最全的转动惯量的计算资料
转动惯量计算折算公式
1.圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)之樊仲川亿创作82MD J =对于钢材：341032-⨯⨯=gLrD J π)(1078.0264s cm kgf L D ⋅⋅⨯-M-圆柱体质量(kg)；D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-资料比重(gf /cm 3)。
2.丝杠折算到马达轴上的转动惯量：2iJsJ =(kgf·cm·s 2)J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，12z z i =3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量g w22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n v J π g w2s 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=π(kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)； g-重力加速度，g=980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm)2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量：())s cm (kgf 2g w 122221⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=πs J J iJ J S tJ 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg).5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量2gw R J =(kgf·cm·s 2)R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=2221g w 1R J i J J tJ 1，J 2-分别为Ⅰ轴，Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2)；R-齿轮z 分度圆半径(cm)；w-工件及工作台重量(kgf)。
转动惯量公式
转动惯量公式转动惯量是物体对于绕指定轴旋转的惯性特性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
在这篇文章中，我们将介绍转动惯量的概念以及相关的公式。
1. 转动惯量的定义转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
物体的质量分布越集中，转动惯量越小，物体的形状越分散，转动惯量越大。
对于一个质量分布均匀的物体来说，转动惯量可以通过以下公式计算：转动惯量公式转动惯量公式其中，I 是转动惯量，r 是与旋转轴的距离，dm 是物体的微小质量元素。
转动惯量的单位是千克·米²。
2. 转动惯量的计算方法对于一些常见的几何形状，我们可以通过特定的公式计算它们的转动惯量。
下面是一些常见形状的转动惯量计算公式：•线状物体（绕与物体平行的轴旋转）：线状物体转动惯量公式线状物体转动惯量公式其中，m 是线状物体的质量，l 是线状物体长度。
•圆盘状物体（绕与盘面平行的轴旋转）：圆盘状物体转动惯量公式圆盘状物体转动惯量公式其中，m 是圆盘状物体的质量，r 是圆盘状物体半径。
•球体（绕球的直径轴旋转）：球体转动惯量公式球体转动惯量公式其中，m 是球体的质量，r 是球体的半径。
这些公式可以帮助我们计算常见几何形状物体的转动惯量。
对于复杂的物体形状，可以使用积分计算转动惯量。
3. 转动惯量的应用转动惯量在物理学中有广泛的应用。
它是理解刚体转动运动的重要参数，可以帮助我们研究物体在旋转过程中的角动量、角加速度等性质。
转动惯量的大小决定了物体在给定轴上旋转的难易程度。
当转动惯量较大时，物体旋转需要更大的力矩才能实现，导致旋转速度较慢。
相反，转动惯量较小的物体则更容易加速旋转。
此外，转动惯量还与物体的稳定性有关。
当物体的质量分布越接近旋转轴时，转动惯量越小，物体越稳定。
4. 结论转动惯量是描述物体绕某个轴旋转时对其惯性的度量。
它与物体的质量、形状以及旋转轴的位置有关。
我们可以根据物体的几何形状和分布情况，使用特定的公式来计算转动惯量。
计算转动惯量学习资料
R —齿轮分度圆半径，mm
m —工件及工作台质量，kg
齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量
J1,J2—分别为I轴、Ⅱ轴上齿轮的转动惯量，kg·m2
R —齿轮Z分度圆半径，mm
m —工件及工作台质量，kg
表22-2-6工作台折算到丝杠轴上的转动惯量
v —工作台移动速度，mm/min
n —丝杠转速，r/min
m —工作台质量，kg
P —丝杠螺距，mm
丝杠传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量
J1—齿轮Z1及其轴的转动惯量，kg·m2
J2—齿轮Z2的转动惯量，kg·m2
JS—丝杠转动惯量，kg·m2
P —丝杠螺距，mm
m —工件及工作台质量，kg
6
0.1961×10-3
10
0.7651×10-2
30
5
0.4815×10-3
12
0.7351×10-2
6
0.4383×10-3
70
8
0.1543×10-1
35
5
0.9080×10-3
10
0.1476×10-1
6
0.8551×10-3
12
0.1423×10-1
8
0.8139×10-3
80
10
0.2584×10-1
采用滚珠丝杠螺母传动时，Ma、Mf、M0、Mt的计算公式见表22-2-9
最大切削载荷时所需力矩
快速进给时所需转矩
表22-2-9丝杠传动时Ma、Mf、M0、Mt计算公式
力矩名称
计算公式
符号代表的意义
加速力矩Ma
Jr—折算到马达轴上总转动惯量，kg·m2
常用物体转动惯量-与扭矩计算
