字母系数方程及分式方程

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初中数学之分式方程知识点汇总

初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。

在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。

因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。

解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。

考点1 根据分式方程的解确定字母系数(解析版)

根据分式方程的解确定字母系数的值或范围，经常作为客观题型出现，难度不大，但学生却非常容易失分。

★★★○○○○因为解分式方程是通过去分母将分式方程转化为整式方程来求解的，由此就有可能得到的根使原分式方程的分母为零，而使原分式方程分母为零的根也即是原方程的增根，围绕着增根和分式的分母不为零就产生了以下的几种常见题型：1.已知含字母系数的分式方程有增根，求字母系数的值；2.已知含字母系数的分式方程无解，求字母系数的值；3.已知含字母系数的分式方程的解的范围，求字母系数的范围.1.有增根的问题，先将分式方程化为整式方程，再把使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数的值；2.无解的问题，先将分式方程化为整式方程，①若最高次项系数中不含字母系数，则把使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数的值；②若最高次项中含字母系数，则还需要考虑最高次项系数为零的情况.3.已知解的范围，根据解的范围，结合使分母不为零，确定字母系数的范围.例1.若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值是（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】D【精细解读】去分母，把分式方程转化为整式方程，将使分母为零的未知数的值代入到整式方程中，求出字母系数a 的值.去分母得： x −2＝a － x ，由分式方程有增根，得到x −3＝0，即x ＝3，把x ＝3代入整式方程得：a −3＝1，解得a ＝4. 学科@网例2.已知关于x 的分式方程2121x m x x-=++的解是负数，则m 的取值范围是（） A . m ≥－3 B . m ≤－3 C . m ＞－3 且m ≠－2 D . m ≥3且m ≠－2 【答案】C例3.若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则m 的值为( ) A . －32 B . 1 C . 32或2 Ｄ－12或－32 【答案】D【精细解读】分式方程无解，意味着或者将分式方程转化为整式方程后求提的解都是增根，若转化为的整式方程是一次项系数中含有字母系数的一元一次方程，则要注意系数为零的情况.若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-无解，则30x =或而分式方程2213m x x x +-=-，去分母得()()()2323x m x x x x +--=- 即： ()216m x +=-当3x =时，()3216m +=-，解得 32m =-当0x =时，无解；又因为当210m +=时，整式方程()216m x +=-无解，即12m =- 综上所述，当3122m =--或时，此分式方程无解. 学科@网1.若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值是( ) A . 4 B . 0或4 C . 0 D . 0或﹣4【答案】A【解析】方程两边同时乘以x －3得，1＋x －3＝a －x ，∵方程有增根，∴x －3＝0，解得x ＝3．∴1＋3－3＝a －3，解得a ＝4．2.已知关于x 的分式方程52a x x =-有解，则字母a 的取值范围是( ) A . a ＝5或a ＝0 B . a ≠0 C . a ≠5 D . a ≠5且a ≠0【答案】D3.已知关于x 的分式方程22024mx x x +=--的根为正数，则m 的取值范围为（） A . m ＞－2且m ≠0 B . m ＜－2 C . m ＜－2且m ≠－4 D . m ＜－6【答案】C【解析】方程两边同时乘以x 2－4得，2(x ＋2)＋mx ＝0，解得42x m=-+． ∵x 为正数，∴2＋m ＜0，解得m ＜－2．∵x ≠2，∴2＋m ≠－2，即m ≠－4．∴m 的取值范围是m ＜－2且m ≠－4．（每道试题10分，总计100分）1.若分式方程311x m x x -=--有增根，则m 等于（） A . 3 B . －3 C . 2 D . －2【答案】D【解析】原分式方程两边同乘以x －1得整式方程x －3＝m ，因原分式方程有增根，所以x ＝1，把x ＝1代入方程x －3＝m 可得m ＝－2，故选D . 学科@网2.若分式方程1322x m x x-+=--无解，则m 的值为（） A . ﹣1 B . 1 C . ﹣2 D . 2【答案】B【解析】两边都乘以x −2，得x −1−m ＝3(x −2)，即m ＝−2x ＋5.分式方程的增根是x ＝2，将x ＝2代入，得m ＝−2×2＝5＝1.3.若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为非负数，则a 的取值范围是（） A . a ≥1 B . a ＞1 C . a ≥1且a ≠4 D . a ＞1且a ≠4【答案】C4.若关于x 的分式方程244x m x x-=--无解，则m 的值为________. 【答案】－4 【解析】去分母得，x ＝8＋m ，因为原分式方程无解，所以8＋m ＝4，解得m ＝－4.5.已知分式方程131k x x=+的有增根，则实数k ＝．【答案】0【解析】去分母后求出x ，根据方程有增根得出x ＝0或x ＝﹣1，代入去分母后的方程，求出方程的解即可．解：去分母得：x ＝3k （x ＋1），∵分式原分式方程有增根，∴x ＝0或x ＝﹣1，当x ＝0时，0＝3k (0＋1)，解得：k ＝0，当x ＝﹣1时，﹣1＝3k (－1＋1)，此方程无解，故答案为：0．6.已知关于的方程122x a x x x-+=--有正数解，则实数a 的取值范围是_______ 【答案】a ＜2且a ≠0【解析】去分母得：x ＋x －2＝x －a ，x ＝2－a ，∵原分式方程有正数解，∴2－a ＞0，且2－a ≠2，∴a ＜2，且a ≠0，故答案为a ＜2，且a ≠0.7.已知关于x 的分式方程1a x +－221a x x x --+＝0无解，则a 的值为____________. 【答案】－1或0或128.当k 为何值时，分式方程()62511x k x x x x+=--- 有增根？【答案】当k ＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．【解析】去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x （x ﹣1）＝0，求出x ＝0或1，将x ＝0或1代入整式方程即可求出k 的值．解：方程两边同乘以x （x ﹣1）得：6x ＝x ＋2k ﹣5（x ﹣1），又∵分式方程有增根，∴x （x ﹣1）＝0，解得：x ＝0或1，当x ＝1时，代入整式方程得：6×1＝1＋2k ﹣5（1﹣1），解得：k ＝2.5，当x ＝0时，代入整式方程得：6×0＝0＋2k ﹣5（0﹣1），解得：k ＝﹣2.5，则当k ＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．学科@网9.若方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围．关于这道题，有位同学做出如下解答：解：去分母得：2x ＋a ＝﹣x ＋2．化简，得3x ＝2﹣a ．故23a x -=．欲使方程的根为正数，必须203a ->，得a ＜2．所以，当a ＜2时，方程212x a x +=--的解是正数．上述解法是否有误？若有错误请说明错误的原因，并写出正确解答；若没有错误，请说出每一步解法的依据．【答案】有错，结果为a ＜2且a ≠﹣4.10.已知关于x 的方程()14+=11x x x a x x x x ++++只有一个实数根，求实数a 的值．【答案】当a ＝12，1，5时原方程只有一个实数根. 【解析】解：去分母得整式方程，2x 2－2x ＋1－a ＝0，△＝4（2a －1），（1）当△＝0，即a ＝12时，原方程只有一个实数根是x ＝12．（2）当△＞0，即a ＞12时，x 1＝12（121a -），x 2＝12（121a -，这两个根中一定有一个是原分式方程的增根，增根可能是x ＝0或x ＝－1.显然x 1＞0，∴x 1≠－1，x 1≠0，它是原方程的解，所以x 2为增根.当x 2＝0时，即12（121a -）＝0，得a ＝1；当x 2＝－1时，即12（121a -1，得a ＝5. 综上，当a ＝12，1，5时原方程只有一个实数根.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。

