有限与无限思想在高考数学解题中应用论文
浅谈极限思想在数学解题中的应用
三 、利用极 限思想求行列式 的值
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Ｏ … Ｏ
【 参考文献 】
化繁为简 ，事半功倍 的效果 。
【 项 目基 金 ：陕 西铁 路 工 程 职 业 技 术 学 院 科 研 项 目
Ｋ Ｙ ２ ０ １ ７ — ０ ２ ６】
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Ａ ． １ ｏ ｇ （ ） ＜ ０ Ｂ ． ０ ＜ ｌ ｏ ｇ （ 功＜ ｌ ｃ ． １ ＜ ｌ ｏ ｇ ） ＜ ２ Ｄ 。 ｌ ｏ ｇ （ ＞ ２
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数学 家柯 西对极 限做出 的明确定义 。极 限思想逐 渐能突破 解题 常 规 ，巧解 数学 问题 ，因此被 广泛 应用 于解 决 函数 、线性 代数 、平 面
分 析 ： 当 ｍ 一 ， ￣ ｙ － ＋ ｍ 一 ， ￣ｘ ｙ － － ） ｍ ２ ， ｌ ｏ ｇ （ ｘ ｙ ） － ￣ ２ ， 可 以 排 除 Ｂ ． 此 可知极 限思想贯穿数学 的整个历史 中 ，是一种灵活 的
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从 我国古 代名言 ： “ 一尺之棰 ，日取其半 ，万世不竭”
中渗透着 的极限思想 ，到刘徽 的 ‘ 割 圆术 ’，再 到法 国
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数学中的“有限与无限思想”及典例分析
数学中的“有限与无限思想”及典例分析作者：童其林来源：《广东教育·高中》2013年第03期一、知识概述1. 有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2. 把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3. 积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4. 数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5. 有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查，所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1. 在函数中的应用.例1. 函数y=■的图像大致为（）解1：函数为奇函数，所以图像关于原点对称，排除A，令y=0得cos6x=0，所以6x=■+k？仔，x=■+■？仔，函数零点有无穷多个，排除C，且y轴右侧第一个零点为（■，0），又函数y=2x-2-x为增函数，当00，cos6x>0，所以函数y=■>0，排除B，选D.解2：函数为奇函数，所以图像关于原点对称，排除A；当时x→0+，2x-2-x=■→+0，cos6x→+1，所以 f（x）→+∞；当x→+∞时，2x-2-x→+∞，而cos6x≤1，所以 f（x）→0，故选D.点评：本题考查了函数的图像以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考察其余的性质，其中的有限与无限的思想给了我们一种思路.说明：有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查，所以我们考前应该予以重视.比如，在函数问题中，2012全国高考卷新课标理第10题，2012年高考辽宁卷文科数学第8题，有限与无限的思想都有了用武之地.2. 在不等式中的应用.例2. 求证：20122013>20132012 .分析：这是一个有限的问题，我们可以升格为无限的问题来研究. 实际上，只需证明：n∈N，n？叟3时，nn+1>（n+1）n，再令n=2012即可.证明：设 f（n）=■，其中n∈N 且n？叟3.∵■=■·■=■·[■]n>1，∴ f（n+1）> f（n），即 f（n）是单调递增函数，因此，对任意n∈N 且n？叟3，有f （n）？叟f（3）=■>1.∴nn+1>（n+1）n，∴当n=2012时，便可得20122013>20132012.说明：这是一个特殊与一般的问题，当然也是有限与无限的问题，特殊与一般、有限与无限往往是纠缠在一起的.再比如，均值不等式也含有有限与无限的味道：不等式等号是有限的，往往只有一个值，而不等是无限的，有无限个值.3. 在立体几何中的应用.例3. 正三棱锥S-ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则EFGH的面积的取值范围是（）A. （0，+∞）B. （■a2，+∞）C. （■a2，+∞）D. （■a2，+∞）解析：因为S-ABC是正三棱锥，所以四边形EFGH为矩形，∴ SEFGH=HG·EH，HG=■AB=a，是确定的，EH=■SC，是变化的，考虑EFGH的面积的取值范围，其实质是SC的变化范围.因为S-ABC是正三棱锥，S点在过？驻 ABC的中心且垂直于面ABC的直线上运动，当S点处于无穷远的“极限位置”时，SC趋近于无穷大，此时，SEFGH→+∞.当S点处于平面内的“极限位置”时，SC→■·■ ·（2a）=■a，SEFGH→■a2，所以EFGH的面积的取值范围是（■a2，+∞）.点评：“化静为动，以动制静”，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径.例4. 直三棱柱ABC—A′B′C′的体积为V，P、Q分别为侧棱AA′、CC′上的点，且AP=C′Q，则四棱锥B-APQC的体积是（）A. ■VB. ■VC. ■VD. ■V通解：把四棱锥B—APQC的体积用原三棱锥的来表达，进一步找四棱锥B-APQC与三棱柱ABC-A′B′C′的体积V之间的关系，得到四棱锥B—APQC的体积.优解：令P→A，则Q→C′，所以四棱锥B-APQC的体积为■V.点评：P，Q的位置有无限个，但通过转化为有限的点来研究，问题迎刃而解，显示了比通法更大的优势，这是对有限与无限思想深刻理解基础上的结果.4. 在平面几何中的应用.例5. 假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域. 如图，■是平面？琢内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：①过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域■；②过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域■；③区域■ 内的任意一点至少存在两条直线平分区域■；④平面内存在互相垂直的两条直线平分区域■成四份 .其中正确结论的序号是 .解析：依第一个图，定义平面内直线的方向，其方向角0≤x如第二个图，将方向角x的直线l，从区域的一侧平移至另一侧，则区域A的面积从0→S；区域B的面积从S→0（S为区域■ 的面积）. 定义：y=A-B，则-S？燮y？燮S，由连续性和零点存在定理，至少存在一条直线lx，使得y=0.事实上，y的单调性，可知，对给定的x，lx存在且唯一的.过平面内的某一点，旋转直线，同理可证至少存在一条直线平分区域■，只是，此时符合条件的直线可能不唯一.如第三、第四个图中，由x，则存在且唯一lx平分区域■，由x+■，存在且唯一lx+■平分区域■，则有：A1+A2=A3+A4，A1+A4=A2+A3 .相减得A2=A4，代入A1=A3，下证，存在一个x0，使得lx0与lx0+■平分区域■成四份.事实上，构造函数 f（x）=A1-A2（即A1=A1（x）， A2=A2（x）），则不难知 f（0），f■互为相反数，故由连续性和零点存在定理，存在一个x0，使得A1=A3，这时l■与l■+■平分区域■ 成四份.（其实是x从0→■，lx与lx+■旋转了各相应转了■，恰好在某个位置，两直线平分区域■ 成四份.）由以上可知，②③是错误的.所以正确答案是应填①④.5. 在解析几何中的应用.例6. 过圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正轴于点A、B，？驻AOB被圆分成四部分（如图）若这四部分图形面积满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，则这样的直线AB 有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条解析：设OA=x则x>1，SⅡ与SⅣ均为常数.设SⅠ=f（x），SⅢ=g（x），则f（x）在（1，+∞）上为增函数， g（x）在（1，+∞）上为减函数.故函数y=f（x）-g（x）+SⅣ-SⅡ为（1，+∞）上的增函数，且x→1时f（x）→0， g（x）→+∞，∴y→-∞；同理x→+∞时，y→+∞.