ＋c >0，故a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .[例3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：方法一：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.即1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 方法二：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c ＋1＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥3＋2＋2＋2＝9.∴1a ＋1b ＋1c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 通法提炼含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a ＋b ＋c ＝1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.[变式训练3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0， 同理1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8 (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 类型三 利用均值不等式求最值[例4] (1)已知0<x <13，则x (1－3x )的最大值为( )A ．112B ．1C ．19D ．12(2)已知x >0，y >0，且满足2x ＋8y＝1，则x ＋y 的最小值为________．【解析】(1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－3x )22＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立，所以x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112. (2)∵x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x >0，y >0，∴2y x >0，8xy >0，x ＋y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又2x ＋8y ＝1，∴x ＝6，y ＝12，∴当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.【答案】(1)A (2)18 通法提炼求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，不要忽略等号成立的条件. [变式训练4] (1)已知x >－3，则x ＋1x ＋3的最小值为 .【解析】因为x >－3，所以x ＋3>0，则x ＋1x ＋3＝x ＋3＋1x ＋3－3≥2(x ＋3)·1x ＋3－3＝－1，当且仅当x ＋3＝1x ＋3，即x ＝－2时等号成立，所以x ＋1x ＋3有最小值，最小值为－1.【答案】-1(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b的最小值为 .【解析】因为a ＋b ＝2，所以12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ， 因为a >0，b >0，故b a >0，a b >0，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫2＋2b a ·a b ＝ 2⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时等号成立，所以1a ＋1b的最小值为2. 【答案】2 课堂达标1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝－1D ．a ＝0【解析】a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 【答案】B2．已知x <0，则x ＋1x－2有( )A ．最大值0B ．最小值0C ．最大值－4D ．最小值－4【解析】因为x <0，所以x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号．故选C.【答案】C3．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．4．已知a >0，b >0，c >0，求证：(1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abcabc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．。
§3.2 均值不等式 教案(一)
§3.2 均值不等式 教案（一）第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】均值不等式2a b ab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入均值不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤ 用分析法证明：要证 2a b ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
《均值不等式》教案2
《均值不等式》教案一、 教学目标推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理。
二、 教学重难点重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理。
难点：利用均值定理求极值。
三、教学方法引导法四、课时1课时五、教学过程均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）3. 已知x,y ∈R +,x+y=s,xy=p.①若p 为定值，那么当且仅当 时，s=x+y 有 ； ②若s 为定值，那么当且仅当 时，p=xy 有 。
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等” 应用一：求最值解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
(教案)均值不等式
均值不等式及其应用【第1课时】【教学过程】一、新知初探1．算术平均值与几何平均值对于正数a ，b ，常把a ＋b2叫做a ，b 的算术平均值，把ab 叫做a ，b 的几何平均值． 2．均值不等式（1）当a ＞0，b ＞0a ＝b 时，等号成立； （2）均值不等式的常见变形 ①当a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ；②若a ＞0，b ＞0，则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 二、初试身手1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝－1 D ．a ＝0答案：B解析：当a 2＋1＝2a ，即（a －1）2＝0，即a ＝1时“＝”成立． 2．已知a ，b ∈（0，1），且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ） A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b 答案：D解析：∵a ，b ∈（0，1），∴a 2＜a ，b 2＜b ， ∴a 2＋b 2＜a ＋b ，又a 2＋b 2＞2ab （a ≠b ）， ∴2ab ＜a 2＋b 2＜a ＋b ．又∵a ＋b ＞2ab （a ≠b ），∴a ＋b 最大．3．已知ab ＝1，a >0，b >0，则a ＋b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案：B解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．4．当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是________． ①a ＋b2≥ab ；②a －b ≥2ab ；③a 2＋b 2≥2ab ；④a 2－b 2≥2ab ． 答案：③解析：根据a 2＋b 22≥ab ，a ＋b2≥ab 成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． 三、合作探究类型1：对均值不等式的理解例1：给出下面三个推导过程：①∵a ，b 为正实数，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2；②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋y x ＝－－x y ＋－yx ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2． 其中正确的推导为（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③答案：B解析：①∵a ，b 为正实数，∴b a ，ab 为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确． ②∵a ∈R ，a ≠0，不符合均值不等式的条件， ∴4a ＋a ≥24a ·a ＝4是错误的．③由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y x 提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．规律方法1．均值不等式ab ≤a ＋b2 （a ＞0，b ＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a ，b 都是正数．（2）“当且仅当”的含义：当a ＝b 时，ab ≤a ＋b 2的等号成立，即a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；仅当a ＝b 时，a ＋b 2≥ab 的等号成立，即a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．跟踪训练1．