1 / 12附录1.常用物体转动惯量的计算角加速度的公式a = (2n /60) /t 转矩 T=J* a =J*n*2 n /60) /t a -弧度/秒 t-秒 T -Nm n-r/min图i 矩形结构定义以a-a 为轴运动的惯量:m = VxS V =Lxhxw公式中：以b-b 为轴运动的惯量:圆柱体的惯量惯量的计算:/ WI■bm 3 为为为位位位 单单单 量积度 质体密12(4L 2+w 2) 矩形体的计算Ja - a图2圆柱体定义m = Vx§TTD12V = ------ XL4Dir =—2mx[>(Dt2空心柱体惯量摆臂的惯量3 / 12m = Vx34m /(P O 2+D 2')+ L 2>~4 \ 4 +_1 >图3空心柱体定义Jx =m x (Do 2+DF) 8曲柄连杆的惯量图4-1摆臂1结构定义图4-2摆臂2结构定义J = m.R2带减速机结构的惯量5 / 12J = m R? + rm n2图5曲柄连杆结构定义齿形带传动的惯量J M :电机惯量J L :负載惯量J L <SM :负载惯量折算到电机侧的惯量 M L :负载;转矩J R :减速机折算到输入的愤量R :减速比r]R :减速机效率R= — =- 8M = 3W = R X 3L9L 3L图6带减速机结构定义■总惯量:J IV ! 4* J R + J Ir 阳■根据能量守恒定律；■折算到电机側的力矩：— = —J 叫叭皿6ljwljmlJ M :电机惯量 齿轮组减速结构的惯量7 / 12J L :负载惯量Mi :负载力矩Jp M :电机侧带轮惯量 D PM :电机侧带轮直径 N TM :电机側带轮齿数J PL :负载侧带轮惯量 □PL :负载带轮直径N TL :负载带轮齿数图7齿形带传动结构■总惯量：J TQ T=J 藝+ J 刖+J 牡T M 斗J B -皿+Z T射■折算劃电机惯量：訂t 鑿心檢鷺翻,W 加囂。
最全的转动惯量的计算
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
F f maC
f
F l f R JC
纯滚动条件为： aC R
1 2 圆柱对质心的转动惯量为： J C mR 2
联立以上四式，解得：
2F (R l ) aC 3mR
由此可见
R 2l f F 3R
当 l < R 2时， > 0，静摩擦力向后； f
当 l > R 2时， < 0，静摩擦力向前。 f
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又 已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度 变化的规律。 已知：M0 J M1= –a |t=0= 0 求：（t）=？ 解： 1）以刚体为研究对象； M+ 2）分析受力矩 M0 J M 1 3）建立轴的正方向； 4）列方程：
2）=？
Y Z
2）=？
N YZ
0
XO
r
mg
3g d cosd 0 2L 1 2 3g / 2 3g sin 0 2 2L 2L
/2
3g L
3）求N=？ 轴对杆的力，不影响到杆的转动，但影响质 心的运动，故考虑用质心运动定理来解。
常用转动惯量公式
常用转动惯量公式
常用转动惯量表达式：I=mr2。
其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。
扩展资料
转动惯量计算公式
1、对于细杆：
当回转轴过杆的中点(质心)并垂直于杆时I=mL2/I2；其中m是杆的'质量，L是杆的长度。
当回转轴过杆的端点并垂直于杆时I=mL2/3；其中m是杆的质量，L是杆的长度。
2、对于圆柱体：
当回转轴是圆柱体轴线时I=mr2/2；其中m是圆柱体的质量，r 是圆柱体的半径。
3、对于细圆环：
当回转轴通过环心且与环面垂直时，I=mR2；当回转轴通过环边缘且与环面垂直时，I=2mR2；I=mR2/2沿环的某一直径；R为其半径。
4、对于立方体：
当回转轴为其中心轴时，I=mL2/6；当回转轴为其棱边时I=2mL2/3；当回转轴为其体对角线时，I=3mL2/16；L为立方体边长。
5、对于实心球体：
当回转轴为球体的中心轴时，I=2mR2/5；当回转轴为球体的切线时，I=7mR2/5；R为球体半径。
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常用物体的转动惯量与扭矩的计算
常用物体的转动惯量与扭矩的计算转动惯量和扭矩是物体在转动过程中的两个重要物理量。
转动惯量描述了物体绕其中一轴线旋转时对于其转动的惯性，而扭矩则描述了物体受到的力矩引起的转动效果。
下面将对常用物体的转动惯量和扭矩的计算进行说明。
1.点质量：对于一个质量为m的点质量，绕与其距离为r的轴线旋转，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=m*r^2其中，m为质量，r为距离。
2.刚体：对于一个刚体，在其质心坐标系下，其转动惯量Ic可以通过以下公式计算：Ic=Σ(m_i*r_i^2)其中，m_i为每个质点的质量，r_i为该质点与质心的距离，Σ表示对每个质点进行求和。
3.线状物体：对于一根长度为L，质量均匀分布的细长直杆绕与其一个端点为轴转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=(1/3)*m*L^2其中，m为质量，L为长度。
4.圆盘：对于一个质量为m，半径为R的均匀圆盘绕其垂直于盘面且通过质心的轴线转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=(1/2)*m*R^25.球体：对于一个质量为m，半径为R的均匀球体绕其直径为轴转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=(2/5)*m*R^26.圆环：对于一个质量为m，半径为R的均匀圆环绕其垂直于环面且通过质心的轴线转动，其转动惯量I可以通过以下公式计算：I=m*R^2对于扭矩的计算，扭矩τ可以通过以下公式计算：τ=rxF其中，r为力矩的作用点到轴的距离，F为作用力，x为叉乘运算符。
通常情况下，扭矩也可以简化为：τ = r * F * sinθ其中，θ为力和杆的夹角。
综上所述，对于常用物体的转动惯量和扭矩的计算，可以根据物体的形状和质量分布情况来确定相应的公式，并利用这些公式进行计算。
