第五章 电磁波的辐射要点
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第五部分电磁波的辐射ElectromagneticWaveRadiation
这就是说现在的 ，在数值上不等于把单位正电
荷从空间一点移到无穷远处电场力所做的功。为
了区别于静电场的电势，把这里的 称为标势
（Scalar potential)。
整体c，) 必在须时把变矢场势中，A 和磁标场势和电场作是为相一互个作整用体着来的描
述电磁场。
2、规范变换和规范不变性
虽然
E
j A
D t
,
B 0H
得到：
B ( A)
(0
H
)
0 H
0( j 0
0 j 0
0 j 0
2 A ( A)
E )
t
0
t
(
A) t
A
A0ei(
kxt
)
由库仑规范条件得到
A ik A 0
即保证了
A
只有横向分量，即 A A横
，从而得到
B E
A ik
A
t
A
AikiA横A
t
A
是一个
有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 E 的纵
场场部部分分完 由全A 描由述（描即述（A即具有无源具性有）无。旋由性)，横
t
E
A
t
可见，
项对应库仑场
E库
， A
t
对应着感应
场E感 。
b) 洛仑兹规范(Lorentz gauge)
电磁场理论-06 电磁波的反射和折射
Et
Ht
Hi
Hi
5、场的表示形式及相互关系 • 垂直极化情况：
Er
Ei
x
Et
E i r E ime
jk i r
ˆ y
jk r r ˆ E r r E rme y z Et r E tme jk t r y ˆ
reflected wave
Er
refracted wave (transmitted wave)
incident wave
ˆ n Ei
Et
1、1 2、 2
interface
三、坐标系设置及一些参量
• 入射波、反射波、折射波传播矢量：k 、k 、k i r t • 入射面： x ˆ 所确定的平面 k ki , n
2、其余步骤与垂直极化情况相同
三、全透射：
当r// 0或r = 0时，发生全透射
1 cos i 2 cos t 对于平行极化入射，r// 1 cos i 2 cos t
1
u1 cos i
r 0
2
u2
cos t
2
u2
1 sin 2 t
sin i
媒质的折射率：n1
r 1 r 1
n2 r 2r 2
4、若入射波垂直极化，反射波、折射波也是垂直极化； 若入射波平行极化，反射波、折射波也是平行极化；
• 垂直极化情况：
电场均垂直于入射面
• 平行极化情况：
电场均平行于入射面
Er
Ei
Hr
Et
Ht
Er
Ei
Hr
第五章 电磁波的辐射 §1. 电磁场的矢势和标势§2. 推迟势§3. 电偶极辐射(简介) 变化电流
(2) (D 2 A A ) c 1 2 2 A 0 2 tA 2 ( 0 J ( A 0 A t 0) c 1 t 2 ( t0) 2 A t0 J ) 0tA
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
大学物理中的电磁辐射电磁波的发射和吸收
大学物理中的电磁辐射电磁波的发射和吸收电磁辐射是大学物理中一个重要的概念，它在日常生活中的应用和影响也非常广泛。
本文将围绕电磁辐射展开讨论，主要关注电磁波的发射和吸收两个方面。
一、电磁波的发射电磁波是一种由电场和磁场交替变化产生的波动现象，以光速传播于真空中。
电磁波的发射主要是通过电荷的振动和加速产生的。
当电荷加速时，就会产生变化的电场和磁场，并向周围空间传播，形成电磁波。
电磁波的发射可以有多种方式，其中最常见的是由电流产生的电磁波。
例如，当电流通过天线时，就会产生电磁波的辐射。
这种辐射称为天线辐射，广泛应用于通信和广播领域。
此外，放电现象也是电磁波发射的一种重要方式，例如雷电放电、放电灯等。