下列不等式的推导过程正确的是________．①若x ＞1，则x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；②若x ＜0，则x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤－2－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＝－4；③若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2． 答案：②解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x ＝1x 时，即x ＝1时，x ＋1x ≥2等号成立，因为x ＞1，所以x ＋1x ＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．类型2：利用均值不等式比较大小例2：（1）已知a ，b ∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（ ）A ．a ＋b ≥2abB ．b a ＋ab ≥2C ．a 2＋b 2ab≥2ab D ．2ab a ＋b ≥ab（2）已知a ，b ，c 是两两不等的实数，则p ＝a 2＋b 2＋c 2与q ＝ab ＋bc ＋ca 的大小关系是________．答案：（1）D（2）a 2＋b 2＋c 2＞ab ＋bc ＋ac解析：（1）由a ＋b2≥ab 得a ＋b ＝2ab ， ∴A 成立；∵b a ＋a b ≥2b a ·ab ＝2，∴B 成立；∵a 2＋b 2ab ≥2ab ab ＝2ab ，∴C 成立；∵2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，∴D 不一定成立． （2）∵a ，b ，c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2bc ，a 2＋c 2>2ac ． ∴2（a 2＋b 2＋c 2）>2（ab ＋bc ＋ac ）． 即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ． 规律方法1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a ＋b ≥2ab 成立的条件是a >0，b >0，等号成立的条件是a ＝b ；a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，等号成立的条件是a ＝b ．跟踪训练2．如果0＜a ＜b ＜1，P ＝a ＋b 2，Q ＝ab ，M ＝a ＋b ，那么P ，Q ，M 的大小顺序是（ ） A ．P ＞Q ＞M B ．M ＞P ＞Q C ．Q ＞M ＞P D ．M ＞Q ＞P答案：B解析：显然a ＋b 2＞ab ，又因为a ＋b 2＜a ＋b ⎝⎛⎭⎪⎫由a ＋b ＞a ＋b 24也就是a ＋b 4＜1可得，所a ＋b ＞a ＋b2＞ab ．故M ＞P ＞Q ．类型3：利用均值不等式证明不等式例3：已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >9．思路点拨：看到1a ＋1b ＋1c >9，想到将“1”换成“a ＋b ＋c ”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2b a ·a b ＋2c a ·a c ＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2 ＝9．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴1a ＋1b ＋1c >9． 母题探究本例条件不变，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1>8．证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＞8． 规律方法1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质（注意限制条件），通过相加（乘）合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．跟踪训练3．已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2． 证明：由均值不等式可得 a 4＋b 4＝（a 2）2＋（b 2）2≥2a 2b 2， 同理，b 4＋c 4≥2b 2c 2， c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴（a 4＋b 4）＋（b 4＋c 4）＋（c 4＋a 4）≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2， 从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2．4．已知a ＞1，b ＞0，1a ＋3b ＝1，求证：a ＋2b ≥26＋7．证明：由1a ＋3b ＝1，得b ＝3aa －1（a ＞1），则a ＋2b ＝a ＋6aa －1＝a ＋6a －1＋6a －1＝a ＋6a －1＋6＝（a －1）＋6a －1＋7≥26＋7， 当且仅当a －1＝6a －1时，即a ＝1＋6时，取等号． 四、课堂小结1．应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a >0，b >0时，才会有ab ≤a ＋b 2．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a ＝b 时，a ＋b2ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b ．2．应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构． 五、当堂达标1．思考辨析（1）对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．（ ）（2）若a ≠0，则a ＋1a ≥2a ·1a ＝2．（ ）（3）若a >0，b >0，则ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22．（ ） 提示：（1）任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．（2）只有当a >0时，根据均值不等式，才有不等式a ＋1a ≥2a ·1a ＝2成立．（3）因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22． 答案：（1）×（2）×（3）√2．设a >b >0，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a －b <0B ．0<ab <1C ．ab <a ＋b2 D ．ab >a ＋b 答案：C解析：∵a >b >0，由均值不等式知ab <a ＋b2一定成立．3．不等式9x －2＋（x －2）≥6（其中x ＞2）中等号成立的条件是（ ）A ．x ＝3B ．x ＝－3C ．x ＝5D ．x ＝－5答案：C解析：由均值不等式知等号成立的条件为9x －2＝x －2，即x ＝5（x ＝－1舍去）． 4．设a >0，b >0，证明：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ． 证明：∵a >0，b >0， ∴b 2a ＋a ≥2b ，a 2b ＋b ≥2a ， ∴b 2a ＋a 2b ≥a ＋b ．【第2课时】【教学过程】一、新知初探已知x ，y 都是正数．（1）若x ＋y ＝S （和为定值），则当x ＝y 时，积xy 取得最大值S 24． （2）若xy ＝p （积为定值），则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p ． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 二、初试身手1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92D ．5 答案：C解析：∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1． ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立． 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92．2．若x >0，则x ＋2x 的最小值是________． 答案：22解析：x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．3．设x ，y ∈N *满足x ＋y ＝20，则xy 的最大值为________． 答案：100解析：∵x ，y ∈N *， ∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100． 三、合作探究类型1：利用均值不等式求最值例1：（1）已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值．思路点拨：（1）看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；（2）要求y ＝12x （1－2x ）的最值，需要出现和为定值．解：（1）∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1．（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x （1－2x ）≤14×⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116． ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116． 规律方法利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决．跟踪训练1．（1）已知x >0，求函数y ＝x 2＋5x ＋4x的最小值；（2）已知0<x <13，求函数y ＝x （1－3x ）的最大值．解：（1）∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x（x >0）的最小值为9．