泊松分布及其在实际中的应用

例：泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应 用 判断基因克隆过程的分布情况：由于基因组DNA是 从大量细胞中提取的, 每个细胞中均含有全部基因组 DNA, 那么每一种限制性片段的数目是大量的, 因此可 以说各限制性片段的数目是相等的。在基因克隆中, 基因组DNA 用限制性酶切割后与载体混合反应以及 随后的过程均是随机的生化反应过程。一, 对克隆来 说一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有这 两种结果;第二, 由于总体限制性片段是大量的, 被克 隆的对总体影响很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的 概率为f( f较小) , 不被克隆的概率为1- ,f 且克隆时这 两种概率都不变。综上所述, 基因克隆过程符合泊松 分布。
设p为基因被克隆的概率; N 为要求的克隆的概率为p 时一个基因文库所需含有重组DNA 的克隆数; f为限 制性片段的平均长度与基因组DNA 总长度之比, 若 1 基因组DNA 被限制性酶切割成n个DNA 片段,f即 n 。 则在克隆数为N时，任一段被克隆一次或一次以上 Nf ln(1 p) , 的概率为 p 1 p(0) 1 e，可推出 N f
n CN N 0 ( N 0 1)(N 0 2) ( N 0 n 1) N 0
0
n
(1 p) N 0 n (e p ) N 0 n e pN 0
N 0 n pN 0 带入（1)式中得到： p(n) p e n!
n m 令 m N0 p ，得到: p(n) e m ,即为泊松分布。并 n!
[ (1 p )] i i ! i 0

(p) r e (1 p ) (p) r e p e r! r!
讨论一天内买东西的顾客数的数学期望： 设商场内一天购买东西的顾客为X，则 ( p ) r e p ，（r=0,1,…）， P( X r ) r! 即X～P(p) ，所以 E( X ) p ，所以商场一天内 购买商品的平均顾客数为： p ．
（2）若随机变量X服从参数为 的泊松分布，则X的 期望和方差分别为：E(X)= ;D(X)= .
1.泊松分布的定义及基本知识
0 （3）以n,p为参数的二项分布，当n ,p 时，使得np= 保持为正常数，则 C p (1 p) e 对于k=0,1,2，…一致成立。 k! 由如上定理的条件 np 知，当n很大时，p 很小时，有下面的近似公式
放射性原子核的衰变过程是一个相互彼此无关的过 程，所以放射性原子核衰变的统计计数可以看成是 一种伯努利试验问题。若在一个原子核体系中，单 t 位时间原子核发生衰变的概率为 p 1 e ，则没有 t 发生衰变的概率为 q 1 p e 。由二项分布得到， 在t时间内的核衰变数为n的概率为 N0 n N n 。 （ 1） P(n) CN0 p (1 p) 由于在放射性衰变中，原子核数目N 0 很大，而p 相对很小，并且满足 t 1，所以上式可以近似化 为泊松分布，因为此时 m N0 p N0，对于 m附近的 n 值可得到：
2泊松分布的应用
（1）泊松分布在经济生活中的应用： 泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式，尤 其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订 单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港 发货船期的调度等等都需要用到泊松分布。 例1：下面讨论一个泊松分布在商场现代化管理中的应 用。 某商场一天内来的顾客数、一天内顾客购买的商品数等 均服从或近似服从泊松分布 实例：若商场一天内来k 个顾客的概率服从参数为 的 泊松分布，而且每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其 概率为p。
泊松分布是法国数学家泊松于 1837年引入的，是概率论中的几大重 要分布之一。作为一种常见的离散 型随机变量的分布，其在实际中有 着非常广泛的应用。
——张晓东、郑茂元、刘文涛、
1.泊松分布的定义及基本知识
1.1定义： （1）若随机变量X的分布列为 则称X服从参数为 的 泊松分布，并用记号X~P( )表示。 （2）泊松流： 随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构 成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点 流为泊松事件流(泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落 的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可 以看作泊松流。
k n k nk k
P n (k ) C p (1 p)
k n k
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k!
k
e

2泊松分布的应用
对于试验成功概率很小而试验次数 很多的随机过程, 都可以很自然的应用于 泊松分布的理论。在泊松分布中的概率 表达式只含一个参数 ，减少了对参数的 确定与修改工作量, 模型构建比较简单, 具有很重要的实际意义。
1.泊松分布的定义及基本知识
1.2有关泊松分布的一些性质 （1）满足分布列的两个性质： 0(k=0,1,2 P(X=k) ,…）， k e k P ( X k ) e e e 1 . 且有 k 0 k! k o k 0 k!
n n
m!
此段时间内发生2次以上事故的概率为：
0.1 0.1 0.1 0.1 P( x 2) 1 e e 0.0045 0! 1!
0
2泊松分布的应用
（2）泊松分布在生物学中的应用： 在生物学研究中, 服从泊松分布的随机变 量是常见的，如每升饮水中大肠杆菌数, 计数 器小方格中血球数, 单位空间中某些野生动物 或昆虫数等都是服从泊松分布的。泊松分布 在生物学领域中有着广阔的应用前景，对生 物学中所涉及到的概率研究起到了重要的指 导作用。
讨论一天内有顾客买东西的概率： 设 =“商场一天内来k 个顾客”（0,1，…r，…）， B=“商场一天内有r个顾客购买商品”， k e 则 P( Ak ) （k=0,1,…，r，…）； k! r r P( Ak | B) Ck p (1 p)k r(k=r,…） 则 k e r r k r
例2：接下来讨论泊松分布在事故发生预测的 应用。 通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为 p =0.0001,假设在某路段时间内有1000辆汽车通 过此路口，则求在此时间段内发生事故次数 X 的概率分布。
通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可以 看成 n=1000次伯努利试验，所以 X 服从二项 分布，由于 n=1000很大，且 p =0.0001很 小，且 np=0.1，所以X服从泊松分布， m np 。 m m nm np P( X m) C p (1 p) e (m 0,1,, n)
P( B) P( Ak ) P( B | Ak )
k 0 k r
k!
Ck p (1 p)

C ir r (p ) r [ (1 p )] i e C ir r [ (1 P )] i (p ) r e l r e r r i r C i r P (1 p ) ( p ) e ( i r )! ( i r )! ( i r )! r! i 0 i 0 i 0
n
且有 E(n) m, 2 m 。 综上，泊松分布作为概率论中最重要的几个分布 之一，具有很多特殊的性质和作用，在实际中有着 广泛的应用。通过此次对泊松分布的性质及其应用 的讨论，我深刻体会到，我们在学习概率论与数理 统计这门课的过程中，不仅要注重相关公式的推导 和理解，更要学会了解相关知识在现实生活和其他 学科中的应用。
一般要求目的基因序列出现的概率p的期望值定为 n。 99%，那么 N n ln(1 p) n ln(1 0.99) 4605 在分子生物学中，上述一个完整的基因文库所 需克隆数的估计对基因克隆实验方案的设计具有重 要意义。
2泊松分布的应用
（3)泊松分布在物理学中的应用： 泊松分布在物理学中的应用十分广泛，如热电 子的放射，某些激光场的分布等等都服从泊松分 布。 例： 对某一放射性物质而言, 各相邻原子群体之间, 其中一个原子核的衰变, 对相邻的原子核而言, 可 视为外界的变化, 而这种外界的变化, 不会影响相 邻原子核的衰变过程。即在某一放射性物质中, 各个原子核的衰变过程, 互不影响, 相互独立。因 此衰变过程满足独立性。