中考数学专题复习 与轴对称相关的线段之和最短问题 有答案

与轴对称相关的线段之和最短问题

我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，每当我们看到这样的题型，同学们从今往后就要高兴了，因为我把它们出现的模型整理如下。

首先来看下这几个数学模型：

模型1：两点之间线段最短。

要在l 找点P ，使得PA+PB 最短，这模型最简单，两点之间线段最短。 模型2：将军饮马问题。

在l 上找一点P ，使得PA+PB 最短，作对称。其中BA ’就是最短的值 模型3：两动点找三角形周长最小

在OA ，OB 上找点M 、N ，使得△PMN 周长最小，把P 关于OA ，OB 分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P ’P ’’， 模型4：两动点加垂线段最短，

在OA 上找一点M ，使得M 到OB 的距离与M 到P 的距离之和最短。作P 关于OA 的对称点，然后在对称点P ’上作OB 的垂线，交点即为所求，P ’N 就是最短值。

模型4：如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的 周长最小。

总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？

好吧！我们看看下面这些例题该怎样套上我们的模型！ 题型1：直线类

例题1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用

最小 如右图，在直角△AB'E 中， AE = AC+CE = 10+30 = 40 EB' = 30

M E

B'

C

D A B

所以：AB' = 50

总费用为：50×3 = 150万

例题2．求代数式x 2

+ 1 + (4-x)2

+ 4 （0≤x ≤4）的最小值 如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值

在直角△AEF 中 AF = 3 EF = 4

则AE = 5

所以，这个代数式的最小值是5 题型2：角类

例题3．如图∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、P 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．

分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2，

交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2， 则OP = OP 1 = OP 2 = 10

且∠P 1OP 2 = 90°

由勾股定理得P 1P 2 = 10 2 题型3：三角形类

例题4．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小

作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E 的长就是PB+PE 的最小值

在直角△B'EF 中，EF = 1，B'F = 3

根据勾股定理，B'E = 10 例题5．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB

＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。

即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小

作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。 在直角△DBC'中

DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 5 例题6．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值

因为点C 关于直线AD 的对称点是点B ，所以连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，

则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2

- CH 2

= 62

- 32

= 3 3

21

Ｃ'

Ａ

Ｃ

P 2

O

B

在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12

= 27

题型4：正方形类

例题7．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．2 3 B ．2 6 C ．3 D ． 6 即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小

点D 关于直线AC 的对称点是点B ，连接BE 交AC 于点P ，则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3

例题8．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最

小值为____________㎝（结果不取近似值）. 即在AC 上求一点P ，使PB+PQ 的值最小

因为点B 关于AC 的对称点是D 点，所以连接DQ ，与AC 的交点P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ

故DQ 的长就是PB+PQ 的最小值 在直角△CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根据勾股定理，得，DQ = 5 题型5：矩形类

例题9．如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值；

作点C 关于BD 的对称点C'，过点C'，作C'B ⊥BC ，交BD

于点P ，则C'E 就是PE+PC 的最小值

直角△BCD 中，CH = 20

5 错误!未找到引用源。

直角△BCH 中，BH = 8 5

△BCC'的面积为：BH ×CH = 160

所以 C'E ×BC = 2×160 则CE' = 16 题型6：菱形类

例题10．如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值； 点C 关于BD 的对称点是点A ，过点A 作AE ⊥BC ，交BD 于点P ，则AE 就是PE+PC 的最小值

B

D

A

D

A

D

B