因此，有且仅有一个下x值使y=0，故应选B.例7. 已知抛物线方程为y2=2px（p>0）.求证：在x轴正方向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有■+■为定值.分析：假设点M确实存在，因为过点M的任意一条弦PQ均有■+■为定值，因此对过点M的一条特殊弦——垂直于x轴的弦P0Q0也应该有■+■为定值.设M（x0，0），P0（x0，y0），Q0（x0，-y0），则■+■=■+■=■=■，但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点.下面再考查弦的一个极限情形——x轴的正半轴，它过点M，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是无穷远处的极限点P∞（假想的点），它是弦的一种极限情形，显然有MP∞→+∞，所以■+■→■，它也应该是定值，且■=■，由此可得x0=p，于是可以猜想定点M （p，0）.下证过点M（p，0）的任一弦PQ均有■+■=■（定值）.证明：设过点M（p，0）的直线参数方程为：x=p+tcos？琢，y=tsin？琢，（？琢为直线倾斜角，t为参数），代入抛物线方程得t2sin2？琢-2ptcos？琢-2p2=0，设此方程的两根为t1、t2，则t1+t2=■，t1t2=-■，而t1、t2的几何意义分别表示MP及MQ的值.∴■+■=■+■=■=■=■=■，因此点M（p，0）是满足题意的点.点评：通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，即而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸现了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性.6. 在数列的应用.例8. 设数列{an}中a1>2，且an+1=■，n∈N？鄢，求证：对任意n∈N？鄢，an>2.证明：（1）当n=1时，由已知有a1>2.（2）假设当n=k 时有ak>2成立，则当n=k+1时，ak+1=■=■=■ak+1+■=■[ak-1+■]+1？叟■·2■+1=2.∵等号成立的充要条件是ak-1=■，即ak=2或0，与ak>2矛盾，∴ak+1>2，即n=k+1时命题也成立.由（1）（2）知对任意n∈N？鄢，an>2成立.说明：我们要证的是对任意n∈N？鄢，an>2成立，是个无限的问题，但我们只用了有限个步骤，似乎是有限个n，就把问题解决了，这是数学归纳法的魅力所在.7. 在三角函数中的应用.例9. 设a>0，对于函数f（x）=■（0A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C. 有最大值且有最小值D. 既无最大值也无最小值分析：原不等式可化为f（x）=1+■，由已知00，所以■？叟a，故选B.其实，有限与无限思想方法还渗透在数学的其他领域.应该说，高考中对无限与无限的研究和考查现在还不是很成熟，但这种思想的运用，为考生数学思维的发展，数学能力的提高提供了广阔的空间，在教学中应潜移默化地渗透这种数学思想，提高考生对数学整体把握的能力.可以预测的是在今后的试卷中还会加大对有限与无限思想方法考查的力度，并逐步走向成熟. 总之，数学是研究数量关系和空间形式的科学，而这个数量关系是变化的，即一个量随另一个量而变化，这种变化可能是有限的，也可能是无限的，有限与无限的相互转化，往往能使问题豁然开朗.练习：1.过点（1，■）的直线l将圆（x-2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=______________.2.若实数x、y满足x-y+1≤0，x>0，则■的取值范围是（）A. （0，1）B. （0，1]C. （1，+∞）D.[1，+∞）3.在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A.（■？仔，？仔）B. （■？仔，？仔）C. （0，■）D.（■？仔，■？仔）4. 设05. 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10，是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列（d≠0）.（Ⅰ）若a20=40，求d；（Ⅱ）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（Ⅱ）类似的问题（（Ⅱ））应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案：1. 分析：将点（1，■）视为“圆”，点圆（x-1）2+（y-■）2=0在圆（x-2）2+y2=4内部，而过点（1，■）垂直于弦心距所在的直线的弦所对的圆心角最小，而这条直线既在点圆上又在已知圆上，所以两圆相减就是所求的直线. 本题是无穷小的灵活运用.解析：视点（1，■）为“圆”，则（x-1）2+（y-■）2=0…①又（x-2）2+y2=4…②两式相减得x-■y+■=0，所以k=■.2. 分析：本题以线形约束条件知识为载体，着重考查有限与无限思想.画出不等式组满足的可行域，设■=k，欲求k的取值范围，可转化为求可行域内任意一点P（x，y）与原点连线OP的斜率k的取值范围.由于点P可无限靠近y轴，所以k→+∞；若点P在直线y=x+1上，并沿该直线向右上方无限延伸，k逐渐减小，无限趋近于1，则k>1.选C.3. 解析：设正n棱锥为S-A1A2A3…An，由于n多变，所以底面正n边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化.本例中底面正n边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为∠A2HAn.当点S向下运动无限趋近底面正n边形的中心这个极限位置时，∠A2HAn趋于平角？仔；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时∠A2HAn无限趋于底面正n边形的内角∠A2A1An=■？仔，故二面角的取值范围是：■？仔4. 解析：已知等式可化为（cos？琢+sinβ+■）cosx+（cosβ -sin？琢）sinx=0，上式对任意x∈R恒成立的充要条件为：cos？琢+sinβ+■=0，cosβ-sin？琢=0，即sinβ=-cos？琢-■，cosβ=sin？琢，平方相加，得（-cos？琢-■）2+sin2a=1. 化简得cosa= -■.因为0又因为？仔说明：转化为关于三角函数（以cosx，sinx为未知）的方程，让系数恒等于0，正是无限成立的条件.5.解析：（Ⅰ）a10=10. a20=10+10d=40，∴d=3.a30=a20+10d2=10（1+d+d2）=10d+■2+■（d≠0）.（Ⅱ）当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）.（Ⅲ）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列.研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围.研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3）.a10（n+1）=10（1+d+…+dn）=10×■，d≠110（n+1）. d=1依次类推可得当d>0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等.说明：这是一个已知部分数列及续写已知数列的规律，要求解题者把已知数列推广为无穷数列，体现了有限与无限的数学思想.（作者单位：福建省永定县城关中学）责任编校徐国坚。
例谈中学数学中的“有限”与“无限”
的数学知识． 籍德 国数学 家魏尔说 ：数学是关 于无 美 “ 限的科学． ”其 中有 限的方面 叫人感 觉具体 、 形象 ， 便
于教师教与学 生学 ； 无 限的方 面使 学 生充 满想 象 ， 而 让 人对数学更 多一份理性 的思 考． 限建立 在无 限基 有 础之上 ， 限是有 限的延伸． 无 魏尔 又指 出 ： 限在数 学 无
解 由题意得｛１— ≤４ 所以｛ ２ ３ ２ 口≤÷所 １ ａ ３ 【≥２ ≤２ 一 口
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浙 江 省 湖 州二 中 ３３０ １０ ０ 陆丽滨 沈 恒
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二
里从 略．
４ ．全 日制 普 通 高 级 中学 数 学 （ 修 ）第 一 册 必 （ ）《 师教 学用 书》 ： 上 教 ｐ 某些 以实数 为 元素 的集
合 有三 种表示 方 法 ： 合 表示 法 、 等 式 表 示 法 和 集 不 区间表 示法． 例如 ， 于 ３而 小于 ７的实 数 的集合 可 大
