吉林省延边第二中学2019 2020高二数学上学期期中试题文
吉林省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(三)
吉林省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（三）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若A={x|x2﹣5x+4＜0}，B={x|x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n等于（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n+13．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是（）A．B．C．a2＜b2 D．|a|＞|b|4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2 D．35．在等差数列{a n}中，已知a3=0，a1=4，则公差d等于（）A．1 B．C．﹣2 D．36．不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣147．在△ABC中，“sin2A=sin2B”是“A=B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+a n a n+1=（）A．16（1﹣4﹣n）B．16（1﹣2﹣n）C．（1﹣4﹣n）D．（1﹣2﹣n）9．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题10．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=60°，b=1，△ABC的面积S△ABC=，则=（）A．B．C．2 D．411．若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2二、填空题（本大题共4道题，每小题5分，共20分）13．数列{a n}满足a1=2，，则a6=．14．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+y的最大值为．15．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则+取得最大值时，角A的值为．三、解答题（本大题共6道题，其中17题10分，18～22题每题12分，共70分）17．已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．18．已知命题p：方程a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，则a的取值范围是．19．如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C，测得∠CAB=75°，∠CBA=45°，且AB=100米．（1）求sin75°；（2）求该河段的宽度．20．某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可生产产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可生产产品100千克．若每日预算总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？21．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．22．设等比数列{a n}的前n项和为S n，等差数列b n的前n项和为T n，已知S n=2n+1﹣c+1（其中c为常数），b1=1，b2=c．（1）求常数c的值及数列{a n}，b n的通项公式a n和b n．（2）设，设数列d n的前n项和为D n，若不等式m≤D n＜k对于任意的n∈N*恒成立，求实数m的最大值与整数k的最小值．（3）试比较与2的大小关系，并给出证明．参考答案一、单项选择题1．D．2．B3．A．4．D．5．C6．D．7．B．8．C．9．D．10．C．11．B．12．B．二、填空题13．答案为：﹣314．答案为：11．15．答案为：﹣4＜m＜2．16．答案为：三、解答题17．解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由已知条件，，解出a1=3，d=﹣2，所以a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．（Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2．所以n=2时，S n取到最大值4．18．解：由a2x2+ax﹣2=0，得（ax+2）（ax﹣1）=0，显然a≠0，∴x=﹣，或x=．∵x∈[﹣1，1]，∴|﹣|≤1或||≤1，∴|a|≥1．只有一个实数x满足不等式x2+2ax+2a≤0，即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点，∴△=4a2﹣8a=0，∴a=0或a=2．∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a=0．∵命题“p或q”为假命题，∴a的取值范围为{a|﹣1＜a＜0或0＜a＜1}．故答案：﹣1＜a＜0或0＜a＜1．19．解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=；（2）∵∠CAB=75°，∠CBA=45°∴∠ACB=180°﹣∠CAB﹣∠CBA=60°，由正弦定理得：∴，如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，∵∠BCD=∠CBA=45°，，∴BD=BCsin45°===（米）．20．解：设工厂每日需用甲原料x吨，乙原料y吨，可生产产品z千克，根据题意，则，即画出可行域如图所示则不等式组所表示的平面区域是四边形的边界及其内部（如图阴影部分）由解得，，设，z=90x+100y令z=0，得l′：90x+100y=0即由图可知把l′平移至过点时，即时，（千克）答：工厂每日最多生产440千克产品．21．（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，进而求得a=1，c=或a=，c=1（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，即p2=+cosB，因为0＜cosB＜1，所以p2∈（，2），由题设知p∈R，所以＜p＜或﹣＜p＜﹣又由sinA+sinC=psinB知，p是正数故＜p＜即为所求22．解：（1）由题可得当n≥2时，S n﹣1=2n﹣c+1从而a n=S n﹣S n﹣1=2n（n≥2），又由于{a n}为等比数列，所以a n=2n（n∈N*），所以a1=21=2；另一方面，当n=1时，a1=S1=22﹣c+1=5﹣c所以c=3，从而b n=2n﹣1（2）由（1）得所以D n=d1+d2+d3+d4++d n﹣1+d n①从而②①﹣②得解得由于D n是单调递增的，且，所以D1≤D n＜3，即所以实数m的最大值为，整数k的最小值为3．（3）由b n=2n﹣1可求得T n=n2，当n≥2时，所以=所以＜2。
吉林省延边二中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
吉林省延边二中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 命题“∀x ∈R ，x 2−4≥0”的否定是 ( )A. ∀x ∈R ，x 2−4≤0B. ∀x ∈R ，x 2−4<0C. ∃x ∈R ，x 2−4≥0D. ∃x ∈R ，x 2−4<02. 下列说法中正确的是( )A. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B. “|a|>|b|”与“a 2>b 2”不等价．C. “a 2+b 2=0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2+b 2≠0”．D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．3. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，则a 2+a 8的值等于( )A. 45B. 90C. 180D. 3004. 已知实数x ，y 满足{y ⩽2x +y ⩾2x −y +1⩽0则3x +2y 的最大值为( )A. 7B. 5C. 4D. 925. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=8，S 8=20，则a 11+a 12+a 13+a 14=( )A. 18B. 17C. 16D. 156. 已知函数f(x)=x 2+ax +4，若对任意的x ∈(0,2]，f(x)≤6恒成立，则实数a 的最大值为()A. −1B. 1C. −2D. 27. 已知点(a,b)在直线x +2y +3=0上运动，则2a +4b 有( )A. 最大值16B. 最大值√22C. 最小值16D. 最小值√228. 关于x 的不等式x 2−ax +4≥0在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,4)B. (−∞,5)C. (−∞,5]D. (−∞,4]9. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +a ，则数列{a n 2}的前n 项和为( )A. 9n −12B. 9n −14C. 9n −18D. 9n −110. 在等差数列中，a 9=3，则此数列前17项和等于( )A. 51B. 34C. 102D. 不能确定11. 在等差数列{a n }中，a 3+a 7=2，数列{b n }是等比数列，且a 5=b 5，则b 4⋅b 6=( )A. 1B. 2C. 4D. 812. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m−1=−2，S m =0，S m+1=3，则m =( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足：a1+b1=3，a2+b2=7，a3+b3=15，a4+b4=35，则a5+b5=______ ．14.已知a>3，则4a−3+a−316的最小值为______．15.已知数列{a n}中，a n∈N+，对于任意n∈N+，a n≤a n+1，若对于任意正整数K，在数列中恰有K个K出现，求a50=______ ．16.设S n为数列{a n}的前n项和，S n=kn2+n，n∈N∗，其中k是常数，若对于任意的m∈N∗，a m，a2m，a4m成等比数列，则k=________．三、解答题（本大题共6小题，共76.0分）17.