这些公式在物理和工程领域中有着广泛的应用。
惯性张量-转动惯量[学习资料]
![惯性张量-转动惯量[学习资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/1d60027602020740be1e9bbc.png)
转动惯量转动惯量，又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩，易与力矩混淆），通常以I表示，SI单位为kg * m2，可说是一个物体对于旋转运动的惯性。
对于一个质点，I = mr2，其中m是其质量，r是质点和转轴的垂直距离。
对于一个有多个质点的系统，。
若该系统由刚体组成，可以用无限个质点的转动惯量和，即用积分计算其转动惯量。
如果一个质量为m的物件，以某条经过A点的直线为轴，其转动惯量为I A。
在空间取点B，使得AB垂直于原本的轴。
那么如果以经过B、平行于原本的轴的直线为轴，AB的距离为d，则I B= I A+ md2。
力距在直线运动，F = ma。
在旋转运动，则有τ = Iα，其中τ是力矩，α是角加速度。
动能一般物件的动能是。
将速度v和质量m，用转动力学的定义取代：得出，简化得。
如果一个人坐在一张可转动的椅子，双手拿重物，张开双手，转动椅子，然后突然将手缩到胸前，转动的速度将突然增加，因为转动惯量减少了。
惯性张量对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角座标系Qxyz ，一个刚体的惯性张量是。
(1)这里，对角元素、、分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。
设定为微小质量对于点 Q 的相对位置。
则这些惯性矩，可以精简地用方程式定义为，，(2)。
而非对角元素，称为惯性积, 可以定义为，，(3)。
导引图 A如图 A ，一个刚体对于质心 G 与以点 G 为原点的直角座标系 Gxyz的角动量定义为。
这里，代表微小质量在 Gxyz 座标系的位置，代表微小质量的速度。
因为速度是角速度叉积位置，所以，。
计算 x-轴分量，相似地计算 y-轴与 z-轴分量，角动量为，，。
如果，我们用方程式 (1) 设定对于质心 G 的惯性张量，让角速度为，那么，。
(4)平行轴定理平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的座标系统。
假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量，而质心 G 的位置是，则刚体对于原点 O 的惯性张量，依照平行轴定理，可以表述为，，(5)，，，(6)。
转动惯量计算公式
转动惯量计算公式
转动惯量是描述物体对转动运动的惯性特征的物理量，常用符号为I。
对于不同几何形状的物体，转动惯量的计算公式也不同。
下面是一
些常见物体的转动惯量计算公式：
1. 点质量：
对于一个质量为m的点质量，其转动惯量为0，即I=0。
2. 直线段绕轴旋转：
对于一个长度为L、质量分布均匀、绕其一端垂直轴旋转的直线段，其转动惯量为I=(1/3)mL^2，其中m为直线段的质量。
3. 实心球体绕直径轴旋转：
对于一个半径为R、质量为m的实心球体绕其直径轴旋转，其转动惯量为I=(2/5)mR^2。
4. 空心球体绕直径轴旋转：
对于一个内半径为R1、外半径为R2、质量为m的空心球体绕其直径轴旋转，其转动惯量为I=(2/3)m(R1^2 + R2^2)。
5. 均匀圆盘绕轴旋转：
对于一个半径为R、质量为m的均匀圆盘绕垂直于其平面的轴旋转，其转动惯量为I=(1/4)mR^2。
以上是一些常见物体的转动惯量计算公式，对于其他复杂形状的物体，转动惯量的计算需要使用积分等方法来求解。
转动惯量计算折算公式
1.圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)之马矢奏春创作82MD J =对于钢材：341032-⨯⨯=gLrD J π)(1078.0264s cm kgf L D ⋅⋅⨯-M-圆柱体质量(kg)；D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-资料比重(gf /cm 3)。
2.丝杠折算到马达轴上的转动惯量：2iJsJ =(kgf·cm·s 2)J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，12z z i =3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量g w22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n v J π g w2s 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=π(kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)； g-重力加速度，g=980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm)2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量：())s cm (kgf 2g w 122221⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=πs J J i J J S tJ 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg).5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量2gw R J =(kgf·cm·s 2)R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=2221g w 1R J i J J tJ 1，J 2-分别为Ⅰ轴，Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2)；R-齿轮z 分度圆半径(cm)；w-工件及工作台重量(kgf)。
最全的转动惯量的计算