在电磁波的发射过程中，波长是一个重要的参数。
波长越长，频率越低，波长越短，频率越高。
电磁波的频率和波长之间存在反比关系，即频率等于光速除以波长。
二、电磁波的吸收与电磁波的发射相对应的是吸收。
电磁波在传播过程中，会与物质相互作用，被物质吸收。
这种吸收现象可以用电磁波的能量被物质吸收来解释。
物质对电磁波的吸收程度取决于多种因素，其中包括物质的性质、波长和强度等。
不同物质对电磁波的吸收能力不同，一些物质对某个特定波长的电磁波表现出较强的吸收能力，而对其他波长的电磁波则较弱。
电磁波的吸收可以引发不同的物理现象。
例如，在可见光波段，物质对光的吸收会导致材料的颜色。
吸收光的颜色被视觉系统所感知，从而呈现出不同的颜色。
在红外和紫外光波段，物质吸收电磁波的能量会转化为热能，引起温度的升高。
三、电磁波的应用电磁辐射和电磁波在现代社会中有着广泛的应用。
以下介绍几个典型的应用领域：1. 通信领域：电磁波的辐射和吸收是现代通信技术中的基础。
无线电通信、卫星通信、手机通信等都离不开电磁波的发射和吸收。
2. 医学影像：X射线、磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT）等医学影像技术都是利用电磁波的吸收和辐射原理进行成像。
3. 光学和激光技术：利用电磁波的吸收和辐射，人们可以制造出各种透镜、光学器件和激光器等设备，广泛应用于科学研究、医疗和工业领域。
电磁波的辐射
f 1 2 2 2 2 称为 c t 0 达朗贝尔方程 2 1 A 2 A 2 2 0 j f c t
r ' (x , t ) 1 c d ' ( x, t ) 4 0 x x '
解称为
推迟势
（2）两种常用规范
0, 优点：电场的两个部分 0 具有鲜明的物理意义 A B, A 0 1 洛仑兹规范 A 0 2 c t
优点：简化矢势和标势满足的的微分方程， 使矢势和标势满足的的微分方程对称
1
4 0 r x 位于坐标原点的点电荷激发的势 ( x, t ) r x Q (0, t ) c ( x , t ) (r , t ) Ｏ Q (0, t r ) 4 0 r
位于任意位置的点电荷激发的势 r Q( x ' , t ) c ( x, t ) Ｏ 4 0 r
也可以理解为:无旋场可以表示为另一标量场的梯度 为简单起见，讨论真空中的电磁场：
D E B t B 0 D H j t
D 0E , B 0 H .
对于电场:
S
A
:矢(量)势
静电场: E 0
一般情况有:
E
: 标势(电势)
B E 0 t
不能象静电场那样直接引入标量势函数
B 一般情况有 E 0 t
代入
B A
A A )0 E 改写成: ( E :是无旋场，可引入标势 t t A A 令： E 即： E t t
物理第五章电磁波的辐射优秀课件
1 c2
则有： 2 A ( A c 1 2 t) c 1 2 2 tA 2 0 jf（2）
2(A )f
t
0
（1）
一般情况下，真空中电磁场的
矢势和标势满足的的微分方程
矢势和标势满足的的微分方程：
2 A ( A c 1 2 t) c 1 2 2 tA 2 0 jf（2）
通过以闭合回路为边界的任意曲面的磁通量。
注：从矢势A的引入可以看出，电磁场的矢势与静磁场的 矢势唯一的区别就在于，电磁场的矢势是随时间变化的。
4.电磁场标势的引入
对于静电场:
0
静电场:
E0
E
对于E 变化电磁B场:0 t
: 标势(电势)
不能象静电场那样直接引入标量势函数
4.电磁场标势的引入
BA
说明：
u在变化情况下电场与磁场发生直接联系， 则电场的表示式必然包含矢势A在内。 u变化的电磁场，E不再是保守力场，不存在势能的概念，
标势失去作为电场中的势能的意义。
u 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时， E
这时 就直接归结为电势。
任何电磁场可以用一标量场和一矢量场 A所描述:
B A
E
A