分式方程

分式方程概念总汇1、分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。

说明：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

2、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

（2）解分式方程的一般方法和步骤第一步：去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

第二步：解这个整式方程。

第三步：验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

说明：（1）分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。

（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。

当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。

3、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

一般地，列分式方程(组)解应用题的一般步骤：第一步：审清题意；第二步：设未知数；第三步：根据题意找等量关系，列出分式方程；第四步：解分式方程，并验根；第五步：检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．方法引导一、解分式方程的方法例1、与异分母相关的分式方程解方程=难度等级：A解：7x=5（x－2），解得x=－5经检验，x=－5是原分式方程的根。

分式方程

分式方程1.分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2.分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．注：解分式方程必须检验，验根时把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。

步骤：（1）去分母（两边同时乘以最简公分母）（2）去括号（3）移项（一般般含未知数的项移到左边，常数项移到右边）（4）合并同类项（5）系数化一（两边同时除以未知数的系数）（6）检验（将所求的未知数的值代入最简公分母）（7）做结论3.确定最简公分母的方法(1)最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；(2)最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 4.分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．例题讲解：1. 已知关于x 的方程81=+x mx 的解为41=x ,则m =_________ 2. 已知关于x 的方程12-=-+x ax 的根是正数，求a 的取值范围为___________3. 若分式的值为零，则的值为________.4. 某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了天．5. 若方程322x mx x-=--无解，则m =______. 解下列分式方程：14143=-+--x x x 212423=---x x xa a 1+222334a a a a ----144222=-++-x x x . 013132=--+--xx x.231-=x xx()()31112x x x x -=--+已知：关于x 的方程xx x a --=-+3431无解，求a 的值。

【数学中考一轮复习】分式方程字母系数的确定(含答案)