（2）法一：∵0<x <13，∴1－3x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝13·3x （1－3x ）≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋1－3x 22＝112． 当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112．法二：∵0<x <13，∴13－x >0．∴y ＝x （1－3x ）＝3·x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ≤3·⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13－x 22 ＝112，当且仅当x ＝13－x ，即x ＝16时，等号成立．∴当x ＝16时，函数取得最大值112． 类型2：利用均值不等式求条件最值例2：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1．求x ＋2y 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y （x ＋2y ）＝10＋x y ＋16y x≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，（x ＋2y ）min ＝18．母题探究 若把“8x ＋1y ＝1”改为“x ＋2y ＝1”，其他条件不变，求8x ＋1y 的最小值． 解：∵x ，y ∈R ＋， ∴8x ＋1y ＝（x ＋2y ）⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y＝8＋16y x ＋x y ＋2＝10＋16y x ＋xy ≥10＋216＝18．当且仅当16y x ＝xy 时取等号，结合x ＋2y ＝1，得x ＝23，y ＝16，∴当x ＝23，y ＝16时，8x ＋1y 取到最小值18． 规律方法1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项．常见形式有y ＝ax ＋bx 型和y ＝ax （b －ax ）型．跟踪训练2．已知a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝1，求1a ＋1b 的最小值． 解：法一：1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·（a ＋2b ） ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·a b＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立． ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22． 法二：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2b a ＝a b，a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧ a ＝2－1，b ＝1－22时等号成立， ∴1a ＋1b 的最小值为3＋22．类型3：利用均值不等式解决实际问题例3：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解：设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18．设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy ．法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， 所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎨⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ．∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y ＝32y （6－y ）． ∵0<y <6，∴6－y >0．∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272． 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4．5．故每间虎笼长为4．5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．规律方法在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）正确写出答案．跟踪训练3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积解：设将楼房建为x 层，则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x ＝10 800x ．∴每平方米的平均综合费用y ＝560＋48x ＋10 800x ＝560＋48⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋225x ． 当x ＋225x 取最小值时，y 有最小值．∵x >0，∴x ＋225x ≥2x ·225x ＝30．当且仅当x ＝225x ，即x ＝15时，上式等号成立．∴当x ＝15时，y 有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．四、课堂小结1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．五、当堂达标1．思考辨析（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．（ ）（2）若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则ab ≤4．（ ）（3）当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数y 的最小值是2x x －1．（ ） 提示：（1）由a ＋b ≥2ab 可知正确．（2）由ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4可知正确．（3）xx －1不是常数，故错误．答案：（1）√（2）√（3）×2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则ab 的最大值为（） A ．1B ．22C ．2D ．4答案：A解析：由均值不等式得，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1． 3．已知0<x <1，则x （3－3x ）取最大值时x 的值为（） A ．12 B ．34C ．23D ．25答案：A解析：∵0<x <1，∴1－x >0，则x （3－3x ）＝3[x （1－x ）]≤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号． 4．已知x >0，求y ＝2xx 2＋1的最大值．解：y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x．∵x >0，∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴y ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．。
均值不等式说课稿1（五篇模版）
均值不等式说课稿1（五篇模版）第一篇：均值不等式说课稿1一教材分析1、教材地位和作用均值不等式又叫做基本不等式，选自人教B版（必修5）的3章的2节的内容，是在上节不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。
本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力。
“均值不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。
求最值是高考的热点。
它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。
2、教学目标A．知识目标：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件.B．能力目标：通过对均值不等式的推导过程，提高学生探究问题，分析与解决问题的能力。
参透类比思想，数形结合的思想，优化了学生的思维品质。
C.情感目标:（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。
（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态，并形成勇于提出问题、分析问题的习惯。
3、教学重点、难点：重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点二教法学法分析1.教法本节课主要采用探究归纳，启发诱导，讲练结合的教学方法。
以学生为主体，以均值不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。
2、教学手段为了使抽象变为具体，我使用了多媒体。
为了突出重点我使用了彩色粉笔。
3，学法从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求均值不等式，发现均值不等式的实质，利用均值不等式解决实际问题的过程。
使学生从代数证明和几何证明两方面理解并掌握基本不等式。
均值不等式教案2（共5篇）
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
均值不等式课程设计
04 均值不等式的实际案例
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是均值不等式在实际中的一个重要应用，通过合理配置资产，实现风险和收益的平 衡。
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法一
通过数学归纳法证明。首先证明基础步骤，然后假设 步骤成立，推出结论。
均值不等式的证明方法二
利用柯西不等式证明。柯西不等式是$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$，当且仅当 $frac{a_1}{b_1} = frac{a_2}{b_2} = ... = frac{a_n}{b_n}$时等号成立。将柯西不等式中的$a_i$ 和$b_i$分别替换为$sqrt{a_i}$和$frac{1}{sqrt{b_i}}$， 即可证明均值不等式。