解出后代入第一式可解出A，因而可以确定辐
射电磁场。
矢势和标势满足的的微分方程：
2 A ( A c 1 2 t) c 1 2 2 tA 2 0 jf （2）
2(A )f
t
0
u 洛仑兹规范
1
Ac2 t 0
（1）
洛仑兹规范 下势的方程
22 A c1c212 2t2 2tA 2 0f0（jf（1）2）
称为达朗贝尔方程
洛仑兹规范 下势的方程
职业卫生学第五章电磁辐射-2非电离辐射
2 距离
与辐射源的距离、辐射源 位置和辐射方向相关。
3 时间
工作期间接触辐射的时间 和频率决定了对非电离辐 射的暴露程度。
非电离辐射的危害及其防护措施
危害
长期接触非电离辐射可能会导致眼睛疾病、皮肤损 伤、生殖系统问题等。
防护措施
使用防辐射工作服、个人防护装备和合适的屏蔽措 施来减少暴露。
非电离辐射的监测方法
非电离辐射的来源和分类
来源
分类
非电离辐射的常见来源包括微波 炉、无线通讯设备、太阳辐射等。
非电离辐射可按波长划分为射频 辐射、红外辐射、可见光辐射和 紫外线辐射。
潜在危险
近距离接触来源于手机信号塔及 移动通讯设备等，可能对人体造 成一定潜在危险。
非电离辐射的工作条件
1 强度
非电离辐射的工作条件包 括辐射强度、频率和持续 时间。
科学研究
非电离辐射被广泛应用于物理学、化学和生物 学等领域的研究。
工业应用
非电离辐射在加热、干燥、杀菌等工业处理中 得到广泛应用。
总结和要点
• 电磁辐射-2非电离辐射是能量较低的电磁波辐射。 • 非电离辐射的来源包括微波炉、无线通讯设备、太阳辐射等。 • 非电离辐射的工作条件包括辐射强度、频率和持续时间。 • 长期接触非电离辐射可能导致眼睛疾病、皮肤损伤、生殖系统问题等。 • 个人监测、环境监测和生物学监测是评估非电离辐射影响的方法。 • 非电离辐射在医疗、通信、科学研究和工业等领域有广泛应用。
1
环境监测
2
采用辐射仪器对工作环境中的辐射水平
进行定期检测。
3
个人监测
通过佩戴个人辐射监测仪器，实时监测 个体接受的辐射量。
生物
电磁辐射-2非电离辐射的应用和发展趋势
电动力学第五章—
第五章 电磁波的辐射
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t
19
电动力学
三．辐射问题的本质也是边值问题
变化电荷、电流分布激发电磁场，电磁场又 反过来影响电荷、电流分布。空间电磁场的分布 就是在这一对矛盾相互制约下形成的。变化的电 荷电流分布一般具有边界，因此在求解时要考虑 它们的边界条件和边值关系。但是，一般情况下 这种的边界很复杂，使得电荷、电流分布无法确 定，因此使得求解问题无法进行。在本章我们仅 讨论电荷、电流分布为已知的辐射问题。
尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
＊
1 2 1 2 当 r 0 时， 2 (r ) 2 0 2 r r r c t 2 2 u 1 u u (r , t ) 2 2 0 令 (r , t ) 2 r c t r
2、达朗贝尔方程及推迟势的物理意义； 3、矢势的展开和偶极辐射； 4、电磁场的动量守恒。
• 本章难点： 1、矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 2、电磁场动量密度张量的引入和意义。
第五章 电磁波的辐射
17
电动力学
引言
一. 电磁辐射
不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间 变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源 向外运动，这被称为电磁波的辐射。
A E A t t 引入标量势函数 A E t
第五章 电磁波的辐射
A (E ) 0 t A E t
22
电动力学
5- 1
电磁场的矢势和标势
二．规范变换和规范不变性
第五章 电磁波的辐射
24
A A A E ( ) t t t t t