已知a>0，且a≠1，设p：函数f(x)=log a x在(0,+∞)上单调递增；q：函数g(x)=x+ax在(0,+∞)上的最小值大于4．(1)试问p是q的什么条件？为什么？(2)若命题p∧q为假，命题p∨q为真，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=|2x+m−1|+|2x−3|．(1)当m=2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)若f(x)≤|2x−6|的解集包含区间[−12,32]，求m的取值范围．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+(2a+c)cosB=0．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)求a+cb的取值范围．20.(1)已知正实数a,b满足a+b+ab=8，求ab的最大值;(2)已知x,y>0，3x+2+3y+2=1，求x+2y的最小值．21.已知数列{a n}是等差数列，若a3+a11=30，a4=9．(1)求a n；(2)若数列{a n}的前n项和为S n，且b n=1S n ，证明：b1+b2+⋯+b n<34．22.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S6=9S3．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1+log2a n，求数列{b n}的前n项和．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查全称量词的命题的否定，比较基础．根据全称命题的否定是特称命题进行求解．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃x∈R，x2−4<0．故选：D.2.答案：D解析：解：对于A：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，但是逆否命题不能判断真假；所以A不正确；对于B：“|a|>|b|”与“a2>b2”是等价不等式，所以B不正确；对于C：“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，不是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”，所以C不正确；对于D：一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真，满足四种命题的真假关系，正确；故选：D．利用四种命题的真假关系判断A的正误；不等式的等价性判断B的正误；逆否命题的形式判断C的正误；利用四种命题的真假关系判断D的正误．本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．3.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的性质，属于基础题根据等差中项及已知条件可知a5=90，再由a2+a8=2a5即解．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=450得5a5=450，a5=90，所以a 2+a 8=2a 5=180．故选C ．4.答案：A解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图看出使目标函数取得最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：实数x ，y 满足{y ⩽2x +y ⩾2x −y +1⩽0对应的可行域如下图所示：由{y =2x −y +1=0，解得A(1,2)，z =3x +2y 经过可行域的A 时，目标函数取得最大值．当x =1，y =2时，z =3x +2y =7，故z =3x +2y 的最大值为7．故选A ．5.答案：A解析：解：∵S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=8，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 1+4d +a 2+4d +a 3+4d +a 4+4d)=2(a 1+a 2+a 3+a 4)+16d =20，∴16+16d =20，即16d =4，可得出d =14，则a 11+a 12+a 13+a 14=a 1+10d +a 2+10d +a 3+10d +a 4+10d=(a1+a2+a3+a4)+40d=8+40×14=18．故选：A．由数列和的定义及S4的值，得出a1+a2+a3+a4的值，然后再由数列和的定义及等差数列的性质化简S8，将a1+a2+a3+a4的值及S8的值代入，得到关于d的方程，求出方程的解得到d的值，然后再利用等差数列的性质化简所求的式子后，将a1+a2+a3+a4的值及d的值代入，即可求出值．此题考查了等差数列的性质，以及等差数列求和公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．6.答案：A解析：解：若不等式x2+ax+4≤6对一切x∈(0,2]恒成立，即a≤−x2+2x，x∈(0,2]恒成立．令f(x)=−x2+2x =−x+2x，x∈(0,2]．该函数在(0,2]上递减，所以f(x)min=f(2)=−1．则要使原式恒成立，只需a≤−1即可．故a的最大值为−1．故选：A．根据题意，可以将a分离出来，然后转化为求函数的最值问题来解．本题考查了不等式恒成立问题的基本思路，一般是转化为函数的最值问题来解，求参数范围时，能分离参数的尽量分离参数7.答案：D解析：【分析】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．由已知可得a+2b=−3，然后利用基本不等式2a+4b≥2√2a⋅4b=2√2a+2b即可求解．【解答】解：∵点(a,b)在直线x+2y+3=0上运动，∴a+2b=−3则2a+4b≥2√2a⋅4b=2√2a+2b=√22，当且仅当2a=4b且a+2b=−3，即a=32，b=34时取最小值√22．故选：D．8.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是中档题．在x∈[1,2]上成立，用分离常数法得出不等式a≤x+4x在x∈[1,2]上的单调性求出a的取值范围．根据函数f(x)=x+4x【解答】解：关于x的不等式x2−ax+4≥0在区间[1,2]上有解，所以ax≤4+x2在x∈[1,2]上有解，在x∈[1,2]上成立；即a≤x+4x设函数f(x)=x+4，x∈[1,2]，x+1≤0恒成立，所以f′(x)=−4 x2所以f(x)在x∈[1,2]上是单调减函数，且f(x)的值域为[4,5]，在x∈[1,2]上有解，则有a≤5，要使a≤x+4x即实数a的取值范围是(−∞,5]．故选C．9.答案：A解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的前n项和，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由{a n}的前n项和为S n=3n+a，可得a1=3+a，a2=6，a3=18，由a22=a1·a3得a的值，则a n=2·3n−1，a n2=4·9n−1，由此可解．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，{a n}的前n项和为S n=3n+a，所以a1=3+a，a2=(9+a)−(3+a)=6，a3=(27+a)−(9+a)=18，a22=a1·a3，36=(3+a)·18，得a=−1，所以a1=2，q=3，则a n=2·3n−1，a n2=4·9n−1，所以数列{a n2}是首项为4，公比为9的等比数列，所以数列{a n2}的前n项和为4(1−9n)1−9=9n−12．故选：A．10.答案：A解析：【分析】由等差数列{a n}的性质可得：a1+a17=2a9=6，再利用前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a9=3，∴a1+a17=2a9=6，∴此数列前17项的和S17=17(a1+a17)2=17×3=51．故选A．11.答案：A解析：【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴a5=a3+a72=1=b5，又{b n}为等比数列，则b4⋅b6=b52=1，故选：A．12.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．由a n与S n 的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m= 2可得m值．【解答】解：a m=S m−S m−1=2，a m+1=S m+1−S m=3，所以公差d=a m+1−a m=1，S m=m(a1+a m)2=0，m−1>0，m>1，因此m不能为0，得a1=−2，所以a m=−2+(m−1)⋅1=2，解得m=5，故选：C．13.答案：91解析：解：∵a1+b1=3，①a2+b2=a1+d+b1q=7，②a3+b3=a1+2d+b1q2=15，③a4+b4=a1+3d+b1q3=35，④②−①可得，4−d=b1(q−1)，③−②可得，8−d=b1q(q−1)，④−③可得，20−d=b1q2(q−1)，当q=1时，不满足题意，当q≠1时，4−d 8−d =1q，8−d20−d=1q，4−d 8−d =8−d20−d，解方程可求d=2，q=3，b1=1，a1=2，∴a5+b5=10+81=91．故答案为：91分别利用等差数列的首项a1，公差d，等比数列的首项b1及公比q表示已知条件，然后解方程可求a1，b1，d，q，然后结合等差与等比的通项即可求解本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，解决本题的关键是求解方程的技巧14.答案：1解析：【分析】根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．【解答】解：∵a>3，∴a−3>0，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1．15.答案：10解析：解：∵数列{a n}中，a n∈N+，对于任意n∈N+，a n≤a n+1，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，∴数列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；…则当n=9，1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=9×102=45<50．当n=10，1+2+3+⋯+n=n(n+1)2=10×112=55>50，∴a50在第10组中，故a50=10．故答案为：10．