均值不等式课程设计
目录
• 均值不等式的基本概念 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的扩展 • 均值不等式的实际案例 • 均值不等式的挑战与展望
01 均值不等式的基本概念
均值不等式的定义
均值不等式的定义
对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时等号成立。
均值不等式教学设计教程文件
均值不等式教学设计教程文件教学设计：均值不等式一、教学目标：1.理解均值不等式的概念。
2.掌握均值不等式的证明方法。
3.运用均值不等式解决实际问题。
二、教学内容：1.均值不等式的概念介绍。
2.均值不等式的证明方法。
3.均值不等式在实际问题中的应用。
三、教学过程：1.导入新知识（5分钟）教师通过一个简单的例子引出均值不等式的概念，如：对于两个正数a和b，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
2.理解均值不等式的概念（15分钟）教师通过具体的数值例子，让学生利用计算器计算两个数的算术平均数和几何平均数，并进行对比分析，引出均值不等式的定义。
-算术平均数：(a+b)/2-几何平均数：√(a×b)-例子：a=2，b=3，算术平均数=(2+3)/2=2.5，几何平均数=√(2×3)≈2.453.掌握均值不等式的证明方法（30分钟）3.1教师给出均值不等式的证明方法，并通过具体的例子进行步骤讲解。
3.2学生独立思考和解决一道简单的均值不等式证明题，教师进行答疑和指导。
3.3学生分组进行均值不等式证明题的小组合作学习，学生之间相互讨论和互相提问，共同探讨证明方法。
4.运用均值不等式解决实际问题（35分钟）4.1教师给出一些实际问题，如：已知a和b是正数，求证(a+b)/2≥√(a×b)，并由学生尝试解答。
4.2学生分组进行实际问题的小组合作学习，学生之间相互讨论和互相提问，共同探讨解决方法。
4.3学生展示自己的解题方法和思路，讨论不同解决方法的优劣。
5.拓展与巩固（15分钟）5.1教师布置一些思考题和拓展题，要求学生运用均值不等式解决，提高学生的综合运用能力。
5.2学生进行思考和解答，并与同伴进行交流和讨论。
四、教学评价：1.学生能够简单地描述均值不等式的概念。
2.学生能够掌握均值不等式的证明方法，并能够运用到实际问题中。
3.学生能够灵活应用均值不等式解决实际问题，并能够思考和解决拓展问题。
教学设计2：7.2 均值不等式
7.2 均值不等式1．均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用均值不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)． 那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)3．常用不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(3)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(4)b a ＋ab≥2(a ，b 同号)．1．(人教A 版教材习题改编)设0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23【解析】 ∵0＜x ＜1，∴x (3－3x )≤3·(x ＋（1－x ）2)2＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．【答案】 B2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2 B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab＞a ，故选B.【答案】 B3．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( )A ．lg(x 2＋14)>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R )【解析】 应用均值不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意均值不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg(x 2＋14)≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用均值不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由均值不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．【答案】 C4．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．【解析】 ∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 【答案】 35．(2013·西城质检)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品应为________件．【解析】 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20.当且仅当800x ＝x8(x ＞0)，当且仅当x ＝80时，“＝”成立．【答案】 80(1)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(2)(2012·浙江高考)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6 【审题视点】 (1)凑和为定值，添配系数；(2)将条件变形35x ＋15y ＝1，然后注意“1”的代换．【尝试解答】 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2，2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，则y ≤15.当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时等号成立．∴y ＝2x －5x 2的最大值y max ＝15.(2)由x ＞0，y ＞0，且x ＋3y ＝5xy ，得35x ＋15y ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(35x ＋15y )＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当x ＝2y ＝1时，等号成立．∴3x ＋4y 的最小值为5.【答案】 (1)15(2)C ,1．第(1)题凑配系数，使和为定值．第(2)小题求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代换；本题的常见错误是条件与结论分别利用均值不等式，导致错选A ，根本原因忽视等号成立条件．2．利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为拆、凑、代换、平方．(1)已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，且3x ＋4y的最小值是________．(2)(2013·金华调研)设x ，y 为实数，若x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． 【解析】 (1)∵x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1， ∴3x ＋4y ＝(x ＋y )(3x ＋4y )＝3y x ＋4xy＋7≥23y x ·4xy＋7＝7＋43，当且仅当3y x ＝4xy 且x ＋y ＝1，即x ＝－3＋23，y ＝4－23时等号成立，∴3x ＋4y的最小值是7＋4 3. (2)由x 2＋y 2＋xy ＝1，得1＝(x ＋y )2－xy ，∴(x ＋y )2＝1＋xy ≤1＋（x ＋y ）24， 解得－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为233.【答案】 (1)7＋43 (2)233已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)(1＋1a )(1＋1b)≥9. 【审题视点】 (1)第(1)小题把1a ＋1b 变形为1ab ，或把1ab 变形为1a ＋1b .(2)第(2)小题把不等式左边展开，利用第(1)小题的结论． 【尝试解答】 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2(1a ＋1b)，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9.,1．“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用均值不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用均值不等式时等号能否取到．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋cab ≥2bc a ·cab＝2c ； bc a ＋ab c≥2bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c≥2ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2(bc a ＋ca b ＋ab c )≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .某单位建造一间地面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【思路点拨】 用长度x 表示出造价，利用均值不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用均值不等式求最值，可以考虑单调性．【尝试解答】 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5 800＝900(x ＋16x )＋5 800(0＜x ≤5)，则y ＝900(x ＋16x )＋5 800≥900×2x ×16x＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x ，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．