电动力学第五章 电磁辐射
•• 2
P 32π ε 0 c
2 3
∫
2π
0
dϕ ∫
π
0
4 1 2π ⋅ = sin θ dθ = 2 3 32π ε 0 c 3 4πε 0 3c3
3
P
P
例1. P165
ɺ 解：由于P = I ∆l = Re I 0e−iωt ∆lez = I 0 cos ωt ∆lez ɺ = I e−iωt ∆le , P
z
k B
P
E
注意：这里 ∇ ⋅ E = 0 ，磁场必须是闭合的。且由于只 1 ∇ 不需作用到 1 上， 保留 R 的最低次项，因此算符 R i ( kR −ω t ) 仅需作用到相因子 e 上。 四、辐射能流，角分布，辐射功率 辐射能流，角分布， ① 电偶极的平均能流密度为
2 1 c c * * S = Re( E × H ) = [Re( B × n ) × B ] = B n 2 2 µ0 2 µ0
1 ∂2 A 1 ∂ 2ϕ ∇ A − 2 2 − ∇ (∇ ⋅ A + 2 ) = − µ0 j c ∂t c ∂t
2
（7） （8）
1 ∂ 2ϕ ∂ 1 ∂ϕ ρ ∇ 2ϕ − 2 2 + (∇ ⋅ A + 2 )=− c ∂t ∂t c ∂t ε0
若取库仑规范，则（7）（8）方程变为
1 ∂2A 1 ∂2∇ϕ ∇2A − 2 2 − 2 = −µ0 j c ∂t c ∂t ρ 2 ∇ ϕ= − ε0
S V
f
为洛伦兹力密度
二、电磁场的动量密度和动量流密度 洛伦兹力密度公式： f
ρ = ε 0∇ ⋅ E
j= 1
= ρE + j × B (1)
电磁波辐射要点课件
避免长时间暴露
尽量减少在电磁波辐射较强的环境中停留的时间，如远离电磁波 辐射源或采取防护措施。
保持安全距离
在可能的情况下，尽量保持与电磁波辐射源的安全距离，以降低 暴露风险。
选择合适的防护设备
根据需要选择合适的电磁波辐射防护设备，如防辐射服、防辐射 眼镜等。
个人防护措施
穿戴防护服
选择具有防辐射功能的衣物，如 防辐射服、防辐射围裙等，以降
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ辐射源等。
定期检测与评估
对工作场所进行定期的电磁波辐 射检测与评估，确保工作环境的 电磁波辐射水平符合国家标准和
规定。
制定应急预案
针对可能出现的电磁波辐射事故 ，制定应急预案并组织员工进行
演练，提高应对能力。
05
电磁波辐射的法律法规与标
准
国际相关法律法规与标准
国际电离辐射防护委员会（ICRP）
该组织制定了关于电磁场辐射暴露的导则和建议，为各国制定相关标准提供参考 。
电磁波辐射技术的研究重点已从基础理论研究转向实际应用 研究，重点研究电磁波在特定环境下的传播特性、电磁波与 物质的相互作用机制以及电磁波在解决实际问题中的应用。
随着计算电磁学的发展，电磁波辐射技术的研究已经可以利 用高性能计算机进行数值模拟，这大大提高了研究的效率和 准确性。
电磁波辐射技术的发展趋势
家用电器
电冰箱、洗衣机、空调等。
办公设备
电脑、打印机、复印机等。
交通工具
飞机、高铁、汽车等。
03
电磁波辐射的影响
对人体健康的影响
潜在的健康风险
长期暴露于电磁波辐射可能对人体健康产生负面影响，如头痛、 失眠、记忆力减退等。
潜在的遗传损伤
电磁波辐射可能对DNA造成损伤，增加基因突变和癌症的风险。
尽量减少在电磁波辐射较强的环境中停留的时间，如远离电磁波 辐射源或采取防护措施。
保持安全距离
在可能的情况下，尽量保持与电磁波辐射源的安全距离，以降低 暴露风险。
选择合适的防护设备
根据需要选择合适的电磁波辐射防护设备，如防辐射服、防辐射 眼镜等。
个人防护措施
穿戴防护服
选择具有防辐射功能的衣物，如 防辐射服、防辐射围裙等，以降
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ辐射源等。
定期检测与评估
