2018年辽宁省大连市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2018年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确）1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x﹣3）＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，3）D．（1，3）2．（5分）若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣13．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A．B．C．D．4．（5分）如图所示的程序框图是为了求出满足2n﹣n2＞28的最小偶数n，那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（）A．n＝n+1和6B．n＝n+2和6C．n＝n+1和8D．n＝n+2和8 5．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项则数列{a n}的前9项和是（）A．9B．81C．10D．907．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．4B．C．2D．8．（5分）已知首项与公比相等的等比数列{a n}中，若m，n∈N*，满足a m a＝a，则的最小值为（）A．1B．C．2D．9．（5分）过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）10．（5分）已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使∠BDC为直角，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π11．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝cos（2x+）的图象，则a的值可以为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y+5的最大值为．14．（5分）已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长小于R的概率为．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2x，过点（1，0）任作一条直线和抛物线C交于A、B两点，设点G（2，0），连接AG，BG并延长分别和抛物线C交于点A′和B′，则直线A′B′过定点．16．（5分）已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E为AD上一点，且满足＝，点F为CD的中点，若•＝﹣2，则•＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，且2b cos B＝a cos C+c cos A，．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值．18．（12分）大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi ﹣（w i ﹣xi y i w i y i表中w i ＝，＝w i（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x ＝64时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AD ，PB 的中点，P A ＝AB ＝1．（1）求证：EF ∥平面DCP ；（2）求F到平面PDC的距离．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点M（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（﹣2，0）与Q（2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x+m．（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的两个零点，且x1＜x2，求证：x1x2＜1．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请标清题号。

[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ＝4cosθ（0），C2：ρcosθ＝3．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设点Q在C1上，＝，求动点P的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m，m∈R．（Ⅰ）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；（Ⅱ）∀x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x+恒成立，求m的取值范围．2018年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确）1．（5分）设集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x（x﹣3）＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，3）D．（1，3）【解答】解：集合A＝{x||x|＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x（x﹣3）＜0}＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，3）．故选：C．2．（5分）若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣1【解答】解：复数z＝＝＝+i为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝﹣1．故选：D．3．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A．B．C．D．【解答】解：由算筹含义得到8771用算筹可表示为．故选：C．4．（5分）如图所示的程序框图是为了求出满足2n﹣n2＞28的最小偶数n，那么空白框中的语句及最后输出的n值分别是（）A．n＝n+1和6B．n＝n+2和6C．n＝n+1和8D．n＝n+2和8【解答】解：程序框图是为了求出满足2n﹣n2＞28的最小偶数n，故循环变量的步长为2，即空白框中的语句为：n＝n+2n＝0时，执行循环体后，A＝1，满足继续循环的条件．n＝2；n＝2时，执行循环体后，A＝0，满足继续循环的条件．n＝4；n＝4时，执行循环体后，A＝0，满足继续循环的条件．n＝6；n＝6时，执行循环体后，A＝28，满足继续循环的条件．n＝8；n＝8时，执行循环体后，A＝192，不满足继续循环的条件；故输出n值为8，故选：D．