,解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2012年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【解】 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ，即k ＝2.∴x ＝3－2m ＋1.又∵每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)．∴2012年的利润y ＝x (1.5×816x x +)-(8＋16x ＋m )＝4+8x －m ＝4＋8(3－2m ＋1)－m ＝29－[(m ＋1)＋161m +](m ≥0)．(2)∵m ≥0时，(m ＋1)＋161m +≥216＝8. ∴y ≤29－8＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即当m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 所以该厂家2013年的促销费用投入为3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．两个变形1.a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．2.a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b (a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)． 两点注意1.利用均值不等式求最值，切莫忽视不等式成立的三个条件：“一正——各项均为正数；二定——积或和为定值；三相等——等号能够取得”．2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．两个技巧1.公式的逆用、变形使用．2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件．从近两年的高考试题来看，利用均值不等式求最值，是高考命题的热点，题型多样，难度为中低档．题目突出“小而巧”，主要考查基本运算与转化化归思想．而且命题情境不断创新，注重与函数、充分必要条件、实际应用等交汇．创新探究之八 几何背景下的均值不等式求最值问题(2012·湖南高考)已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m >0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．162B ．82C ．834D ．434【解析】 由m ＝|log 2x |，得x A ＝(12)m ，x B ＝2m.同理，x C ＝(12)82m ＋1，x D ＝282m ＋1.∴a ＝|x A －x C |＝⎪⎪⎪⎪（12）m －（12）82m ＋1，b ＝|x B －x D |＝|2m －282m ＋1|.∴b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m－282m ＋12－m －2－82m ＋1＝282m ＋1·2m＝282m ＋1＋m . ∵82m ＋1＋m ＝12(2m ＋1)＋82m ＋1－12≥212（2m ＋1）×82m ＋1－12＝72， 当2m ＋12＝82m ＋1，即m ＝32时取等号．∵m ＞0，∴m ＝32符合题意．∴b a 的最小值为272＝8 2.【答案】 B创新点拨：(1)以直线与曲线y ＝|log 2x |的交点为载体考查均值不等式求最值． (2)突出数学运算能力与转化化归思想方法的考查．应对措施：(1)深刻理解题目自身的含义，准确表达a 、b ，可画出草图，借助几何直观求解．(2)熟记指数、对数的运算法则，指数函数的性质；理解均值不等式求最值的条件，善于凑配、添加项、满足“正、定、等”条件．1．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2ss a ＋s b＝2sab （a ＋b ）s ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a .【答案】 A2．(2013·济南质检)已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则m 的最大值为( )A ．4B ．16C ．9D ．3【解析】 因为a ＞0，b ＞0，由m 3a ＋b －3a －1b ≤0得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3ab 恒成立．因为3b a ＋3ab≥23b a ·3a b ＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立．所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16， 即m 的最大值为16，故选B.【答案】 B。
2022年 《均值不等式技巧 教师版》优秀教案
均值不等式应用一．均值不等式1.〔1〕假设，那么 (2)假设，那么〔当且仅当时取“=〞〕2. (1)假设，那么 (2)假设，那么〔当且仅当时取“=〞〕(3)假设，那么 (当且仅当时取“=〞〕(4).假设，那么〔当且仅当时取“=〞〕3.假设，那么 (当且仅当时取“=〞〕;假设，那么 (当且仅当时取“=〞〕假设，那么 (当且仅当时取“=〞〕假设，那么 (当且仅当时取“=〞〕注：〔1〕当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大〞．〔2〕求最值的条件“一正，二定，三取等〞(3)均值定理在求最值、比拟大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值小练1.假设实数满足，那么的最小值是 .解：都是正数，≥当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．2.假设，求的最小值.3.，那么的大小关系是 .分析：∵∴〔∴R>Q>P。
技巧一：凑项例1：，求函数的最大值。
解：，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
技巧二：凑系数例2.当时，求的最大值。
解：当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。
变式：1.设，求函数的最大值。
解：∵∴∴当且仅当即时等号成立。
2．，求函数的最大值.技巧三：别离例3.求的值域。
解析一：当,即时,〔当且仅当x＝1时取“＝〞号〕。
技巧四：换元解析二：令t=x＋1，当,即t=时,〔当t=2即x＝1时取“＝〞号〕。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，假设遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
例4：求函数的值域。
解：令，那么因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。
变式．求函数的最小值，并求取得最小值时x 的值.技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否那么就会出错。
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思3.2.1《均值不等式》教案一、教学目标确立依据1.课程标准要求及解读（1）课程标准要求基本不等式：ab b a ≥+2)(0,>b a ①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
（2）课程标准解读课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
从第一个层次来看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，启发学生的思维，获取感性认识。
其次通过问题探究让学生步步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的证明，并明确使用均值不等式的三个条件。
第二个层次是应用层面，因此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形才可满足运用均值不等式的条件。
2.教材分析本节是高中人教B 版《数学》必修5第三章不等式第二节的内容。
本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。
高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的的三个条件是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。
教学重点：理解均值定理并运用其解题。
教学难点：均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。
难点突破方法：①多观察、勤类比、善归纳、重建构②题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点3.学情分析从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出即证明过程学生可顺利的出，但均值不等式的运用，以及式子的变形是对学生的一个新的要求。
均值不等式教学设计
均值不等式教学设计均值不等式是初中数学中一个非常重要的不等式，也是解决各种数学问题的基础。
本文将从教学设计的角度，介绍一下如何有效地教授均值不等式。
一、教学目标1. 理解均值不等式的概念和原理。
2. 掌握均值不等式的应用方法和技巧。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 均值不等式的定义和性质，包括算术平均数、几何平均数、调和平均数等概念。
2. 均值不等式的基本形式和常用变形。
3. 均值不等式在各种数学问题中的应用，如三角函数、数列、几何等。
三、教学方法1. 讲授法：通过讲解均值不等式的定义、性质和应用，引导学生理解和掌握相关知识。
2. 实例法：通过实际例题，让学生运用均值不等式解决各种数学问题，加深理解和记忆。
3. 合作探究法：通过小组合作的方式，让学生自主研究和发现均值不等式的相关知识和应用，培养其数学思维能力。
