人教版高中数学选修2-2学案：1.5.2汽车行驶的路程
高中数学选修2-2教学设计2：1.5.2 汽车行驶的路程教案
1.5.2 汽车行驶的路程整体设计教材分析求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景．与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的思想方法和求解步骤都是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想．课时分配1课时教学目标知识与技能目标了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)．过程与方法目标通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶路程的有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想，以及运用类比的方法研究问题．情感、态度与价值观在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的唯物主义的世界观．重点难点重点：掌握求解过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)．难点：求解过程的理解．教学方法运用类比的方法引导学生自主探究，归纳总结，在掌握知识的同时提升研究问题的能力．教具准备多媒体、几何画板．教学过程引入新课1．连续函数的概念．2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤．3．利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 探究新知提出问题1：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？活动设计：学生首先独立思考，然后小组交流讨论．提出各自的方法与见解，最终形成可操作的方案．学情预测：学生可能从物理学的角度去思考、处理问题，也可能类比求曲边梯形面积的方法求解．活动成果：如果从物理学的角度去思考、处理问题，由于没有现成的公式可用，于是想到类比求曲边梯形面积的方法求解，体现转化与化归的数学思想．设计意图与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]等分成n 个小区间，在每个小区间上，由于v (t )的变化很小，可以近似地看作汽车作匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s (单位：km)的近似值，最后让n 趋向于无穷大就得到s (单位：km)的精确值．(思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动的路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程)提出问题2：请同学们按照我们讨论后拟定的方案，类比求曲边梯形面积的方法独立求解．活动设计：类比求曲边梯形的面积，学生独立解决，必要时教师加以指导、提示． 学情预测：学生可能由于对第一节求曲边梯形面积的方法掌握不熟练，导致不能独立完整地解决．活动成果：体会分割、以不变代变、求和、取极限的过程，感受在其过程中渗透的思想方法．解：(1)分割在时间区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]．记第i 个区间为[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n. 把汽车在时间段[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]上行驶的路程分别记作：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，显然，s ＝i ＝1n Δs i . (2)近似代替当n 很大，即Δt 很小时，在区间[i －1n ，i n]上，函数v (t )＝－t 2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n 处的函数值v (i －1n )＝－(i －1n)2＋2.从物理意义上看，就是汽车在时间段[i －1n ，i n](i ＝1,2，…，n )上速度的变化很小，不妨认为它近似地以时刻i －1n 处的速度v (i －1n )＝－(i －1n)2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝v (i －1n )·Δt ＝[－(i －1n )2＋2]·1n ＝－(i －1n )2·1n ＋2n(i ＝1,2，…，n )．① (3)求和由①得s n ＝1n i i S =∆∑′＝∑i ＝1nv (i －1n )·Δt ＝∑i ＝1n [－(i －1n )2·1n ＋2n ] ＝－0·1n －(1n )2·1n －…－(n －1n )2·1n＋2 ＝－1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋2 ＝－1n 3(n －1)n (2n －1)6＋2＝－13(1－1n )(1－12n)＋2. 从而得到s 的近似值s ≈s n ＝－13(1－1n )(1－12n)＋2. (4)取极限当n 趋向于无穷大时，即Δt 趋向于0时，s n ＝－13(1－1n )(1－12n)＋2趋向于s ，从而有s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞∑i ＝1n1n ·v (i －1n )＝lim n →∞ [－13(1－1n )(1－12n )＋2]＝53. 设计意图通过学生自己独立推导，进一步让学生理解、掌握极限思想，以及分析问题、解决问题的能力，努力培养学生将问题转化为熟悉问题的意识．理解新知提出问题3：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s 与由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？活动设计：学生自己结合上一节曲边梯形面积的知识求出曲边梯形面积的表达式，进一步与求出的汽车行驶的路程的表达式比较，发现问题的本质，从而给出求变速直线运动路程的几何解释，即求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题． 活动成果：由于汽车行驶路程的表达式s ＝0lim t ∆→∑i ＝1n v (ξi )Δt ＝lim n →∞∑i ＝1n1n v (ξi )与曲边梯形的面积表达式S ＝0lim x ∆→∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝lim n →∞∑i ＝1n 1n f (ξi )在形式上是一致的，因此比较这两个式子，就可以推断出该路程在数值上等于教科书中图所示的曲边梯形面积，即汽车行驶的路程s ＝lim n →∞s n 在数值上等于由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .设计意图求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题，这样就可以在给出定积分的定义后，直接给出定积分的几何意义． 运用新知例1弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解：将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W ＝F ·x .(1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n，b ]， 记第i 个区间为[(i －1)b n ，i·b n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i·b n －(i －1)b n ＝b n. 把在分段[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n，b ]上所作的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .(2)近似代替由条件知：ΔW i ＝F ((i －1)b n )·Δx ＝k ·(i －1)b n ·b n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和W n ＝∑i ＝1n k ΔW i ＝∑i ＝1nk·(i －1)b n ·b n ＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝kb 2n 2n (n －1)2＝kb 22(1－1n )． 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22(1－1n)． (4)取极限W ＝lim n →∞W n ＝lim n→∞∑i ＝1nkΔW i ＝lim n →∞ kb 22(1－1n )＝kb 22， 所以弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为kb 22. 巩固练习一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．【答案】223. 达标检测已知某物体做直线运动，速度与时间t 满足v (t )＝e t ，求物体在时间区间[0,1]内的运动距离．【答案】e －1.课堂小结1．知识收获：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤解决问题的方法．2．方法收获：类比方法、数形结合方法．3．思维收获：类比思想、转化思想．布置作业补充练习基础练习1．物体以速度v (t )＝t 2作直线运动，则在时间段[0,1]内运动的路程s 为( )A.13B.12C.1D.162．已知物体做自由落体运动在t 时刻的速度v ＝g t (g 是常数)，求在时间区间[2,4]内物体下落的距离s .【答案】1.A 2.6g拓展练习3．以初速度40 m/s 垂直向上抛一物体，t s 时刻的速度为v ＝40－10t (单位：m/s)，问多少秒后此物体达到最高？最大高度是多少？【答案】4秒后物体达到最高，最大高度是80 m.设计说明求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景，与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的方法和步骤是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想，所以本节课设计的主要意图是类比思考、自主探索，增强学生自主探究的意识与能力，引导学生类比求曲边梯形面积的过程，让他们自己独立解决问题，以进一步体会定积分的背景、思想和方法，为引入定积分的概念奠定基础．。
高中数学选修2-2学案7：1.5.1 曲边梯形的面积_1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程一、课前准备课时目标1.会求曲边梯形的面积、变速运动的汽车行驶的路程等;2.从问题情境中了解定积分的实际背景及意义.基础预探1.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2.由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为______，如图①．3.把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些________.对每个________“以直代曲”，即用________的面积近似代替________的面积，得到每个小曲边梯形面积的________，对这些近似值________，就得到曲边梯形面积的________如图②．4.如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用________，________，________，________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.二、学习引领1.“以直代曲”的思想求曲边梯形的面积由于没有曲边梯形的面积公式，为计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积．“分割”的目的在于“以直代曲”，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n越大，所有小矩形的面积和就越趋近于曲边梯形的面积．2.用定积分的定义求定积分的技巧(1)熟记解题的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限；(2)在“近似代替”中，每个小区间上函数f (x )的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替.事实上，也可以取区间上的任意点代替，没有统一的要求．为了运算方便，通常取一些特殊点．(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，②12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，③13＋23＋33＋…＋n 3＝14n 2·(n ＋1)2.三、典例导析题型一 曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形的面积．归纳总结：本题在求和时，可先提取公因式1n 4，再将和式进行化简会更简洁，然后再求极限．变式训练：求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝1x 2围成的图形的面积S .题型2 汽车行驶的路程例2 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6t 2，求汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程．归纳总结：利用用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以将求变速直线运动的路程问题转化为求匀速直线运动的问题，体现了转化的思想．变式训练：弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.四、随堂练习1．在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．A．1B．2 C．3 D．42．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξ1(i＝1,2，…，n)，作和式S n＝f(ξ1)Δx(其中Δx为小区间的长度)，那么S n的大小()A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关B．与f(x)、区间[a，b]和分点个数n有关，与ξi的取法无关C．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关D．与f(x)、区间[a，b]、分点的个数n、ξi的取法都有关3．已知汽车在时间[0，t1]内以速度v＝v(t)做直线运动，则下列说法不正确的是()1 n i=∑A ．当v ＝a (常数)时汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝vt 1B ．当v ＝at ＋b (a 、b 为常数)时，汽车做匀速直线运动这时路程s ＝bt 1＋12at 21C ．当v ＝at ＋b (a ≠0，a ，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21D ．当v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s ＝.4．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．5．用定积分的定义求由直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积．五、课后作业1.和式(i －12013 )2·12013等于( ) A.120132(12＋22＋32＋…＋20122) B.120132(12＋22＋32＋…＋20132) C.120133(12＋22＋32＋…＋20122) D.120133(12＋22＋32＋…＋20132) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ]上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f (1n)B ．f (2n )C ．f (in)D ．f (0)3．以速度v ＝6t 沿直线运动的物体在t ＝1到t ＝6这段时间内所走的路程为________． 4．某物体做变速直线运动的速度为v (t )＝6t 2，则物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为________．5．求由y ＝e x ，x ＝0，x ＝1及x 轴围成的曲边梯形的面积．6．若已知变速运动物体的速度v ＝t 2＋m (0≤t ≤2)，而其行驶的路程是5，求m 的值．11lim lim ()n nn i n n i i S v t ξ→∞→∞===∆∑∑20131i =∑——★参考答案★——基础预探1.连续不断2.曲边梯形3.小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形近似值求和近似值4. 分割近似代替求和取极限三、典例导析例1 解：(1)把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋(n －1)n 把区间[1,2]等分成n 个小区间[1，n ＋1n ]，[n ＋1n ，n ＋2n ]，…，[n ＋i －1n ，n ＋i n ]，…，[n ＋(n －1)n ，2].每个小区间的长度为Δx ＝1n .过各点作x 轴的垂线，把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)取各小区间的左端点ξi ，以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间的长度Δx ＝1n 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形的面积．