J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2 Z2
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
J dJ
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ R2
F l ac f
纯滚动条件为： aC R
圆柱对质心的转动惯量为：
JC
1 mR2 2
联立以上四式，解得：
2F(R l) aC 3mR
由此可见
f R 2l F 3R
当l < R 2时，f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
8 R5 2 mR2
15
5m 4 R33源自（1）平行轴定理J D JC md 2
JC JD
d
C
z （2）薄板的正交轴定理
o
y
Jz Jx Jy
转动惯量计算方法
转动惯量计算方法转动惯量是描述物体对转动运动的惯性特性的物理量，它是物体对绕轴转动的难易程度的度量。
计算物体的转动惯量需要考虑物体的质量分布以及绕轴转动的轴线位置。
在计算转动惯量之前，我们需要了解一些基本概念和公式。
首先是质量分布的离散情况和连续情况。
离散质点系的转动惯量可以通过以下公式计算：I = Σmi * ri²其中 I 是转动惯量，mi 是第 i 个质量点的质量，ri 是该质量点距离转轴的距离。
对于质量连续分布的物体，转动惯量可以表示为积分的形式：I = ∫r²dm其中 r 是其中一质点距离转轴的距离，dm 是该质点的质量元素。
转动惯量是一个与轴线选择具体位置相关的物理量，对于不同轴线位置，转动惯量的数值也会不同。
在实际计算中，可以根据不同情况应用转动惯量的定义公式进行求解。
下面给出一些常见物体的转动惯量计算方法。
1.刚体的转动惯量对于刚体，转动惯量通常可以分解为质量分布均匀部分和离轴部分的和。
对于质量分布均匀的刚体，可以应用以下公式进行计算：I=(1/12)*m*(a²+b²)其中m是刚体的质量，a和b是刚体的尺寸（例如长方体的长和宽）。
对于离轴部分的转动惯量，可以使用平行轴定理进行计算，即：I = Icm + m * d²其中 Icm 是刚体质心的转动惯量，m 是刚体的质量，d 是质心到轴线的距离。
2.长杆的转动惯量对于细长的杆，可以应用以下公式计算其转动惯量：I=(1/12)*m*L²其中m是杆的质量，L是杆的长度。
3.圆环的转动惯量对于质量分布均匀的圆环，可以使用以下公式计算其转动惯量：I=m*R²其中m是圆环的质量，R是圆环的半径。
4.薄圆盘的转动惯量对于质量分布均匀的薄圆盘，可以使用以下公式计算其转动惯量：I=(1/2)*m*R²其中m是薄圆盘的质量，R是薄圆盘的半径。
以上仅是一些常见物体的转动惯量计算方法，对于其他形状的物体，可以根据物体的质量分布和几何结构进行转动惯量的计算。
机械设计转动惯量计算公式
1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)82MD J =对于钢材：341032-⨯⨯=gLrD J π)(1078.0264s cm kgf L D ⋅⋅⨯- M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。
2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量：2i Js J =(kgf·c m·s 2) J s –丝杠转动惯量(kgf·c m·s 2)； i-降速比，12z z i =3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量gw22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n v J π g w2s 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=π (kgf·c m·s 2)v -工作台移动速度(cm/min)；n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)；g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm)2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量：())s cm (kgf 2g w 122221⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=πs J J iJ J S tJ 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf ·cm ·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf ·cm ·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg).5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量2gw R J(kgf ·c m·s 2)R-齿轮分度圆半径(cm);w-工件及工作台重量(kgf)6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=2221g w 1R J i J J tJ 1，J 2-分别为Ⅰ轴，Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf ·c m·s 2)；R-齿轮z 分度圆半径(cm)；w-工件及工作台重量(kgf)。
最全的转动惯量的计算
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为 r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ ? r 2dm
dm为薄圆环的质量。以 ? 表示圆盘的质量体密度
dm ? ?dV ? ? ?2?rhdr
M+
2）分析受力矩
M0 J M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 ? M1 ? J?