方法 的前 提都 是 ｎ ＜ ６③ 若一 个集 合为 ｛ ｌ ＜ ． Ⅱ
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多数 师生认 为 “ 是 近似 等 式 ” 虽然 最 后 结论 是 精 这 ，
些 中学数学 中的“ 限”与“ 限” 有 无 ． 人 民教育 出版社 高中数学 Ａ版 《 必修 １ 》第 １ ４页
有限与无限思想的解题策略
浅谈有限与无限思想的解题策略【摘要】有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章可循，并积累了一定的经验.而对无限个对象的研究，却往往不知道如何下手，显得经验不足.因此，有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题.【关键词】有限；无限【中图分类号】g63.24 【文献标识码】b 【文章编号】2095-3089（2013）24-0-01有限与无限是数学中普遍存在的矛盾现象，无限的问题不便处理，而有限的问题一般较容易处理.因此，化无限为有限就成了解决无限问题的一个重要手段，于是，在遇到无限问题时，就应想到化无限为有限；另一方面，根据“逆向转化”的规律，有时化有限为无限也有助于解决问题，如求曲边梯形的面积时，可以通过无穷分割，将有限的面积近似转化为无穷多个小矩形的面积之和，再如近似计算，也是化有限为无限，即借助迭代公式将有限次的计算转化为无限次的计算.策略一：化有限为无限所谓化有限为无限，是将有限问题化为无限问题去处理，与化有限为无限的策略相适应的数学方法有：迭代法、区间套法.1.迭代法：借助迭代式将原来一步完成的问题化为无穷多步完成的问题，条件成熟时实现化有限为无限.例1 在数列中，，求数列的通项公式.解答由，得，，所以.点评：本题若直接根据条件来求的通项公式，得到其通项公式比较难，而把转化为无限项的积，即，再结合已知条件容易知，可得数列的通项公式，这就体现了化有限为无限的策略，一般地，对于形如的通项公式，当得值可以求得时，宜采用此法。
2.区间套法：通过将有限的区间对分，再取其一半然后对分，直到永远，所得区间一个套一个，因此称其为区间套法.例2 利用计算器，求方程的近似解。
（精确到0.1）解答设，用计算器，得，，，，，由，，可知精确到精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为.点评：对于区间上连续函数且，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间，使区间的两端逐步逼近零点，进而得到零点的近似值.策略二：化无限为有限所谓化无限为有限，是将无限问题化为有限问题去处理，与化无限为有限的策略相适应的数学方法有递推法、类比法.1.递推法：利用数学归类法，可以解决一类与正整数有关的无限问题.例3 设数列的前项和为，且方程有一根为，.（1）求；（2）求数列的通项公式.解答（1）当时于是，解得.当时，有一根为=，于是，解得.（2）由题设，即当时，，代入上式得①由（1）知。
数学文化 数学中的有限与无限
数学文化数学中的有限与无限数学文化：数学中的有限与无限数学，这门古老而神秘的学科，如同一个深邃的宇宙，蕴含着无尽的奥秘和智慧。
在数学的广袤领域中，有限与无限是一对引人深思的概念，它们既相互对立，又相互依存，贯穿于数学的各个分支和层面，影响着我们对世界的理解和认知。
当我们初涉数学，首先接触到的往往是有限的数量和具体的对象。
比如，我们学会数 1、2、3 这些整数，计算 5 个苹果加上 3 个苹果的结果。
这些都是有限的、可以明确感知和计算的事物。
在日常生活中，我们也习惯于用有限的思维来解决问题，例如规划一周的预算、安排一天的行程。
然而，随着我们对数学的深入探索，无限的概念逐渐浮出水面。
比如，在数学中的数列，像等差数列 1，3，5，7，9……它可以一直延续下去，没有尽头。
再比如，数轴上的点是无限密集的，从负无穷到正无穷，包含了无数个实数。
有限与无限的区别不仅仅在于数量的多寡，更体现在其性质和规律上。
有限的集合，其元素个数是可以明确确定的，而无限的集合，其元素数量是无法通过常规的计数方法来确定的。
在数学计算中，有限与无限也表现出截然不同的特点。
对于有限的数值运算，我们可以通过明确的步骤和方法得到确切的结果。
但当涉及到无限的计算时，情况就变得复杂起来。
例如，计算一个无限级数的和，需要运用特殊的方法和定理。
数学中的极限概念，是连接有限与无限的桥梁。
通过极限，我们可以从有限的计算逐渐逼近无限的情况。
以圆的面积计算为例，我们可以将圆分割成无数个小的扇形，然后把这些扇形近似看作三角形来计算面积。
当分割的份数越来越多，也就是趋近于无限时，计算得到的结果就越来越接近圆的真实面积。
无限在数学中的表现形式多种多样。
有无穷级数、无限小数、无限集合等等。
以无限小数为例，像圆周率π，它是一个无限不循环小数，其小数位的数字无穷无尽。
但尽管如此，我们通过数学方法能够对其进行研究和应用。
在数学证明中，有限与无限的思想也常常发挥着关键作用。
2019年福建高考作文要紧扣“无限”与“有限”
2019年福建高考作文要紧扣“无限”与“有限”在世界上，一切事物都有无限的潜力，但又都受着有限的制约。
这既是一种客观的存在现象，也是一种哲学思考。
而在日常生活中，我们也经常会面对无限与有限的矛盾。
比如，我们渴望更多的财富与自由，但时间却是有限的；我们希望能力越强，但我们的身体和知识都受着生理和认知的限制。
因此，我们应该怎样看待无限和有限，更好地应对这种矛盾呢？首先，我们应该看到无限的潜力。
我们说事物有无限的潜力，是因为它们在未来有无限的可能性。
比如，一个人的未来发展潜力是不可想象的，他的职业选择、人际关系、全球机会等都会不断地影响他的未来。
因此，我们必须要有信心和勇气去面对未来的挑战，相信自己能够充分发挥自己的潜力，成为更好的自己。
然而，我们也应该看到制约因素的存在。
无限的潜力只是理论上的可能性，实际上我们往往会受到种种制约。
比如，在现实生活中，我们不能超越自己的身体和精神的能力范围，需要有限度地去发展和认知。
同样，我们每个人的生命长度也是有限的，所以应该珍惜时间和资源，选择适合自己的道路，积极地追求未来。
面对这种矛盾，我们要通过个人的思考与行动来解决。
首先，我们需要意识到无限与有限的存在，认真分析自己的情况，找到自己的瓶颈所在，寻求办法去克服障碍，不畏艰难，不断前进。
同时，我们要注意保持健康的心态和生活方式，积极面对问题，负责任地做出决策和选择。
这样，我们才能更好地在无限与有限的矛盾中把握自己的人生。
总之，无限与有限是人生不可避免的存在状态。
对此，我们既要着眼无限的可能性，又要看到限制因素的制约。
在生活中，我们要不断追求更好的自己，实现自己的梦想；同时，也要珍视生命和时间，保持坚定而理性的行动态度。
无限与有限，这种矛盾最终迎接我们的是人生的成功和成长。
例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”
例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”湖州二中 陆丽滨日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”，π是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于0.91= 对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．在新课标教学中，笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．一、 比较两个集合的元素个数人民教育出版社高中数学A 版《必修1》第14页（2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，例如：{1,2,,,}A n = ,{2,4,,2,}B n = ，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”笔者不妨再问：“集合B 是集合A 的真子集吗？”我们都知道在有限集中，整体必定大于部分．但是无限集中呢？ 其实，无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一．实际上，康托尔把正整数集的势（元素个数）称之为“阿列夫零”个，计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数．康托尔把集合的元素个数叫做基数，有限集合的基数是自然数，无限集合的基数叫超限数．康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集，但它们之间存在着一一对应关系，也就是说有比自然数集合更大的集合，有更大的超限数．康托尔还发现，任一线段上的点能与全直线上的点，与正方形内的点，与立方体内的点构成一一对应．