5．（5分）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）的定义域为为x≠+kπ，且x≠0，且f（﹣x）＝1+（﹣x）2+＝1+x2+＝f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，排除A，C，当，tan x＞0．故而f（x）＞0，排除B．故选：D．6．（5分）等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项则数列{a n}的前9项和是（）A．9B．81C．10D．90【解答】解：a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，∴＝a1•a5，∴（1+d）2＝1×（1+4d），化为：d2﹣2d＝0，d≠0，解得d＝2．则数列{a n}的前9项和＝9+＝81．故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．4B．C．2D．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥H﹣EFG，三角形ABC的面积S＝．∴几何体的体积V＝．故选：B．8．（5分）已知首项与公比相等的等比数列{a n}中，若m，n∈N*，满足a m a＝a，则的最小值为（）A．1B．C．2D．【解答】解：根据题意，；∴由得：q（m+2n）＝q8；∴m+2n＝8；∴；又m，n∈N*；∴＝，当，即m＝2n ＝4时取“＝”；∴的最小值为1．故选：A．9．（5分）过曲线y＝e x上一点P（x0，y0）作曲线的切线，若该切线在y轴上的截距小于0，则x0的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：根据题意，曲线y＝e x，则y′＝e x，在点P（x0，y0）处切线的斜率k＝，则切线的方程为y﹣y0＝（x﹣x0），即y﹣＝（x﹣x0），变形可得：y＝x+（1﹣x0），其在y轴上的截距为（1﹣x0），若该切线在y轴上的截距小于0，则有（1﹣x0）＜0，解可得：x0＞1，则x0的取值范围是（1，+∞）；故选：C．10．（5分）已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕进行翻折，使∠BDC为直角，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【解答】解：由题意边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，∴AD⊥BC；那么：DB＝1以AD为折痕进行翻折，使∠BDC为直角，可知以△ACD为底的外接圆的圆心在AC的中点上，即半径r＝1，圆心与球心的距离为DB＝，设外接球的半径为R，可得，∴．球的表面积S＝4πR2＝5π．故选：C．11．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移a（a＞0）个单位得到函数g（x）＝cos（2x+）的图象，则a的值可以为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+）的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到：k（x）＝sin（2x﹣2a+），函数g（x）＝cos（2x+）＝sin（2x+）的图象与函数k（x）＝sin（2x﹣2a+）的图象相同，则：（k∈Z），解得：a＝k（k∈Z）．当k＝1时，a＝．故选：C．12．（5分）已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解：∵不妨设双曲线右支上存在一点P，使PF1⊥PF2，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2，∴|PF1|•|PF2|＝2b2，∴△PF1F2的面积为|PF2|•|PF2|＝b2＝3，即m2﹣1＝3，∴a2＝m2＝4，c2＝7．则该双曲线的离心率为e＝．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y+5的最大值为14．【解答】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（1，4），化目标函数z＝x+2y+5为y＝，由图可知，当直线y＝过点A（1，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为14．故答案为：14．14．（5分）已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长小于R的概率为．【解答】解：如图，设圆O的半径为R，当∠AOB＝120°时，AB＝，同理当∠AOC＝120°时，．∴在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长小于R的概率为．故答案为：．15．（5分）已知抛物线C：y2＝2x，过点（1，0）任作一条直线和抛物线C交于A、B两点，设点G（2，0），连接AG，BG并延长分别和抛物线C交于点A′和B′，则直线A′B′过定点（4，0）．【解答】解：（一般方法）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为x＝ky+1，由，消x可得y2﹣2ky﹣2＝0，∴y1+y2＝2k，y1•y2＝﹣2，则直线AG的方程为y＝•（x﹣2），直线BG的方程为y＝•（x﹣2），将y＝•（x﹣2），代入y2＝2x中，即y12﹣2（x1﹣2）y﹣4y1＝0解得y A′＝，x A′＝同理可得y B′＝﹣，x B′＝，＝﹣×＝∴k A′B′∴直线A′B′的方程为y+＝（x﹣），①，或y+＝（x﹣），②，由①+②可得y+2×＝（x﹣4×），即y﹣2k＝（x﹣4k2﹣4），即y＝（x﹣4），∴直线A′B′过定点（4，0）（特殊方法），不妨令直线AB为x＝1，由，解得y＝±，∴A（1，），B（1，﹣），∵G（2，0）∴直线AG的方程为y＝﹣（x﹣2），直线BG的方程为y＝（x﹣2），分别代入抛物线方程，2（x﹣2）2＝2x，解得x＝1或x＝4，故A′（4，﹣2），同理可得B′（4，2），∴直线A′B′的方程为x＝4，∴直线A′B′过定点（4，0），（数形结合加特值法），不妨令直线AB为x＝1，画出图形，结合图形可知，直线A′B′过定点（4，0），故答案为：（4，0）16．（5分）已知菱形ABCD的一条对角线BD长为2，点E为AD上一点，且满足＝，点F为CD的中点，若•＝﹣2，则•＝﹣7．【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示；设A（﹣x，0），则B（0，﹣1），C（x，0），D（0，1）；＝，E是AD的三等分点，∴E（﹣x，），又•＝﹣2，∴（x，1）•（﹣x，）＝﹣x2+＝﹣2，解得x＝±，应取x＝；又点F为CD的中点，∴F（，），∴•＝（﹣，1）•（，）＝﹣×+1×＝﹣7．故答案为：﹣7．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，且2b cos B＝a cos C+c cos A，．