利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出第50项所在的组，由此能求出a50．本题考查数列的函数特性．解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项．16.答案：0或1解析：【分析】本题考查数列等比关系的确定和求数列通项公式，先通过求a1=S1求得a1，进而根据当n≥2时a n= S n−S n−1求出a n，验证可得a n，根据a m，a2m，a4m成等比数列，可知a2m2=a m a4m，根据数列{a n}的通项公式，代入化简即可．【解答】解：由题意当n=1，a1=S1=k+1，当n≥2，a n=S n−S n−1=kn2+n−[k(n−1)2+(n−1)]=2kn−k+1(∗)．经检验，n=1时(∗)式成立，∴a n=2kn−k+1．∵a m，a2m，a4m成等比数列，∴a2m2=a m a4m，即(4km−k+1)2=(2km−k+1)(8km−k+1)，整理得：mk(k −1)=0，对任意的m ∈N ∗成立，∴k =0或k =1．故答案为0或1．17.答案：解：(1)由函数f(x)=log a x 在(0,+∞)上单调递增，得：a >1，当x >0时，x +a x ≥2√a(当且仅当x =√a 时取等号)即2√a >4，即a >4，故p 是q 的必要不充分条件，(2)命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，则命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时：{a >1a ≤4a >0，得1<a ≤4，当p 假q 真时有{a >0a ≤1a >4，无解，综上得：a 的取值范围(1,4]，故答案为：(1,4]．解析：(1)由由对数函数的单调性可得a >1，由均值不等式可得，x +a x ≥2√a(当且仅当x =√a 时取等号)，即a >4，故得解，(2)由命题p ∧q 为假，命题p ∨q 为真，则命题p ，q 一真一假，分p 真q 假，p 假q 真时两种情况讨论，列不等式组得解本题考查了对数函数的单调性、复合命题的真假及运算能力，属简单题 18.答案：解：(1)当m =2时，只需解不等式|2x +1|+|2x −3|≤6．当x <−12时，不等式化为−(2x +1)−(2x −3)≤6，解得−1≤x <−12；当−12≤x ≤32时，不等式化为(2x +1)−(2x −3)≤6，解得−12≤x ≤32；当x >32时，不等式等价于(2x +1)+(2x −3)≤6，解得32<x ≤2综上，不等式的解集为{x|−1≤x ≤2}．(2)因为|2x +m −1|+|2x −3|≤|2x −6|的解集包含区间[−12,32]，所以当x ∈[−12,32]时，|2x +m −1|+|2x −3|≤|2x −6|成立，也就是|2x +m −1|−(2x −3)≤−(2x −6)，即|2x +m −1|≤3成立．解上述不等式得−3≤2x +m −1≤3，即−1−m 2≤x ≤2−m 2． 由已知条件[−12,32]⊆[−1−m 2,2−m 2]，所以{−12≥−1−m 232≤2−m 2， 解得−1≤m ≤1．所以m 的取值范围是{m|−1≤m ≤1}．解析：(1)m =2时，利用分段讨论法求不等式|2x +1|+|2x −3|≤6的解集；(2)问题化为x ∈[−12,32]时|2x +m −1|+|2x −3|≤|2x −6|成立，化简为|2x +m −1|≤3成立，即−1−m 2≤x ≤2−m 2，由题意列出不等式组求出m 的取值范围． 本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题． 19.答案：解：(Ⅰ)∵bcosC +(2a +c)cosB =0，由正弦定理得：sinBcosC +(2sinA +sinC)cosB =0，sin(B +C)+2sinAcosB =0，化简得：sinA +2sinAcosB =0，又∵sinA >0，∴1+2cosB =0，cosB =−12，∵B ∈(0,π)，∴B =2π3． (Ⅱ)a+c b =sinA+sinC sinB=2√3[sinA +sin(π−A)] =2√33(12sinA +√32cosA) =2√33sin(A +π3)， 又∵A ∈(0,π3)，A +π3∈(π3,2π3)，sin(A +π3)∈(√32,1]， ∴a+c b 的取值范围是(1,2√33].解析：本题主要考查了正弦定理及三角函数恒等变换的应用，属于基础题．(Ⅰ)由正弦定理化简已知可得sinA +2sinAcosB =0，结合sinA >0，可得cosB =−12，结合B ∈(0,π)，即可得解B 的值．(Ⅱ)利用正弦定理及三角函数恒等变换可得a+c b =2√33sin(A +π3)，又由A ∈(0,π3)，可得A +π3∈(π3,2π3)，从而可得sin(A +π3)∈(√32,1]，即可求得a+c b 的取值范围．20.答案：(1)解：由题意得8=a +b +ab ≥2√ab +ab所以ab +2√ab −8≤0，即(√ab +4)(√ab −2)≤0，又a,b 均为正实数，解得0<√ab ≤2，所以0<ab ≤4，当且仅当a =b =2时等号成立，所以ab 的最大值为4．(2)解：根据题意，x +2y =(x +2)+2(y +2)−6=[(x +2)+2(y +2)](3+3)−6 =3+6+6(y +2)+3(x +2)−6 ≥3+2√6(y +2)x +2×3(x +2)y +2=3+6√2，当且仅当6(y+2)x+2=3(x+2)y+2即x =3√2+1，y =3√22+1时，等号成立．即x +2y 的最小值为3+6√2．解析：本题考查基本不等式求最值，属于中档题．(1)利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．(2)利用基本不等式即可求解．21.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1+2d +a 1+10d =30，a 1+3d =9，解得a 1=3，d =2，则a n =3+2(n −1)=2n +1；(2)S n =12(3+2n +1)n =n 2+2n ， 即有b n =1S n =1n(n+2)=12(1n −1n+2)， 则b 1+b 2+⋯+b n =11×3+12×4+⋯+1n(n+2)=12(1−13+12−14+⋯+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)<34．解析：本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式，可得首项和公差，可得a n ；(2)求得S n，运用裂项相消求和求得{b n}的前n项和，即可得证．22.答案：解：(1)设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1，S6=9S3．∴q≠1，a1(1−q6)1−q =9a1(1−q3)1−q，化简得：1+q3=9，解得q=2．所以数列{a n}的通项公式为：a n=2n−1．(2)由(1)得：b n=1+log2a n=1+n−1=n．∴数列{b n}的前n项和=1+2+⋯+n=n(n+1)2．解析：(1)利用等比数列的求和公式与通项公式即可得出．(2)由b n=1+log2a n=n.利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学高二上学期期中数学(文)试题(解析版)
2019-2020学年吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题1．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥ D ．,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A【解析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论. 【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论. 2．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B ．p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D【解析】根据命题之间的关系逐个判断即可. 【详解】对A, 命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”,故A 错误 对B, p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个假命题,故B 错误.对C,命题“若,,a b c 成等比数列,则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =,则,,a b c 成等比数列”,若,,a b c 均为0则,,a b c 不成等比数列,故C 错误.对D, 命题“若x y =,则sin sin x y =”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型.3．在等差数列{}n a 中，若12332a a a ++=，111213118a a a ++=，则410a a +等于（ ） A ．45 B ．75C ．50D ．60【答案】C 【解析】分析：详解：根据等差数列中等差中项的性质1232332a a a a ++==111213123118a a a a ++==因为21232118503a a ++== 所以4107212250a a a a a +==+= 所以选C点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。
吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