专项训练分式方程字母系数的确定类型一利用分式方程的解求待定字母的值（或取值范围）【方法点拨】已知分式方程的解（或解的范围），可求出待定字母的值（或取值范围），方法是: ①先将分式方程化为整式方程，并用待定字母的值表示出方程的解；②根据已知条件中方程的解（或解的范围）重新构造含待定字母的方程或不等式； ③解方程（或不等式），求出待定字母的值（或取值范围）； ④检验:排除解集内使分母等于零的值. 1.若关于x 的分式方程113=--x m 的解为x ＝2，则m 的值为（） A.5 B.4 C.3 D.22.关于x 的分式方程31112=----x x a x 的解为非负数，则a 的取值范围为____________. 3.若分式方程113122-=-++x mx x 的解是正数，求m 的取值范围.类型二利用分式方程的增根求字母系数的值【方法点拨】分式方程的增根就是使最简公分母等于零的未知数的值，因此已知分式方程的增根求字母的值的一般步骤:①化分式方程为整式方程；②令最简公分母为0，确定出增根的值；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 4.若分式方程xx x x a x 221232=-+--有增根，则实数a 的取值是（）A.0或2B.4C.8D.4或8 5.已知关于x 的分式方程01122=+--+xx x x a 有增根，则a ＝____________. 类型三利用分式方程无解问题求字母的值【方法点拨】原分式方程无解，要分两种情况讨论:①是去分母后的新的整式方程本身无解，也就是Ax ＝B 的形式，当x 的系数A ＝0时，整式方程不成立，无解；②是讨论原分式方程有增根，就是使最简公分母等于0的x 值，代入整式方程，即可求出a 的值.这两种情况均为无解的情况，不能漏解.6.若关于x 的分式方程3221+-=--x mx x 无解，则m 的值为____________. 7.若关于x 的分式方程x x x m 2132=--+无解，求m 的值.8.当m 为何值时，分式方程121312-+-=+x x x m 无解？类型四利用分式方程有解问题求字母的值【方法点拨】使原分式方程有解，就是原分式方程的最简公分母不等于零，因此题的一般步骤是:①化分式方程为整式方程，用待定字母的值表示出方程的解；②方程有解即最简公分母不等于零，求出未知数的值；③根据①和②，重新构造含待定字母的不等式；④解出不等式即可.9.a 为何值时，关于x 的分式方程)1(163-+=-+x x ax x x 有根？10.若关于x 的方程323-=--x m x x 有解，求m 的取值范围.类型五利用待定系数法求分式方程中字母系数的值【方法点拨】①将分式方程化为整式方程；②将方程右边去括号、合并同类项，整理成一般形式，构造恒等式；③根据恒等式中的对应项系数相等，重新构造二元一次方程组；④解方程组求出待定字母的值. 11.若等式13)1)(3(53++-=+--x bx a x x x 恒成立，则1788)2(22++--+b a ab b a 的值是（）A.50B.37C.29D.26 12.已知31)3)(1(5--+=-++x Bx A x x x （其中A ，B 为常数），求A 2020B 的值.巩固训练1.若关于x 的方程222-=-+x mx x 有增根，则m 的值与增根x 的值分别是（） A.m ＝-4，x ＝2 B.m ＝4，x ＝2 C.m ＝-4，x ＝-2 D.m ＝4，x ＝-2 2.已知关于x 的分式方程132=--x mx 的解是非正数，则m 的取值范围是（） A.m ≤3 B.m ＜3 C.m ＞-3 D.m ≥-3 3.若关于x 的方程1311+=-+x x ax 的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和是（） A.6 B.0 C.1 D.94.关于x 的分式方程12221=--+-x a x 的解为正数，则a 的取值范围是____________. 5.阅读理解题:若111312-++=--x Nx M x x ，试求M ，N 的值解:等式右边通分，得 1)()1)(1()1()1(2--++=-+++-x MN x N M x x x N x M ，根据题意，得⎩⎨⎧=--=+13M N N M ，解之，得⎩⎨⎧-=-=12N M . 仿照上题解法解答下题:已知121)12)(1(45-+-=---x Bx A x x x ，试求A ，B 的值.6.已知关于x 的分式方程152=--+xx a x . （1）若分式方程的根是x ＝5，求a 的值；（2）若分式方程有增根，求a 的值；（3）若分式方程无解，求a 的值；（4）若分式方程一定有解，求a 的取值范围.参考答案1.В2.a ≤4 且a ＋33.解:去分母得2（x-1）＋3（x ＋1）＝m ，解得51-=m x ， ∵原方程的解为正数，∴x ＞0且x ＋1，即051>-m 且151≠-m .∴m ＞1且m ≠6.4. D5.16.17.解:去分母得:2mx ＋x 2-x 2＋3x ＝2x-6，即（2m-1）x ＋6＝0，当2m ＋1＝0，即m ＝-0.5时，方程无解；当2m ＋1≠0，即m ≠-0.5时，由分式方程无解，得到x ＝0或x ＝3，把x ＝0代入整式方程得:m 无解；把x ＝3代入整式方程得:6m ＋9＝0，解得:m ＝-1.5. 综上，m 值为-1.5或-0.5.8.解:原题化成整式方程为:m （x-1）＝3＋2（x ＋1），即:（m-2）x ＝m ＋5 ①，分式方程121312-+-=+x x x m 无解，所以方程①无解或方程D 有解，都是分式方程的增根， (1).当分式方程有增根，增根为x ＝1或x ＝-1,当x ＝1时，方程①没意义；当x ＝-1时，m ＝-23. (2).当m-2＝0时，即:m ＝2时，方程①无解.即:满足条件的m 的值为2或-23. 9.解:方程两边同时乘以x （x-1），得3（x-1）＋6x ＝x ＋a ，整理得:8x ＝a ＋3，∵方程有根，∴x ≠1或x ≠0. 当x ＝1时，a ＝5，当x ＝0时，a ＝-3. ∴a ≠5或a ≠-3时，方程有根.10.解:方程两边同时乘x-3，x —2（x —3）＝m ，解得x ＝6-m. ∵关于x 的方程323-=--x mx x 有解，∴x-3≠0，即x ≠3. ∴6-m ≠3，即m ≠3. 答:m 的取值范围是m ≠3. 11. D 12.解：)3)(1()3()()3)(1()1()3(31-++--=-++--=--+x x B A x B A x x x B x A x B x A . ∴)3()(5B A x B A x +--=+.∴⎩⎨⎧-=+=-531B A B A ，解得⎩⎨⎧-=-=21B A ，∴A 2020 B ＝（-1）2020 ×（-2）＝-2. 巩固训练1. B2. A3. D4.a ＜5且a ≠35.解:已知等式变形得:)12)(1()1()12()12)(1(45---+-=---x x x B x A x x x ，即)()2(45B A x B A x +-+=-，可得⎩⎨⎧=+=+452B A B A ，解得:A ＝1，B ＝3.6.解:方程两边同时乘x （x-2）得:x （x ＋a ）-5（x-2）＝x （x-2）， x 2＋ax-5x ＋10＝x 2-2x ，整理得:（a-3）x ＝-10，（1）原分式方程的根是x ＝5，代人得:（a-3）·5＝-10，解得:a ＝1. （2）原分式方程有增根，则增根是x ＝2或者x ＝0，①当x ＝2时，代人整式方程得:（a-3）·2＝-10，解得:a ＝-2； ②当x ＝0时，代入整式方程得:（a-3）·0＝-10，此时不存在a 的值. ∴原分式方程有增根，a 的值是-2. （3）原分式方程无解，分两种情况讨论:①当a-3＝0时，方程无解，∴a ＝3.②当有增根x ＝0或x ＝2时，原分式方程无解，当x ＝0时，不存在a 的值.当x ＝2时，（a-3）·2＝-10，解得:a ＝-2， ∴原分式方程无解，a 的值是3或-2.（4）方程两边同时乘以x （x-2）得，x （x ＋a ）-5（x-2）＝x （x-2），整理得:（a-3）x ＝-10，∴310--=a x . ∵原分式方程一定有解，∴a ≠3，且不会产生增根. ∴x ≠2或者x ≠0.∴①当310--a ≠0时，a ≠3； ②当310--a ≠2时，a ≠3且a ≠2，∴原分式方程一定有解，a 的取值范围是a ≠3且a ≠2.。