（1）求角B；（2）求△ABC面积的最大值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵2b cos B＝a cos C+c cos A，∴可得：2sin B cos B＝sin A cos C+sin C cos A＝sin B，∵sin B≠0，∴．（2）∵，∴由余弦定理可得ac＝a2+c2﹣4，∴由基本不等式可得ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，可得：ac≤4，当且仅当a＝c时，“＝”成立，∴从而．故△ABC面积的最大值为．18．（12分）大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i＝1，2，…8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（xi ﹣（w i ﹣x iy i w i y i表中w i ＝，＝w i（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a +bx 与y ＝c +d哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y ﹣x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x ＝64时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βμ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝﹣．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断y ＝c +d 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．…………………………………（3分） （Ⅱ）令，先建立y 关于w 的线性回归方程，＝………………………………………（6分）………………………………（7分）所以y关于w的线性回归方程为所以y关于x的线性回归方程为………………（8分）（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x＝64时，年销售量y的预报值为年利润z的预报值为…………………（9分）（ii）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z的预报值……………（11分）当，即x＝46.24时，年利润的预报值最大，故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大．……………（12分）19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，P A＝AB＝1．（1）求证：EF∥平面DCP；（2）求F到平面PDC的距离．【解答】（本小题满分12分）解：（1）取PC中点M，连接DM，MF，∵M，F分别是PC，PB中点，∴，∵E为DA中点，ABCD为正方形，∴，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面RDC．（2）∵EF∥平面PDC，∴F到平面PDC的距离等于E到平面PDC的距离，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥DA，∵P A＝AD＝1，在Rt△P AD中，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CB，∵CB⊥AB，P A∩AB＝A，∴CB⊥平面P AB，∴CB⊥PB，则，∵PD2+DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，∴，∴V E﹣PDC ＝V C﹣PDE，设E到平面PDC的距离为h，则，解得，∴F到平面PDC的距离为．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点M（1，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（﹣2，0）与Q（2，0）为平面内的两个定点，过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点，求四边形APBQ面积的最大值．【解答】解：（I）由可得，a＝2c，又因为b2＝a2﹣c2，所以b2＝3c2所以椭圆C方程为，又因为在椭圆C上，所以所以c2＝1，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆方程为．（II）方法一：设l的方程为x＝my+1，联立，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），有，|y1﹣y2|＝＝＝所以令，有，由函数，t∈[1，+∞）故函数，在[1，+∞）上单调递增，故，故当且仅当t＝1即m＝0时等号成立，四边形APBQ面积的最大值为6．方法二：设l的方程为x＝my+1，联立，消去x得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），有，有，点P（﹣2，0）到直线l的距离为，点Q（2，0）到直线l的距离为，从而四边形APBQ的面积，令，有，函数，t∈[1，+∞）故函数，在[1，+∞）上单调递增，有，故当且仅当t＝1即m＝0时等号成立，四边形APBQ面积的最大值为6．方法三：①当l的斜率不存在时，l：x＝1，此时，四边形APBQ的面积为6．②当l的斜率存在时，设l为：y＝k（x﹣1），（k≠0）y＝k（x﹣1）（k≠0）则，∴（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，，∴，∴四边形APBQ的面积，令t＝3+4k2（t＞3）t＝3+4k2（t＞3）则，．综上，四边形APBQ面积的最大值为6．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x+m．（1）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的两个零点，且x1＜x2，求证：x1x2＜1．【解答】解：（1）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣x﹣m（x＞0），有，当x＞1时，F'（x）＜0，当0＜x＜1时，F'（x）＞0，所以F（x）在（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，F（x）在x＝1处取得最大值，为﹣1﹣m，若f（x）≤g（x）恒成立，则﹣1﹣m≤0即m≥﹣1．（2）由（1）可知，若函数F（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，则m＜﹣1，0＜x1＜1＜x2要证x1x2＜1，只需证，由于F（x）在（1，+∞）上单调递减，从而只需证，由F（x1）＝F（x2）＝0，m＝lnx1﹣x1，即证令，，有h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）＜h（1）＝0，所以x1x2＜1．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请标清题号。