吉林省延边朝鲜族自治州延吉市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1.命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A. 00,sin 10x R x ∃∈+< B. ,sin 10x R x ∀∈+< C. 00,sin 10x R x ∃∈+≥ D. ,sin 10x R x ∀∈+≤【答案】A 【解析】 【分析】利用全称命题的否定方法求解，改变量词，否定结论.【详解】因为,sin 10x R x ∀∈+≥的否定为00,sin 10x R x ∃∈+<， 所以选A.【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，一般处理策略是：先改变量词，然后否定结论.2.下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B. p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题之间的关系逐个判断即可.【详解】对A, 命题“若21x =,则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”,故A 错误 对B, p q ∧为假命题,则,p q 至少有一个假命题,故B 错误.对C,命题“若,,a b c 成等比数列,则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =,则,,a b c 成等比数列”,若,,a b c 均为0则,,a b c 不成等比数列,故C 错误.对D, 命题“若x y =,则sin sin x y =”为真命题,所以它的逆否命题也为真,故D 正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查四个命题之间的关系与真假命题的判断,属于基础题型. 3.等差数列{}n a 中，若12332a a a ++=，111213118a a a ++=，则410a a +等于（ ）A. 45B. 75C. 50D. 60【答案】C 【解析】 分析：详解：根据等差数列中等差中项的性质1232332a a a a ++==111213123118a a a a ++==因为21232118503a a ++== 所以4107212250a a a a a +==+= 所以选C点睛：本题考查了等差数列中等差中项性质的应用，是简单题。
吉林省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(五)
吉林省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（五）（文科）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B．C．D．3．设0＜a＜1，m=log a（a2+1），n=log a（a+1），p=log a（2a），则m，n，p的大小关系是（）A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n4．已知等差数列{a n}与等比数列{b n}，满足a3=b3，2b3﹣b2b4=0，则{a n}前5项的和S5为（）A．5 B．20 C．10 D．405．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）A．2 B．9 C．10 D．196．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n=3，S3n=39，则S4n等于（）A．80 B．90 C．120 D．1307．当x，y满足时，则t=x+y的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．58．在△ABC中，已知a2﹣b2﹣c2=bc，则角B+C等于（）A．B． C． D．或9．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2016+a2017＞0，a2016．a2017＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是（）A．4031 B．4033 C．4034 D．403210．已知二次函数f（x）=cx2﹣4x+a+1的值域是[1，+∞），则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知a，b，m，n，x，y都是正实数，且a＜b，又知a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有（）A．m＞n，x＞y B．m＞n，x＜y C．m＜n，x＞y D．m＜n，x＜y12．两个等差数列{a n}的和{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知=，则使a n=tb n成立的正整数t的个数是（）A．3 B．6 C．4 D．5二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分）13．不等式﹣x2+|x|+2＜0的解集是．14．已知正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，那么a7•a14的最大值为．15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=6+a7，则S9的值是．16．若a＞1，设函数f（x）=a x+x﹣4的零点为m，g（x）=log a x+x﹣4的零点为n，则+的最小值为．三、解答题（包括6个题，17、18题各8分，19、20、21，22题10分，共56分，请写必要的解答过程）17．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，，，1+2cos （B+C）=0，求：（1）角A的大小；（2）边BC上的高．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．20．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．21．已知等差数列{a n}中，公差d＞0，其前n项和为S n，且满足：a2•a3=45，a1+a4=14．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令，f（n）=（n∈N*），求f（n）的最大值．22．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=3，S n和S n+1满足等式，（Ⅰ）求S2的值；（Ⅱ）求证：数列是等差数列；（Ⅲ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅳ）设，求证：．参考答案一、单项选择题1．A 2．D 3．D 4．C 5．C 6．C．7．C．8．A．9．D．10．C．11．B．12．C．二、填空题13．解：x≥0时：﹣x2+x+2＜0，解得：x＞2或x＜﹣1（舍）；x＜0时：﹣x2﹣x+2＜0，解得：x＞1（舍）或x＜﹣2；故答案为：{x|x＜﹣2或x＞2}．14．解：∵正数组成等差数列{a n}的前20项和为100，∴∴a7+a14=10∴=25故答案为：2515．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=6+a7，∴2（a1+5d）=6+a1+6d，∴a1+4d=a5=6，∴S9==9a5=9×6=54．故答案为：54．16．解：由题意，构建函数F（x）=a x，G（x）=log a x，h（x）=4﹣x，则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m、n．注意到F（x）=a x，G（x）=log a x，关于直线y=x对称，可以知道A，B关于y=x对称，由于y=x与y=4﹣x交点的横坐标为2，∴m+n=4．则+=（+）（m+n）=（2++）≥（2+2）=1，当且仅当m=n=2时，等号成立，故+的最小值为1，故答案为：1．三、解答题17．解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．18．解：（1）由1+2cos（B+C）=0，和A+B+C=π所以cosA=，sinA=，A=（2）由正弦定理得：sinB==由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜．从而cosB==由上述结果知B=，C=，sinC=sin（A+B）=sin（），设边BC上的高为h则有h=bsinC=sin（）==．19．解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．20．解：（1）∵S n=（a n+2）2，∴当n=1时，，化为=0，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（a n+2）2﹣，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n）=0，﹣1=4．∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．（2）b n=a n﹣30==2n﹣31．由b n≤0，解得，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15==﹣225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．21．解：（Ⅰ）∵数列a n}是等差数列，∴a2•a3=45，a1+a4=a2+a3=14．∴．∵公差d＞0，∴，解得d=4，a1=1．∴a n=1+4（n﹣1）=4n﹣3．（Ⅱ）∵，∴=2n，∴f（n）==．当且仅当，即n=5时，f（n）取得最大值．22．解：（I）∵，当n=1时，S2=2S1+2=2a1+2=8故S2=8证明：（II）∵∴=+1，即﹣=1又由=a1=3，故是以3为首项，以1为公差的等差数列（III）由（II）可知，=n+2∴∴当n=1时，a1=3当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1经检验，当n=1时也成立∴a n=2n+1（n∈N*）∴解得：．（Ⅳ）∵∴=．。
吉林省延边二中2019-2020学年高二上学期12月月考数学(文)试题 Word版含答案