四、教学步骤1. 引入：通过举例引入均值不等式的概念和应用。
2. 讲解：讲解均值不等式的定义、性质和基本形式，引导学生理解和掌握相关知识。
3. 练习：通过实例让学生运用均值不等式解决各种数学问题，加深理解和记忆。
4. 拓展：通过练习题，让学生巩固和拓展所学知识。
五、教学评价1. 考试：通过考试检测学生对均值不等式的掌握程度。
2. 作业：通过布置作业，加深学生对均值不等式的理解和记忆。
3. 课堂表现：通过观察学生的课堂表现，评价其学习态度和数学思维能力。
通过以上教学设计，我们可以有效地教授均值不等式，让学生掌握相关知识和应用方法，提高其数学思维能力和解决问题的能力。
高中数学均值不等式教案
高中数学均值不等式教案
一、教学目标：
1. 了解均值不等式的定义及性质；
2. 掌握均值不等式的应用方法；
3. 进一步提高解题能力。
二、教学重点：
1. 均值不等式的应用；
2. 锻炼解题的能力。
三、教学难点：
1. 熟练掌握均值不等式的条件；
2. 熟练掌握均值不等式的应用方法。
四、教学过程：
1. 导入：通过一道简单的数学题目引入均值不等式的概念，引发学生的兴趣。
2. 学习：讲解均值不等式的定义及性质，并通过例题讲解均值不等式的应用方法。
3. 操练：让学生练习一些相关的习题，巩固所学知识。
4. 拓展：引导学生拓展思维，尝试更加复杂的问题，提高解题能力。
5. 总结：对学生掌握的知识进行总结，强调均值不等式在解题中的重要性。
五、课后作业：
1. 完成相关习题；
2. 拓展练习，提高解题能力。
六、教学反思：
本节课教学内容较为简单，但要求学生掌握均值不等式在解题中的应用方法，需要不断练习和巩固。
在今后的教学中，应该加强对学生解题能力的培养，使他们能够灵活运用所学知识解决问题。
均值不等式教案
均值不等式教案教学设计 3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标 1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德． 3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a＋b2≥ab的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a＋b2≥ab等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排 2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题均值定理的内容是什么？怎样进行证明？你能证明a2＋b2≥2ab吗？你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a、b的a＋b2叫做数a、b的算术平均值，数ab叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a ＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0. 当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab. 这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1 (本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为： a＋b2≥ab. 显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．讨论结果： (1)(2)略． (3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长． (4)若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；若a、b∈R＋，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立；若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立．应用示例例1(教材本节例1) 活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的ba和ab相当于均值不等式中的a、b.因此必须有ba，ab∈R＋点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯. 变式训练已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab•2bc•2ac＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.例2已知(a＋b)(x＋ y)＞2(ay＋bx)，求证：x－ya－b＋a－bx－y≥2. 活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x －ya－b与a－bx－y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x－ya－b与a－bx－y为正数开始证题．证明：∵(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx. ∴ax－ay＋by－bx＞0. ∴(ax－bx)－(ay－by)＞0. ∴(a－b)(x－y)＞0，即a－b与x－y同号．∴x－ya－b与a－bx－y均为正数．∴x －ya－b＋a－bx－y≥2x－ya－b•a－bx－y＝2(当且仅当x－ya－b＝a－bx－y时取“＝”)．∴x－ya－b＋a－bx－y≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x－ya－b与a－bx－y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．例3若a＞b＞1，P＝lga•lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则( ) A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y＝lgx的单调性．答案：B 解析：∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0. ∴12(lga＋lgb)＞12•2lga•lgb，即Q＞P. 又∵a＋b2＞ab，∴lga＋b2＞lgab＝12(lga ＋lgb)．∴R＞Q.故P＜Q＜R. 点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．例4(教材本节例2) 活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练 1．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．答案：1．A 解析：一方面，当a＝18时，对任意的正数x，有2x＋ax＝2x ＋18x≥1；另一方面，对任意正数x，都有2x＋ax≥1，只要2x＋ax≥22a≥1，即得a≥18. 2．[9，＋∞)解法一：令ab＝t(t＞0)，由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，得t2≥2t＋3，解得t≥3，即ab≥3，故ab≥9. 解法二：由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，∴b＝a ＋3a－1(a＞1)．∴ab＝a•a＋3a－1＝[(a－1)＋1]a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4＋a－1＋4a－1 ＝a－1＋4a－1＋－－1＋5＝9. 当且仅当a－1＝4a－1时取等号，即a＝b＝3时，ab的最小值为9. ∴ab的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a＋b与ab的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．课堂小结 1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？ 2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数(a＋b2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a＋b2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a、b 都是实数，而后者要求a、b都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3―2A组，4,5,6.习题3―2B组，1,2. 设计感想 1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y都是正数；②积xy(或和x＋y)为定值；③x与y必须能够相等． 2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善． (设计者：郑吉星) 第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)；二是均值不等式：如果a，b是正数，那么a＋b2≥ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．在这个不等式中，a＋b2为a，b的算术平均数，ab为a，b的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a2＋b2≥2ab(a、b∈R)与a＋b2≥ab(a ＞0，b＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究提出问题回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？均值不等式都有哪些方面的应用？在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a2＋b2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a2＋b2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b＝0，仍然能使a＋b2≥ab成立．两个不等式中等号成立的条件都是a＝b，故a＝b是不等式中等号成立的充要条件．