第i 个小曲边梯形面积可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝(n ＋i －1n )3·1n(i ＝1,2，…，n )．(3)因为每一个小矩形的面积都是可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形的面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ≈(n ＋i －1n )3·1n.(4)当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形的面积S ，因此n →∞，即△x →0时，和式的极限就是所求的曲边梯形的面积． 因为(n ＋i －1n )3·1n ＝1n4(n ＋i －1)3＝1n4[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3]＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n (n ＋1)2＋3(n －1)·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋14n 2(n ＋1)2]， 所以S = 变式训练解：(1)在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它分成n 个小区间为[n ＋i －1n ，n ＋i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n.分别过上述n －1个点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)在区间[n ＋i －1n ，n ＋i n ]上，当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，我们用小矩形面积近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈n 2(n ＋i －1)(n ＋i )·1n ＝n(n ＋i －1)(n ＋i ).（3）1ni =∑1ni =∑1ni =∑1ni =∑31113115lim ()11.244nn i n i N n →∞=+-=+++=∑g 11(1)()n nn i i i nS S n i n i ===∆=+-+∑∑.(4)当n 趋向于∞，即Δx 趋向于0时，S n 越来越趋向于S ， 从而有S ＝＝12，所以由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝1x 2围成的图形的面积约为12.例2 解：(1)把区间[1,2]等分成n 个小区间[n ＋i －1n ，n ＋in ](i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和(2)ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )． Δs i ≈v (n ＋i －1n )·Δt ＝6(n n ＋i －1)2·1n＝6n (n ＋i －1)2 ≈6n(n ＋i －1)(n ＋i )(i ＝1,2,3，…，n )． (3)＝6n [1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n ]＝6n [1n －12n]．(4) 变式训练解：将物体用常力F 沿着力的方向移动距离x ，则所做的功为W ＝Fx ，其中F 是克服弹簧拉力的变力，则移动距离x 的函数F (x )＝kx .（1）将[0，b ]n 等分，记Δx ＝b n ，分点依次为：x 0＝0，x 1＝b n ，x 2＝2bn ，…，x n －1＝(n －1)b n ，x n ＝b .当n 很大时，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力约为kx i ，所做的功ΔW i ≈kx i ·Δx ＝kx i bn .所以从0到b 所做的总功W 近似的等于= 111111()1121n n n n n n n n n =-+-++-++++-+……111()22n n n =-=lim n n S →∞1lim nn in i S s→∞==∆∑1n n ii S S ==∆∑16(1)()ni nn i n i ==+-+∑11lim lim 6() 3.2n n n S S n n n→∞→∞==-=21112111[012(1)]n n n i i i i i ib b kb W kx x k n n n n ---===∆=∆==++++-∑∑∑g g g ……222(1)1(1).22kb n n kb n n-=-gg于是得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为： 四、随堂练习 1．[答案]A[解析]根据“化整为零”“积零为整”的思想知①是正确的，故选A. 2．[答案]D3．[解析]对于v ＝at ＋b ，当a ＝0时为匀速直线运动；当a ≠0时为匀变速直线运动，其中a >0时为匀加速直线运动，a <0时为匀减速直线运动，对于v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，及v ＝v (t )是t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动． [答案]B 4．[答案]1.02[解析]将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95][95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.5．解：(1)把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n，即把三角形分成一个小三角形和(n －1)个小梯形，其面积分别记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )． (2)用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi ＝i －1n (i ＝1,2，…，n )，则ΔS i ≈f (i －1n )Δx＝3·i －1n ·1n ＝3n 2(i －1)(i ＝1,2，…，n )．(3)(4) S= 所以由直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝1，y ＝0围成的图形的面积为32.五、课后作业 1. [答案]C[解析](i －12013 )2·12013＝120133(i －1)2＝120133(02＋12＋22＋32＋…＋20122)． 2．[答案]C[解析]当n 很大时，f (x )＝x 2在区间[i －1n ，in]上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代22111lim(1).22n i n i kb kb W W n -→∞==∆=-=∑g 22113331(1)(012(1)).2n ni i i n S i n n n n==-∆=-=++++-=∑∑g (21)3313lim (1)lim .22nn n i n i n n →∞→∞=--==∑g 20131i =∑20131i =∑替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替． 3．[答案]105 4．[答案]3[解析]将区间[1,2]n 等分，记第i 个小区间为[n ＋i －1n ，n ＋in ](n ＝1,2，…，n )，每个小区间长都是1n .由于v (t )＝6t2在此区间上的值变化很小，近似地等于v (n ＋i －1n ·n ＋in)＝6n 2(n ＋i －1)(n ＋i ).由于第i 个小区间上的小曲边梯形的面积近似地等于6n 2(n ＋i －1)(n ＋i )·1n ＝6n(n ＋i －1)(n ＋i ).这n 个小曲边梯形面积的和近似等于6n(n ＋i －1)(n ＋i )＝6n ·[1n (n ＋1)＋1(n ＋1)(n ＋2)＋…＋1(n ＋n －1)(n ＋n )]＝6n ·(1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋1n ＋n －1－1n ＋n)＝6n (1n －12n )＝3.当n →∞时，上述和式的极限仍等于3，所以物体在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为3. 5．解：(1)将[0,1]分割成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，则Δx ＝1n ，取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )．∴S=6．解：(1)在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间：[0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n ，2]，记第i 个区间为[2(i －1)n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为2n ，分别过上述n －1个分点作t 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，物体在时间段[0，2n ]，[2n ，4n ]，…，[2(n －1)n ，2n n ]上的路程分别为对应小曲边梯形的面积：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则显然有.(2)当n 很大，即Δt 很小时，在区间[2(i －1)n ，2i n ]上，速度函数v ＝t 2＋m 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点2i n 处的函数值v (2i n )＝(2in)2＋m ，在局部小1ni =∑111111111()lim limlim (1)lim 111innn nnn n n n n i n ne nS S e e e e n n e e →∞→∞→∞→∞=-====-=---∑g g 1e -1nii S S ==∆∑范围内“以匀速代变速”，于是ΔS i ≈v (2i n )Δt ＝(4i 2n 2＋m )·2n＝8i 2n 3＋2n ·m (i ＝1,2，…，n )． (3) S n ＝(2in )Δt ＝ (8i 2n 3＋2n ·m )＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2mn·n ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2m ＝83(1＋1n )(1＋12n )＋2m ， 所以路程S 的近似值为S ≈S n .(4) 由题意得83＋2m ＝5，解得m ＝76.1ni v =∑1ni =∑8118lim lim[(1)(1)2]2.323nn n S S m m n n →∞→∞==+++=+。
人教版高中数学选修2-21.5.2汽车行驶的路程学案
1．5.2汽车行驶的行程1．认识求汽车变速行驶的行程的方法．2．认识“以不变代变”和迫近的思想，借助物体运动的实质背景领会定积分的基本思想．基础梳理1．假如物体按规律 s＝ s(t)运动，则物体在时辰t0的刹时速度为 s′(t0)．想想：假如物体按规律s＝ 2t2运动，则物体在时辰t＝ 2 的刹时速度为 8．2．汽车做匀速直线运动时，速度v 对于时间 t 的关系式为 v＝ v0，物体经过时间 t 所行驶的行程为 s＝ v0 t．想想：物体以 v＝20km/h的速度做匀速直线运动，经过3小时物体经过的行程为60_km．3．当物体做匀加快直线运动时，速度v 对于时间 t 的关系式为 v＝ v0＋ kt，此时在 0＜t＜a 时段中物体经过的行程为s＝v0 a＋ka2＝v0＋（ v0＋ ka）22a．想想： (1) 物体做匀加快直线运动时，速度v 对于时间 t 的关系式为 v＝ 2＋ t，此时在0＜ t＜6 时段中物体经过的行程为 ______．(2)求物体做变速直线运动的行程的详细步骤有哪些？答案： (1)30(2)①切割；②近似取代；③乞降；④取极限．自测自评1．一物体沿直线运动，其速度 v(t)＝ t，这个物体在 t＝ 0 到 t＝1这段时间内所走的行程为(B)1 B.1C． 13A. 32 D.21分析：曲线 v(t)＝ t 与直线 t＝ 0， t＝ 1，横轴围成的三角形面积S＝2，即为这段时间内物体所走的行程．2．已知甲、乙两车由同一同点同时出发，并沿同一路线(假设为直线 )行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和 v 乙(以下图 )．那么对于图中给定的t 0和 t1，以下判断中必定正确的是 (A)A ．在 t1时辰，甲车在乙车前方B．t 1时辰后，甲车在乙车后边C．在 t0时辰，两车的地点同样D． t0时辰后，乙车在甲车前方分析：由图象可知，曲线v 甲比 v 乙在 0～ t0、0～ t1与 x 轴所围成图形面积大，则在t0、t1时辰，甲车均在乙车前方，应选 A.3．汽车以速度v 做匀速直线运动是地，经过时间t 所行驶的行程s＝ vt，假如汽车做匀速直线运动，在时辰t 的速度为v(t)＝t 2＋ 2(单位： km/h)，则该汽车在1≤t≤2这段时间行家驶的行程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是___ ______________________ ．分析：围成该图形的直线和曲线分别是t＝ 1， t＝ 2， v＝0， v＝ t2＋ 2.答案： t＝ 1， t＝ 2， v＝ 0， v＝ t2＋2基础巩固1．汽车经过启动、加快行驶、匀速行驶、减速行驶以后泊车，若把这一过程中汽车的行驶行程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是 (A)分析：汽加快行，同样的内汽走的行程愈来愈多，曲呈加快上涨状，曲的切的斜率也愈来愈大；汽减速行，同样的内汽走的行程愈来愈少，曲呈减速降落状，曲的切的斜率也愈来愈小．点：加快行速度愈来愈大，曲的切的斜率也愈来愈大，减速行速度愈来愈小，曲的切的斜率也愈来愈小．常用此法来判断物体运的行程—曲的化情况．2．假如物体按律s＝ t n运，在刻 t＝ 1 的瞬速度3， n (C)A ． 1B． 2C． 3D． 4分析： s′(t)＝ nt n－1，t ＝ 1 ， n＝ 3.故 C.3．汽以 v＝ (3t＋ 2) m/s 做速直运，在第 1 s 到第 2 s 的 1 s 内的行程是 (C)A ． 7 mB ． 6.8 mC．6.5 m D． 6.3 m分析：将 [1， 2] n平分，并取每个小区的左端点的速度近似取代，t ＝1， v(t i) ＝nv 1＋i－1＝ 3 1＋i －1＋2＝3(i－ 1)＋ 5.n n nn31因此 s n＝i＝ 1n（ i－ 1）＋ 5· n31＝n[0＋ 1＋2＋⋯＋（ n－1）] ＋5n· n3 n（ n－1）31＋ 5，＝ 22＋ 5＝21－nn因此 s＝s n＝32＋ 5＝ 6.5(m) ．4．已知某物体运的速度v＝ 2t－ 1， t∈ [0， 10]，若把区10 平分，取每个小区右端点的函数近似小矩形的高，物体运的行程的近似________．分析：由意知，物体运的行程即10 个小矩形的面和，即S＝1＋ 3＋5＋⋯＋19＝1＋19× 10＝ 100.2答案： 100能 力 提 升5．汽 以10 米 /秒的速度行 ，在某 需要减速停 ， 汽 以加快度－2 米/秒2 刹，若把刹5 平分， 从开始刹 到停 ，汽 刹 距离的 剩估(取每个小区的左端点 的函数) (D)A ．80 米B ． 60米C ．40米D ．30 米分析：由 意知，v(t)＝ v 0＋at ＝ 10－ 2t.令 v(t) ＝0，得 t ＝ 5，即 t ＝ 5 秒 ，汽 将停 ．将区 [0，5]5 平分，用每个小区 的左端点的函数 近似代替每个小区 上的均匀速度，可得汽 刹 距离的 剩近似S ＝ (10＋ 10－2×1＋ 10－2×2＋ 10－ 2×3＋ 10－ 2× 4) ×1＝ 30(米 )．6．若做 速直 运 的物体v(t)＝ t 2，在 0≤t ≤a 内 的行程 9， a 的 (C)A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：将区 [0，a] 分 等 的 n 个小区 ，第 i 个区（ i －1） a ian， n (i ＝ 1，2，⋯，n)，取每个小区 的右端点的速度近似取代，t ＝ a ，因此 v(t i )＝(ia)2，nn＝ nia 2 a a 32＋ ⋯ ＋ n2 a 3n （ n ＋ 1）（ 2n ＋ 1） a 31 1，n· ＝ 3)＝3＝ 6 1＋ n 2＋n s ni ＝1n n (1＋ 26na 311a 3于是 s ＝s n ＝61＋n 2＋n ＝ 3＝9，得 a ＝3.故 C.7．汽 作直 运 ，前2 小 的速度是v ＝ 110 km/h ，后 3 小 的速度是v ＝80 km/h ，5 小 内汽 行 的行程________．分析：行程s ＝ 2×110＋3×80＝ 460 (km) ．答案： 460 km8．汽 以v ＝ (3t ＋ 2)m/s做 速直 运 ，第1 s 到第2 s 的1 s 内 的行程是________m.分析：由 意知，所求行程 直x ＝ 1，x ＝ 2， y ＝ 0 与 y ＝3x ＋ 2 所 成的直角梯形的面 ，故S ＝12× (5＋ 8) ×1＝6.5.答案： 6.59．若一 汽 的速度 — 曲 以下 所示， 求汽 在 1 min 行 的行程．分析：求汽车在这 1 min 行驶的行程，就是求梯形ABCO 的面积．30＋ 60s＝× 30＝1 350 (m)．10．若物体做变速运动，速度v 对于时间t 的关系式为v＝3t2，求物体在0＜ t＜ 2 时段中行驶的行程．分析：模仿例2，按切割、近似取代、乞降、取极限的解题步骤进行，解得行驶的行程为 8.。
人教版高中数学选修2-2《1.5.2汽车行驶的路程》
1 n( n 1)(2n 1) 3 2 n 6
1 1 1 (1 )(2 ) 2 6 n n 1 1 1 (1 )(1 ) 2 3 n 2n
o
1
t
（4）取极限
S lim S n
n
1 1 5 1 lim (1 )(1 ) 2 n n 2n 3 3
2
v
v(t)=-t2 + 2
汽车行驶的路程等于由t=0,t=1,v=0,
v(t)=-t2 + 2所围成的曲边梯形的面积
o
1
t
得出结论
o
1
t
新课探究
v
以直代曲
v(t)=-t2 + 2
2
在小区间内可以认为汽车
近似于做匀速直线运动.