延边第二中学2019—2020学年第一学期第二次阶段测试高二文科数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确） 1．数列2，6，12，20, ⋯ ,的第6项是（ ） A ．42 B ．56 C ．90D ．722．设x ∈R ，则“21x -＜”是“260x x +-＜”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．124．椭圆的焦距为8，且椭圆的长轴长为10，则该椭圆的标准方程是（ ）A ．221259x y +=B ．221259x y +=或221259y x +=C ．22110036x y +=D ．22110036x y +=或22110036y x +=5．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ） A ．22a b < B ．22ab a b <C ．2211ab a b< D ．b a a b< 6．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．127．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A ．（￢p ）∨（￢q ） B ．p ∨（￢q ）C ．（￢p ）∧（￢q ）D ．p ∨q8．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ） A ．14B ．12C ．12-D ．12或12-9．方程（3x -y +1）（y=0表示的曲线为（ ） A ．一条线段和半个圆 B ．一条线段和一个圆 C ．一条线段和半个椭圆D ．两条线段10．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=，的最大值为（ ） A ．3B．C ．18D ．911．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l交C 与A,B 两点，若△AF 1B的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=12．已知数列{}n a 是递增的等差数列，且2a ，3a 是函数()256f x x x -=+的两个零点．设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式1log (1)3na T a >-对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()01，二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请将答案写在答题纸上） 13．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③命题“x R ∃∈， 210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈， 210x x -->”；④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题其中所有正确命题的序号是________.14．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一条渐，则其离心率的值是________． 15．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .16． 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.三、解答题（共5小题，17、18题各10分，19、20、21题各12分，请写出必要的解答过程）17．在锐角ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin a B =． （1）求角A 的大小；（2）若8a =，10b c +=，求ΔABC 的面积．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .19．设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.20．在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0,，(的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与轨迹C 交于,A B 两点. （1）求出轨迹C 的方程； （2）若，求弦长AB 的值.21．己知二次函数()2f x ax bx c =++（a 、b 、c 均为实常数，a N *∈）的最小值是0，函数()y f x x =-的零点是x =x ，函数()g x 满足()()21f x g x x k =⋅+-，其中k 为常数，且2k ≥.（1）已知实数1x 、2x 满足120x k x <<<，且212x x k ⋅>，试比较()1g x 与()2g x 的大小关系，并说明理由；（2）求证：()()()()()()1211221g g g k g k g k g k ++⋅⋅⋅+->++++⋅⋅⋅+-．参考答案1．A 【解析】 【分析】将数列各项变形,找到该项与序号之间的关系,从而可得.【详解】因为212=⨯,623=⨯,1234=⨯,2045=⨯,⋯, 所以第6项为:6742⨯=. 故选A . 【点睛】本题考查了已知数列前几项求指定项.属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】先化简“21x -＜”和“260x x +-＜”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】由21x -＜得13x <<， 由260x x +-＜得32x -<<，所以“21x -＜”不能推出“260x x +-＜”， 所以“21x -＜”是“260x x +-＜”的非充分条件； 因为“260x x +-＜”不能推出“21x -＜”， 所以“21x -＜”是“260x x +-＜”的非必要条件. 所以“21x -＜”是“260x x +-＜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．B 【解析】试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P 到y 轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y 2=8x 的准线为x=﹣2，∵点P 到y 轴的距离是4， ∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P 到该抛物线焦点的距离是6 故选B考点：抛物线的定义． 4．B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得a 、c 的值，计算可得b 的值，分析椭圆的焦点位置，即可得答案． 【详解】解：根据题意，椭圆的焦距为8，长轴长为10，则28c =，210a =， 即4c =，5a =，则3b ==，若椭圆的焦点在x 轴上，则其标准方程为221259x y+=，若椭圆的焦点在y 轴上，则其标准方程为221259y x +=，故要求椭圆的标准方程为221259x y +=或221259y x +=，故选： B ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题． 5．C 【解析】 【详解】若a <b <0,则a 2>b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b>⇒<<B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C. 6．C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错. 7．A 【解析】试题分析：由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选A. 考点：复合命题的构成及运用.【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”，因此将其已知两个命题的内容进行联系，从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”. 8．B 【解析】试题分析：因为122,,,8a a --成等差数列，所以()21822,3a a ----==-因为1232,,,,8b b b --成等比数列，所以()()222816b =--=，由21220b b =->得24b =-，2122142a ab --==-，故选B. 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质. 9．A 【解析】 【分析】由原方程可得-1≤x≤1，y 0≥）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），进一步求出轨迹得答案． 【详解】由方程（3x-y+1）（=0得y 0≥）或3x-y+1=0，且满足-1≤x≤1，即221y 0x y +=≥（）或3x-y+1=0（-1≤x≤1），∴方程（3x-y+1）（=0表示一条线段和半个圆． 故选：A ． 【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键是注意根式有意义的范围，是中档题． 10．B 【解析】 【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得的最大值.【详解】 由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题. 11．A 【解析】 【详解】若△AF 1B 的周长为,由椭圆的定义可知4a =,a ∴=3c e a ==1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.考点：椭圆方程及性质 12．C 【解析】 【分析】首先根据23,a a 求等差数列的通项公式，n a n =，再将恒成立问题转化为()()min 1log 13a n a T -<，最后解对数不等式. 【详解】数列{}n a 是递增的等差数列，23,a a 是函数()256f x x x -=+的两个零点，232,3,n a a a n ∴==∴=,211(2)n n a a n n +=+ ，易知数列{}n T 单调递增()1min 13n T T ∴== .要使不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33a a >-即可10,01a a ->∴<<.解1a a ->，得102a <<，∴实数a 的取值10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列和函数的零点，以及恒成立，不等式的综合问题，属于中档题型， 中间有个步骤是求n T 的最小值，不用裂项相消法求n T ，而是直接求n T 的最小值. 14．④ 【解析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-…”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则si n s i n x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确． 故答案为：④． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础． 15．2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a=±即0bx ay ±=的距离为,bc b c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e == 点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a . 16．2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得0m <<， 所以实数m的取值范围为,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【考点】 二次函数的性质． 17．92. 【解析】 【分析】把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值。
