经济学分析及应用习题2

经济学分析与应用 习题2 1．已知间接效用函数2

1211

(,,)p y v p p y p p =

-， 1）请求出马歇尔需求函数112(,,)x p p y 和212(,,)x p p y ； 2）你能写出直接效用函数12(,)u x x 的形式吗？ 解答：1）

2

212112

1121211(,,)/(,,)1(,,)/y p v p p y p p y p x p p y v p p y y p p -∂∂-=-==∂∂

1221

212121

1

(,,)/(,,)11(,,)/v p p y p p x p p y v p p y y

p ∂∂=-==∂∂

2）根据马歇尔需求函数，可以写出直接效用函数：

12122(,) (1)u x x x x x =≡

效用函数形式不唯一

2．设消费者对某商品的需求函数()D p 为线性。该商品的价格原来为0

p ，现由于对该商品征消费税（单位商品的税额为t ），而使得价格上升至1

p 。

（1）请作图并证明：开征消费税造成的无谓损失（Dead-weight Loss ）为：21

1'()2

t D p 。

（这里，1

'()D p 为需求函数在1

p 处对价格的导数）

（2）以（1）为基础，请回答：为什么中国的消费税要选择以汽车、高档化妆品、金银首饰、香烟、酒等为对象？

证明：如下图所示：

()()1

00110100110111001

211()2

1

()()

()11()()22

D D S p p x x p p t

p p p x x x D p x x D p t S p p x x t D p =

--=+-'==

'-'∴-='=

--=

如图所示，dead weight loss 为阴影三角形的面积

(2) 题中所述商品为奢侈品，商品的价格弹性较低。这类商品提价后，消费量的减少量很小，即1

()D p '很小，所以，这样在征消费税时dead-weight loss 较少。

3. 设某消费者的效用函数为22

121),(x x x x U =。11=p ，12=p 。收入24=y 。现假设1p 从1上升到2，2p 不变。请计算CS ∆、CV 与EV 。

解：由消费者最优解的条件：

⇒∂∂=∂∂2211//p x U p

x U 2

2

11212p x

p x x = 由于2p 不变，将12=p 代入上式，得到：1122x p x =。又由于24211=+x x p ，可以得到：

11/16p x =，82=x 。

从而：2ln 1612ln 1616

)(CS 112

1

1

1111

01

-=-=-=-=∆⎰

⎰p dp p dp p D p p =-11.09。

当11=p 时，161=x ，82=x 。所以81616),(0⨯⨯=y P v =2048。 当21=p 时，81=x ，82=x 。所以318),(=y P v =512。

为了得到)),(,(0

1

y P v P e 和)),(,(1

y P v P e 需要解出支出函数),(u P e ：

2211m in x p x p +

s.t u x x =22

1

解之得：322

14

27),(u

p p u P e =

所以，当)1,2(1

=P 时，1.384

2048

427)),(,(3

1

=⋅⋅=y P v P e 当)1,1(0

=P 时，15.124

512

27)),(,(3

1

0=⋅=y P v P e 从而1.14241.38)),(,(0

1=-=-=y y P v P e CV

88.815.1224)),(,(10=-=-=y P v P e y EV

4. 2000年前，北京市居民用水的价格是1元/吨。2000年起，北京市的水价上升到)1(t +元/吨，0>t 。

设一个代表性的消费者在水价调整前的用水量为01x ，在水价调整后的用水量为11x 。请在),(21x x 的二维空间里讨论：

如果2x 的价格不变，政府将水价调高后得到的收费量（11tx ）全部返还给消

费者。若该 消费者在水价变化前后的选择是一致的，那么，该消费者在水价调高后的生活水平是 提高了还是降低了？

解：为了表述方便，我们将其他物品2x 的价格记为1。

在水价上涨之前，消费者的预算约束为：y x x =+21 [1]

而水价上涨后，消费者得到退税，他面临的预算约束为：T y x x t +=++'')1(21 [2]

注意，在预算约束[2]中，代表性消费者选择的是等号左边的变量，他只能决定自己的选择'1x 和'2x 。等号右边为他的收入加上政府退税T ，对于消费者来说是给定的——这取决于所有消费者的平均消费量。我们假设代表性消费者在约束[2]下的最优选择是：),(*

2*

1x x ，那

么所有消费者对水的平均消费量也必然是*

1x 。所以在均衡的时候，政府退税*1tx T =，代

表性消费者面临的预算约束为：

*'

1*2*1)1(x t y x x t ⋅+=++ [3]

消去约束方程[3]左右两边的*1tx ，得到y x x =+**21。这说明（*1x ，*2x ）在原

来的预算约束[1]下也是可行的，但是却没有被选择。因此，消费者对（1x ，2x ）的偏好一定强于（*1x ，*2x ）。换句话说，虽然政府最终退税了，但政府还是让消费者的效用降低了。

[注意] *1x 一定小于1x ，否则，无差异曲线相交。

5. 假定小玩具市场是完全竞争市场。设小玩具的市场需求为Q D =250-5P D ，市场供给为Q S =50+15P S 。

（1）小玩具的市场均衡价格和均衡数量是多少？

（2）考虑政府对消费者征税。假定政府对每个小玩具征收4元的税收。消费者会支付的价

格与生产者会收到的价格各是多少？税收是怎样由买者和卖者分担的？ （3）此时的税收收入是多少？税收给小玩具市场带来的效率损失是多少？

（4）如果供给曲线变为：Q S =180+2P S ，第（1）和第（2）问的答案会发生怎样的变化？）