o
1
t
以不变代变
（1）分割
在区间[0,1]上等间隔地插入 n-1个分点，
1 1 2 n1 0, , , , ..., ,1 等分成n个小区间： n n n n
2
2 2 3 n n
2
v 2
v(t)=-t2 + 2
2 1 n n Sn v t 2 n n n
n 2 3 n n
o
1
2
t
（3）求和
Sn S1 S2 S3 ... Sn
1.5定积分的概念
人教版高中数学选修2-2 学案：第一章 1.5 1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
1．5.1&1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程预习课本P38～44，思考并完成下列问题(1)连续函数与曲边梯形的概念分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶路程的求解步骤是什么？[新知初探]1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(路程)如果物体作变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .[点睛] 当n →＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( )(2)当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝⎛⎭⎫i n 2近似代替．( ) (3)m i ＝i 2，∑i ＝14m i ＝30.( )答案：(1)× (2)× (3)√2．将区间[1,3]进行10等分需插入________个分点，第三个区间是________． 答案：9 [1.4,1.6]3．做直线运动的物体的速度v ＝2t (m/s)，则物体在前3 s 内行驶的路程为________ m. 答案：9[典例] 求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积[参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)]．[解] 令f (x )＝x 2＋1.(1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为 x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝n －n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎡⎦⎤2i －2n ， 2i n (i ＝1,2，…，n )， 每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n.(2)近似代替、求和：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n＝8n 3∑i ＝1n i 2＋2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n3·n n ＋n ＋6＋2＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2. (3)取极限：S ＝ S n ＝⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2 ＝143，即所求曲边梯形的面积为143.求曲边梯形面积(1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． [活学活用]求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3所围成的图形的面积．⎝⎛⎭⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤12n n ＋2解：①分割．如图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋n －n ，把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤1，n ＋1n ，⎣⎡⎦⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n ，…，⎣⎡⎦⎤n ＋n －n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n (i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .②近似代替．各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n 为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3·1n (i ＝1,2,3，…，n )．③求和．因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3 ·1n .④取极限．当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限，就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3·1n＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3 ＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n 4[n (n －1)3＋3(n －1)2·n n ＋2＋3(n －1)·n 6·(n ＋1)·(2n ＋1)＋14n 2(n ＋1)2]，所以S ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n 3·1n ＝1＋32＋1＋14＝154.[典例] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t 的速度v (t )＝6t 2，求汽车在t ＝1到t＝2这段时间内运动的路程s .[解] (1)分割：把区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间的长度Δt ＝1n ，每个时间段行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )．故路程和s n ＝∑i ＝1ns i .(2)近似代替：ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫n ＋i －1n ·Δt ＝6·⎝⎛⎭⎫n n ＋i －12·1n ＝6n n ＋i －2≈6nn ＋i －n ＋i(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1n6nn ＋i －n ＋i＝6n ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n＝6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n .(4)取极限：s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ 6n ⎝⎛⎭⎫1n －12n ＝3.求变速直线运动路程的方法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．[活学活用]已知一质点的运动速度为v (t )＝6t 2＋4(单位：m/s)，求质点开始运动后5 s 内通过的路程．解：(1)分割在时间区间[0,5]上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，5n ，⎣⎡⎦⎤5n ，10n ，…，⎣⎡⎦⎤i －n ，5in ，…，⎣⎡⎦⎤5n －5n ，5，其中，第i (1≤i ≤n )个小区间为⎣⎡⎦⎤i －n ，5i n ， 其区间长度为5in －i －n ＝5n， 每个小时间段内的路程记为s 1，s 2，…，s n . (2)近似代替根据题意可得第i (1≤i ≤n )个小时间段内的路程为Δs i ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫6⎣⎡⎦⎤i －n 2＋4·5n ＝i －2n 3＋20n .(3)求和每个小时间段内的路程之和为 S n ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤i －2n 3＋20n＝750n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋20 ＝750n 3·16(n －1)n (2n －1)＋20 ＝125n 2(2n 2－3n ＋1)＋20.(4)取极限当n →∞时，S n 的极限值就是所求质点运动的路程， s ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤125n 2n 2－3n ＋＋20＝270，即质点运动的路程为270 m.层级一 学业水平达标1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1)解析：选C ∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .∴①正确，②③④错误，故应选A.3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确解析：选C 由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C 正确，故应选C.4．在求由函数y ＝1x 与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为( )A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤n ＋i －1n ，n ＋i n C ．[i －1，i ]D.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n解析：选B 把区间[1,2]等分成n 个小区间后，每个小区间的长度为1n ，且第i 个小区间的左端点不小于1，排除A 、D ；C 显然错误；故选B.5．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小解析：选D 当n 很大时，区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 的长度1n 越来越小，f (x )的值变化很小，故选D.6.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝0，x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，则所有矩形的面积之和为__________．解析：S ＝15×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1102＋⎝⎛⎭⎫3102＋⎝⎛⎭⎫5102＋⎝⎛⎭⎫7102＋⎝⎛⎭⎫9102＝0.33. 答案：0.337．由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为________________． 解析：将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n .作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i 2n 3＋2i n 2＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3×16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2×nn ＋2＝n ＋n ＋6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝ 8n 2＋9n ＋16n 2＝⎝⎛⎭⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 答案：438．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动，在第1 s 到第2 s 间经过的路程是________． 解析：将[1,2]n 等分，并取每个小区间的左端点的速度近似代替，则Δt ＝1n ， v (ξi )＝v ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ＝3⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ＋2＝3n (i －1)＋5.所以s n ＝∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤3ni －1＋5·1n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n [0＋1＋2＋…＋n －1]＋5n ·1n＝3n 2·n n －12＋5＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ＋5， 所以s ＝s n ＝32＋5＝6.5 (m)．答案：6.5 m9. 求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积． 解：如图，∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求图形的面积应为y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围成的图形面积S 阴影的2倍，下面求S 阴影． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝4，x ≥0，得交点为(2,4)．先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的图形的面积． (1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n ，取ξi ＝i －n(i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替、求和 S n ＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤i －n 2·2n＝8n3[02＋12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n (3)取极限 S ＝⎣⎡⎦⎤83⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝83. ∴S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323.即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形的面积为323.10．汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度(单位：km/h)为v (t )＝t 2＋2，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程为多少？解：将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n )．第i 个时间区间的路程的近似值为 Δξi ≈Δξi ′＝v (t )·1n ＝v ⎝⎛⎭⎫1＋i －1n ·1n ＝3n＋i －n 2＋i －2n 3， 于是s n ＝∑i ＝1nΔξi ′＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤3n＋i －n 2＋i －2n 3＝n ·3n ＋2n 2·[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＋1n 3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2] ＝3＋2n 2·n －n 2＋1n3·n －n n－6＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . 所以s ＝s n ＝3＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝133. 故这段时间行驶的路程为133km.层级二 应试能力达标1．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关解析：选C 用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值 (取每个区间的左端点)是( )A.19 B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝⎛⎭⎫133·13＋⎝⎛⎭⎫233·13＝19. 3．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积 C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积 D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积解析：选C 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n ，因此∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．4．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 将区间[0，a ]分为等长的n 个小区间，第i 个区间记为⎣⎡⎦⎤i －1na ，ia n (i ＝1,2，…，n )，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则Δt ＝a n ，所以v (t i )＝⎝⎛⎭⎫ia n 2，s n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫ia n 2·a n ＝a 3n 3(1＋22＋…＋n 2)＝a 3n n ＋n ＋6n 3＝a 36⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ，于是s ＝s n ＝a 36⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝a 33＝9，得a ＝3.故选C. 5．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2.…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.答案：556.如图，曲线C ：y ＝2x (0≤x ≤2)两端分别为M ，N ，且NA ⊥x 轴于点A ，把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使其与x 轴平行的边的一个端点在曲线C 上，另一端点在曲线C 的下方，设这n个矩形的面积之和为S n ，则 [(2n －3)(n 4－1)S n ]＝__________.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为22n ，则S n ＝2n(1＋22n ＋24n ＋…＋22n －2n )＝2n ·1－22n n 1－22n ＝2n ·－31－n 4 .所以li m n →∞[(2n －3)(n 4－1)S n ]＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤n －n 4－2n ·－31－n 4＝12.答案：127．汽车行驶的速度为v ＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s .解：(1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1， 每个小区间的长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n .(2)近似代替在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，汽车近似地看作以时刻i －1n 处的速度v ⎝⎛⎭⎫i －1n ＝⎝⎛⎭⎫i －1n 2作匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为⎝⎛⎭⎫i －1n 2·1n . (3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为s n ＝02×1n ＋⎝⎛⎭⎫1n 2×1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 2×1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n －1n 2×1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3×n －nn －6＝13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n . (4)取极限汽车行驶的路程s ＝s n ＝ 13⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＝13.8．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．解：将物体用常力F 沿力的方向拖动距离x ，则所做的功W ＝F ·x .(1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0，b ]等分成n 个小区间： ⎣⎡⎦⎤0，b n ，⎣⎡⎦⎤b n ，2b n …，⎣⎡⎦⎤n －b n ，b 记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤i －b n，i ·b n (i ＝1,2，…，n )， 其长度为Δx ＝i ·b n －i －b n ＝b n. 把在分段⎣⎡⎦⎤0，b n ，⎣⎡⎦⎤b n ，2b n ，…，⎣⎡⎦⎤n －b n ，b 上所做的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .(2)近似代替 取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔW i ≈F ⎝⎛⎭⎫i －b n ·Δx＝k ·i －b n ·b n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和W n ＝∑i ＝1n ΔW i ≈∑i ＝1n k ·i －b n ·b n＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝kb 2n 2×n n －2＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n . 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n . (4)取极限W ＝W n ＝∑i ＝1n ΔW i ＝ kb 22⎝⎛⎭⎫1－1n ＝kb 22. 所以将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为kb 22.。
高中数学选修2-2教学设计2：1.5.2 汽车行驶的路程教案
1.5.2 汽车行驶的路程整体设计教材分析求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景．与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的思想方法和求解步骤都是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想．课时分配1课时教学目标知识与技能目标了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限(逼近)．过程与方法目标通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶路程的有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想，以及运用类比的方法研究问题．情感、态度与价值观在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的唯物主义的世界观．重点难点重点：掌握求解过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近(取极限)．难点：求解过程的理解．教学方法运用类比的方法引导学生自主探究，归纳总结，在掌握知识的同时提升研究问题的能力．教具准备多媒体、几何画板．教学过程引入新课1．连续函数的概念．2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤．3．利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 探究新知提出问题1：汽车以速度v 作匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s ＝vt .如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋2(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，那么它在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？活动设计：学生首先独立思考，然后小组交流讨论．提出各自的方法与见解，最终形成可操作的方案．学情预测：学生可能从物理学的角度去思考、处理问题，也可能类比求曲边梯形面积的方法求解．活动成果：如果从物理学的角度去思考、处理问题，由于没有现成的公式可用，于是想到类比求曲边梯形面积的方法求解，体现转化与化归的数学思想．设计意图与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．把区间[0,1]等分成n 个小区间，在每个小区间上，由于v (t )的变化很小，可以近似地看作汽车作匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s (单位：km)的近似值，最后让n 趋向于无穷大就得到s (单位：km)的精确值．(思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动的路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程)提出问题2：请同学们按照我们讨论后拟定的方案，类比求曲边梯形面积的方法独立求解．活动设计：类比求曲边梯形的面积，学生独立解决，必要时教师加以指导、提示． 学情预测：学生可能由于对第一节求曲边梯形面积的方法掌握不熟练，导致不能独立完整地解决．活动成果：体会分割、以不变代变、求和、取极限的过程，感受在其过程中渗透的思想方法．解：(1)分割在时间区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]．记第i 个区间为[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n. 把汽车在时间段[0，1n ]，[1n ，2n ]，…，[n －1n，1]上行驶的路程分别记作：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，显然，s ＝i ＝1n Δs i . (2)近似代替当n 很大，即Δt 很小时，在区间[i －1n ，i n]上，函数v (t )＝－t 2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点i －1n 处的函数值v (i －1n )＝－(i －1n)2＋2.从物理意义上看，就是汽车在时间段[i －1n ，i n](i ＝1,2，…，n )上速度的变化很小，不妨认为它近似地以时刻i －1n 处的速度v (i －1n )＝－(i －1n)2＋2做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”．于是用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，即在局部范围内“以直代曲”，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝v (i －1n )·Δt ＝[－(i －1n )2＋2]·1n ＝－(i －1n )2·1n ＋2n(i ＝1,2，…，n )．① (3)求和由①得s n ＝1n i i S =∆∑′＝∑i ＝1nv (i －1n )·Δt ＝∑i ＝1n [－(i －1n )2·1n ＋2n ] ＝－0·1n －(1n )2·1n －…－(n －1n )2·1n＋2 ＝－1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋2 ＝－1n 3(n －1)n (2n －1)6＋2＝－13(1－1n )(1－12n)＋2. 从而得到s 的近似值s ≈s n ＝－13(1－1n )(1－12n)＋2. (4)取极限当n 趋向于无穷大时，即Δt 趋向于0时，s n ＝－13(1－1n )(1－12n)＋2趋向于s ，从而有s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞∑i ＝1n1n ·v (i －1n )＝lim n →∞ [－13(1－1n )(1－12n )＋2]＝53. 设计意图通过学生自己独立推导，进一步让学生理解、掌握极限思想，以及分析问题、解决问题的能力，努力培养学生将问题转化为熟悉问题的意识．理解新知提出问题3：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s 与由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？活动设计：学生自己结合上一节曲边梯形面积的知识求出曲边梯形面积的表达式，进一步与求出的汽车行驶的路程的表达式比较，发现问题的本质，从而给出求变速直线运动路程的几何解释，即求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题． 活动成果：由于汽车行驶路程的表达式s ＝0lim t ∆→∑i ＝1n v (ξi )Δt ＝lim n →∞∑i ＝1n1n v (ξi )与曲边梯形的面积表达式S ＝0lim x ∆→∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝lim n →∞∑i ＝1n 1n f (ξi )在形式上是一致的，因此比较这两个式子，就可以推断出该路程在数值上等于教科书中图所示的曲边梯形面积，即汽车行驶的路程s ＝lim n →∞s n 在数值上等于由直线t ＝0，t ＝1，v ＝0和曲线v ＝－t 2＋2所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .设计意图求变速直线运动路程的问题也可以解释成求曲边梯形面积的问题，这样就可以在给出定积分的定义后，直接给出定积分的几何意义． 运用新知例1弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解：将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W ＝F ·x .(1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间：[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n，b ]， 记第i 个区间为[(i －1)b n ，i·b n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i·b n －(i －1)b n ＝b n. 把在分段[0，b n ]，[b n ，2b n ]，…，[(n －1)b n，b ]上所作的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n .(2)近似代替由条件知：ΔW i ＝F ((i －1)b n )·Δx ＝k ·(i －1)b n ·b n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和W n ＝∑i ＝1n k ΔW i ＝∑i ＝1nk·(i －1)b n ·b n ＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝kb 2n 2n (n －1)2＝kb 22(1－1n )． 从而得到W 的近似值W ≈W n ＝kb 22(1－1n)． (4)取极限W ＝lim n →∞W n ＝lim n→∞∑i ＝1nkΔW i ＝lim n →∞ kb 22(1－1n )＝kb 22， 所以弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为kb 22. 巩固练习一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，计算这辆汽车在0≤t ≤2这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．【答案】223. 达标检测已知某物体做直线运动，速度与时间t 满足v (t )＝e t ，求物体在时间区间[0,1]内的运动距离．【答案】e －1.课堂小结1．知识收获：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤解决问题的方法．2．方法收获：类比方法、数形结合方法．3．思维收获：类比思想、转化思想．布置作业补充练习基础练习1．物体以速度v (t )＝t 2作直线运动，则在时间段[0,1]内运动的路程s 为( )A.13B.12C.1D.162．已知物体做自由落体运动在t 时刻的速度v ＝g t (g 是常数)，求在时间区间[2,4]内物体下落的距离s .【答案】1.A 2.6g拓展练习3．以初速度40 m/s 垂直向上抛一物体，t s 时刻的速度为v ＝40－10t (单位：m/s)，问多少秒后此物体达到最高？最大高度是多少？【答案】4秒后物体达到最高，最大高度是80 m.设计说明求变速直线运动物体的路程也是定积分概念的一个重要背景，与求曲边梯形面积的实例相比，它们只是背景不同，解决问题的方法和步骤是相同的，它们的求解过程都蕴含着定积分的基本思想，所以本节课设计的主要意图是类比思考、自主探索，增强学生自主探究的意识与能力，引导学生类比求曲边梯形面积的过程，让他们自己独立解决问题，以进一步体会定积分的背景、思想和方法，为引入定积分的概念奠定基础．。