2019-2020年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2019-2020年高二上学期期中数学试卷（文科）含解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．42．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，0）∪（0，+∞）B．（﹣，+∞）C．[﹣，0）∪（0，+∞）D．（﹣，0）9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k的取值范围是（）A．k＞5 B．﹣2＜k＜2 C．k＞2或k＜﹣2 D．k＞5或﹣2＜k＜210．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．11．已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A． B．6 C． D．1212．设双曲线的焦点为F1、F2，过F1作x轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M，则||=（）A．5B．4C．3D．2二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是．14．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．16．在直角三角形ABC中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．三.解答题（本大题共6题，共70分）17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．2016-2017学年内蒙古包头一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1．椭圆的离心率为（）A．B．C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆方程和椭圆基本量的平方关系，可得a=2、b=，从而算出c=1，由此即得该椭圆离心率的值．【解答】解：∵椭圆的方程为，∴a2=4，b2=3，可得c==1，因此椭圆的离心率e=，故选：B2．设a，b∈R，则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，若a=﹣2，b=1，满足|a|＞|b|，但a＞b不成立，即“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．3．已知||=1，||=，|﹣2|=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：∵|﹣2|=，∴=，∴5=，解得=，∴向量，的夹角为．故选：C．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．5．给出下列命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m≤1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题；（4）“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题．其中为真命题的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（3）（4）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①写出逆命题，进行判断②写出否命题，进行判断③若m≤1，△=4﹣4m≥0，原命题为真，逆否命题也为真④若A∩B=B，则A⊆B”为假，逆否命题也为假．【解答】解：“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy=1”为真命题．（1）正确．“面积相等的三角形全等”是假命题，其否命题为真命题．（2）正确．当m≤1时，△=4﹣4m≥0，x2﹣2x+m=0有实根，命题为真，逆否命题也为真（3）正确．“若A∩B=B，则A⊆B”为假命题，逆否命题也为假．（4）错误综上所述，为真命题的是（1）（2）（3）故选C6．已知椭圆的长轴是8，离心率是，此椭圆的标准方程为（）A．B．或C．D．或【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据椭圆的基本概念，结合题意算出a=4且c=3，从而得到b2=a2﹣c2=7．再根据椭圆的焦点位置，即可确定此椭圆的标准方程．【解答】解：∵椭圆的长轴为8，离心率是，∴2a=8，e==，解得a=4，c=3，b2=a2﹣c2=7，因此，当椭圆的焦点在x轴上时，其方程为；椭圆的焦点在y轴上时，其方程为．故选：B7．若向量、、两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）A．2 B．5 C．2或5 D．或【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量所成的角为α，则先求出的值即可求出，【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则=+++2（++）=11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C8．设=（1，2），=（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A ．（﹣，0）∪（0，+∞）B ．（﹣，+∞）C ．[﹣，0）∪（0，+∞）D ．（﹣，0）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】若设θ为与的夹角，θ为锐角⇒cos θ＞0，且cos θ≠1，根据条件及两向量夹角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求时，先求它的平方． 【解答】解： =（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，=5+6λ+2λ2，；∴设与的夹角为θ且θ为锐角，则：cos θ==＞0，且∴解得：λ，且λ≠0．∴实数λ的取值范围是．故选A ．9．已知方程﹣=1表示双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞5B ．﹣2＜k ＜2C ．k ＞2或k ＜﹣2D ．k ＞5或﹣2＜k ＜2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程的特点可得（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解之可得．【解答】解：若方程﹣=1表示的曲线为双曲线，则（k ﹣5）（|k |﹣2）＞0，解得k ＞5或﹣2＜k ＜2． 故选D ．10．设D 为△ABC 所在平面内一点，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A ．11．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．D ．12 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，可得△ABC 的周长为4a=， 故选C12．设双曲线的焦点为F 1、F 2，过F 1作x 轴的垂线与该双曲线相交，其中一个交点为M ，则||=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】依题意，可求得﹣=1的左焦点F 1（﹣3，0），从而可求得||，利用双曲线的定义即可求得||．【解答】解：∵双曲线﹣=1中a 2=3，b 2=6，∴c 2=a 2+b 2=9，∴c=3，故左焦点F 1（﹣3，0）．依题意，设M （﹣3，y 0），则=﹣1=2，∴y 0=±2，故|MF 1|=2． ∵M （﹣3，y 0）为左支上的点，∴|MF2|﹣|MF1|=2，∴|MF2|=2+|MF1|=4，即||=4．故选B．二.填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．命题“∃∈R，x2+2x+5=0”的否定是∀x∈R，x2+2x+5≠0．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断．【解答】解：命题的特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2+2x+5≠0，故答案为：∀x∈R，x2+2x+5≠014．若命题p：曲线﹣=1为双曲线，命题q：函数f（x）=（4﹣a）x在R上是增函数，且p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．【考点】复合命题的真假；双曲线的简单性质．【分析】通过p∨q为真命题，p∧q为假命题，判断两个命题的真假关系，分别求出命题是真命题时a的范围，即可求解结果．【解答】解：当p为真命题时，（a﹣2）（6﹣a）＞0，解之得2＜a＜6．当q为真命题时，4﹣a＞1，即a＜3．由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p、q一真一假．当p真q假时，3≤a＜6．当p假q真时，a≤2．因此实数a的取值范围是（﹣∞，2]∪[3，6）．故答案为：（﹣∞，2]∪[3，6）．15．已知点F1（﹣4，0），F2（4，0），动点P满足|PF2|﹣|PF1|=4，则动点P的轨迹方程为．【考点】轨迹方程．【分析】由条件知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，从而写出轨迹的方程即可．【解答】解：由|PF2|﹣|PF1|=4＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线左支，得c=4，2a=4，∴a=2，∴b2=12，故动点P的轨迹方程是．故答案为16．在直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，若=，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据结合图形得出==，=0， =2××COS30°，转化得出•=（）•=+求解即可．【解答】解：∵直角三角形ABC 中，∠C=，AB=2，AC=1，∴根据勾股定理得出BC=，sin ∠ABC ═=，即∠ABC=30°∵若=，∴==， =0，=2××COS30°=3∴•=（）•=+=×3=故答案为：三.解答题（本大题共6题，共70分） 17．