在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果： (1)(2)略． (3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．应用示例例1(教材本节例3) 活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能. 变式训练函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则1m＋2n的最小值为________．答案：8 解析：∵y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，∴A(－2，－1)．又∵A在直线上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1. 又∵mn＞0，∴m＞0，n＞0. 而1m＋2n＝2m＋nm ＋4m＋2nn ＝2＋nm＋2＋4mn≥4＋2×2＝8，当n＝12，m＝14时取“＝”．∴1m＋2n的最小值为8.例2(1)已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值； (2)已知a、b为实数，求函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值．活动：(1)因为4x－5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)•14x－5不是常数，所以应对4x－2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式m2＋n22≥(m＋n2)2更简捷．解：(1)∵x＜54，∴5－4x＞0. ∴y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．∴当x＝1时，ymax＝1. (2)∵y＝(x－a)2＋(x－b)2＝(x－a)2＋(b－－＋－＝－，当且仅当x－a＝b－x，即x＝a＋b2时，上式等号成立．∴当x＝a＋b2时，ymin＝－点评：若x、y∈R＋，x＋y＝s，xy＝p.若p为定值，则当且仅当x＝y时，s的值最小；如果s为定值，则当且仅当x＝y时，p的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求. 变式训练已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是__________．答案：3 解析：方法一：以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则直线AB方程为x4＋y3＝1，设P(a，b)，则a4＋b3＝1(a＞0，b＞0)．∴ab＝12•a4•b3≤12(a4＋b32)2＝3，当且仅当“a＝4b3”时等号成立．方法二：设P到BC的距离为a，到AC的距离为b. 由相似三角形易得a4＝PB5，b3＝PA5，∴a4＋b3＝PB＋PA5＝1.以下解法同一．例3当x＞－1时，求函数f(x)＝x2－3x＋1x＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝＋－＋＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－5. 这样就可以应用均值不等式了．解：∵x＞－1，∴x＋1＞0.∴f(x)＝x2－3x＋1x＋1＝＋－＋＋5x＋1＝x＋1＋5x＋1－＋＋－5＝25－5，当且仅当(x＋1)2＝5时，即x＝5－1时取“＝”．另一解x＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可. 变式训练已知x1•x2•x3•…•x2 006＝1，且x1、x2、x3、…、x2 006都是正数，则(1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)的最小值是__________．答案：22 006 解析：∵x1＞0，则1＋x1≥2x1，同理，1＋x2≥2x2，…… 1＋x2 006≥2x2 006，各式相乘，得 (1＋x1)(1＋x2)…(1＋x2 006)≥22 006•x1•x2•x3•…•x2 006＝22 006. 取“＝”的条件为x1＝x2＝x3＝…＝x2 006＝1，∴所求最小值为22 006.例4设0＜x＜2，求函数f(x)＝－的最大值，并求相应的x值．试问0＜x＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x－9x2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x＜2，∴8－3x＞0. ∴f(x)＝－＋8－＝4，当且仅当3x＝8－3x，即x＝43时取“＝”．∴函数f(x)的最大值为4，此时x＝43. 又f(x)＝－9x2＋24x＝－－＋16，∴当0＜x＜43时，f(x)递增；当x＞43时，f(x)递减．∴当0＜x＜43时，原函数f(x)没有最大值．当0＜x≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15 点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为( ) A.25 B.12 C.22 D．1 2．求函数y＝x＋1x(x＞0)的最小值，以及此时x的值． 3．已知x、y∈R ＋，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．答案： 1．B 解析：当x＝0时，f(x)＝0；当x＞0时，f(x)＝xx＋1＝1x＋1x≤12，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号． 2．解：∵x＞0，∴x＋1x≥2•x•1x ＝2，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．∴当x＝1时，x＋1x的值最小，最小值是2. 3．解：由2x＋8y－xy＝0得y(x－8)＝2x. ∵x ＞0，y＞0，∴x－8＞0. ∴x＋y＝2xx－8＋x＝x－8＋16x－8＋－x－8＋10＝18，当且仅当x－8＝16x－8，即x＝12时，x＋y取最小值18. 课堂小结 1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3―2A组2、3、7、8、9；习题3―2B组3、4. 设计感想 1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练． 2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高． 3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法) (1)设a1，a2，a3，…，an为正实数，这n个数的算术平均值记为A，几何平均值记为G，即A＝a1＋a2＋…＋ ann，G＝na1a2…an，即A≥G ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，A＝G.特别地，当n＝2时，a＋b2≥ab；当n＝3时，a＋b＋c3≥3abc. (2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n个正数不全相等．不失一般性，设0＜a1≤a2≤…≤an，易证a1＜A＜an，且a1＜G＜an.在这n个数中去掉一个最小数a1，将a1换成A，再去掉一个最大数an，将an换成a1＋an－A，其余各数不变，于是得到第二组正数：A，a2，a3，…，an－1，a1＋an－A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A1，那么A1＝A＋a2＋a3＋…＋an－1＋a1＋an－An＝A，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G1，则G1＝nAa2a3…an－＋an－，∵A(a1＋an－A)－a1an＝(A－a1)(an－A)，由a1＜A＜an，得(A－a1)(an－A)＞0，则A(a1＋an－A)＞a1an.∴Aa2a3…an－1(a1＋an－A)＞a1a2…an－1•an，即G1＞G. 二、备用习题 1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( ) A．ab≤12 B．ab≥12 C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 2．若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝ab＋cd，Q＝ax＋cy•bx＋dy，则( ) A．P＝Q B．P ＜Q C．P≤Q D．P≥Q 3．若函数y＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( ) A．[12，3] B．[2，103] C．[52，103] D．[3，103] 4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨． 5．直线l过点M(2,1)且分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，O为坐标原点，求△AOB 面积最小时l的方程． 6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝920vv2＋3v＋1 600(v＞0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时) (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？参考答案： 1．C 解析：对于选项C：a2＋b2＝a2＋b2＋a2＋b22≥a2＋b2＋2ab2＝＋＝2.故C正确． 2．C 解析：∵a、b、c、d、x、y是正实数，∴Q＝ax实用精品文献资料分享＋cy•bx＋dy ＝ab＋cd＋adxy＋bcyx ≥ab＋cd＋2abcd ＝ab＋cd＝P. 3．B 解析：令t＝f(x )，则t∈[12，3]．∴F(x)＝G(t)＝t＋1t.该函数在t＝1处取得最小值2，在t＝3处取得最大值103. 故选B. 4．20 解析：设一年总费用为y万元，则y＝4•400x＋4x＝1 600x ＋4x≥21 600x•4x＝160，当且仅当1 600x＝4x，即x＝20时，等号成立． 5．解：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即y＝kx＋1－2k(k＜0)．令x＝0，得y＝1－2k；令y＝0，得x＝2k－1k＝2－1k. ∴S△AOB＝12(1－2k)(2－1k)＝2＋1－2k＋(－2k)．∵k＜0，∴－2k＞0. ∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－12k＝－2k，即k＝－12时取等号．此时l的方程为y＝－12x＋2. 6．解： (1)依题意，得y＝9203＋＋＋21 600＝92083，当且仅当v＝1 600v，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax＝92083≈11.1(千辆/时)． (2)由条件得920vv2＋3v＋1 600＞10，整理，得v2－89v ＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64. 答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．。