人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.51.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程
1．曲边梯形的面积汽车行驶的行程预习课本P38～ 44，思虑并达成以下问题(1)连续函数与曲边梯形的观点分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶行程的求解步骤是什么？[新知初探 ]1．连续函数假如函数y＝ f (x)在某个区间I 上的图象是一条连续不停的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线 x＝ a， x＝b( a≠b)， y＝ 0 和曲线 y＝ f (x)所围成的图形称为曲边梯形 (如图① )．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①切割：把区间[a，b]分红很多小区间，从而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似取代：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形面积的近似值(如图② )；③乞降：把以近似取代获得的每个小曲边梯形面积的近似值乞降；④取极限：当小曲边梯形的个数趋势无量时，各小曲边梯形的面积之和趋势一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(行程 )假如物体作变速直线运动，速度函数为v＝ v(t)，那么也能够采纳切割、近似取代、求和、取极限的方法，求出它在 a ≤t ≤b 内所作的位移 s.[点睛 ] 当 n →＋ ∞ ，所得梯形的面 不是近似 ，而是真 ．[小 身手 ]1．判断 (正确的打 “√”， 的打 “×”)(1) 求汽 行 的行程 ，切割的区 表示汽 行 的行程． () (2) 当 n 很大 ，函数2i － 1 i上的 ，只好用i2近似取代． ()f(x)＝ x 在区 ， n nn4(3) m i ＝ i 2， m i ＝ 30.()i ＝1答案：(1) × (2) × (3) √2．将区 [1,3] 行 10 平分需插入 ________个分点，第三个区 是________．答案： 9 [1.4,1.6]3．做直 运 的物体的速度v ＝ 2t(m/s)， 物体在前 3 s 行家 的行程 ________ m.答案： 9求曲 梯形的面[典例 ] 求直 x ＝ 0，x ＝ 2，y ＝ 0 与曲 y ＝ x 2＋1 所 成的曲 梯形的面[参照公式12＋ 22＋⋯ ＋ n 2＝16n(n ＋ 1)(2n ＋ 1)]．[解 ] 令 f (x)＝ x 2＋ 1.(1) 切割：将区 [0,2]n 平分，分点挨次x 0＝ 0， x 1＝ 2， x 2＝ 4， ⋯ ， x n － 1＝n － ， x n ＝ 2.nn n第 i 个区 2i － 2 2in，n (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，每个区 度x ＝2i －2i － 2＝ 2.nnn(2) 近似取代、乞降：取 ＝ 2iξi n (i ＝ 1,2， ⋯ ，n)，S n ＝ n f 2i ·Δx ＝ n 2i 2 2n n ＋ 1 ·i ＝ 1 i ＝ 1n8ni 28222＝ 3＋ 2＝3 (1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ n )＋ 2 nni ＝ 18 n n ＋n ＋＋ 2＝ 4 3 ＋ 1＝ 3 ·＋ 2 ＋ 2. n 6 n n3＝ 4 3 1(3) 取极限： ＝S n 2＋ ＋ 2 ＋ 2S3 n n1414 ＝ 3，即所求曲 梯形的面 3.求曲 梯形面(1) 思想：以直代曲．(2) 步 ：切割 →近似取代 → 乞降 → 取极限． (3) 关 ：近似取代．(4) 果：切割越 ，面 越精准．[活学活用 ]求由直x ＝ 1， x ＝ 2， y ＝ 0 及曲 y ＝ x 3 所 成的 形的面 ．33312提示： 1 ＋2 ＋ ⋯ ＋ n ＝ 2nn ＋解： ①切割．n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ n －，把区 [1,2]平分如 所示，用分点n，n ， ⋯ ，n成 n 个小区1， n ＋1 ， n ＋ 1， n ＋ 2 ，nnn⋯ ，n ＋ i －1， n ＋ i ， ⋯ ，nnn ＋n － ， 2 ，每个小区 的 度x ＝ n ＋ i － n ＋ i － 1＝1 (i ＝ 1,2,3，⋯ ， n)．nnnn各分点作 x 的垂 ，把曲 梯形 ABCD 切割成 n 个小曲 梯形， 它 的面 分 作 S 1，S 2， ⋯ ， S n.②近似取代．31各小区 的左端点ξi ，取以点 ξi 的 坐 ξi 一 ， 以小区x ＝ n 其 的小矩形面 ， 近似取代小曲 梯形面 ．3第 i 个小曲 梯形面 ， 能够近似地表示 S i ≈ξi ·Δx＝n ＋ i － 1 3·1(i ＝ 1,2,3， ⋯ ，n)．n n③乞降．因 每一个小矩形的面 都能够作 相 的小曲 梯形面 的近似 ，所以n 个小矩形面 的和就是曲 梯形ABCD 面 S 的近似 ，nnn ＋ i －1 3 1即 S ＝S i ≈n · .i ＝1i ＝1n④取极限．当分点数量越多， 即x 越小 ，和式的 就越靠近曲 梯形ABCD 的面 S.所以 n →∞，即 x → 0 ，和式的极限，就是所求的曲 梯形ABCD 的面 ．nn ＋ i － 1 3 1因n·i ＝1n1 n(n ＋ i － 1) 3＝ 4n i ＝ 1＝ 14 n [(n － 1)3＋ 3(n － 1)2i ＋ 3(n － 1)i 2＋ i 3] n i ＝ 113－ 1)2nn ＋ － 1) n12 2＝ 4[n(n － 1) ＋ 3(n·＋ 3(n··(n ＋ 1)·(2n ＋ 1)＋ n (n ＋ 1)]，n26 4所以 S ＝nn ＋ i －1 3 1n·i ＝ 1n31 15＝ 1＋2＋1＋4＝ 4 .求 速运 的行程6[典例 ] 一 汽 作 速直 运 ， 汽 在t 的速度 v(t)＝ t 2 ，求汽 在 t ＝ 1到 t＝ 2 段 内运 的行程 s.[解 ] (1)切割：把区 [1,2]平分红 n 个小区n ＋ i － 1 ， n ＋ i (i ＝ 1,2，⋯ ，n)，每个区n n 的 度t ＝ 1，每个 段行 的行程s i (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nn故行程和 s n ＝ s i .i ＝ 1n ＋ i －1(2) 近似取代： ξi ＝n(i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，＋ － 1n21 n i·Δt ＝ 6·s i ≈v·nn ＋ i － 1n＝6n2n ＋ i －≈n ＋ i －6nn ＋ i (i ＝ 1,2,3， ⋯ ， n)．(3) 乞降： s n ＝n6nn ＋ i －n ＋ ii ＝ 11 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ⋯ ＋ 1 － 1 ＝ 6n n n ＋ ＋ ＋ － 2n1 n 1 n2 2n 11 1＝ 6n n－2n .(4) 取极限： s ＝ li n →∞m s n ＝ li n →∞m 6n 1－ 1＝3. n 2n求 速直 运 行程的方法求 速直 运 行程的 ，方法和步 似于求曲 梯形的面 ，用“以直代曲 ”“逼近 ”的思想求解．求解 程 ：切割、近似取代、乞降、取极限． 特 注意 速直 运的 区 ．[活学活用 ]已知一 点的运 速度 v(t)＝ 6t 2＋ 4( 位： m/s)，求 点开始运 后5 s 内通 的路程．解： (1)切割在 区[0,5] 上等 隔地插入n － 1 个点，将区 平分红n 个小区， 5，0 n5， 10，⋯，i － ，5i， ⋯ ，5n － 5， 5 ，n nnnn 此中，第 i(1≤i ≤n)个小区i －， 5i，nn其区 度5i － i － ＝ 5，nnn每个小 段内的行程s 1， s 2， ⋯ ， s n .(2) 近似取代依据 意可得第i(1 ≤i ≤n)个小 段内的行程i － 25i －220＋ .s i ＝ 6＋ 4 ·＝3n nnn(3) 乞降每个小 段内的行程之和ni －220S n ＝＋ 3i ＝1nn＝750[02＋ 12＋ 22＋ ⋯＋ (n － 1)2]＋ 203n750 1＝ 3 ·(n － 1)n(2n － 1)＋ 20 n 61252＝ n 2 (2n － 3n ＋ 1)＋ 20.(4) 取极限当 n →∞ ， S n 的极限 就是所求 点运 的行程，→∞ ＝n →∞ 1252＋20 ＝，＝ li 2n－ 3n ＋lim270sm Sn即 点运 的行程270 m.一 学 水平达51．和式(x i ＋ 1)可表示 ()i ＝1A ． (x 1＋ 1)＋ (x 5＋ 1)B ． x 1＋ x 2＋ x 3＋x 4＋ x 5＋ 1C ． x 1 ＋ x 2 ＋x 3＋ x 4＋ x 5＋ 5D ． (x 1＋ 1)(x 2＋ 1) ⋯(x 5＋ 1)5分析： C(x i ＋ 1)＝ (x 1＋ 1)＋ (x 2＋1)＋ (x 3＋ 1)＋ (x 4＋ 1)＋ (x 5＋ 1)＝ x 1＋ x 2＋ x 3＋ x 4i ＝1＋ x 5＋ 5.2．在求由 x ＝ a ，x ＝ b(a<b)，y ＝ f(x)( f(x) ≥ 0)及 y ＝ 0 成的曲 梯形的面S ，在区[a ， b]上等 隔地插入 n － 1 个分点，分 些分点作 x 的垂 ，把曲 梯形分红n个小曲 梯形，以下 法中正确的个数是()① n 个小曲 梯形的面 和等于 S ；② n 个小曲 梯形的面 和小于 S ；③ n 个小曲 梯形的面 和大于 S ；④ n 个小曲 梯形的面 和与 S 之 的大小关系没法确立A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4 个分析：An 个小曲 梯形是所 曲 梯形等距离切割获得的，所以其面 和S.∴①正确，②③④ ，故A.3．在 “近似取代 ”中，函数 f( x)在区 [x i ， x i ＋ 1] 上的近似 等于 () A ．只好是左端点的函数 f(x i )B ．只好是右端点的函数 f(x i ＋1 )C ．能够是 区 内任一点的函数 ∈ [x ， x ＋1])f(ξi )( ξi i iD ．以上答案均不正确分析：选C 由求曲边梯形面积的 “近似取代 ”知， C 正确，故应选 C.4．在求由函数 1与直线 x ＝ 1，x ＝ 2，y ＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间 [1,2]y ＝ x平分红 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ()A. i － 1， iB. n ＋ i － 1， n ＋ in nn nC ． [i － 1， i]i ，i ＋ 1D. nn分析：选B把区间 [1,2]平分红 n 个小区间后，每个小区间的长度为1，且第 i 个小区n间的左端点不小于1，清除 A 、D ； C 明显错误；应选 B.5．函数 f(x)＝ x 2在区间 i － 1 ， i 上 ( )n nA ． f(x)的值变化很小B ． f(x)的值变化很大C ． f(x)的值不变化D ．当 n 很大时， f(x)的值变化很小分析：选D当 n 很大时，区间i － 1， i 的长度 1 愈来愈小， f(x)的值变化很小，应选n n nD.6.求由抛物线 f(x)＝ x 2，直线 x ＝ 0， x ＝ 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5 平分，如下图，以小区间中点的纵坐标为高，则全部矩形的面积之和为__________ ．分析： S ＝15×1 2 3 2527292＝ 0.33. 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10答案： 0.337．由直线 x ＝ 0，x ＝ 1，y ＝ 0 和曲线 y ＝ x 2＋ 2x 围成的图形的面积为 ________________．分析：将区间 [0,1]n 平分，每个区间长度为1，区间右端点函数值 y ＝i 2i i 2 2in ＋ 2·＝2nnn ＋ n .作 和 S n ＝ ni22i 1＝ ni22i＝ 1 n2 2n1 11) ＋22＋n n3＋n 23i ＋2i ＝3 × n(n ＋ 1)(2n ＋2i ＝1n i ＝1nn i ＝ 1ni ＝1n 6nn n ＋ ＝n ＋n ＋n ＋1＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1×26n 2 ＋ n 6n 2 ，∴所求面积 S ＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1 4 3 1 46n 2＝ 3＋ 2n ＋6n 2 ＝ 3.答案：438．汽 以 v ＝ (3t ＋ 2)m/s 做 速直 运 ，在第 1 s 到第 2 s 的行程是 ________．分析： 将 [1,2]n 平分，并取每个小区 的左端点的速度近似取代，t ＝ 1，nv(ξi )＝ v ＋ i － 1 ＝ 3 1 ＋ i － 1 ＋ 2＝ 3 (i － 1) ＋ 5.1 n n nn31所以 s n ＝i － 1n＋ 5 ·i ＝ 1n＝3 [0＋1＋2＋⋯ ＋n － 1 ]＋ 5n 1n ·n 3 n n －1 3 1 ＝ n2· 2＋ 5＝ 2 1－ n ＋ 5，所以 s ＝ s n ＝3＋ 5＝ 6.5 (m) ．2 答案： 6.5 m9. 求由抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面 ．解：如 ，∵ y ＝ x 2 偶函数， 象对于 y称，∴所求 形的面y ＝ x 2(x ≥0)与直x ＝ 0， y ＝ 4 所 成的 形面S 暗影的 2 倍，下边求 S 暗影．y ＝ x 2，由 y ＝ 4， 得交点 (2,4) ．x ≥0，先求由直x ＝ 0， x ＝ 2， y ＝ 0 和曲 y ＝ x 2 成的 形的面 ．(1) 切割将区 [0,2]n 平分，x ＝2，取 ξ＝i － (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nin(2) 近似取代、乞降ni －22S n ＝n·i ＝ 1n822222 ＝ 3[0＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]n＝81 13 1－ n 1－ 2n (3) 取极限8 1 1 8S ＝31－n 1－ 2n ＝ 3.