江西省修水县一中2020至2021学年高二下学期第一次期末模拟考试数学真题

高二下学期第一次期末模拟考试数学第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．421dx x ⎰等于（ ）A 、2ln2-B 、2ln 2C 、ln 2-D 、ln 2 2． 已知复数a ii-一i 在复平面内对应的点在二、四象限的角平分线上，则实数a 的值为 （ ） A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．23．对于相关系数r ，叙述正确的是（ ）A.(),,r r ∈-∞+∞越大，相关程度越大，反之相关程度越小B.(),,r r ∈-∞+∞越大，相关程度越大，反之相关程度越小C.1,r r ≤越接近与1，相关程度越大，r 越接近与0，相关程度越小D.以上都不对4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S =，则249a a a ++等于（ ）A ．36B ．24C ．18D ．125．若n展开式中存在常数项，则n 的最小值为（ ） A ．５ B ．６ C ．７ D ．８6．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ）A ．130 B ．110 C ．140 D ．1207．曲线2y x =与直线y x =所围成的平面图形绕x 轴转一周得到旋转体的体积为（ ）A ．130π B ．115π C ．215π D ．16π8．若52345012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则 123452345a a a a a ++++等于（ ）A ．-5B ．10C ．-10D ．59．已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足：当2x ≤时，'()0f x ≤；当2x ≥时，'()0f x ≥．则下列结论：①'(2)0;f =②(4)(3)0;f f -≥③21()()0;33f f -≤④(1)(3)2(2).f f f +≥其中成立的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．若存在过点(1,1)的直线与曲线2y x x =+和21y ax x =--都相切，则a 等于（ ）A ．-1或-3B ． -2或3C ．-1或3D ． 1或-3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．若等比数列{}n a 满足：151,8a a ==，则3a = ；12．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13，设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，D ξ的值是__ _ ．13． ===…,a t =均为正实数，类比以上等式，可推测,a t 的值，则a t += ．14．现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有_____种. 15．选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分） （1）（极坐标与参数方程）曲线1C ：θρsin 2= 与曲线2C ：θρcos 2= 0(≥ρ，)20πθ<≤的交点的极坐标为____________.（2）（不等式）对于任意实数x ，不等式|2||1|x m x a ++-≥恒成立时，若实数a 的最大值为3，则实数m 的值为 ．三．解答题（本大题共6个小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或解题步骤）．16．（本小题满分12分）设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若B ＝60°,且4BA BC ⋅=，（Ⅰ）求△ABC 的面积；（Ⅱ）若b =，求a 、c ．17．（本小题满分12分）已知函数3()44()f x ax x a R =-+∈在2x =取得极值。

（Ⅰ）确定a 的值并求函数的单调区间;（Ⅱ）若关于x 的方程()f x b =至多有两个零点，求实数b 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知230123(1)(1)(1)(1)n x a a x a x a x +=+-+-+-+ ……(1)()n n a x n N *+-∈123n S a a a =+++…n a +(I )求n S ；(II)求证：当4n ≥时，2(2)22n n S n n >-+．19．（本小题满分12分）“剪刀、石头、布”游戏的规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，如果所出的拳相同，则为和局．现甲乙二人通过“剪刀、石头、布”游戏进行比赛．(Ⅰ) 设甲乙二人每局都随机出“剪刀”、“石头”、“布”中的某一个，求一局比赛中甲胜乙的概率；（Ⅱ）据专家分析，乙有以下的出拳习惯：① 第一局不出“剪刀”；② 连续两局的出拳方法一定不一样，即如果本局出“剪刀”，则下局将不再出“剪刀”，而是选“石头”、“布”中的某一个．假设专家的分析是正确的，甲根据专家的分析出拳，保证每一局都不输给乙．在最多５局的比赛中，谁胜的局数多，谁获胜．游戏结束的条件是：一方胜３局或赛满５局，用Ｘ表示游戏结束时的游戏局数，求Ｘ的分布列和期望．20．（本小题满分13分）已知，椭圆C 经过点A ⎝⎛⎭⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．21．（本小题满分14分）设Ω是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ；②方程()f x x =有实数根”．（I ）判断函数4sin 2)(xx x f +=是否是集合Ω中的元素，并说明理由； （II ）集合Ω中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意[,]a b ⊆D ，都存在0x ∈[,]a b ，使得等式0()()()()f b f a b a f x '-=-成立”，试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根；（III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x 时且当．修水一中2020-2021下学期高二抽考试题数学（理）参考答案一、选择题DACDA CCBDC 二、填空题 11、22 12、4313、41 14、1080 15、（1）（0，0），2(，)4π （2） 4或8-三、解答题17. 解（Ⅰ）因为3()44()f x ax x a R =-+∈，所以'2()34f x ax =-因为函数()f x 在2x =时有极值 ， 所以'(2)0f =，即3440a ⨯-=得 13a =, 经检验符合题意，所以31()443f x x x =-+ 所以'2()4(2)(2)f x x x x =-=+-令，'()0f x = 得， 2,x =或2x =- 当x 变化时'()f x ，()f x 变化如下表：所以()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(2,)+∞；()f x 的单调减区间为(2,2)-。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为28(2)3f -=；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4(2)3f =-；结合函数31()443f x x x =-+的图象，要使关于x 的方程()f x b =至多有两个零点，则b 的取值范围为428,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭。

'()f x +-+()f x单调递增↗极大值单调递减↘极小值单调递增↗20. 解：（ 1）设抛物线C 的方程为：22(0)y px p => 因为抛物线过点(1,2)，所以222p = 2p ∴= 所以抛物线方程为：24y x =（2）关于抛物线类似的命题为：过抛物线24y x =的焦点(1,0)F 作与x 轴不垂直的任意直线l 交抛物线与A,B两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M,则||||AB FM 为定值，且定值为2证明如下：设直线AB 的方程为21(0),4x ty t y x =+≠=代入，消去x ，得 2440y ty --=因为216160,t ∆=+>可设1122(,),(,),A x y B x y12124,4,y y t y y +==-则21212()242x x t y y t +=++=+所以线段AB 中点P 的坐标为2(21,2)t t +。

AB 的垂直平分线方程为22(21)y t t x t -=---。

令0y =，解得2223,(23,0)x t M t =++即所以2||22FM t =+。

由抛物线定义可知212||244AB x x t =++=+所以||2 || ABFM（3）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l交抛物线与A,B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M,则||||ABFM为定值，且定值为2。