例析分式方程中字母系数的确定方法

例析分式方程中字母系数的确定方法在解分式方程时，经常会遇到一类与根有关的字母系数问题.这类问题在近年的中考试题中时常出现，现分类解析如下.一、已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使原分式方程的公分母为零的未知数的值；（2）增根是原分式方程去分母后所得整式方程的解.利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时字母系数的值.例1．（湖北天水）若关于x 的分式方程11ax x +--1=0① 有增根，求a 的值. 解：去分母得 (a-1)x+2=0 ②,∵原方程有增根, 一定是 x=1, 代入②得a=-1.例2．若关于x 的分式方程211x m x x +=-+ ① 有增根，求m 的值. 解：去分母化为 x 2﹣(m+1)x+m-2=0, ②此时方程②的判别式△= (m -1)2+8>0,不论m 取何值，整式方程②都有解. 所以，这些解一定是原分式方程的增根.(1)若这个增根为 x=1,代入方程②，得 0m=2, 此时m 的值不存在;(2)若这个增根为x=-1,代入方程②，得 m =0，此时，方程② 即x 2﹣x-2=0, 得x 1=-1, x 2=2,即原分式方程的增根为-1，此时m=0，但 x=2仍然是原分式方程的一个解.综上可得，分式方程有增根x=-1时，m=0，另一个根为x=2.【评注】解答此类问题的基本思路是：（1）将所给方程化为整式方程；（2）由所给方程确定增根；（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值.二、已知分式方程无解，求字母系数的值分式方程无解分两种情况：1.去分母后的整式方程有解，该解是原方程的增根；2.去分母后的整式方程无解：（1）所得整式方程是一元一次方程，其一次项系数为零；（2）所得整式方程是一元二次方程，无实根.例3.若关于x 的方程4122ax x x =+-- ①无解，求a 的值. 解：去分母，得 (a-1)x ＝2 ②．（1）若(a-1)=0，则a=1,此整式方程无解，所以原分式方程无解；（2）若(a-1)≠0，即a≠1, 因原分式方程无解，所以此时一定有增根x=2,代入方程②，得，a=2.综上可得，原分式方程无解时， a=1，或a=2.例4.当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-①无实根？解：原方程可化为：x 2﹣x+2-m=0, ②若原方程无实根，有下面两种情况：（1）方程②无实数根，由()()∆=---<14202m ，得m <74；（2）方程②的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，分别代入②得m =2. 综上所述：当m <74或当m=2时，所给方程无实数解. 例5．若关于x 的分式方程11(1)(2)x m x x x -=-+-① 无解，求m 的值. 解：去分母，得 x 2﹣(m+1)x+m-2=0, ②因方程②的判别式△= (m -1)2+8>0,不论m 取何值，整式方程②都有实数解. 所以，这些解一定是原分式方程的增根.(1)若这个增根为 x=1,代入方程②，得 0m=2, 此时m 的值不存在;(2)若这个增根为x=-1，代入方程②，得 m=0，此时，方程②即x2﹣x-2=0, 得x1=-1, x2=2,即原分式方程的增根为-1，2，m=0.(3)若这个增根为x=2，代入方程（1），也得m=0.综上可得分式方程无解时，m=0.【评注】分式方程无解可能是转化后的整式方程无解，也可能是原分式方程有增根.3.已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围例6. 当k的值为______（填出一个值即可）时，方程xxk xx x-=--122①只有一个实数根.解：原方程可化为：x2+2x-k=0②,若原方程只有一个实数根，有下面两种情况：（1）当方程②有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由∆=+=440k得k=－1. 此时，方程②的根为x x121==-，符合题意。

分式方程的解法及应用(基础)

分式方程的解法及应用（基础）【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程例1 下列方程中，是分式方程的是（）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数）类型二、解分式方程例2 解分式方程：（1）10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-．变式解方程：21233x x x-=---；类型三、分式方程的增根例3 m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？变式如果方程11322x x x-+=--有增根，那么增根是________．类型四、分式方程的应用例4 甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60 棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?变式两个工程队共同参与一个建筑工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快?。