解：4）列方程：
M 0 ? M1 ? J?
? ? M 0 ? M1? M 0 ? a?
M+ M0
M1=–a?
d? ? M 0 ?J a?
dt
J
J
? 1 (ln M0 ? a? ) ? t
分离变量：
a
M0
Jd? dt?源自M0 ? a? J? ? ? d?
t dt ?
0 M 0 ? a?
解：对定滑轮 M ，由转动定律， 对于轴 O，有
RT ? J? ? 1 MR 2 ?
2
对物体 m ，由牛顿第二定律，
mg ? T ? ma
?
RO ?
M
T1
T2 a
mg h
滑轮和物体的运动学关系为 a ? R?
以上三式联立，可得物体下落的加速度为 a? m g m? M 2
物体下落高度 h时的速度
v ? 2ah ? 这时滑轮转动的角速度
? ?v?
R
4mgh 2m ? M
4m gh 2m ? M
R
例题3 一质量为 m、半径为 R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为 l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
最全的转动惯量的计算资料
最全的转动惯量的计算资料转动惯量是描述物体的转动特性的物理量，它的计算涉及到物体的形状、质量分布以及围绕哪个轴进行转动等因素。
以下是最全的转动惯量的计算资料。
1.转动惯量的定义转动惯量（或称为角动量的惯性矩）是描述物体转动惯性大小的物理量，通常用字母I表示。
对于质量分布连续的物体，其转动惯量可以通过积分计算得到。
2.刚体的转动惯量刚体的转动惯量取决于物体的形状和围绕的轴。
对于质量分布均匀的刚体，其转动惯量可以通过以下公式计算：I=(1/2)*m*r^2其中，I是转动惯量，m是质量，r是质量到转轴的距离。
3.基本几何体的转动惯量针对常见的几何体，转动惯量的计算公式如下：-线段绕自身一端转动：I=(1/3)*m*L^2其中，I是转动惯量，m是质量，L是线段的长度。
-圆环绕轴转动：I=m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆环的半径。
-矩形薄片绕轴转动：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)其中，I是转动惯量，m是质量，a和b是矩形薄片的长度和宽度。
-矩形薄棒绕轴转动：I=(1/12)*m*(L^2+B^2)其中，I是转动惯量，m是质量，L和B是矩形薄棒的长度和宽度。
-圆盘绕轴转动：I=(1/2)*m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆盘的半径。
-球体绕直径转动：I=(2/5)*m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是球体的半径。
4.复杂体的转动惯量对于复杂形状的物体，转动惯量的计算可能需要使用积分方法。
下面是一些常见的复杂体的转动惯量计算公式：-绕X轴或Y轴对称的物体：I = ∫(r^2 * dm)其中，I是转动惯量，r是质点到转轴的距离，dm是质点的质量微元。
-长方体绕对称轴：I=(1/12)*m*(a^2+b^2)其中，I是转动惯量，m是质量，a和b是长方体的两个相邻边的长度。
-均匀圆环绕直径转动：I=m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆环的半径。
-均匀圆盘绕对称轴转动：I=(1/2)*m*R^2其中，I是转动惯量，m是质量，R是圆盘的半径。
转动惯量的计算
转动惯量的计算
一、转动惯量的概念
1、转动惯量的定义：转动惯量是测量一个物体围绕它的转轴转动时所
需要的动能的定义。
它可以用来衡量物体的运动情况和它们之间的相
互作用。
2、转动惯量的单位：在国际单位制中，转动惯量的单位被称为千克米
2（kg·m2）。
二、转动惯量的重要作用
1、用于物体调整速度的作用：转动惯量可以用来调整物体的转动速度，特别是在多个物体之间的相互作用中，这些物体的转动惯量之和不变。
2、用于物体的转动稳定性：由于转动惯量可以表示物体的转动稳定性，因此它可以用来表示物体的转动稳定性，这样可以保证物体的转动稳定，从而降低事故发生的可能性。
三、计算转动内惯量的公式
1、转动内惯量的体积公式：I=2/5 mr2，其中m是物体的质量，r是物
体的半径。
2、转动内惯量的面积公式：I=1/2 M2，其中M是物体的质量或轴距。
3、转动内惯量的位置公式：I=mr2，其中r是质心到轴距的距离。
四、转动惯量的计算方法
1、运用数学公式计算：可以利用上述的转动内惯量的公式来计算。
2、采用实验方法计算：可以采用实验测量的方法来计算转动惯量，如采用双摆的实验、腰椎的实验等。
3、利用计算机软件计算：还可以利用计算机软件来模拟物体的运动状态，并计算物体的转动惯量。
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J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