他甚至证明，一条直线上的点能与n 维空间的点构成一一对应．这与我们关于大小的观念相矛盾，是按数学常识根本无法想象的，康托尔还证明了比实数集合更大的集合．今天，集合论已经成为整个数学的基础，以至于希尔伯特动情地说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”，“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物，是在纯粹理性的范畴中，人类活动最美的表现之一．”为此，有如下定理：（1）两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数．（2）有限集合不和其任何真子集等势．（3）无限集合可以和其真子集等势．二、 割圆术，化直为曲刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形（“六觚”）开始割圆，依次得到内接正十二边形（“十二觚”）、正二十四边形（“二十四觚”）、……，“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．这种处理是比较符合直观的．从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合．刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范，架起了通向微积分的桥梁．正是在这种思想的指引下，刘徽与阿基米德已经有了极限的思想．后继者们在他们开辟的道路上继续前进．德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积，法国的费马研究了切线、极值等问题，而英国的巴罗则引入了微分三角形．这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕：牛顿和莱布尼茨．两人各自独立地创立了微积分．这种“化直为曲无限化”的数学思想，是学生学习从“有限”到“无限”一种飞跃！也为其学习定积分建立良好的数学思想基础．三、 数式中的有限与无限3.1 （定）积分看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积．方法大致为：分割、近似求和、取极限．这里的分割是一种动态无限的过程．在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷．从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积．例如：求由函数()f x ，直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积． 步骤如下：将区间[,]a b 分成n 个小区间1[,]i i x x -(1)i n ≤≤，每个区间上任取一点i ξ，以()i f ξ作为矩形的高，求出n 个矩形的面积并求和：11lim lim [()()]()b n n i i i n n i a S S f x x f x dx ξ-→∞→∞===⋅-=∑⎰3.2 数列极限的公式数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则只适用于有限个计算．例如：111lim()n n n n n →∞+++个如何计算？按照有限的计算法则，11lim()n n n n →∞++ 个11lim lim 0n n n n n →∞→∞=++=个，显然是不对的！不能用有限个的运算法则来替代无限的运算．此处有限和无限是无法统一于一个运算法则中．数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的！3.3 球表面积、体积公式的推导球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用！如图1所示，)i r i n =≤≤21122()n n i i i i R V V r n π====⋅∑∑322321(1)42lim[()]3n R n n R n n ππ→∞++-=-= ．如图2所示，将球分割成n 份三棱锥，其体积11111333nn i i i i V S R R S R S ===⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∑∑ ，由上述球的体积公式，得：24S R π=． 3.4 结合律和分配律的使用大家都知道()()a b c a b c ++=++，这在有限相加的世界里似乎没什么问题．然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错！不妨看下式如何计算：图2图11(1)1(1)1z=+-++-++ ，如果你认为数的加法可以任意结合，那么z=+-++=+1[(1)1]10，好像不错吧！注意到还可以这样用结合律：++=01，也没有问题吧！这时推出的结论[1(1)][1(1)]0z=+-++-+=++z==就有大问题了！原因何在呢？01解释并不困难：结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确是正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误．所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”！四、切线：割线的极限位置中学阶段对切线的认识，是逐步深入的．平面几何中，直线和圆与一个交点叫做相切；而在后来的圆锥曲线中，双曲线学习时便会出现新的问题，而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线，切线与曲线的交点不止一个，因此不能用交点个数来定义，而是用割线的极限位置来定义曲线的切线．如图3所示，直线与圆相切的情形在同学们的大脑中已根深蒂固，受此负迁移的影响，不少学生对切线问题产生错误的想法，导致错解时常发生，因此要加强概念性知识的理解．于是，割线“无限化”之后，才有了较为科学的切图3线定义，避开从交点的个数来定义，方便得解决了切线的概念问题．五、古典概型与几何概型中的概率加法公式大家知道，必修3中的古典概型是一种离散型的等可能性概型，而几何概型是一种连续性的等可能性概型．恰恰因为正是这种“离散”到“连续”，也就是“有限”到“无限”，使得学生学习概率加法公式有很大的难度．概率加法公式：()()()1P A B P A P B +=+=如图4，古典概型中，概率加法公式体现事件A 、B 必定是一对互斥事件，这是离散、有限决定的，也是学生易理解的；如图5，我们也可以看到其实概率加法公式体现的事件A 、B 就不一定是互斥事件，这是连续、无限所凸显的．如图5所示，譬如：在区间[0,2]内投点，记落在区间[0,1]内为事件A ，落在区间[1,2]内为事件B ，显然概率论加法公式()()()1P A B P A P B +=+=在几何概型中也是成立的，事件A 、B 不互斥！另一方面，有限的古典概型和无限的几何概型又是相容相通的． 问题：甲、乙、丙三人相约7点到8点之间在某处会面，一起乘车去游玩，已知该车站每隔30分钟有一班车，发车时间为7点30，8点，若3人约定在车站就乘，求3人乘同一班车的概率．分析：设甲、乙、丙三人分别在7点到8点之间的x 分、y 分、z 分到达，则所有可能的结果表示的区域为棱长60的正方体．记事件A 表示三人乘同一班车，要使得事件A 发生，只需三人同一个30分钟内达到即可．解法（1）：事件A 表示的可能结果（如图6所示）： AB 图 4 图50303060(,,)03030600303060x x A x y z y or y z z ⎧≤≤<≤⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪=≤≤<≤⎨⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎪≤≤<≤⎩⎩⎩⎭，表示的空间区域为2个棱长为30的正方体，由几何概型的公式可得：332301()604A V P A V Ω⨯===．解法（2）：因为三人乘坐哪一班车是随机的，且等可能的，若以三人的一种乘车方式作为一个基本事件，则基本事件的总数为2228⨯⨯=种，而三人同乘一班车包含2个基本事件，因此概率为2184=．古典概型与几何概型的本质是对于基本事件个数有限还是无限的一种区分，有些问题中，不同角度理解基本事件，“有限”、“无限”的问题还能相互转化．六、 希尔伯特旅馆有一个故事据说出自杰出的数学家大卫.希尔伯特之口，上述引语就是他说的．一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅馆想要一个房阿．店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间了，但是让我们看一看，或许我最终能为您找到一个房间．”