均值不等式教案
均值不等式教案一、教学目标1. 知识目标：(1) 了解均值不等式的概念和性质；(2) 掌握均值不等式的推导过程；(3) 能够应用均值不等式解决实际问题。
2. 能力目标：(1) 培养学生综合运用不等式、代数运算和图形分析等数学方法解决问题的能力；(2) 培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感目标：(1) 培养学生的发现问题、探究问题和解决问题的兴趣；(2) 提高学生的数学思维能力和抽象思维能力。
二、教学重点1. 掌握均值不等式的概念和性质；2. 理解均值不等式的推导过程；3. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
三、教学难点1. 掌握均值不等式的推导过程；2. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课教师通过提问和引入问题，激发学生的学习兴趣：(1) 算术平均数和几何平均数之间有什么关系？(2) 两个正数的算术平均数是否一定大于等于它们的几何平均数？2. 学习新知(1) 学习均值不等式的定义和性质。
(2) 学习根据均值不等式的性质进行推导和运用。
3. 巩固练习(1) 练习通过均值不等式证明一些不等式关系。
4. 拓展应用(1) 通过应用实际问题，将均值不等式与实际问题相结合，培养学生的实际问题解决能力。
五、教学总结1. 对本节课的学习内容进行总结，强调均值不等式在解决实际问题中的重要作用。
2. 对同学们的学习态度和学习效果进行评价，鼓励学生参与课堂活动，积极思考，提高数学应用能力。
六、课后作业1. 完成课堂上的练习题；2. 自主寻找一些实际问题，并用均值不等式解决问题；3. 预习下节课内容。
均值不等式教案
均值不等式教案教案标题：均值不等式教案教案目标：1. 了解均值不等式的概念和应用。
2. 掌握均值不等式的证明方法。
3. 能够灵活运用均值不等式解决实际问题。
教案步骤：引入（5分钟）：1. 引导学生回顾算术平均数和几何平均数的概念和计算方法。
2. 提问：在什么情况下，两个数的算术平均数大于等于几何平均数？请举例说明。
讲解（15分钟）：1. 介绍均值不等式的定义：对于任意非负实数 a 和 b，有以下不等式成立：√(ab) ≤ (a+b)/2。
2. 解释均值不等式的意义和应用：均值不等式可以帮助我们确定两个数的大小关系，以及在一些特定情况下的应用。
3. 讲解均值不等式的证明方法：使用平方差公式和二次函数的性质，可以证明均值不等式的成立。
示范（15分钟）：1. 给出一个例子，如求证：对于任意正实数 a 和 b，有以下不等式成立：√(ab) ≤ (a+b)/2。
2. 使用平方差公式展开并化简左右两边，然后应用二次函数的性质进行证明。
3. 引导学生一起参与证明过程，让他们理解证明的思路和方法。
练习（15分钟）：1. 提供一些练习题，要求学生利用均值不等式解决问题。
2. 练习题可以包括求证不等式、比较大小关系、求最值等多种类型的问题。
3. 鼓励学生在小组或个人中完成练习，并相互讨论和交流解题思路。
总结（5分钟）：1. 总结均值不等式的定义和应用。
2. 强调均值不等式在解决实际问题中的重要性。
3. 鼓励学生在日常学习和生活中运用均值不等式。
作业：布置一些练习题作为作业，要求学生运用均值不等式解决问题，并写出解题过程和思路。
拓展：1. 引导学生探究其他类型的均值不等式，如柯西-施瓦茨不等式、夹逼准则等。
2. 鼓励学生在数学竞赛或研究中应用均值不等式，拓展他们的数学思维和解决问题的能力。
均值不等式教案
均值不等式教案教案：均值不等式教学目标：1. 了解均值不等式的概念和基本原理。
2. 能够正确使用均值不等式解决相关的数学问题。
教学内容：1. 均值不等式的定义和推导过程。
2. 应用均值不等式解决实际问题。
教学步骤：Step 1：导入新知识通过例子引出均值不等式的概念，例如：（1）已知两个正数a和b，它们之间的大小关系是怎样的？（2）如果a和b分别是两个正数的平均值和几何平均值，它们之间的大小关系是怎样的？Step 2：讲解均值不等式（1）介绍算术平均数和几何平均数的概念和计算公式。
（2）推导算术平均数和几何平均数的大小关系，得出均值不等式的结论。
Step 3：应用均值不等式解决问题通过例题演示如何使用均值不等式解决数学问题，并进行解题讲解。
Step 4：练习与巩固布置一些练习题，让学生独立解答，并进行解题讲解和讨论。
Step 5：拓展与应用讨论均值不等式在其他数学领域的应用，如不等式证明、优化问题等，并进行相关例题讲解。
Step 6：总结与反思对本节课的内容进行总结，并让学生思考如何运用均值不等式解决其他数学问题。
教学资源准备：1. 教材、课件或黑板。
2. 学生练习题。
教学评价方法：1. 学生课堂参与与合作情况。
2. 学生完成的练习题，并对错误进行及时纠正。
3. 学生对均值不等式的理解和应用能力的评估。
教学延伸：1. 均值不等式的证明和推广。
2. 更复杂的均值不等式应用问题的解决方法和技巧。
教学互动：1. 在教学过程中，可以适时进行小组讨论和合作，让学生们一起思考如何解决数学问题。
2. 鼓励学生提问和回答问题，促进课堂互动和学习效果。
《均值不等式》优秀教案
【例题】【例1】：（1）已知函数4(0)y x x x=+>，当x =_________时，min y =_________； （2）(8)y x x =-(08)x <<的最大值是_____________（3）(52)y x x =-5(0)2x <<的最大值是_____________【例2】：求函数223()(0)x x f x x x-+-=>的最大值以及此时x 的值【例3】：1 已知矩形的面积为100，问这个矩形的长、宽分别为多少时，矩形的周长最短，其最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，问这个矩形的长、宽分别为多少时，矩形的面积最大？最大 面积是多少？____________________________________________________________________________【练习题1】1 求函数223()(0)x x f x x x-+=>的最小值及取最小值时x 的值2 求函数42(0)y x x x=-->的最大值以及相应的x 的值3 求函数24()(0)2x f x x x =≠+的最大值以及相应的x 的值4 求函数13(32)(21)()22y x x x =-+-<<的最大值及相应的x 的值5 已知103x <<，求函数(13)y x x =-的最大值6 求函数3(2)2y x x x =+>-的最小值以及相应的x 的值 【练习题2】1 若a 、+∈R b ,且3=+b a , 求b a +⋅+11的最大值2 已知a ，b R +∈，且322a b +=，求ab 的最大值以及相应的a 和b 的值3 点),(y x P 在直线012=++y x 上移动, 求y x z 42+=的最小值4 已知a ，b R +∈，且1a b +=，求11a b+的最小值5 求函数24(1)1x x y x x -+=>-的最小值及相应的x 的值6 已知0x >，0y >，2x y xy ++=，求x y +的最小值7 已知2x >，4y >，32xy =，求22log log 24x y ⋅的最大值以及相应的x 和y 的值8 已知实数y a a x ,,,211成正项等差数列, y b b x ,,,211成正项等比数列, 求21221)(b b a a + 的最小值9 已知0>x , 0>y , 12=+y x , 且)0(1>+a yx a 的最小值是4，求a 的值 【练习题3】1 已知直角三角形的面积为50，问两直角边各位多少时，它们的和最小？这个最小值是多少？2. 一段长为l m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？求出这个最大值3 求直径为d 的圆内接矩形的最大面积4 用铁皮做一个体积为503cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长、宽各为多少时，用料最少？5 要建一间地面面积为252m，墙高为3m的长方体形的简易工棚，已知工棚屋顶每12m的造价为500元，墙m的造价为400元问怎样设计地面的长与宽，能使总造价最低？最低造价是多少？壁每12。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（
2ab
a b
+
可以变形为
2
11
a b
+
,叫做两个正数的调
和平均数）
2.一部分同学利用投
影仪展示证明过程，
其他同学补充完善
3.了解完善不等式链
应用，理解均
值不等式的
内涵，将均值
不等式内化
提高。
2.通过部分同
学展示，锻炼
语言表达能
力，培养推理
论证能力。
体
会学习成功
带来的喜悦。
3.通过不等式
链的完善，了
解均值不等
式的外延，螺
旋上升构建
知识体系。
归纳
小结
引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方
法
1.均值定理的符号语言、文字语言、图形语言
的相互统一；
2.均值定理的使用条件，等号成立条件；
3.了解调和平均数，几何平均数，算术平均数
的大小关系；
4.类比、数形结合的数学思想方法
1.认真思考，从知识、
思想方法等层面概括
总结本节课知识
2.部分同学口述表
达，其他同学补充完
善
1.培养抽象概
括能力、语言
表达能力。
2.循序渐进，
构建知识系
统，促使知识
形成正向迁
移
布置
作业
1.课本P72练习B组1,2习题3-2A组1
2.已知
,,,
a b c R a b c ab ac bc
+
∈++≥++
求证：
3.想一想:
(1)
22
2
a b
+
叫做两个正数的平方平均数,你
能明确它和本节课所学的几个平均数的大小关
系吗?
1.积极思考，完成作
业
1.作业1的设
置主要是巩
固完善本节
课所学，是均
值不等式的
直接应用，进
一步提高推
理论证能力。
2.作业2的设
置是体会均。