对工作场所进行定期的电磁波辐 射检测与评估，确保工作环境的 电磁波辐射水平符合国家标准和
规定。
制定应急预案
针对可能出现的电磁波辐射事故 ，制定应急预案并组织员工进行
演练，提高应对能力。
05
电磁波辐射的法律法规与标
准
国际相关法律法规与标准
国际电离辐射防护委员会（ICRP）
该组织制定了关于电磁场辐射暴露的导则和建议，为各国制定相关标准提供参考 。
电磁波辐射技术的研究重点已从基础理论研究转向实际应用 研究，重点研究电磁波在特定环境下的传播特性、电磁波与 物质的相互作用机制以及电磁波在解决实际问题中的应用。
随着计算电磁学的发展，电磁波辐射技术的研究已经可以利 用高性能计算机进行数值模拟，这大大提高了研究的效率和 准确性。
电磁波辐射技术的发展趋势
家用电器
电冰箱、洗衣机、空调等。
办公设备
电脑、打印机、复印机等。
交通工具
飞机、高铁、汽车等。
03
电磁波辐射的影响
对人体健康的影响
潜在的健康风险
长期暴露于电磁波辐射可能对人体健康产生负面影响，如头痛、 失眠、记忆力减退等。
潜在的遗传损伤
电磁波辐射可能对DNA造成损伤，增加基因突变和癌症的风险。
电磁场第五章电磁波辐射优秀课件
r ,t u F r c t u B r c t ft r c g t r c
r
r
r
r
? f (t - r/c) / r 表示向外传播的球面波（ r = ct ）
? g (t + r/c) / r 表示向内传播的球面波（ r = -ct ） ? 波动方程的解可表示向外、向内运动的球面行波的叠加 ? 现研究是源的电磁能向外辐射问题，应取 uB , g 0 n f 的具体表达式（在无界情况下）由波源确定，见后页
k2 kA0
ckkB
库仑规范
库仑：让 A0，
库仑规范
2A 2 tA 2 t A J
2tA
2A
2tA2
t
J
2
例：自由空间的平面电磁波
? 库仑规范之外的条件
自由空间，无电荷、电流
const0
2A
1
2A 0
c2 t2
EAiA
t
平面波解: AA0eikxt
2 k2 பைடு நூலகம்2
洛伦兹规范下 v12t A0, v21
电磁位满足波动方程－d’Alembert 方程：
2 A 2 t A 2 J( 1 ) 2 2 t 2 ( 2 )
n 洛伦兹规范与电荷守恒定律的相容性
(1)t(2)2Att22At
2t22AtJt
A 0 J0
t
t
Ø 对称性，求解一个即可 Ø 与场矢量的波动方程比较，优点：矢量位可能与电流的方向一致
电磁场第五章电磁波辐射
第五章 电磁波辐射和衍射
5.1 电磁场的矢位和标位 5.2 推迟位 5.3 偶极辐射 5.4 电磁衍射
辐射问题
– 静态的电荷、电流 – 动态的电荷、电流 – 因果关系确定的时间延迟 – 电磁场的边值问题（激发）
电磁波的辐射概要
( x, t ) ( x)e it 将此式代入推迟势的公式后得到（ k c ）
A( x, t ) A( x)ei t
上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一 般公式。与稳恒电流磁场相比这里 A 附加了一个 因子 e ikr，称为推迟相因子。
V
1 ( x, t ) dV r t
1 A 0 c 2 t 4
1 ( x, t ) r [ J ( x, t ) t c t ]dV 0
0 电荷守恒定律
三、推迟势及其物理意义
1．推迟势 势函数在空间 x 点， t 时刻的值依赖于 t r c 时刻 的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比 推迟了r c 。具有这样特性的势称为推迟势。 2．电磁相互作用需要时间
取球坐标且 (r , t ) 与 , 无关。标势的达朗贝 尔方程化为：
1 2 1 2 Q(t ) (r ) (r ) 2 2 2 r 0 r r c t
（＊）
当 r0
1 2 1 2 时， (r ) 2 0 2 r r r c t