然后店主离开了他的桌子，很不情愿地叫醒了他的房客，并且请他们换一换房间：1号房间图6的房客搬到了2号房间，2号房间的房客搬到了3号房间……以此类推，直到每一位房客都从一个房间搬到了下一个房间为止．令这位迟来者感到十分吃惊的是，i号房间竟然被腾了出来．他很高兴地搬了进去，然后安顿下来过夜．但是，一个百思不得其解的问题使他无法入睡：为什么仅仅通过让房客从一个房间搬到另一个房间，第一个房间就能腾出来呢?（要知道，他来时所有的房间都住人了）这所旅馆一定是希尔伯特的旅馆，它是城里一个据认为无数个房间的旅馆！这是一个关于无限的趣味故事，从这里也让学生深深知道：从“有限”到“无限”是很容易产生质变的！也让教师的教与学更上层楼！七、中学生“有限”、“无限”教育观念的认识在我国中学的课程设置中，数学作为一门主课，被赋予大量的课时．但是在数学教学中，过于注重按部就班地讲述教科书现有的数学定义和数学命题，介绍各种计算题和证明题的解题方法，让学生做大量的习题，却忽视了与数学有关的一些根本性问题的说明和讨论，特别是有关数学基础和数学哲学的问题．在数学上有限与无限是相互联系的．无限是由有限构成的．无限又要通过有限来表现，加以掌握．例如，自然数集是无限的，但它是由无数个具体的有限数组成的；周期函数的图像长度是无限的，但刻画它的最小正周期却是有限的；直线的长度是无限的，而线段作为构成直线的部分，其长度却是有限的；向量空间所含向量个数是无限的，而表达该向量空间的基底（向量）个数却是有限的；数学归纳法表达的是关于无限的推理过程，而它的证明步骤却只有两步．反之，有限中存在着无限．例如，0到1的单位线段上就有无限多个有理数点，也有无限多个无理数点．在“整除”关系中，约数是有限的，而倍数的个数是无限的；有理数、无理数值都是有限数，而它们的级数表达式既体现了无穷小，又体现了无穷多．总之在中学数学教学中，应向学生普及一些与数学基础和数学哲学有关的知识，破除数学确定性的神性观念，重建数学批判的人文观念．也许这样会使中学生更喜欢数学，更能深刻认识像“无限”这一类涉及数学基础和数学哲学等概念的博大内涵．参考文献：[1]叶飞.再谈对中学生数学“无限”观念的教育.数学教育学报[J].2007,11[2]王仲英.郝样晖.数学中的有限与无限.高等数学研究[J].2007,1[3]杨之.王雪芹.无限性与数学教育.中学数学月刊[J].2006,7[4]林革.趣谈数学中的有限与无限.数学通讯[J].2001,7[5]刘薇.对一个课本问题的思考.中学数学杂志[J].2009,3。
有限与无限思想在数学教材中的体现
有限与无限思想在数学教材中的体现作者：吴旭亭来源：《赢未来》2018年第30期摘要：有限与无限思想是数学中的重要思想，在新课标高中数学教材中有許多地方都体现着这一思想，本文就有限与无限思想在教材中的体现进行总结，并对这一思想给出相应的高考题举例。
关键词：有限；无限；极限；二分法数学中有限与无限的联系是非常紧密的，无限是有限的基础；无限是由有限构成的；无限是有限的延伸。
在新课标高中数学教材中有许多地方都体现着这一思想。
一、集合中的有限集与无限集集合中的有限集与无限集是有限与无限思想的直接体现。
在高考中有相应的命题。
例1. （2010湖北.文1）设集合 ={1，2，4，8}， ={ ︱是2的倍数}，则 =（ C ）A.{2，4}B.{1，2，4}C.{2，4，8}D.{1，2，4，8}评注：已知集合是有限集，集合是无限集，所求集合是有限集。
二、数列中有穷数列与无穷数列数列中有穷数列与无穷数列也明显地反映出有限与无限思想。
三、极限理论中深刻体现着有限与无限思想。
数列的极限是指当项数趋近于时，数列的项趋近于一个确定的数值，即极限。
可见，数列的极限本质上是数列的项从有限到无限的一种飞跃，它深刻地反映着有限与无限思想，所以极限理论是整个微积分的基础。
四、导数概念的引入平均变化率是有限分割得到的概念，易于大家理解；瞬时变化率是平均变化率在分割很细（无限分割）时，变化率从平均值逼近瞬时值。
这本身是个极限的过程，也是一个有限到无限的飞跃。
例2.（2018全国Ⅰ卷.理科.5）设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ D ）A. B.C. D.评注：近几年高考对导数的考查不仅仅局限在选择题和填空题上，也经常出现在解答题中。
五、定积分概念的引入新教材从曲边梯形面积的求法展开讨论，通过分割、近似代替、求和、取极限的过程，来对定积分下定义。
对曲边梯形的分割是有限的，而取极限的过程是从有限向无限的飞跃，这个过程深刻地体现着有限与无限的转化过程。
例谈中学数学中的“有限”与“无限”
例谈中学数学中的“有限”与“无限”作者：陆丽滨沈恒李云来源：《中学数学杂志(高中版)》2010年第02期日常生活中,我们常常和有限、无限打交道:天空有边吗?星星有多少?两面镜子对照,镜子中有镜子,…,一共有多少面?文学作品中,如王之涣的“欲穷千里目,更上一层楼”;李白的“孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流”;中国古代的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等等,都是一种有限与无限的结合.在数学教育界也有两个尴尬的故事:一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说:“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”,π是无理数,怎么有末位小数呢?这是个常识性错误,却经编辑与千百个人之手被广泛传播.另一件是关于0.9[DD(]•[DD)]=1对吗?其中绝大多数师生认为“这是近似等式”,虽然最后结论是精确等式,却仍有千千万万的人“不服”.又是一个涉及无限观的常识性问题.在今天的中学数学中,也有很多关于有限和无限的数学知识.美籍德国数学家魏尔说:“数学是关于无限的科学.”其中有限的方面叫人感觉具体、形象,便于教师教与学生学;而无限的方面使学生充满想象,让人对数学更多一份理性的思考.有限建立在无限基础之上,无限是有限的延伸.魏尔又指出:无限在数学中占有十分重要的地位,甚至可以说它是整个数学的基础.在新课标教学中,笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等,无不体现中学数学的“有限”与“无限”.下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”.1 比较两个集合的元素个数人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页(2007年1月第2版,2008年5月浙江第6次印刷)阅读材料——“有限集合中元素的个数,可以一一数出来,而对于元素个数无限的集合,例如:A={1,2,…,n,…},B={2,4,…,2n,…},我们无法数出集合中的元素个数,但可以比较这两个集合的元素个数的多少.你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?”笔者不妨再问:“集合B是集合A的真子集吗?”我们都知道在有限集中,整体必定大于部分.但是无限集中呢?其实,无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的,而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一.实际上,康托尔把正整数集的势(元素个数)称之为“阿列夫零”个,计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数.康托尔把集合的元素个数叫做基数,有限集合的基数是自然数,无限集合的基数叫超限数.康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集,但它们之间存在着一一对应关系,也就是说有比自然数集合更大的集合,有更大的超限数.康托尔还发现,任一线段上的点能与全直线上的点,与正方形内的点,与立方体内的点构成一一对应.他甚至证明,一条直线上的点能与n维空间的点构成一一对应.这与我们关于大小的观念相矛盾,是按数学常识根本无法想象的,康托尔还证明了比实数集合更大的集合.今天,集合论已经成为整个数学的基础,以至于希尔伯特动情地说:“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”,“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物,是在纯粹理性的范畴中,人类活动最美的表现之一.”为此,有如下定理:(1)两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数.(2)有限集合不和其任何真子集等势.(3)无限集合可以和其真子集等势.2 割圆术,化直为曲刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时,从内接正六边形(“六觚”)开始割圆,依次得到内接正十二边形(“十二觚”)、正二十四边形(“二十四觚”)、……,“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”这种处理是比较符合直观的.