求符合下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上，顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±（2）与椭圆+=1共焦点，它们的离心率之和为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由题意，2a=6， =，求出a ，b ，即可求出双曲线的标准方程；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，可得双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：（1）由题意，2a=6，=，∴a=3，b=1，∴双曲线的标准方程为=1；（2）椭圆+=1的焦点坐标为（0，±4），离心率为，∴双曲线的焦点坐标为（0，±4），离心率为2，∴，∴双曲线的标准方程为=1．18．已知，的夹角为60°，，，当实数k为何值时，（1）（2）．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）由可知存在实数t，使，可得k与t的方程组，解之可得；（2）由=（）•（）=0可得关于k的方程，解之即可．【解答】解：（1）由可知存在实数t，使，即，解得，故k=时，可得；（2）由=（）•（）=0可得15+3k+（5k+9）=0，代入数据可得15×4+27k+（5k+9）×=0，解得k=﹣，故当k=﹣时，．19．已知点P是椭圆+=1上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程可知： +=1，c==1，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，代入椭圆方程得：=1，即可求得丨x丨=，即可求得点P的坐标．【解答】解：F1、F2是椭圆+=1的左、右焦点，c==1，则F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y）是椭圆上的一点，由三角的面积公式可知：S=•2c•丨y丨=1，即丨y丨=1，将丨y丨=1代入椭圆方程得：=1，解得：丨x丨=，∴点P的坐标为（，1））（﹣，1）（）（，﹣1）．20．在四边形ABCD中，已知∥，=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3）．（1）求用x表示y的关系式；（2）若⊥，求x、y值．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1），由，能求出y=﹣．（2）=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），由，y=﹣，能求出x、y值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴…∵，∴x（﹣2+y）=y（4+x）…∴y=﹣，…（2）∵=（6，1），=（x，y），=（﹣2，﹣3），∴=（x+6，y+1），=（x﹣2，y﹣3），∵，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0，又∵y=﹣，解得或．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为．以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，P为椭圆上一点，且满足+=t（O为坐标原点）．当|AB|=时，求实数t的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为，可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=， +=t，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=﹣1；…又因为b==1，所以a2=2，b2=1．…故椭圆C的方程为+y2=1．…（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．…△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2．…x1+x2=，x1x2=．又由|AB|=，得|x1﹣x2|=，即=…可得…又由+=t，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则=，=…故，即16k2=t2（1+2k2）．…得，t2=，即t=±．…22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判断出．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=，=．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴椭圆E的方程为．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=，=．由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，从而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共线，∴∠AGB为锐角．故点G在以AB为直径的圆外．2016年12月19日。
吉林省2020学年高二数学上学期期中试题文(含解析)
高二数学上学期期中试题 文（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版选修1-1，选修1-2第三章.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(1)z i i =-+-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】分析：先化简复数z,再看复数z 在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得13324z i i i =-+++=+，所以复数z 在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系.2.双曲线2212y x -=的实轴长为（）A. 1B. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线标准方程可得a 的值，实轴长即可求出．【详解】解：∵21a =，∴22a =. 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，是基础题． 3.设命题:p x ∀∈Z ，2x ∈Z ，则p ⌝（ ）A. 0x ∃∈Z ，02x ∉ZB. x ∀∈Z ，2x ∉ZC. x ∀∉Z ，2x ∉ZD. 0x ∃∈Z ，02x ∈Z【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【详解】全称命题的否定是特称命题，∴￢p 为∃x 0∈Z ，2x 0∉Z ． 故选：A ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 4.函数3()xf x x e =-的图象在1x =处的切线斜率为（ ） A. 3B. 3e -C. 3e +D. e【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，将1x =代入即可求解切线的斜率． 【详解】2()3xf x x e '=-，所以(1)3f e '=-. 故选：B【点睛】本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．5.设A ，B 分别是双曲线2214x y -=的左、右顶点，(0,3)C ，则ABC 的面积为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】求得左、右顶点坐标，再利用面积公式求解即可 【详解】易知(2,0)A -，(2,0)B ，则||4AB =，14362ABC S =⨯⨯=△. 故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查面积计算，是基础题 6.“213k =”是“直线y kx =与圆22(2)1x y ++=相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断． 【详解】当直线y kx =与圆22(2)1x y ++=1=，则213k =，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型．7.当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A. 33i -+ B. 33i +C. 13i -D. 13i --【答案】C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
吉林省延边第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学(理)试题
延边第二中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二数学试卷（理） 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项正确） 1. 设,,a b c 为实数,且0a b <<,则下列不等式正确的是( ) A ．11a b< B ．22ac bc < C ．b a a b> D ．22a ab b >>2.已知数列{}n a 是等差数列,3728a a +=,其前5项和540S =,则4a 为( ) A ．14B ．15C ．11D ．243．已知实数x ，y 满足约束条件23402402540x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．－5B ．－4C ．－3D ．－24. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，22a =，54323a a a =+，则6a =（ ） A ．2B ．54C ．162D ．2435. 已知实数,a b 满足21a b +=，则24a b +的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．6．当0x ＞时，不等式290x mx -+＞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(6)∞－，B ．(6]∞－，C ．[6)∞，＋D ．(6)∞，＋7. 已知12(1,0),(1,0)F F -分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，若12PF F △周长是6，则椭圆C 的方程是( )A ．22154x y +=B ．