空间点 ，t 时刻的电磁场由 t r 时刻的电 c 荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的 物理作用在经历了时间 t r 后才到达观察点， c 即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在 真空中为C。
x
电磁波的辐射
第三节 电偶极辐射
§5.3 电偶极辐射 l 电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射 出来的。宏观上，主要是利用载有高频交 变电流的天线产生辐射，微观上，一个做 变速运动的带电粒子即可产生辐射。 l 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期 运动，且电荷体系线度远远小于电荷到观 测点的距离的情况。
电磁波的辐射
∂2A ∂t2
=
0
,
∇2ϕ −
1 c2
∂2ϕ ∂t2
=
0
∇
·
A
+
1 c2
∂ϕ ∂t
=
0
A = A0 exp [i (k · x − ωt)] , ϕ = ϕ0 exp [i (k · x − ωt)]
ϕ0
=
c2 ω
k
·
A0
=
cek
·
A0
B = ∇ × A = ik × A
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
=
−ik (cek
∇
·A
+
1 c2
∂ϕ ∂t
=
µ0 4π
=
µ0 4π
[
1 r
∇r
·
J (x
,t
)
+
1 r
∂ ∂t
ρ(x
,t
)] dV
1 r
[∇r
·
J (x
,
t
)
+
∂ ∂t
ρ(x
,t
)] dV
∂ ∂t
ρ(x
,t
)
+
=
0
其中源项为时变的点电荷
ρ(x, t) = Q(t)δ(x)
【求解】 标势ϕ(x, t)？
§ 2.2 标势ϕ的解为发散球面波
【解】 由球对称性设ϕ(x, t) = ϕ(r, t)，
1 ∂ r2 ∂ϕ − 1 ∂2ϕ = − 1 Q(t)δ(r)
r2 ∂r
∂r
c2 ∂t2
ε0
1∂ r2 ∂r
r2 ∂ϕ ∂r
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在库仑规范下，电磁场的纵场部分完全由描述，
横场部分完全由 A 描述。
在库仑规范下，所满足的方程
仑场。（这正是库仑规范的由来）
2 /
与静电场方程完全相同，所以，在库仑规范下 对应库
除库仑场以外的场为感应场，由A描述。
13
(2) 洛伦兹规范
规范条件为
1 Α 2 0 c t
这种规范也有明显的物理意义，而且在处理波动问题 时，势的基本方程化为特别简单的对称形式。
这种规范在基本理论以及解决实际辐射问题中是特别 方便的。
14
三、 达朗贝尔(d’Alembert)方程
1. A和所满足的微分方程
Β Α
D Η J t
Α Ε t
D
9
2. 规范不变性： 当势作规范变换时，所有物理量和物理规律都保持不
变，这就是规范不变性。
在经典电动力学中，势 A和 的引入是作为描述电磁场的
一种方法，规范不变性是对这种描述方法所加的要求。
在近代物理中，规范变换是由量子力学的基本原理引入 的，规范不变性是一条重要的物理原理。
10
3. 两种重要规范： 从数学上来说，之所以存在规范变换自由度，是由于在势 的定义式中，只给出了A的旋度，而没有给出A的散度。所 以，欲得到具体的势，必须给定A的散度，即规范条件。 电磁场 E 和 B本身对 A 的散度没有任何限制。因此，作为确 定势的辅助条件，我们可以取∙A为任意的值。 每一种选择对应一种规范。从计算方便考虑，在不同问题 中可以采用不同的辅助条件。应用最广泛的是以下两种规 范条件。
2
一、 用势描述电磁场
考虑真空中的电磁场，麦克斯韦方程组为
Β Ε t D Η J t
D
B 0
其中
D ε0 Ε, Β μ0 H
3
1. 电磁场的矢势： 因为
B 0，所以，可以引入矢势A，使