从6边形到12边形、到24边形、……,在这样越来越接近圆面积的趋势中,圆以多边形代替,所失的面积会越来越少,这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合.刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范,架起了通向微积分的桥梁.正是在这种思想的指引下,刘徽与阿基米德已经有了极限的思想.后继者们在他们开辟的道路上继续前进.德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积,法国的费马研究了切线、极值等问题,而英国的巴罗则引入了微分三角形.这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕:牛顿和莱布尼茨.两人各自独立地创立了微积分.这种“化直为曲无限化”的数学思想,是学生学习从“有限”到“无限”的一种飞跃!也为其学习定积分建立良好的数学思想基础.3 数式中的有限与无限3.1 (定)积分看看牛顿和莱布尼茨发展的积分,它们均来源于求曲多边形的面积.方法大致为:分割、近似求和、取极限.这里的分割是一种动态无限的过程.在保证最大区间长度趋于零的条件下,分割而成的区间数目趋于无穷.从有限个矩形到无限块和,利用积分可以计算不规则图形面积.例如:求由函数f(x),直线x=a,x=b,y=0所围成的曲边梯形的面积.。
例说有限与无限思想在高中数学解题中的应用
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０ ４７
试 究 ＞ 技巧… 一 题研 解题
数学教学通讯（ 教舜版 ）… … … … … … … … － 稿邮 ｓｊ ｖ．３ｏ 投 箱： ｋ ｉ ６．ｍ ｘ＠ ｐ ｃ １
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解析 （） １令 ＝ 于是ｌＯ ０ ｔ（）０ 可 矢厂０ ＝ ， 厂 ） ）ｒ０＋ ， 口（）ｎ （
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布》 中的诗 句，诗 中前 半 句描 述 的 情 景 是 有 限 的 ， 而后 半 句 描述 的意境 却 给人 以无 限的 想象 ， 涵 了有 限与无 限 的思 想．在数 学 蕴 中 ， 多知 识 同样 也 渗透 着有 限 与 无 限的 思想 ．有 限与 无 限 思想 很 就是 将 无 限 的 问 题 化 为 有 限来 求 解 ， 有 限 的 问题 化 为无 限来 将
高考作文模拟导写：于有限中创造无限(附文题详解及范文2篇)
高考作文模拟导写：于有限中创造无限题目围棋棋子是有限的，共有三百六十一枚；古今中外，从无两盘棋是一模一样的。
这就是有限的棋子创造出无限的变化。
对此你有怎样的认识？请写一篇文章，谈谈你的思考。
要求：自拟题目；不少于800字。
文题解析题目中的材料由三部分组成：第一部分是客观现象的陈述——有限的棋子、不同的棋局；第二部分通过关键词提示了写作方向———有限中创造无限的变化；第三部分要求表明自己的看法———对上述说法认同还是不认同；有没有另外的补充？整体把握题目材料后不难发现，这是个带有比喻义的题目，可以由物及人，由棋局联想到人生，思考人类社会或人生旅程中的有限与无限，以拓展文意、加深立意。
首先，构思的过程中要界定清楚题干中两个关键词“有限”与“无限”的内涵。
如：确定了内涵后，在此基础上发掘两者之间的关系，比如在有限的时间里创造无限的可能，在有限的空间里获得无限的快乐，在有限的生命里实现无限的人生价值……其次，剖析原因，深入挖掘。
如“：为什么有限能创造无限的变化？”思考时可以从棋子这一客觀角度展开，三百六十一枚棋子数量不少，正是因为棋子数量多才排列组合出了无数不同的走法，从而使棋局有了无限变化的可能。
由此类比人生，同样，人生因为多了些经历，才更加丰富多彩，也才会拥有无限变化的可能，有限的生命才可能绽放出无限的精彩。
当然，也可以从棋手这一主观角度进行思考，因为下棋的人能不固守原有的棋谱，所以能下出新的棋局。
同样，如果一个人能以“苍蝇战大象”式的勇气突破陈规，或坚守本心，不随波逐流，或拥有创新的思想，就有可能冲破种种人生限制，创造出无限的人生可能，实现人生价值。
我们还可以再进一步挖掘，反思“为什么有的有限创造不出无限”，通过关注现实，去发掘问题背后的社会原因、个人原因，使文章更具有现实意义。
适用素材与运用示例适用素材人可生如蚁而美如神。
——顾城运用示例《三体》中有一句颇有深意的话：通过忠实地映射宇宙来隐藏自我，是融入永恒的唯一途径。
有限与无限的辩证法则在高等代数中的应用
有限与无限的辩证法则在高等代数中的应用一、引言有限与无限的辩证法则是哲学上的一个重要概念，指的是有限和无限之间相互依存、相互制约、相互转化的关系。
在高等代数中，有限与无限的辩证法则也得到了广泛应用。
本文将从高等代数的角度出发，探讨有限与无限的辩证法则在高等代数中的应用。
二、基本概念1. 有限有限指数量或范围受到一定限制，不能无止境地扩大。
在高等代数中，有限常用于表示集合元素个数或向量维度。
2. 无限无限指数量或范围没有任何限制，可以不断扩大。
在高等代数中，无限常用于表示序列或函数值域。
3. 辩证法则辩证法则是哲学上关于事物发展规律和矛盾运动规律的理论体系。
其中包括矛盾统一规律、否定之否定规律、量变质变规律等。
三、应用实例1. 有理函数极值问题对于一个有理函数$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$均为多项式函数。
我们可以通过求导数来确定$f(x)$的极值点。
但是，当$f(x)$的分母$Q(x)$存在根式因子时，求导数会变得非常麻烦。
此时，我们可以利用有限与无限的辩证法则来简化问题。
具体地，我们可以将有理函数$f(x)$表示为以下形式：$$f(x)=\frac{P_1(x)}{Q_1^{\alpha_1}(x)}+\frac{P_2(x)}{Q_2^{\alph a_2}(x)}+\cdots+\frac{P_k(x)}{Q_k^{\alpha_k}(x)}$$其中$P_i(x)$和$Q_i(x)$均为多项式函数，$\alpha_i$为正整数。
注意到当$x\rightarrow \infty$时，每个分式都趋近于零，因此我们可以将$f(x)$看作一个无穷大级数：$$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{x^n}$$其中$a_n$为常数系数。
然后，我们可以利用无限级数的收敛性和收敛半径的定义来判断$f(x)$是否存在极值点。
2. 矩阵特征值问题对于一个$n\times n$矩阵$A$，其特征值是指满足以下方程的$\lambda$：$$|A-\lambda I|=0$$其中$I$为$n\times n$单位矩阵。
极限思想数学论文2200字_极限思想数学毕业论文范文模板
极限思想数学论文2200字_极限思想数学毕业论文范文模板极限思想数学论文2200字(一)：极限思想在数学解题中的运用论文摘要：极限思想是近代数学的重要思想，是一种利用极限的概念去分析问题和解决问题的思想方法。
对于某些数学问题，能够灵活运用极限思想往往能够化繁为简，事半功倍。
本文通过类比的方法来探究利用极限思想的方法与常规的解题方法之间的区别，然后分别举例来说明在解决函数、数列、不等式的问题时，利用极限思想的解法的优势所在。
关键词：极限思想；函数；数列；不等式所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可以概括为：首先，对于被考察的未知量，设法构造一个与它相关的变量；然后，确认这个变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后，用极限计算来得到这个结果。
极限思想是近代数学的一种重要思想，其由来可以追溯到古代，例如魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”，其实就可以看作是一种比较原始的极限思想。
而随着微积分的诞生，极限思想也得到了进一步的发展和完善。
极限思想作为微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
可以说，数学分析就是以极限概念为重要基础，以极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。
除此之外，极限思想在解决一些抽象、复杂或是计算量大的问题时有着出色的表现，往往在常规的解法山穷水尽之时，利用极限的思想方法柳暗花明。
一、极限思想在函数中的应用1.利用极限思想巧解函数图像问题根据所给函数的解析式找出对应的函数图像是高考数学中的一类常见问题，一般的常规解法是研究函数的零点，通过解方程或是画出函数图像找出交点的个数，进而得到函数的零点个数，最后结合所给图像得出正确答案。