∴ S 暗影＝ 2×4－ 8 16 323＝3 .∴2S暗影＝ 3 .即抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面323.10．汽 做 速直 运 ，在 刻 t 的速度 ( 位：km/h)v(t)＝ t 2＋ 2，那么它在 1≤t ≤2(位： h) 段 行 的行程 多少？解： 将区 [1,2] 平分红 n 个小区 ，第i 个小区1＋ i － 1， 1＋ i (i ＝ 1,2， ⋯， n)．n n 第 i 个 区 的行程的近似1＝ v 1＋ i － 1 1Δξ≈Δξ′＝v(t)nnn＝ 3＋i －i － 2＋，n 2n 3nnn3＋ i －i －2于是 s n ＝Δξi ′＝＋n 2n 3i ＝1i ＝1n3 2·[0＋ 1＋ 2＋ ⋯ ＋ (n － 1)]＋122 22＝ n ·＋2 n3 [0 ＋1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]nn2· n － n＋ 1 n －nn －＝3＋ 223·6nn＝ 3＋ 1－ 1n ＋ 13 1－ 1n 1－ 2n 1.11 1 1 13所以 s ＝s n ＝3＋ 1－n ＋ 3 1－n 1－ 2n ＝ 3.13故 段 行 的行程3km.二能力达1． 函数 f(x)在区 [a ，b]上 ， 用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯ ＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜ x n ＝ b ，把区[a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区 [x i － 1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝1,2， ⋯ ， n)，作和式nS n ＝f(ξi ) x(此中 x 小区 的 度 )，那么 S n 的大小 ()i ＝ 1A ．与 f(x)和区 [a ， b]相关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法没关B ．与 f(x)和区 [a ，b]的分点的个数 n 相关，与 ξi 的取法没关C ．与 f(x)和区 [a ， b]的分点的个数n ， ξi 的取法都相关D ．与 f(x)和区 [a ， b]的 ξi 的取法相关，与分点的个数 n 没关分析：C用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜x n ＝ b 把区 [a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区[x i －1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝ 1,2， ⋯， n)，作和式 S n ＝nf (ξi ) ·Δx.若 和i ＝1式求极限， 能够获得函数 y ＝ f(x)的 象与直 x ＝ a ，x ＝ b ，y ＝ 0 成的地区的面 ，在求极限以前，和式的大小与函数式、分点的个数和 量的取法都相关．2． 于由直 x ＝ 1，y ＝0 和曲 y ＝ x 3 所 成的曲 三角形，把区3 平分， 曲三角形面 的近似(取每个区 的左端点)是 ( )11 A. 9B.251 1C. 27D.30分析： A将区 [0,1]三平分 0， 1 ，1，2，2， 1 ，各小矩形的面 和s 1＝33 333 1 1 3 12 3 1 10 ·＋3·＋3·＝ .333 9n15i 5 的含 能够是 ()3． li n →∞ mi ＝1n ·nA ．求由直 x ＝ 1， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面B ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 1， y ＝0， y ＝ 15x 成的 形的面C ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面D ．求由直5成的 形的面x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 及曲 y ＝ x分析：C将区 [0,5]n 平分， 每一区 的 度5，各区 右端点 函数n15i y ＝ n ，所以 的近似 ．ni ＝115i 5n ·n能够表示由直x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 和 y ＝ 3x 成的 形的面4．若做 速直 运 的物体 v(t)＝ t 2，在 0≤t ≤a 内 的行程9， a 的 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：C 将区 [0， a]分 等 的 n 个小区 ，第i － 1iai 个区(i ＝n a ，naia 2n，s n＝i ＝ 11,2，⋯ ，n)，取每个小区 的右端点的速度近似取代，t ＝n ，所以 v(t i )＝ nia 2 a 33a 22 a n n ＋n·＝ 3 (1＋ 2＋ ⋯＋ n ) ＝n na311 a 361＋n 2＋ n ＝ 3 ＝ 9，得 a ＝ 3.故n ＋3 1 16n 3 ＝a1＋ 2＋ ，于是 s ＝ s n ＝6 n nC.5．已知某物体运 的速度 v ＝ t ，t ∈ [0,10]，若把区10 平分，取每个小区 右端点的函数 近似小矩形的高， 物体运 的行程近似________．分析： ∵把区 [0,10]10 平分后，每个小区 右端点 的函数n(n ＝ 1,2.⋯ ， 10)，每个小区 的 度1.∴物体运 的行程近似S ＝ 1×(1＋ 2＋ ⋯ ＋ 10)＝ 55.答案： 556.如 ，曲C ： y ＝ 2x (0 ≤x ≤ 2)两头分M ， N ，且 NA ⊥ x于点 A ，把 段 OA 分红 n 等份，以每一段 作矩形，使其与x平行的 的一个端点在曲C 上，另一端点在曲C 的下方，n个矩形的面 之和S n ，[(2n － 3)(n4－ 1)S n ]＝ __________.分析： 依 意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首1，公比 22， S n ＝ 2n n1－ 22n－ 32 ＋ 2 4＋ ⋯ ＋ 22n － 22n ＝ 2n →∞n＋ ＝ · · 所以 －－n ＝(12nnn)n2n1－n.lim [(2n3)( 41)S ]1－ 2n4n －n 4－2－ 3n ·＝ 12.1－ n4答案： 127．汽 行 的速度 v ＝ t 2，求汽 在 0≤t ≤1 段 行家 的行程s.解： (1)切割将区 [0,1]平分 n 个小区0，1， 1， 2 ， ⋯ ，i － 1， i， ⋯ ，n － 1， 1 ，n n nnnn每个小区 的 度t ＝i－ i － 1＝ 1.nnn(2) 近似取代－ 1 i i － 1－1－i的速度 v ii 1在区 n ， n (i ＝ 1,2，⋯ ，n)上，汽 近似地看作以 刻n n ＝n2 作匀速行 ，i － 1 2 1在此区 上汽 行 的行程·.nn(3) 乞降在全部小区 上，汽 行 的行程和s n ＝ 0 2 1＋12 12 2 1 ＋ ⋯ ＋ n － 1 2 1 ＝ 1 [12 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1) 2] ＝ 1 ×n × ＋ n × n × n 3 ＋ 2 3nnn nn n －nn －＝111－ 1×631－n 2n.(4) 取极限s ＝s n ＝11 1 1汽 行 的行程3 1－ n 1－ 2n ＝ 3.8． 簧在拉伸的 程中，力与伸 量成正比，即力F (x)＝ kx(k 常数， x 是伸 量 )，求将 簧从均衡地点拉b 所做的功．解： 将物体用常力 F 沿力的方向拖 距离x ， 所做的功 W ＝ F ·x.(1) 切割在区 [0， b]上等 隔地插入n － 1 个点，将区 [0， b]平分红 n 个小区 ：bb 2bn －b 0， n ， n ， n ⋯ ， n， b 第 i 个区i －b·n ，i b＝ 1,2， ⋯ ， n)，n (i 其 度·i －bx ＝i b－＝ b.n n n把在分段 0， b ， b ， 2b，⋯ ，n －b， b 上所做的功分 作：W 1， W 2，⋯ ，n n nnW n .(2) 近似取代取各小区 的左端点函数 作 小矩形的高，由条件知：W ≈i －b ·Δi Fxni －b b＝ k ·n·(i ＝ 1,2， ⋯， n)．n(3) 乞降nni － b bW n ＝W i ≈ k ·n ·i ＝1i ＝1nkb 2＝ n 2 [0＋ 1＋ 2＋⋯ ＋ (n － 1)]kb 2 n n －kb 2 1＝n 2 ×2＝2 1－n .W 的近似 W ≈W n ＝ kb21从而获得 2 1－n .(4) 取极限n22 kb1kbW＝W n＝i＝ 1W i＝21－n＝ 2.所以将弹簧从均衡地点拉长 b 所做的功为kb22.。
人教版数学高二选修2-2教案1.5.2汽车行驶的路程
1.5.2 汽车行驶的路程教学目标：1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点：过程的理解．教学过程：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？交流点拨问题引入：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km/h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i t n n n -∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1n i i S S==∆∑.2. 近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭①3. 求和由①，21111112n nn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n n n n -⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦=()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 4. 取极限 当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．拓展建构例1：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．（1）分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，其长度为()1i b i b b x n n n -⋅∆=-= 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所作的功分别记作： 1W ∆，2W ∆，…，n W ∆（2）近似代替有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅⎪⎝⎭(1,2,,)i n =（3）求和 ()111n n n i i i i b b W W k n n ==-=∆=⋅⋅∑∑ =()()22222110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫≈=- ⎪⎝⎭（4）取极限2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：22kb 课堂小结教学反思。
高中数学 1.5.2 汽车行驶的路程学案 新人教A版选修2-2
1.5 定积分的概念 1.5.2 汽车行驶的路程班级：_____________ 姓名：_______________一、学习目标：1．用“四步曲”的方法求变速运动物体在某段时间内的路程；2．了解“以直代曲”、“逼近”的思想方法．二、学习过程（一）用“四步曲”方法求变速运动在某段时间内的路程阅读课本P 42～P 44，完成以下问题：问题1：如果汽车在行进过程中作变速直线运动，在时刻t 的速度22v t =-+（单位：km/h ），那么它在01t ≤≤这段时间内行驶的路程S 是多少？ （1）分割：把时间区间[0,1]等间隔地插入1n -个分点，将它n 等分，记第i 个小区间为____________，此时区间长度t ∆=___________．（2）近似代替：在每个小区间内，变速直线运动可以近似地看作_______________，此时第i 个小区间内的速度可近似地用_____________代替，'i i S S ∆≈∆=_______________．（3）求和：计算1'nn i i S S ==∆=∑__________．（4）求极限：计算lim n n S S →+∞==______________．练习1：一物体沿直线运动，其速度()v t t =，这个物体在0t =到1t =这段时间内所走的路程为（ ） A ．13B ．12C ．1D ．32练习2：一物体沿直线运动，其速度2()v t t =，这个物体在0t =到1t =这段时间内所走的路程为（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2练习3：一物体沿直线运动，其速度()2v t t =+，这个物体在1t =到2t =这段时间内所走过的路程为（ ） A ．32 B ．52 C ．72D ．4 问题2：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔1[,](1,2,,)i i i n n n -=L 上，汽车近似地以时刻in处的速度2()()2i iv n n =-+作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程S 的近似值，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是53吗？练习4：一辆汽车在司机猛踩刹车后5s 内停下．在这一刹车过程中，下面各速度值被记录了下来：km/h ），试计算这辆汽车在02t ≤≤（单位：h ）这段时间内汽车行驶的路程S （单位：km ）．（四）小结求变速直线运动的物体在某段时间运动的路程的步骤是：（1）__________________________________； （2）__________________________________； （3）__________________________________； （4）__________________________________．三、针对性作业1．做直线运动的物体的运动速度v t =，该物体在1t =到2t =这段时间内所走的路程为（ ） A ．13B ．12C ．32D ．22．一辆汽车以速度23v t =行驶，这辆汽车从0t =到3t =这段时间内所行驶的路程为（ ）A ．13B ．1C ．3D ．27 3．以速度(0)v at a =>沿直线运动的物体在1t =到4t =这段时间内所走过的路程为____________．4．已知某物体作直线运动，速度函数为()tv t e =，求物体在时间区间[0,1]内的运动距离．5．如图描述了一物体运动速度v （单位：m/s ）的变化．请对这一物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程进行估计．6．一个物体从距离地面150m 的高空自由下落，加速度为9.81（单位：2m/s ）．（1）写出速度作为时间的函数的表达式； （2）将时间段[0,4]平均分成8等份，计算该物体下落的前4s 经过的距离的过剩近似值（每个i ξ均取为小区间的右端点）与不足近似值（每个i ξ均取为小区间的左端点）．7．有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为2()x x ρ=（取细棒所在的直线为x 轴，细棒的一端为原点），棒长为l ，试用四步曲求细棒的质量m ．8．某汽车在公路上变速行驶，行驶速度与时间t 满足2()2v t t =-（km/h ），计算这辆汽车在时间段12t ≤≤内行驶的路程．。
高二数学 教案 1.5.2汽车行驶的路程导学案人教版_选修2-2
课后作业
1.(课本P45练2)一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 的速度为 （ 的单位： ， 的单位： ），试计算这辆汽车在 这段时间内汽车行使的路程 （单位： ）.