含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题

含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题【要点梳理】要点一分式方程的增根分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；要点二分式方程的无解而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.【典型例题】类型一、概念理解1.分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做________．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．【答案】增根解：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做增根，故答案为：增根．2.分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根．【答案】整式分式分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．故答案为：整式，分式类型二、含参分式方程的增根3、关于x 的方程225111m x x x +=+--去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．【答案】－10或－4【分析】方程两边同时乘以21x -将分式方程化为整式方程，再将整式方程的增根代入整式方程中计算求解即可.解：方程两边同乘以21x -，得2(1)5(1)x x m --+=，当210x -=时，1x =±，∴关于x 的方程225111m x x x +=+--的增根为±1，当1x =时，2(11)5(11)10m =--+=-；当1x =-时，2(11)5(11)4m =----+=-，故m 的值为10-或4-．【点拨】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解增根产生的原因，并能从整式方程中代入增根求解对应参数.举一反三：【变式1】如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，求m 的值．【答案】-3【分析】分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．解：由分式方程1134x m x x +-=-+去分母，整理得（m+2）x=-4m-15，由分母可知，分式方程的增根可能是3或-4，当x=3时，（m+2）×3=-4m-15，解得m=-3，当x=-4时，（m+2）×（-4）=-4m-15，此方程无解．故m 的值为-3．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知关于x 的方程214339m m x x x +-=+--．（1）若m ＝﹣3，解这个分式方程；（2）若原分式方程无解，求m 的值．【答案】（1）x ＝5.5；（2）m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47．【分析】（1）把m ＝−3代入原方程得23134339x x x -+-=+--，方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）方程两边都乘最简公分母（x −3）（x ＋3），分式方程转化为整式方程，m （x −3）＋（x ＋3）＝m ＋4，整理得（m ＋1）x ＝1＋4m ，原分式方程无解，m ＋1＝0，m ＝−1，然后把x ＝3．x ＝−3分别代入整式方程求m 值．解：（1）依题意把m ＝﹣3代入原方程得23134339x x x --+-=+--．方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3）得，﹣3（x ﹣3）+（x +3）＝1，解得x ＝5.5，检验：把x ＝5.5代入（x +3）（x ﹣3）≠0．∴x ＝5.5是原方程的解；（2）当（x +3）（x ﹣3）＝0时．x ＝±3．方程两边都乘最简公分母（x ﹣3）（x +3），得，m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4，整理得（m +1）x ＝1+4m ，∵原分式方程无解．∴m +1＝0，m ＝﹣1．把x ＝±3代入m （x ﹣3）+（x +3）＝m +4． m ＝2，m ＝﹣47． ∴m ＝﹣1，m ＝2，m ＝﹣47．【点拨】分式方程转化为整式方程求解，最后注意需检验．无解注意整式方程一次项系数带字母系数，字母系数为零，再把增根代入化简的整式方程，这样不漏m 的值．类型三、含参分式方程的有解、无解问题4、若关于x 的分式方程212111m x x x -=--+无解．求m 的值．【答案】2或－4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝1或−1，代入整式方程即可求出m 的值．解：分式方程两边同乘（x ＋1）（x −1），去分母得：m －（x ＋1）＝2（x −1），整理得：3x ＝m ＋1，由分式方程无解得到x −1＝0，或x ＋1＝0，即x ＝1或−1，代入整式方程得：m ＝2或－4．【点拨】此题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解即最简公分母为0．举一反三：【变式1】关于x 的分式方程3601(1)x k x x x x ++-=--有解，则k 该满足什么条件？【答案】3k ≠-且5k ≠.【分析】根据分式方程有解的条件进行求解即可；解：方程去分母得：()()3160x x x k -+-+=，去括号得：3360x x x k -+--=，移项、合并得：83x k =+，∵该分式方程有解，∴0x ≠且1x ≠，即30k +≠，且38k +≠，解得：3k ≠-目5k ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程有解的相关计算，准确分析计算是解题的关键．【变式2】若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值．【答案】a ＝1或8或﹣6．【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点拨】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．类型四、分式方程的增根和无解综合5、有下列说法：①不论k 取何实数，多项式x 2﹣ky 2总能分解能两个一次因式积的形式；②关于x 的分式方程3122++=--x m x x 无解，则m ＝1；③关于x 、y 的方程组252ax y x ay a +=-⎧⎨-+=⎩，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中，当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31x y =⎧⎨=-⎩，其中正确的是____．（填序号）【答案】②③【分析】分别运用因式分解的公式法、分式方程的解法及解二元一次方程组的方法，可作出判断．解：①当k 为负值时，多项式x 2﹣ky 2不能分解能两个一次因式积的形式，故①不正确；②将关于x的分式方程3122++=--x mx x两边同时乘以（x﹣2）得3﹣x﹣m＝x﹣2∴x＝52m，∵原分式方程无解，∴x＝2，∴52m＝2，解得m＝1，故②正确；③将所给方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得（a﹣1）x+（a+2）y＝2a﹣5，（x+y）a+2y﹣x＝2a﹣5，∴225x yy x+=⎧⎨-=-⎩，解得：31 xy=⎧⎨=-⎩则当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解为31xy=⎧⎨=-⎩，故③正确．综上，正确答案为：②③．【点拨】本题考查了因式分解、分式方程的解、二元一次方程组的解，解题关键是理解题意，遵循题意按照相应的解题方法准确进行计算．举一反三：【变式1】已知关于x的分式方程512x ax x+-=-．(1)若分式方程的根是5x=，求a的值；(2)若分式方程有增根，求a的值；(3)若分式方程无解；求a的值的．【答案】(1)1;(2)-2;(3)3或-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，（1）把x=5代入整式方程求出a的值即可；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；（3）分a-3=0与a-3≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．解：(1)去分母得，x（x+a）-5（x-2）=x（x-2），整理得：(3)100a x -+=把x =5代入(3)100a x -+=得，5(3)100a -+=，∴a =1；(2) 由分式方程有增根，得到x （x -2）=0，解得：x=2或x=0，把x=2代入整式方程(3)100a x -+=得：a=-2；把x=0代入整式方程(3)100a x -+=得：a 的值不存在，∴分式方程有增根，a=-2(3) 化简整式方程得：（a -3）x =-10，当a -3=0时，该方程无解，此时a =3；当a -3≠0时，要使原方程无解，必须为分式方程增根，由（2）得：a =-2，综上，a 的值为3或-2．【点拨】此题考查了分式方程的解和增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】已知W ＝（1122a a +-+）÷2244a a a -+．（1）化简W ；（2）若a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，求W 的值．（3）若12k W a +=+的解为正数，求k 的取值范围．【答案】(1)22a a -+；(2)W 的值为13；(3)3k >-. 【分析】（1）先算括号里的，再运用完全平方公式进行化简即可得；（2）根据a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长可得a ＝4，将a ＝4代入即可得；（3）根据题意得2122a k a a -+=++，解得3a k =+，根据12k W a +=+的解为正数得30k +>，进行计算即可得．(1)解：2112()2244a W a a a a =+÷-+-+ =2222(2)(2)(2)(2)(2)a a a a a a a a ⎡⎤+-+÷⎢⎥+-+--⎣⎦ =22(2)(2)(2)2a a a a a-+- =22a a -+ 解：∵a ，2，4恰好是等腰△ABC 的三边长，∴a ＝4，2422124263a W a --====++． (3) 解：由题意得，2122a k a a -+=++， 21a k -=+3a k =+ ∵12k W a +=+的解为正数， ∴30k +>，2320a k +=++≠3k >-．【点拨】本题考查了分式的化简求值，等腰三角形，分式方程，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3】阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于x 的方程，得到方程的解为4x a =+，由题目可得40a +>，所以4a >-，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证4a ≠-才行．(1)请回答：的说法是正确的，正确的理由是．完成下列问题：(2)已知关于x 的方程233m x x x -=--的解为非负数，求m 的取值范围； (3)若关于x 的方程322133x nx x x --+=---无解，求n 的值．【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；(2)6m ≥-且3m ≠-；(3)1n =或53．【解析】【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出m 的取值范围；（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出n 的范围．(1)解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0∴小聪说得对，分式的分母不能为0．(2) 解：原方程可化为233m x x x +=-- 去分母得：2(3)m x x +=-解得：6x m =+∵解为非负数∴60m +≥，即6m ≥-又∵30x -≠∴63m +≠，即3m ≠-∴6m ≥-且3m ≠-(3) 解：去分母得：322(3)x nx x -+-=--解得：(1)2n x -=∵原方程无解∴10n -=或者3x =①当10n -=时，得：1n =②当3x =时，23(1)n =-，得：53n = 综上：当1n =或53n =时原方程无解．【点拨】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．。