而如果利用极限思想来解决这类问题，往往可以事半功倍。
例1函数y=2x-x2的图像大致是()pagenumber_ebook=299，pagenumber_book=292常规解法：首先，研究函数的零点。
有限与无限思辨作文
有限与无限思辨作文
哎，咱们聊聊有限和无限吧，这可是个挺有意思的话题。
想象一下，你手里有颗糖果，那就是有限。
你可以看到它，摸
到它，甚至尝到它的甜味。
它就在那儿，不多也不少。
但要是说到
无限，那可就有点摸不着头脑了。
比如说，宇宙有多大？咱们能看
到的只是冰山一角，剩下的都是未知，那就是无限。
再来说说时间。
一天24小时，一小时60分钟，这就是有限。
但时间本身呢？它似乎没有起点，也没有终点，一直在那儿流淌，
好像永远不会停止，那就是无限。
咱们的人生也一样，每天都过得有头有尾，吃饭、睡觉、工作、学习，这些都是有限的。
但咱们追求的东西呢？爱情、梦想、成功，这些似乎永远都没有尽头，咱们总是想要更多，那就是无限。
说到数学，那就更有趣了。
有限和无限在数学里可是个大课题。
比如，有限集合就是你能数得过来的那些数字或者物品，而无限集
合呢？哎，那就像大海里的水滴，你永远也数不完。
其实啊，有限和无限就像是一对双胞胎，它们总是相互依存，
相互转化。
有时候你觉得某样东西是有限的，但换个角度看，它可
能就是无限的。
所以啊，咱们得学会用不同的眼光去看待这个世界，才能发现更多的奥秘。
有限与无限的思想
有限与无限的思想■福建省龙岩市永定区城关中学童其林有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往有法可循，并可以积累一定的经验.而对无限个对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究转化为对有限的研究，就成了解决无限问题的必由之路.反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限的问题转化成无限来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想.数学中我们常碰到一类无穷的问题，如果能找到无穷问题的一般规律，便不难求解.比如，下面的例1就是无限化有限解决问题的：例1.(龙岩市2020年高中毕业班3月教学质量检查，文科12题）已知数列{〇…}满足0^2+V S^,则叫+^的最大值是（）A.4-2B.8-V TC.A+2V2D.8+V T解析：依题意 a…+i=2+V^^7可化为（〇^「2)2+(〇…-2)2=4，令 6,=(a…-2)2，则 6w l+6.=4, 6…2+6…|=4，于是b,=(a,-2)2,62020=*2=(〇2-2)2=(〇2020-2)2bi^~b2〇x^b\+b2~^^B P(〇|—2)2+(〇2〇2〇—2)2=4.法ai=2+2cos0 ._+ 〇2〇2〇 =4+2 V2sin (0—) ^4+〇2〇2〇 =2+2sin0 42V T(当且仅当0=2^r+i(A e N)时等号成立).法二:CL\ +* 2 V 2 ’a^=(a,-2)+(a^-2)^^2x^(a'-2)2+|-aMi=^ +4=4+2V T(当且仅当a,=a纖=2+\^"时等号成立）.法三：（a d V+C aam-Z)2^,S P(ahO M M)在圆（*-2)2+ (y-2)2=4 上，令 z=x+y,即；c+y-z=0,$2, I z-4l矣2 ,V T4-2V T«z«4+2"\/T,zm=4+2V2^.点评：本来是一个无穷数列的问题，通过周期转化为后面有限的处理便是常规问题了，这是 无限化有限的典型例子.抓住变量的变化趋势或临界状态或边界点，可以把有限 的问题转化为对无限的问题来研究，从而比较快速、准确地 解题.比如，下面的例2就是有限化无限解决问题的：例2.(人教A版必修四课本144页B组第5题改编）函数/O O d n^+cos2022* O teR)的值域是__________________.S/(a)= sin*a+c〇8*a,x e[n\n=2k,fceN+)角变换，估计/(a)在;c=2, 4, 6时的取值情况.当*=2时，容易得到/(0〇=3丨1120；+{；08201=1;当;t=4时，/(ot)=sin4a+cos4oi可以变形成什么？/(a)=sin4a+cos4a= (sin2a+cos2a)2-2sin2acos2a= 1-2sin2acos2a.将 2sin2c«cos2a化单—*三角函数，因为 sinacosa= s*1^g，所以 l-2sin2ac〇S2a=l-^^.又因为 sin22a=.1-c^s4a ,所以 ,_si^2a= 3±c5i4a可得到/(a)= 3+C f4a此时士矣/(a)彡1;当戈=6时，/(a)=sin6a+cos6a= (sin2a+cos2a)(sin4a+cos4a)- (sin2acos4a +sin4acos2a)=3+cos4a；2cos2a= 3+cos4a cos4o:-l = J_+4 4 88吾cos4a,得到/(a)矣1.因为当;t=2即fc=l时，/(a)=l可以写成（j)°矣/(a)< 1;当*=4即it=2时，（j)丨矣/(a)矣1,当C6即/c=3时，(如2矣/(«)矣1所以当z=8即A=4时，（如3</(c〇矣1•因此，当;t=2^，A e N*时，（+令*=2022,此时fc=1011,*-1=1010,便可得/[c〇的值域 为在高考中，一些问题是需要通过有限与无限思想解决问 题的，而一些问题可以借助有限与无限思想简化运算，快速 求解的，还有就是帮助我们准确画图，从而得到正确答案的. 无论哪种情形，学会用有限与无限思想解决问题都是数学能 力、数学素养高的体现.下面我们再通过例题谈谈他在数学各 分支中的应用.―、有限与无限的思想在函数中的应用例3. (2020届福州市高中毕业班第三次质量检査，理科 5)函数的图像大致为（）广东教育•高中2021年第6期 15解法一：因为/W =c *-2*-2, /'W W -2,令/'(x )=e --2= 0,得 a ;=ln 2,当 *<ln 2 时/(*)<0,/(*)为减函数；当*>ln 2 时，/〇〇>0,/(*)为增函数，而/(ln 2)=2-21n 2-2=-21n 2<0, 所以原函数存在两个极值点，故淘汰选项C 和D .将x =l 代人 原函数，求得/(l )=e -l -2<0,淘汰选项A ,故选B .解法二：/(l )=e -2-l <0,淘汰选项 A , D ;当;时，/(;〇=6--:»(*+2)->-〇〇,淘汰选项 C .故选 B .例4. (2018年长沙一中月考題）若/(*)=ln (A ；e *-*+l )的 值域为R ,则A 的取值范围是（）A . (-〇〇, e ~l ] B . (-〇〇, e '2]C . [e , +〇〇)D . (-2, +〇〇)解析：令 ，(1) 当A =0时，u 〇〇=4+l 为R 上的减函数，的值域包含（〇，+«〇;(2) 当 A ：>0 时，i /〇〇=Ae *-l ，易知 u 〇〇在（ln |，+〇〇)单k调递增，在（-«>+)上单调递减.此时，u (;〇™=U (l n +)=2—I n f ,所以 2-ln +S O ,解得 0<* 矣 e _2;(3)当 A <0 时，i /〇c )=fc e *-l <0, u (：t )为 R 上的减函数，又X 一►+〇〇 时，“(X ) —►—〇〇，X —►-〇〇 时，“(*)—♦+〇〇,故 “(it )必存在唯一零点*。
高考作文模拟导写：(2021浙江二模)有限与无限(附文题详解及范文展示)
高考作文模拟导写：（2021浙江二模）有限与无限（2021-浙江•二模）阅读下面文字，根据要求作文。
哲学家詹姆斯•卡斯认为，世上有两种游戏：一种是有限游戏，在边界内玩，具有确定的开始和结束，拥有特定的赢家，规则保证游戏的结束，其目的在于获取胜利；一种是无限游戏，玩的就是无边界，没有确定的开始和结束，也没有特定的赢家，其目的在于将更多的人带到游成中来，从而延续游戏。
有限游戏采用的是竞技模式，如棋牌、考试、升职等，其中获得的成功是社会认同，这是别人定义的，是比较中收获的成就感；无限游戏采用的是生存模式，如人生、宗教、文化等，其中获得的成长是自我认同，这是自己定义的，是自己能感受到的幸福。
在生活这个大舞台上，你会选择玩哪种游戏？请写一篇不少于800字的文章，表达你的所思所感。
（注意）①角度自选，立意白定，题目自拟。
②明确文体，但不得写成诗歌。
③不得抄袭、套作，泄露个人真实信息。
解析本题考查学生材料作文的写作能力。
【审题】本次作文围绕“有限游戏''与“无限游戏''审题立意。
从材料中我们了解了什么是“有限游戏''什么是“无限游戏”，它们的边界不同，游戏规则不同，目的不同，获得的成就感和幸福感不同。
很难说哪个游戏更好，因为我们身处凡俗世间，没有人能够完全避免“有限游戏”，也可能需要到一定年龄才会明白“无限游戏"的智慧。