22143x y +=C ．22132x y += D ．2212x y +=8.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S > ④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a > 其中正确命题的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(3,2)M ，直线MF 交抛物线于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则p 的值为（ ）A ．3B ．2或4C ．4D ．210. 过点(2,2)P 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 与x 轴正半轴交于点A ，2l 与y 轴正半轴交于点B ，若(,)M x y 为线段AB 的中点，则14x y+的最小值为（ ）A ．72 B ．4 C ．92D ．511. 设点,A B 的坐标分别为(4,0),(4,0)-，直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为实数m ，关于点P 的轨迹下列说法正确的是（ ）A ．当1m <-时，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除与x 轴的两个交点）B ．当10m -<<时，轨迹为焦点在y 轴上的椭圆（除与y 轴的两个交点）C ．当0m >时，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除与x 轴的两个交点）D ．当01m <<时，轨迹为焦点在y 轴上的双曲线（除与y 轴的两个交点） 12．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为12,5(1)N --，则E 的离心率为（ ）A ．B ．32CD二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且569a a =，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=______.14．已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是______15. 若11a =，121(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =__________.16. 若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12cos F PF ∠的值为__________三、解答题（共６小题，共70分，请写出必要的解答过程） 17．（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.（本小题满分12分）设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），过点()0,4，离心率为35.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()3,0且斜率为45的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求AB 的中点坐标及AB .19．(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T . 20. （本小题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 和椭圆22:143x y E +=的右焦点重合，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为135︒，求AB 的长； （2）若直线l 交y 轴于点M ，且,.试求m n +的值．21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中动圆P 与圆()22:11M x y ++=外切，与圆()22:19N x y -+=内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程；（2）直线l 过点()1,0E -且与动圆圆心P 的轨迹交于A 、B 两点，是否存在AOB ∆面积的最大值，若存在，求出AOB ∆的面积的最大值；若不存在，说明理由。
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x311x312x4；.......7分得，即由 4xm2B或Axxxm或xx3，设q是p的充分不必要条件若0m24,2m.......10即分是则AB的真子集，所以 34m3155 xxa（-1218．（1））； 332 x12xxf11a，（1）当时， 3x12fxx13，即为所以不等式11x11xx 22，或等价于或31)x(x1)(23xx(1)(12)x)x(13(21)- 5 -
是各项均为正数的等比数列，{＝}是等差数列，且11．数列{，则有}nn76babaabba≥＋＜＋＋B．A．＋1093104934baaabbba与＋＋的大小不确定DC．．＋≠＋10410 43 399
a*8则-1＜n<nSSann+S) ((∈1)．设12N为等差数列{)}的前若项和,(n+nnn1 a7SSSSSSSS的最小值是的最小值是C. B.的最大值是A.D.的最大值是nnnn7887)
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高二年级数学期中考试试卷（文科）参考答案
ADBDD BCACA BD
12 16.(2)(5)
15. 13.1 14. 11217.【详解】
(xm)(x3m)02203xm4mx得解：（1）由;
x(1,3)3xm11.......2当分，即时，P为真时，x31 x(2,4)4312x1x.......4由分，即，即q得为真时，
a}的通项公式；(1)求数列{n1*tbbbbSn，使得对任意＋＝(2)设，是否存在最大的整数＝(∈N)，＋…＋ nnn21an ＋ n ttnS均有；若不存在，请说明理由．>的总成立？若存在，求出 n36
附加题（满分20分）22.
.
项和为设数列的前满足，；数列，且 的通项公式；1）求数列和（ ，求数列2（）若的前项和.
1x11x 1x2 2或即或，51x3xx 3 35111xxx11分，或解得或.......3 323251x∴， 3351}x{x|分．∴原不等式的解集为.......5 331 ,112xfx的解集包含集合，2（）∵不等式 21 ,1x12xxf时，不等式∴当恒成立， 21 ,1x1a2x12xx 即对恒成立， 21,1x2ax 分恒成立，∴对.......6 21,1x2xax2.......7∴分恒成立．对 215,1x21,xx2，又当时 225a1∴． 25a1,∴实数．的取值范围为.......10分 219【详解】 （1），.......1所以，分 - 6 -
）若
20．（本小题满分12分）
15xyx的最大值；1，求函数＋＝4－(1)已知＜ 45x－491＊xxyy的最小值；1＝，且)R(2)已知，∈(正实数集＋，求＋ yx- 3 -
2b22aba，求＋＝(3)已知1＞0，，且＞0的最大值．ba1＋ 2
21．（本小题满分12分）
aad>0，公差的首项，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比＝已知等差数列{1}n1数列的第二项、第三项、第四项．
S145}n项和,且{,则数列的等比数列9．已知首项为1{a}是摆动数列, S是{a}的前nnn San2项和为（）的前51131D.11 C.A.31 B. 16163903431463，则这个数列的项数为，后．一个等差数列前，所有项和为项和为项和为10（）11121013B. D. A. C.
baba( )
．．C75
DA．45 B．50
，3x，y2xyxxy3 C.5 D.9
．1 BA． aa202nbaST，，5．两个等差数列，且和则）（，其前项和分别为 nnnnbb175 ．C．A．D．B
2afxxaxax的取值范围是的值恒大于零，则＋4)＝＋(－－6．对任意，函数∈[－1,1]4)(2 ( )
下列命题中16.*aaaaaN,ns,ttnmsm,在等差数列(1)中，的充要条件；是tnmsna0a1q0q；，则当且仅当(2)已知等比数列为递增数列，且公比为，若1n22,nn；为递增数列，则的取值范围是(3)若数列1111aa5n2aaaa的通项公式(4)，则数列已知数列满足 n213nnn232222 - 2 -
（2）若的充分不必要条件，求实数是
18．（本小题满分10分）
f(x)xa2x1,aR.已知函数f(x)31a的解集；时，求不等式）当（11x,1 a1(fx)2x的取值范围的不等式.的解集包含集合，求实数（2）若关于 2
19．（本小题满分12分）
，且.
在所对的边分别为中，内角 ）求的值；1（ ，求的面积2（.
xxxxxx>2
．或<1>3 C．1<<2
A．1<．<3 BD<1或xyz的最小值为( 2 +4+8) 7．已知x+2y+3z=6,则 3356D.12 B.2
A.3C.12
2ax1,502xax的取值范围为在区间8．若关于的不等式（）上有解，则实数
2323),(,1[](,1)．C D．．(1,+∞)．A B 55- 1 -
2019-2020学年高二数学上学期期中试题文吉林省延边第二中学分，每题只有一个选项正确）分，共48一、选择题（共12小题，每小题401xR,sinx1．命题“）”的否定是（
01xR,sinx01xR,sinxA. B.0001xR,sinx0xR,sinx1C. D.00）2．下列有关命题的说法正确的是（
1xx1221x1x则”，则A．命题“若”的否命题为：“若qp,qp为假命题，则均为假命题B． ca,b,2acb”的逆命题为真命题C．命题“若成等比数列，则yxysinsinx”的逆否命题为真命题D．命题“若，则aaaaaaaaa) }中，若，则＋(＋32＝．在等差数列{，＋＋＋等于＝1183n10421211131360
4分，共16分填空题二、(每小题a21–abba8ba，满足．和等比数列13．若等差数列，则=___________ 4114nnb2
22yxxy的最小值_______＋9＋3，求＝14．若142．
22112xxnxx＝，则等于15．在数列{中，}＝＋(_______≥2)，且＝，． n1024xxx53nnn11－＋
n1a2为nnA、BnaSBSAq是非零常数，是等比数列项的和，且（其中；若(5)的前nnnnN*AB为零．），则其中正确命题是_________（只需写出序号）
三、解答题（共6题，17、18题每题10分，19-21题每题12分，附加题20分）
17.（本小题满分10分）
pqxxx31 2203xm4mx:实数满足；命题满足：实数设命题pqx1m的取值范围；，且1）若为真，求实数（ pmq0m的取值范围,且.