分式及分式方程

分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，B≠0那么式子A / B 就叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母。

分式是不同于整式的另一类式子。

定义：形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式（fraction）。

其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

如是分式，还有也是分式例如；：要使分式有意义，则y不等于0。

（注意）掌握分式的概念应注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是A/ B的形式，关键要满足：（1）分式的分母中必须含有字母。

（2）分母的值不能为零。

若分母的值为零，则分式无意义。

（由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。

）整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式无理式和有理式统称代数式。

常见题型：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。

基本性质：1.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：，（A,B,C为整式，且B、C≠0）。

2.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

3.分式的约分步骤：（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。

4.最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。

约分时，一般将一个分式化为最简分式。

5.根据分式的基本性质，异分母的分数可以通分，使几个分数的的分母相同；同样，根据分式的基本性质，分式也可以进行类似的变形，使几个异分母分式的分母相同，而分式的值不变。

人教版八年级数学上册列分式方程解应用题

例3、某次列车平均提速v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的v、s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x千米/时，先考虑下面的填空：
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列
车的平均速度为(x+V)千米/时，提速后列车运行(s+50)
解：（2）设甲、乙两队每天的费用分别为a元、b元。
8a 8b 3520 6a 12b 3480
解
得:
a b
300 140
2、某项工程，甲、乙两队合作，8天可以完成，需要费用3520元，若甲队单独做6天，剩下的工程由乙队单独做，乙队还需12天完成，需要费用3480元，问：（1）甲、乙两队完成此项工程各需多少天？（2）甲、乙两队完成此项工程各需费用多少元？（3）在不考虑工作时间的前提下这项工程由哪支工程队做更合算？
3、某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销，他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空．再进货时，他发现这种衬衫的单价比上一次贵了4 元/件，他用17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫．问第一次购进多少件衬衫？
4、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
千米所用时间为 s+50 小时。
x+v
s = s+50 . x x+v
解：设提速前列车的平均速度为x km/h，由题意得
方程两边同乘 x(x+v) ，得 s(x+v)=x(s+50)

方程各部分的名称(3篇)

第1篇一、引言方程是数学中的一种基本表达形式，它通过等号连接两个代数表达式，表示它们相等。

在方程中，各个部分都有其特定的名称和含义。

了解这些名称有助于我们更好地理解和运用方程。

本文将详细介绍方程各部分的名称及其解释。

二、方程各部分名称1. 等号（=）等号是方程中表示两个表达式相等的符号。

它将方程分为两个部分：左边和右边。

2. 左边（LHS）方程左边的表达式称为左边（Left Hand Side，简称LHS）。

它包含未知数、系数、运算符等。

3. 右边（RHS）方程右边的表达式称为右边（Right Hand Side，简称RHS）。

它同样包含未知数、系数、运算符等。

4. 未知数（Variable）未知数是方程中需要求解的数。

通常用字母表示，如x、y、z等。

5. 系数（Coefficient）系数是未知数前面的数字或字母。

它表示未知数在方程中的比例关系。

例如，在方程2x + 3 = 7中，2和3都是系数。

6. 运算符（Operator）运算符是表示数学运算的符号。

常见的运算符有加号（+）、减号（-）、乘号（×）、除号（÷）等。

7. 常数（Constant）常数是方程中不含未知数的数。

它表示方程中固定的数值。

例如，在方程2x + 3= 7中，7是常数。

8. 方程式（Equation）方程式是由等号连接的两个表达式组成的整体。

它表示两个表达式相等的关系。

三、方程各部分名称解释1. 等号（=）等号表示方程中两个表达式相等。

在数学中，等号具有传递性，即如果a = b，b= c，则a = c。

2. 左边（LHS）左边是方程中的未知数、系数和运算符的组合。

它表示方程中需要求解的部分。

3. 右边（RHS）右边是方程中的常数和未知数、系数和运算符的组合。

它表示方程中已知的数值或关系。

4. 未知数（Variable）未知数是方程中需要求解的数。

在求解方程的过程中，我们通过运算找到未知数的值。

5. 系数（Coefficient）系数表示未知数在方程中的比例关系。

分式方程知识总结

分式方程知识总结一、分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。

例如15x =，3233x x x =+--，523x x +=-都是分式方程。

分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数），分母中不含有未知数的方程叫做整式方程。

练习：下列方程都是关于x 的方程，其中是分式方程的有。

（只填序号） ①52x =；②313x =-；③152x x =-；④2x n x m m n +--=；⑤2m n m n x m -+-= 答案：②、③、⑤。

二、分式方程的解法解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，然后通过求整式方程，将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是分式方程的根，否则这个解就不是原分式方程的根，原分式方程无解。

例题1、解方程32222x x x x-=--- 方程两边同时乘以2x -，约去分母得322(2)x x x -=---解这个整式方程得1x =检验：当1x =时，20x -≠。