2．变速运动物体的速度 （ ），
若已知其路程是 ，求 的值.
学习评价
1．若 ，那么作匀速（速度为 ）
直线运动的物体在 这段时间内，物体所运动
的路程 是（ ）
A． B． C． D．
2．变速直线运动的物体 （ ）的路程
是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某物体运动的速度为 ，则物体从 到 所走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
4．以速度 沿直线运动的物体在 到
◆反馈练习
1.(课本P45练1)在上面的第二步“近似替代”中，如果我们认为在每个小时间间隔
上，汽车近似地以时刻 处的速度 作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程 的近似值，用这种方法能求出 的值吗？这个值也是 吗？
2.（课本P44探究）结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程 与由直线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
第15课时
1.5.2汽车行驶的路程
学习目标
1．掌握求变速直线运动的思想方法和步骤.
2．感知“以不变代变”的思想方法.
学习过程
一、学前准备
◆复习：回忆求曲边梯形的面积的步骤.
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P42～P45，找出疑惑之处）
问题1:利用导数我们解决了“已知物体运的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
问题2:类比求曲边梯形面积的思想方法和基本步骤，得出求变速直线运动的路程的思想步骤.
新人教A版选修(2-2)1.5.2《汽车行驶的路程》word学案
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：李洪涛 审稿人： 贾志安§1.5.2汽车行驶的路程教案教学目标：1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点：过程的理解．教学过程：一．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？二．新课讲授问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：解：1．分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？三．典例分析例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．1．分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限四．课堂练习1．课本练习五．回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程．六．布置作业。
人教版高中数学选修2-2学案：1.5.2汽车行驶的路程
1.5.2 汽车行驶的行程【学习目标】1.会求较简单的曲边梯形的面积、变速直线运动的行程；2.认识“以直代曲” 、“以不变代变”的数学思想方法；3.经过实例（求曲边梯形的面积、变速直线运动的行程等），从问题的情境中认识定积分的实质背景．【新知自学】新知梳理：1.曲边梯形的面积如右图，曲边梯形是指由直线x=a,x=b(a ≠ b),_________________ 和曲线 y=f(x) 围成的图形（如图①）．2.求曲边梯形的面积的方法和步骤（ 1）切割：把区间 [a,b] 分红很多小区间，从而把曲边梯形拆分红一些________________( 如图② )；（ 2）近似取代：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用 _____________ 的面积取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形的面积的______________( 如图② );（ 3）乞降：把以近似取代获得的每个小曲边梯形面积的______________乞降；（ 4）取极限：当小曲边梯形的个数趋势无量时，各小曲边梯形的面积之和趋势一个_______________, 即为曲边梯形的面积 .y yy=f(x)y=f (x)Oa b x O a b x图①图②3.求变速直线运动的位移（行程）假如物体做变速直线运动，速度函数v v(t ) ,那么也能够采纳_________ 、 _______ 、___________、 __________ 的方法，求出它在a≤ t≤b 内所经过的位移s.对点练习：1.把区间 [1,3] 分红 n 等份，所得n个小区间，每个小区间的长度为()123D.1A. B. C.2nn n n2.把区间[a, b] (a b) n 平分后，第i个小区间是 ()A. [i1 ,i ] n nB. [i1(b a),i(b a)] n nC. [ a i1, ai] n nD. [ a in1(b a), ain(b a)]3.在“近似代替”中，函数 f ( x)在区间[ x i , x i 1 ]上的近似值（）A. 只好是左端点的函数值 f ( x i )B. 只好是右端点的函数值 f ( x i 1 )C.能够是该区间内的任一函数值f i(i[ x i , x i 1]）D.以上答案均正确4．汽车以v v(t ) (函数 v v(t ) 在 (0,) 上为连续函数)在笔挺的公路上履行，在 [0,2]内经过的行程为S ,以下说法中正确的选项是__________．(1) 将[0,2] n平分，若以每个小区间左端点的速度近似代替时，求得的S n是 S 的不足近似值 ( S n S)；(2) 将[0,2] n平分，若以每个小区间右端点的速度近似代替时，求得的S n是 S 的剩余近似值 ( S n S )；(3)将[0,2] n平分，当n很大时，求出的S n就是 S 的正确值；(4) S的正确值就是由直线t 0, t 2, v0 和曲线 v v(t ) 所围成的图形的面积．【合作研究】典例精析：例 1. 求由抛物线y=x2与 x 轴及 x=1 所围成的平面图形的面积S．例 2.汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的行程为S vt ．假如汽车作变速直线运动，在时辰t 的速度为 v t t 22（单位：km/h），那么它在0≤ t ≤1(单位：h)这段时间行家驶的行程S （单位：km）是多少？规律总结：求曲边梯形的面积：（1）思想：以直代曲、迫近；（2）步骤：切割近似取代乞降取极限；重点：近似取代；结果：切割越细，面积越精准 .【讲堂小结】【当堂达标】1.已知函数 f (x) x ，则函数的图象与直线x 1, y 0 所围成的地区的面积为( )1Ｂ .１Ｃ .２Ｄ.０A.22.函数 f(x)=x 2 在区间[i1,i] 上（）n nA.f(x) 的值变化很小B. f(x) 的值变化很大C. f(x) 的值不变化D.当 n 很大时， f(x)的值变化很小3．求由直线 x=1,x=2,y=0和曲线 y=lnx 所围成的图形的面积时的不足近似值是__________ ；剩余近似值是______________________ ．【课时作业】2t 2(0t3)1．一质点在作直线运动时 ,其速度v(t)18(3t7) (单位： m / s ),3t39 (7t13)则此质点在区间_____内作加快度愈来愈快的变加快运动；在区间 ________内作速度为 _________ 匀速运动；在区间 ______ 内作加快度大小为_______的匀 ____ 速运动；这一质点在这13 s内的运动行程为________ m ．2．求由直线x 0, x 1, y 0 和抛物线 y2x 2所围成的图形的面积．3.已知自由落体物体的运动速度v gt ，求在时间区间[0,t] 内物体着落的距离。
高二人教版数学选修2-2课件：1.5.2 汽车行驶的路程
解析：(1)分割：将 a，b 之间分割成 n 个小区间．设 a＝ x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn＝b.记第 i 个区间的长度为Δxi＝xi －xi－1(i＝1，2，…，n)．并在小区间[xi－1，xi]内任取一点 ξi.
(2)近似代替：如果区间很小，由 F 在[xi－1，xi]内变化不 大，可近似看作常力，把 F(ξi)记为这个常力，那么物体从 xi－ 1 到 xi 所做的功ΔWi＝F(ξi)·Δxi(i＝1，2，…，n)．
(i－1)2
＝
54 n3
[12
＋
22
＋
…
＋
(n
－
1)2]
＝
54 n3
·
1 6
பைடு நூலகம்
n(n
－
1)·(2n
－
1)
＝
91－n12－n1.
S＝
Sn＝
91－n12－n1＝18(m)．
【易错剖析】若对质点运动的概念理解不透，则会解错第
(1)小题．因此应掌握以下关系：若速度 v 是时间 t 的常数函数， 则物体作匀速运动；若速度 v 是时间 t 的一次函数，则物体作 匀加速或匀减速运动；速度 v 是时间 t 的二次函数，则物体作 变加速或变减速运动．
单位：m/s.