Β Α
(1)
从矢势A的引入可以看出，电磁场的矢势与静磁场的矢 势唯一的区别就在于，电磁场的矢势是随时间变化的。 A的物理意义：在任意时刻，A沿任一闭合回路的线积 分等于该时刻通过回路内的磁通量。
7
E
二、 规范变换和规范不变性
1. 规范变换：
用矢势A和标势描述电磁场不是唯一的，即给定的E和 B并不对应于唯一的A和。 设矢势A和标势是描述电磁场的一组势，为任意时 空函数，做变换
A A A ' t
8
有
即(A’, ’)和(A, )描述同一电磁场，同时也说明描述电
2 1 A 1 2 A 2 2 ( A 2 ) 0 J c t c t
A t 0
2
15
这就是矢势和标势所满足的微分方程组。
若采用库仑规范
1 Α 1 Α 2 2 2 μ0 J c t c t
5
定义
Α Ε ，因此，一般情况下电场的 t
表示式为：
Α Ε t
(2)
实际上，在变化情况下电场与磁场发生直接联系，则电场 的表示式必然包含矢势A在内。 (1)、(2)两式把电磁场用矢 势和标势表示出来。但应注意：
(1) 变化的电磁场，E不再是保守力场，不存在势能的概念，
4
2. 电磁场的标势：
由于
E 0 ，所以，不可能用一个单独的 E
Β ，但由 可得： 0 Ε t
标势来描述E。 虽然
A Ε t A A 所以 Ε (Ε )0 t t A 该式表示 Ε 是无旋场，可以引入标势 t
1
§5.1 电磁场的矢势和标势
对于恒定场：
E 0
E
B 0
B A
当电场和磁场随时间变化时，电场和磁场都不是保守场。 从概念上，描述电磁场的矢势和标势与以前讲过的矢势、标 势是不同的概念；从物理意义上，描述电磁场的标势也失去 了“电势能”的含义，因而在高频电路中“电压”这一概念 也失去意义。
11
(1) 库仑规范 规范条件为
A 0
在库仑规范下，A是无散场，由A描述的B也是无散 场。而一般情况下，E既是有散场，也是有旋场。 在库仑规范下，
A E t
无旋场（纵场） 无散场（横场）
12
A E t
结论：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A E t
E 2
标势失去作为电场中的势能的意义。
6
(2) 变化的电磁场中，磁场和电场是相互作用着的整体， 必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。因此 我们说，描述电磁场的势有4个分量。 思考： 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时，电磁场的特点？ 当A与时间无关，即∂A/∂t=0时， 这时 就直接归结为电势。
磁场的(A, )不唯一。势的变换：
Α Α Β Α Α Ε t t
A A A ' t 称为规范变换，每一组势称为一种规范。各种规范描述同
一电磁场E和B，因此如果用势来描述电磁场，客观规律 跟势的特殊规范选择无关。
2 2
0
2
Α 0
这种规范的特点是标势所满足的方程与静电场情形相同， 其解是库仑势。解出 后代入第一式可解出 A，因而可以 确定辐射电磁场。
第五章电磁波的辐射
电磁波是由运动电荷辐射出来的。例如：无线电波是由 发射天线上的高频交变电流辐射出来的。本章研究高频交 变电流辐射电磁波的规律。 严格来说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用 的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过来作用到天线 电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上也 是一个边值问题。 天线电流和空间电磁场是相互作用的两方面，需要应用 天线表面上的边界条件，同时确定空间中的电磁波的形式 和天线上的电流分布。 这种问题的求解一般比较复杂。我们仅局限于讨论给定天 线上电流分布,计算辐射电磁波。