所以1x =是原方程的解。

三、增根将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，约去分母，有时就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常被称为增根。

所以解分式方程一定要进行检验。

①增根产生的原因：对原分式方程的根来说，它必须使分式方程中各个分式分母的值不能为0，当所得到的整式方程的解使原分式方程中至少一个分式的分母为0（这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式），那么最简公分母的值为0，即相当于在分式方程两边都乘以了0，不符合等式性质的要求，所以这个整式方程的解不适合原来的分式方程，它就是增根。

②分式方程验根的方法：分式方程验根的方法有两种：一是将整式方程的解代入到去分母时方程两边所乘以的最简公分母中，如果这个最简公分母的值为0，它就是原分式方程的增根，舍去，反之就是原分式方程的根；二是将整式方程的解代入到原分式方程左右两边，看看两边的值是否相等。

关于含有字母系数方程的解法

关于含有字母系数方程的解法知识总结归纳：含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。

公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程ax b =型，讨论如下：（1）当a ≠0时，此时方程ax b =为关于x 的一元一次方程，解为：x b a= （2）当a =0时，分以下两种情况：<1>若b =0，原方程变为00x =，为恒等时，此时x 可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若b ≠0，原方程变为00x b b =≠()，这是个矛盾等式，故原方程无解。

含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。

下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x 的方程2362ax b bx ac a b -=+≠c () 分析：将x 以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。

解：去分母得：1226ax bc bx ac -=+移项，得1262ax bx bc ac -=+()1262212602126a b x bc aca ba b x bc aca b-=+≠∴-≠∴=+- 2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x 的方程a axb b bx a x -++=2 分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。

解：若a 、b 全不为0，去分母整理，得()b a x ab 222-=-对b a 22-是否为0分类讨论：（1）当b a 220-=，即a b =±时，有02⋅=-x ab ，方程无解。

（2）当b a 220-≠，即a b ≠±时，解之，得x ab a b =-2 若a 、b 有一个为0，方程为12x x=，无解若a 、b 全为0，分母为0，方程无意义检验：当x ab a b =-2时，公分母()()ax b bx a -+≠0，所以当ab a b ≠≠±0，时，x ab a b =-2是原方程的解。

中考数学方程和方程式基础知识

中考数学方程和方程式基础知识基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

（4）一元一次方程有唯一的一个解。

2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆ 当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a bx x -=+21，a cx x =⋅21（6）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

分式方程20道例题

分式方程20道例题一、基础题型例1：解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析：1. 首先去分母，给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)（最简公分母），得到： - 2(x - 1)=x + 1。

2. 然后展开括号：- 2x-2=x + 1。

3. 接着移项：- 2x-x=1 + 2。

- 解得x = 3。

4. 最后检验：- 当x = 3时，(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。

- 所以x = 3是原分式方程的解。

例2：解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析：1. 先将方程右边的分母因式分解，x^2-4=(x + 2)(x - 2)。

2. 去分母，方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2)，得到：- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。

3. 展开括号：- x^2+2x-(x^2-4)=4。

- x^2+2x - x^2+4 = 4。

4. 化简得：- 2x=0，解得x = 0。

5. 检验：- 当x = 0时，(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。

- 所以x = 0是原分式方程的解。

例3：解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析：1. 去分母，方程两边同时乘以x(x - 1)，得到：- 3(x - 1)+6x=x + 5。

2. 展开括号：- 3x-3+6x=x + 5。

3. 移项合并同类项：- 3x+6x - x=5 + 3。

- 8x=8，解得x = 1。

4. 检验：- 当x = 1时，x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。

- 所以x = 1是增根，原分式方程无解。

二、有增根问题的分式方程例4：若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根，求m的值。

方程的分类

方程的分类方程的分类非常多，下面我就以学过的为例进行简单的介绍。

一、整式方程方程的整数解，是指一个整式方程中只有整数解，整式方程的整数解，即方程的根，用字母表示为Ax=by;x^2+y^2=mx+b(a， b>0)。

如果方程没有整数解，那么也就是指该方程的解空间中没有实数解，因此该方程没有实数解，这样的方程称为“无解”。

因为是整式方程，所以根可以为零，而不必是某个具体的数。

方程的实根不是“解”出来的，而是把方程化为整式方程时出现的。

当然在研究解析几何时，遇到整式方程的实根可能会涉及一点复数的知识。

(这里的a， b是指正实数。

)还有一种形式，就是一元一次方程和一元一次不等式，它们都是由一个一元一次方程或一个一元一次不等式组成，它们之间的关系用字母表示： Ax=bx+c。

(a， b，c均为正数)二、代数方程这里所说的代数方程，包括方程与方程组两大类，因此又把这类方程叫做一元一次不等式方程或方程组。

用字母表示为：x^2+bx+c=0(a， b， c∈0)，一般地，当b=0， c∈0，且方程两边的实数解具有同一性质时，这个方程组也是一元一次方程组。

(其实它们是一回事。

)三、分式方程分式方程，是指未知数的分母中含有未知数的代数方程。

这种方程往往含有未知数的系数，是不完全方程，但它们的解是完全确定的。

因此在分式方程的前面加上分式符号。

这样的方程叫做分式方程。

在分式方程的前面要加上分式的符号(/)以区别于整式方程。

在学习了整式方程和一元一次不等式方程后，再去学习这些特殊的方程是十分自然的。

这里讲的都是初中阶段所学习的方程，高中阶段所学习的方程更多。

1。

等式与不等式2。

函数3。

不等式恒等变形4。

线性规划问题5。

向量6。

矩阵7。

概率统计8。

二项式定理9。

合情推理10。

集合11。

几何初步12。

相似13。

锐角三角比14。

解直角三角形15。

圆16。

投影与视图17。

平行线18。

向量19。

轴对称20。

旋转21。

反比例22。

八年级分式方程教案

八年级分式方程教案一、教学目标：1. 让学生掌握分式方程的定义和基本性质。

2. 培养学生解决实际问题能力，提高分析问题和解决问题的能力。

3. 培养学生合作交流意识，提高学生数学思维能力。

二、教学内容：1. 分式方程的定义及基本性质。

2. 解分式方程的方法和技巧。

3. 分式方程在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 重点：分式方程的定义、解法及应用。

2. 难点：分式方程的解法，特别是含字母系数和分式系数的分式方程。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究分式方程的解法。