例题1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴 的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直； (2) 转轴通过棒的一端并和棒垂直。
解：(1) 在棒上离轴x处，取一长度元dx（如图所 示），如果棒的质量线密度为，则长度元的质
量为dm=dx，根据转动惯量计算公式：
J r2dm
A
Ox
dx
有
l
J0
2l
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
2l
初始条件为：=0，=0
d
3g
s in d
0
2l 0
3g (1 cos )
2l
例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均 匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时 滑轮的角速度。
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin
M1=–a
d M 0 J a
dt
J
J
1 (ln M 0 a ) t
分离变量：
a
M0
J
d dt M 0 a J
d t dt
0 M 0 a 0 J
M0
a
ห้องสมุดไป่ตู้t
e J
M0
例）设一细杆的质量为m，长为L，一端支以
枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。
求：1 ）当杆与铅直方向成角时的角加速度：
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
变化的规律。
已知：M0 J M1= –a |t=0=
求：（t）=？
0
解： 1）以刚体为研究对象；
M+
2）分析受力矩
M0 J M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
M 0 M1 J
解：4）列方程：
M 0 M1 J M 0 M1 M 0 a
M+ M0
解：对定滑轮M，由转动定律， 对于轴O，有
RT J 1 MR2
2
对物体m，由牛顿第二定律，
mg T ma
RO
M
T1
T2 a
mg h
滑轮和物体的运动学关系为 a R
以上三式联立，可得物体下落的加速度为
a m g mM 2
物体下落高度h时的速度
v 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度
O X
R
Y r R2 Z2
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
J dJ
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2 ）当杆过铅直位置时的角速度：
3 ) 当杆过铅直位置时，轴作用于杆上的力。
N YZ
L
已知：m，L
XO
求：，，N 解：1）以杆为研究对
象
mg
受力：mg，N（不产生 对轴的力矩）
建立OXYZ坐标系
建立OXYZ坐标系（并以Z轴为转动量的正方向）
N
Y
M
Z
L
M mg L sin
XO
r
r故取JF正值沿。13Z轴m正2L2向，(1)
5.3 定轴转动的转动惯量
• 质量离散分布的刚体 J miri2
• 质量连续分布的刚体 J r 2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 质量为面分布 dm ds 质量为体分布 dm dV
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
v
R
4mgh 2m M
R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。
解：设静摩擦力f的方向如 图所示，则由质心运动方程
F f maC
圆柱对质心的转动定律：
Fl f R JC
R2
8 R5 2 mR2
15
5
m 4 R3
3
（1）平行轴定理
J D JC md 2
JC JD
d
C
z （2）薄板的正交轴定理
o
y
Jz Jx Jy
x
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12 J mr2 / 2 J 2mr 2 / 5 J 2mr2 / 3
F l ac f
纯滚动条件为： aC R
圆柱对质心的转动惯量为：
JC
1 mR2 2
联立以上四式，解得：
2F(R l) aC 3mR
由此可见
f R 2l F 3R
当l < R 2时，f > 0，静摩擦力向后；
当 l > R 2时，f < 0，静摩擦力向前。
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r2dm
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
dJ 2r3hdr
mg 0则 0
/ 2则 3g / 2L
M J
mg sin
1 mL2
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
0
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。