因此，立意时不必完全否认“有限游戏”,而应当明白“有限游戏”也尤其价值，对于个人来说，竞争意识让你能够不断上进，完善自我，取得世俗意义上的成功；对于社会来说，“有限游戏”也能够促进社会进步。
但是毕竟这两种游戏的境界还是有高下之分的，因此对于“无限游戏”的认识就成为考生思想认识高下的区分。
“无限游戏"是一种站在一定高度才能具有的大格局、大情怀，这样的人生境界已经超出了世俗意义的成功，而追求更加宏大、高远的人生目标。
考生可以通过材料中“人生、宗教、文化等”的提示来把握其内涵。
有限与无限思想在高考数学解题中的应用
有限与无限思想在高考数学解题中的应用发表时间：2012-09-29T17:29:15.107Z 来源：《新校园》学习版2012年第7期供稿作者：韦夏平李碧荣[导读] 有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。
韦夏平李碧荣（广西师范学院数学科学学院，广西南宁530023）有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。
高考试题中运用有限与无限思想来解题的有很多，比如说极限、导数、数学归纳法等这些都是典型的有限与无限思想方法的应用。
下面结合高考例题谈谈有限与无限思想在高考数学解题中的具体应用。
一、在极限中的应用近几年，高考对数列和函数极限的考查有所加重，题型主要以选择填空为主，难度在中等以下。
数列极限主要以型为主，或是在解答题中与数列问题相结合。
函数极限主要考查四则运算和函数连续性的概念，或是与导数问题结合出现在解答题中。
分析：本题考察的是函数极限的概念及运算，已知当x→∞ 时函数的极限值求a，属于简单题。
极限研究的是数列和函数在无限过程中的变化趋势，从无限回归到有限或将有限化为无限是解决这类问题的指导思想。
二、在导数中的应用导数是高考必考的知识，对导数的运算及其实际意义和几何意义的考查主要以选择填空为主，难度适中。
解答题的难度一般在中等以上，主要考查导数在函数的极值、最值和单调性中的应用，常与不等式、三角函数、解析几何、平面向量等内容相结合。
利用无限思想指导解决有限问题，同时在其他数学思想方法的运用过程中渗透有限与无限思想，是高考数学中经常出现的一类题型。
三、数学归纳法中的有限与无限从这几年的高考试题可以看出，数列与数学归纳法的结合一直是高考的重点，主要是以解答题为主。
不但要求能用数学归纳法证明结论，还加强了对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论。
的能力，需要细心观察，整体把握函数间的变化规律，发现分母之间的相互关系，猜测出合乎题意的等式。
有限与无限思想在求解高考试题中的应用
有限与无限思想在求解高考试题中的应用
丁益祥
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2012(000)016
【摘要】从历年的高考数学试题来看，主要考查函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、化归与转化的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想、偶然与必然的思想．其中，后3种数学思想是2005年由教育部考试中心新界定并增加的．限于篇幅，本文仅通过高考真题揭示有限与无限思想在求解高考试题中的应用．
【总页数】2页(P4-5)
【作者】丁益祥
【作者单位】北京市陈经纶中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.有限与无限思想在高考数学解题中的应用
2.例谈特殊化思想在选择题求解中的应用
3.无限逼近思想在数列放缩中的应用
4.例说有限与无限思想在高中数学解题中的应用
5.有限单元思想在静电场与稳恒磁场求解中的应用
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有限与无限思想在高考数学解题中的应用有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。
高考试题中运用有限与无限思想来解题的有很多，比如说极限、导数、数学归纳法等这些都是典型的有限与无限思想方法的应用。
下面结合高考例题谈谈有限与无限思想在高考数学解题中的具体应用。
一、在极限中的应用
近几年，高考对数列和函数极限的考查有所加重，题型主要以选择填空为主，难度在中等以下。
数列极限主要以■型为主，或是在解答题中与数列问题相结合。
函数极限主要考查四则运算和函数连续性的概念，或是与导数问题结合出现在解答题中。
例1：（2011年重庆卷理科3题）已知■(■+■)=2，则a=( )。
a.-6
b.2
c.3
d.6
分析：本题考察的是函数极限的概念及运算，已知当x→∞时函数的极限值求a，属于简单题。
例2：（2010年湖北卷理科7题）在半径为r的圆内做内接正六边形，再做内接正六边形的内接圆，又在此内接圆内做内接正六边形，如此无限继续下去。
设sn为前n个圆的面积之和，则■
sn=( )。
a.2πr2
b.■πr2
c.4πr2
d.6πr2
分析：先求出这n个圆各自的半径rn=(■)n-1r，得到圆的面积sn关于rn的表达式sn=π[(■)n-1r]2，我们知道sn是随着n的
变化而变化的，n的变化是无限的。
各个圆的面积sn组成了一个无穷递缩等比数列，此题研究的是n无穷大时数列极限的问题，它将圆的面积之和转化为当n→∞时sn的极限值，是有限与无限思想的典型应用。
极限研究的是数列和函数在无限过程中的变化趋势，从无限回归到有限或将有限化为无限是解决这类问题的指导思想。
二、在导数中的应用
导数是高考必考的知识，对导数的运算及其实际意义和几何意义的考查主要以选择填空为主，难度适中。
解答题的难度一般在中等以上，主要考查导数在函数的极值、最值和单调性中的应用，常与不等式、三角函数、解析几何、平面向量等内容相结合。
例3：（2011年全国卷理科数学8题）曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为（）。
a.■
b.■
c.■
d.1
分析：由导数的几何意义求出曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线斜率，得到切线方程，再由解析几何的知识求得三角形面积，这题属于中等题。
求导实质上是取极限的过程，应用无限的思想来解决，这是导数解决问题的基本思想方法。
例4：（2011年天津卷理科数学19题）已知a>0，函数
f(x)=lnx-ax2,x>0，（f(x)的图像连续不断）。
（ⅰ）求f(x)的单调区间；（ⅱ）当a=■时，证明：存在x0∈(2,+∞)，使f(x0)=f(■)；（ⅲ）若存在均属于区间[1,3]的α,β，
且β-α≥1，使f(α)=f(β)。
证明：■≤a≤■。
分析：题中（ⅰ）在a>0的条件下，由于a是不确定的，随着a 的改变，f(x)所表示的函数也会跟着改变，此时求f(x)的单调区间，这是无限的问题。
（ⅱ）中给定a=■，这其中蕴含着一般中的特殊思想，体现着无限中的有限问题。
（ⅲ）中由于f(x)是x>0上的连续函数，故函数在闭区间[1,3]上一定有单调区间和极值，由此就可以利用函数的单调性证明不等式成立。
利用无限思想指导解决有限问题，同时在其他数学思想方法的运用过程中渗透有限与无限思想，是高考数学中经常出现的一类题型。
三、数学归纳法中的有限与无限
从这几年的高考试题可以看出，数列与数学归纳法的结合一直是高考的重点，主要是以解答题为主。
不但要求能用数学归纳法证明结论，还加强了对不完全归纳法的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论。
例5：（2011年山东卷理科数学15题）设函数f(x)=■(x>0)观察：
f1(x)=f(x)=■，
f2(x)=f(f1(x))=■，
f3(x)=f(f2(x))=■，
f4(x)=f(f3(x))=■，
......
根据以上事实，由归纳推理可得，当n∈n+且n≥2时，
fn(x)=f(fn-1(x))= 。
分析：依据题目特征，不难发现，每个函数右边分式的分子都是x，分母中x的系数为2n-1，常数是2n，所以fn(x)=■。
本题属于归纳猜想题，考查学生观察和归纳猜想的能力，需要细心观察，整体把握函数间的变化规律，发现分母之间的相互关系，猜测出合乎题意的等式。
（下转第128页）
（上接第16页）例6：（2010年全国卷ⅰ22题）已知数列{an}中，an=1，an+1=c-■。
（ⅰ）设c=■，bn=■，求数列{bn}的通项公式；（ⅱ）求使不等式an分析：（ⅰ）中对于题目所给的递推关系，当c=■时，数列{an}也就确定了，这体现了无限中的有限问题。
第（ⅱ）问可以先用数学归纳法证明c>2，再进行进一步的分类讨论确定c的范围；或者先由an总之，有限与无限思想方法的运用，为学生数学思维的发展提供了广阔的空间，在未来高考中的应用也会越来越广泛，所以在平时的学习中应该适当加强有限与无限思想方法的渗透。
注：本文系广西研究生教育创新计划资助项目（编号20101060 3r08）阶段性成果之一。