(1)请根据速度函数描述质点的三种运动状态；
(2)试求这一质点在 3s 内的运动路程．
解析：(1)v(t)＝2t2(0≤t≤3)，说明质点在前 3 s 内做变加速
直线运动；
v(t)＝18(3<t<7)，说明质点在第 3 s～7 s 之间做匀速直线运 动；
v(t)＝－3t＋39(7≤t≤13)，说明质点在第 7 s～13 s 之间做 匀减速直线运动．
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：1.5.1 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
1．5.1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程[目标] 1.知道“以直代曲”的意义.2.学会求曲边梯形面积和汽车行驶路程的步骤.3.感受解决问题过程中渗透的思想方法．[重点] 求曲边梯形面积与计算汽车行驶的路程问题．[难点] 求曲边梯形面积的方法与步骤．知识点一曲边梯形的面积[填一填]1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．[答一答]1．“曲边梯形”与“直边梯形”有什么联系与区别？提示：曲边梯形与直边梯形都有四条边，直边梯形的四条边都是线段，而曲边梯形有一条边是曲线段，其余三条边都是线段．2．“以直代曲”思想的本质是什么？提示：曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，因此，我们把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种重要的思想．3．分割步骤中，小区间的多少对最终结果有何影响？提示：对区间[a，b]划分的越细，估计值就越接近精确值，即小矩形面积的和越趋近曲边梯形的面积．4．近似代替步骤中，f(ξi)有何要求？提示：“近似代替”中每一个小区间上函数f(x)的值可用f(ξi)来代，x i]，不影响极限的值．为了计算方便，可以取区间上的替，ξi∈[x i－1一些特殊点，如区间的端点或中点等．知识点二求变速直线运动的位移(路程)[填一填]如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.[答一答]5．求变速直线运动的路程的方法和求曲边梯形的面积的方法有什么关系？提示：相同．6．汽车行驶路程用“求曲边梯形面积”的依据是什么？提示：事实上，我们可以认为汽车在每个小时间间隔[i－1n，in]上近似地以任意时刻ξi∈[i－1n，in]处的速度v(ξi)做匀速行驶，并且我们有s＝limΔt→0∑i＝1nv(ξi)Δt＝limn→∞∑i＝1n1nv(ξi)．求曲边梯形面积的注意事项1．在分割过程中，分割得越细，近似代替后所求面积的和越接近曲边梯形的面积，也可以不是等分．2．当把区间[0,1]n等分时，第i个区间左端点的函数值为f⎝⎛⎭⎪⎫i－1n，右端点的函数值为f⎝⎛⎭⎪⎫in.可以用每一个小区间内每一个点对应的函数值，一般常用左端点的函数值，或用右端点的函数值作为小矩形的高．3．当n→＋∞时，所得梯形的面积不是近似值，而是真实值.类型一曲边梯形的面积【例1】求曲线y＝x2与x＝1，y＝0所围成的区域的面积．【解】将区间[0,1]等分为n个小区间(如图所示)：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx i ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标为⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，Δx i ＝1n 为底作小矩形，于是图中曲线之下矩形面积依次为：02·1n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n. 所有这些小矩形的面积和(图中阴影部分的面积)S n ＝02·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＝1n 3·n (n －1)(2n －1)6＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n . 由此得到S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝13.从图形上看，当n 越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小．当n →∞时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此，可以将13视为此曲边三角形的面积．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪一项近似代替( C )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i nD ．f (0)类型二 汽车行驶的路程【例2】 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程S (单位：km)．【思路分析】 由v (t )及t ＝0，t ＝2，v ＝0所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可．【解】 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记作ΔS 1，ΔS 2，ΔS 3，…，ΔS n ，有S n ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，∴ΔS i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n ＋10n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：S n ＝∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n ＝－4×12n 2·2n －4×22n 2·2n －…－4n 2n 2·2n ＋10＝－8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋10 ＝－8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋10 ＝－8×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10. (4)取极限：S ＝lim n →∞S n ＝223.∴这段时间内汽车行驶的路程S 为223 km.若物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，则我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤x ≤b 内所走的路程S .一辆汽车作变速直线运动，加速度a (t )＝t 2(单位为m/s 2)，试计算这辆汽车在0≤t ≤10(单位为s)这段时间内的末速度v (单位为m/s)．解：(1)分割：在[0,10]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：[0，10n ]，[10n ，20n ]，…，[10(n －1)n ，10n n ]，记第i 个小区间为[10(i －1)n ，10i n ](i ＝1,2，…，n )，Δt ＝10n ，则汽车在时间段[0，10n ]，[10n ，20n ]，…，[10(n －1)n ，10n n ]上速度的增量分别记作Δv 1，Δv 2，…Δv n ，有v n ＝∑i ＝1nΔv n .(2)近似代替：ξi ＝10in (i ＝1,2，…，n )，∴Δv i ＝a (10i n )·Δt ＝[(10i n )2]10n ＝1 000i 2n 3＝(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：v n ＝∑i ＝1nΔv i ＝∑i ＝1n(1 000i 2n 3)＝1 000×12n 3＋1 000×22n 3＋…＋1 000×n 2n 3 ＝1 000n 3(12＋22＋…＋n 2) ＝1 000n 3×n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝5003(1＋1n )(2＋1n )．(4)取极限：v ＝lim n →∞v n ＝1 0003， ∴这段时间内汽车末速度为1 0003 m/s.搞错区间端点导致出错【例3】 求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t >0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t ]等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t (i －1)n ，ti n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t (i －2)n ，t (i －1)n 【错解】 解决本题易错误地认为区间左端为t (i －1)n ，从而误选C.【错因分析】 本题选C 是错把i －1个区间看作第i 个区间，而选C.【正解】每个小区间长度为tn，故第i－1个区间的左端点为0＋(i－2)×tn＝t(i－2)n，右端点为t(i－2)n＋tn＝t(i－1)n.【答案】 D在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个小区间是(C)A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i－1n，in B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤in，i＋1nC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i－1)n，2in D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2in，2(i＋1)n解析：将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i－1)n，2in.1．和式∑i＝110(x i－3)等于(C)A．(x1－3)＋(x10－3)B．x1＋x2＋x3＋…＋x10－3C．x1＋x2＋x3＋…＋x10－30D．(x1－3)(x2－3)(x3－3)·…·(x10－3)2．函数f(x)在区间[x i，x i＋1]上近似值等于(C)A．只能是左端点的函数值f(x i)B．只能是右端点的函数值f(x i＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[x i，x i＋1])D．以上答案均正确3．在计算由曲线y＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为2n .解析：每个小区间长度为1－(－1)n ＝2n .4．求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝3以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,3]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为8.91.解析：由题意得S ＝(0.32＋0.92＋1.52＋2.12＋2.72)×0.6＝8.91. 5．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．解：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n ，在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋i n ]上取ξi ＝x i －1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n(2＋i －1n )·1n ＝∑i ＝1n (2n ＋i －1n 2)＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋(n －1)2n ＝52－12n .则S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ (52－12n )＝52. 如下进行验证：如下图所示，梯形的面积S ＝12×(2＋3)×1＝52.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
人教版高中数学全套教案导学案1.5.2汽车行驶的路程
§1.5.2汽车行驶的路程学案教学目标：1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点； 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点：过程的理解．教学过程：一．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 二．新课讲授问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：解：1．分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？三．典例分析例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．1．分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限四．课堂练习1．课本练习五．回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程．六．布置作业§1.5.2汽车行驶的路程教案教学目标：1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；2．感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。
3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点； 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．教学难点：过程的理解．教学过程：一．创设情景复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？二．新课讲授问题：汽车以速度v 组匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t 的速度为()22v t t =-+（单位：km /h ），那么它在0≤t ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km ）是多少？分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间[]0,1分成n 个小区间，在每个小区间上，由于()v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S （单位：km ）的近似值，最后让n 趋紧于无穷大就得到S （单位：km ）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．解：1．分割在时间区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为 11i i t n n n -∆=-= 把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上行驶的路程分别记作： 1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替当n 很大，即t ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()22v t t =-+的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从物理意义上看，即使汽车在时间段1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2112i i v n n --⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有21112i i i i S S v t n n n ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112(1,2,,)i i n n n n -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，21111112n nn n i i i i i i S S v t n n n n ===⎡⎤--⎛⎫⎛⎫'=∆=∆=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑∑ =221111102n n n nn n -⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()222311212n n ⎡⎤-+++-+⎣⎦ =()()3121126n n n n ---+=11111232n n ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得到S 的近似值 11111232n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （4）取极限当n 趋向于无穷大时，即t ∆趋向于0时，11111232n S n n ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111115lim lim lim 112323n n n n n i i S S v n n n n →∞→∞→∞=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===---+= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S 与由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积有什么关系？结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim n n S S →∞=在数据上等于由直线0,1,0t t v ===和曲线22v t =-+所围成的曲边梯形的面积．一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为()v v t =，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移S ．三．典例分析例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功．分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =⋅．1．分割在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间：0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n nn -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦，其长度为()1i b i b b x n n n -⋅∆=-= 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所作的功分别记作： 1W ∆，2W ∆，…，n W ∆（2）近似代替有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --⎛⎫∆=⋅∆=⋅⋅⎪⎝⎭(1,2,,)i n = （3）求和 ()111n n n i i i i b b W W k n n ==-=∆=⋅⋅∑∑=()()22222110121122n n kb kb kb n n n n -⎛⎫++++-==-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭从而得到W 的近似值 2112n kb W W n ⎛⎫≈=- ⎪⎝⎭（4）取极限2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →∞→∞→∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑ 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所作的功为：22kb四．课堂练习1．课本 练习五．回顾总结求汽车行驶的路程有关问题的过程．六．布置作业。
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，
1.5.2 汽车行驶的路程
【学习目标】
1.会求较简单的曲边梯形的面积、变速直线运动的路程；
2.了解“以直代曲”、“以不变代变”的数学思想方法；
3.通过实例（求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等） 从问题的情境中了解定积分 的实际背景．
【新知自学】
新知梳理：
1.曲边梯形的面积
如右图，曲边梯形是指由直线 x=a,x=b(a ≠b),_________________和曲线 y=f(x)围成的图 形（如图①）． 2.求曲边梯形的面积的方法和步骤
（1）分割：把区间[a,b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分成一些________________(如 图②)；
（2）近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用_____________的面积代替小曲边 梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积的______________(如图②);
（3）求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的______________求和；
（4）取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个 _______________,即为曲边梯形的面积.
y
y=f(x) y
y=f(x)
O
a
b
x
O
a
b
x
图①
图②
3.求变速直线运动的位移（路程）
如果物体做变速直线运动，速度函数 v = v (t ) ,那么也可以采用 _________、_______、
___________、__________的方法，求出它在 a ≤t ≤b 内所经过的位移 s.
对点练习：
1.把区间[1,3]分成 n 等份，所得 n 个小区间，每个小区间的长度为(
)
A. 1 2 3
B. C. D.
n n n
1
2n
2.把区间 [a , b ] (a < b ) n 等分后，第 i 个小区间是(
)
A. [
B. [ i - 1 i , ]
n n i - 1 i (b - a ), (b - a )]
n n
1
” (
C. [a +
D. [a + i - 1 i
, a + ] n n i - 1 i
(b - a ), a + (b - a )]
n n
3.在“近似替代 中，函数 f ( x ) 在区间 [ x , x ] 上的近似值（
）
i
i +1
A.只能是左端点的函数值 f ( x )
i
B.只能是右端点的函数值 f ( x )
i +1
C.可以是该区间内的任一函数值 f (ξ ) ξ ∈ [ x , x ] ）
i
i i i +1
D.以上答案均正确
4．汽车以 v = v (t ) (函数 v = v (t ) 在 (0,+∞ ) 上为连续函数)在笔直的公路上行使，在 [0,2]
内经过的路程为 S ,下列说法中正确的是 __________ ．
(1)将 [0,2] n 等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的 S 是 S 的不足近
n
似值( S < S )；
n
(2)将 [0,2] n 等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的 S 是 S 的过剩近
n
似值( S > S )；
n
(3)将 [0,2] n 等分，当 n 很大时，求出的 S 就是 S 的准确值；
n
(4) S 的准确值就是由直线 t = 0, t = 2, v = 0 和曲线 v = v (t ) 所围成的图形的面积．
【合作探究】 典例精析：
例 1. 求由抛物线 y =x 2与 x 轴及 x =1 所围成的平面图形的面积 S ．
2
例2.汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为S=vt．如果汽车作
(t)=-t2+2（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：变速直线运动，在时刻t的速度为v
h)这段时间内行驶的路程S（单位：km）是多少？
规律总结：
求曲边梯形的面积：
（1）思想：以直代曲、逼近；
（2）步骤：分割→近似代替→求和→取极限；关键：近似代替；结果：分割越细，面积越精确.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.已知函数f(x)=x，则函数的图象与直线x=1,y=0所围成的区域的面积为()
3
1．一质点在作直线运动时,其速度 v (t ) = ⎨18 (3 < t < 7) (单位： m / s ),
⎪- 3t + 39 (7 ≤ t ≤ 13)
A.
1 2
Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.０
2.函数 f(x)=x 2在区间 [ i - 1 i
, ] 上（ ）
n n
A.f(x)的值变化很小
B. f(x)的值变化很大
C. f(x)的值不变化
D.当 n 很大时， f(x) 的值变化很小
3．求由直线 x=1,x=2,y=0 和曲线 y=lnx 所围成的图形的面积时的不足近似值是__________； 过剩近似值是______________________．
【课时作业】
⎧2t 2 (0 ≤ t ≤ 3)
⎪
⎩
则此质点在区间_____内作加速度越来越快的变加速运动；
在区间________内作速度为_________匀速运动；
在区间______内作加速度大小为_______的匀____ 速运动； 这一质点在这 13 s 内的运动路程为 ________ m ．
4
2．求由直线x=0,x=1,y=0和抛物线y=2x2所围成的图形的面积．
3.已知自由落体物体的运动速度v=gt，求在时间区间[0,t]内物体下落的距离
5。