2. 运用案例分析法，让学生在解决实际问题中掌握分式方程的应用。

3. 采用合作交流法，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

五、教学过程：1. 引入：通过生活中的实际问题，引导学生思考分式方程的定义和应用。

2. 讲解：讲解分式方程的定义、基本性质和解法。

3. 练习：让学生独立解决一些简单的分式方程问题。

4. 拓展：引导学生思考分式方程在实际问题中的应用。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调分式方程的重要性和应用价值。

6. 作业布置：布置一些有关的练习题，巩固所学知识。

后续章节待您提供要求后，我将为您编写。

六、教学评价：1. 评价学生对分式方程定义和基本性质的理解。

2. 评价学生解决实际问题时运用分式方程的能力。

3. 评价学生在合作交流中对分式方程的解法和应用的掌握。

七、教学资源：1. 教材：八年级数学教材及相关分式方程教学辅导书。

2. 课件：制作与教学内容相关的课件，辅助讲解和展示。

3. 练习题：提供一定数量的练习题，用于巩固所学知识。

八、教学进度安排：1. 第1课时：介绍分式方程的定义和基本性质。

2. 第2课时：讲解分式方程的解法和技巧。

3. 第3课时：通过案例分析，讲解分式方程在实际问题中的应用。

4. 第4课时：进行分式方程的综合练习。

5. 第5课时：总结本单元内容，进行复习和检测。

九、教学反思：在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和解题策略，以便更好地指导学生。

人教版2023中考数学专题复习：分式方程精讲精练

分式方程精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________知识点精讲1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．4.分式方程的应用(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．针对训练一、单选题1．下列方程中是分式方程的是（）A ．212x x -=B ．223x x =-C ．122x =-D ．312x π+=2．分式方程61222x x x -=---的解是（） A ．3x =- B ．2x =- C ．0x = D ．3x =3．关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（） A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2 4．若关于x 的方程221m x x =+无解，则m 的值为（） A ．0 B ．4或6 C ．4 D ．0或45．已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（） A ．4m ≥- B ．4m ≥-且3m ≠- C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠- 6．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件才能按时交货，则x 应满足的方程为（）A ．72072054848x =-+B ．72072054848x -=+C ．72072054848x -=-D ．72072054848x -=- 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为( )A ．900900231x x =⨯+-B ．900900231x x =⨯-+C ．900900213x x =⨯-+D ．900900213x x =⨯+- 8．某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x =-，则方程中x 表示（） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量D ．篮球的数量 9．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+ 10．若关于x 的不等式组52111322x a x x +≤⎧⎪⎨⎛⎫-<+ ⎪⎪⎝⎭⎩有且仅有四个整数解，关于y 的分式方程26121ay y y -=+--有整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（）A ．2B ．5C ．10D ．12二、填空题11．解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 12．分式方程522x x=+的解为_______． 13．若关于x 的分式方程25k x x =+的解为10x =-，则k =_______． 14．代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 15．设m ，n 为实数，定义如下一种新运算：39n m n m =-☆，若关于x 的方程()(12)1a x x x =+☆☆无解，则a 的值是______．16．若关于x 的分式方程2122224x m x x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是____________． 17．对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 _____． 18．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______． 19．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________km /h ．20．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A ，B 两个商家供货，A 商家每张课桌的售价比B 商家优惠20元，若该校花费1500元在A 商家购买课桌的数量与花费2500元在B 商家购买课桌的数量一样多，设A 商家每张课桌的售价为x 元，则可列方程为________．三、解答题21．解下列方程：(1)2131x x=+-(2)11222xx x-=---(3)2134412142xx x x+=--+-22．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？23．我县教育局新建了一栋办公楼，需要内装修，甲工程队单独施工需要80天完工，由甲乙两工程队同时施工，那么16天完成了总工程的13 25．(1)如果乙工程队单独施工，则需要多少天完成？(2)如果甲工程队单独施工一天的工钱是5000元，乙工程队单独施工一天的工钱是8100元，为了节约工钱，应选用哪个工程队单独施工比较划算？24．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．求：(1)商场两次共购进了多少件服装？(2)两笔生意中商场共盈利多少元？25．小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示爸爸去过西安、成都、重庆．已知西安到成都的路程为770公里，比西安到重庆的路程少230公里，小明爸爸驾车从西安到重庆的平均车速和西安到成都的平均车速比为8:7，从西安到重庆的时间比从西安到成都的时间多1.5 小时．(1)求小明爸爸从西安到重庆的平均车速；(2)从西安到成都时，若小明的爸爸比之前到达的时间至少要提前1小时，则平均车速应满足什么条件？26．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）。

人教版八年级数学上《分式方程》知识全解

《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义．（通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程．例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+．（易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基．例解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。

字母系数方程及分式方程

初中数学之分式方程知识点汇总

考点1 根据分式方程的解确定字母系数(解析版)

分式方程

分式方程

【数学中考一轮复习】 分式方程字母系数的确定(含答案)

例析分式方程中字母系数的确定方法

分式方程的解法及应用(基础)

含字母参数分式方程的有增根、有解和无解问题

分式及分式方程

人教版八年级数学上册列分式方程解应用题

方程各部分的名称(3篇)

分式方程知识总结

关于含有字母系数方程的解法

中考数学方程和方程式基础知识

分式方程20道例题

方程的分类

八年级分式方程教案

人教版2023中考数学专题复习：分式方程精讲精练

人教版八年级数学上《分式方程》知识全解

【数学中考一轮复习】分式方程字母系数的确定(含答案)