计算方法习题答案：计算方法1
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。
()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
()3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
()4.用近似表示cos x产生舍入误差。
( )5.和作为的近似值有效数字位数相同。
( )二、填空题1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为；2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限为，相对误差限为；3.误差的来源是；4.截断误差为；5.设计算法应遵循的原则是。
三、选择题1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5．作为的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确：(1)， (2)(3) ， (4)4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。
现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。
5*. 采用迭代法计算，取k=0,1,…,若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。
计算方法习题集及答案(总结版)
雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解： （1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛
计算方法练习题与答案
练习题与答案练习题一练习题二练习题三练习题四练习题五练习题六练习题七练习题八练习题答案练习题一一、是非题1.*x=–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限41021-⨯。
()2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。
( )3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。
( )4.用212x-近似表示cos x产生舍入误差。
( )和作为π的近似值有效数字位数相同。
( )二、填空题1.为了使计算()()2334912111y x x x =+-+---的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写为 ；2.*x =–是x 舍入得到的近似值，它有 位有效数字，误差限为 ，相对误差限为 ；3.误差的来源是 ；4.截断误差为 ；5.设计算法应遵循的原则是 。
三、选择题1．*x =–作为x 的近似值，它的有效数字位数为( ) 。
(A) 7； (B) 3；(C) 不能确定 (D) 5.2．舍入误差是( )产生的误差。
(A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值(C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值3．用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。
(A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入4．用s *=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g 为重力加速度)，s t 是在时间t 内的实际距离，则s t s *是（ ）误差。
(A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断5．作为2的近似值，有( )位有效数字。
(A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题1．，，227分别作为π的近似值，各有几位有效数字2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)1||,11211<<+-++x x x x ， (2) 1||1112<<+⎰+x dt t x x(3) 1||,1<<-x e x ， (4) 1)1ln(2>>-+x x x4．真空中自由落体运动距离s 与时间t 的关系式是s =21g t 2，g 为重力加速度。
计算方法_课后习题答案
L3 x 的最高次项系数是 6，试确定 y1 。
解： l0 (x)
x x1 x0 x1
x x2 x0 x2
x x3 x0 x3
x 0.5 0 0.5
x 1 0 1
x2 02
= x3
7 2
x2
7 2
x 1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
(2 2e1 4e0.5 )x2 (4e0.5 e1 3)x 1
2)根据Lagrange余项定理，其误差为
| R2 (x) ||
f
(3) ( 3!
)
21
(
x)
||
1 6
e
x(
x
1)(
x
0.5)
|
1 max | x(x 1)(x 0.5) |, (0,1) 6 0x1
x2 02
x4= 04
x3
7x2 14x 8 8
l1 ( x)
x x0 x1 x0
x x2 x1 x2
x x3 x1 x3
x0 1 0
x2 1 2
x4 1 4
=
x3
6x2 3
8x
l2 (x)
x x0 x2 x0
i j
而当 k 1时有
n
x jl j
j0
x
n
n
j0 i0 i j
x xi x j xi
x
j
计算方法 课后习题答案
，
正规方程组化为:
得 =2.43689 =0.291211
=2.43689所以 =11.45 = =0.291211
=2.43689所以 =11.45 1= =0.291211
12.求函数 在给定区间上对于 的最佳平方逼近多项式：
解：设
（1）
(2)
。
。
13. 上求关于 的最佳平方逼近多项式。
解：Legendre是[-1，1]上的正交多项式
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式 具有三次代数精度。
证明：
而当 时
左侧：
右侧：
左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1) ，（3） ，（4）
注意到这里 是三重零点， 是单零点，故插值余项为
20．求作次数 的多项式 ，使满足条件
并列出插值余项。
解法1：由于在 处有直到一阶导数值的插值条件，所以它是“二重节点”；而在 处有直到二阶导数值的插值条件所以 是“三重节点”。因此利用重节点的差商公式：
可以作出差商表
一阶
二阶
三阶
四阶
0
0
1
1
1
－1
－1
利用 的第1式，可将第2式化为
同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得
由 式消去 得
进一步整理
由此解出
解得：
因此所求的两点Gauss求积公式：
或依下面的思想：
解（2）：令原式对于 准确成立，于是有
《计算方法》练习题及答案
《计算方法》练习题及答案1. 单选题1. 数值3.1416的有效位数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6正确答案：C2. 常用的阶梯函数是简单的（）次样条函数。
A. 零B. 一C. 二D. 三正确答案：A3. 设求方程f(x)=0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A. 超线性B. 平方C. 线性D. 三次正确答案：C4. 构造拟合曲线不可以采用下列哪种准则（）A. 使残差的最大绝对值为最小B. 使残差的绝对值之和为最小C. 使残差的平方和为最小D. 是残差的绝对值之差为最小正确答案：D5. 欧拉法的局部截断误差阶为（）。
A. AB. BC.CD. D正确答案：B6. 依据3个样点（0，1），（1，2）（2，3），其插值多项式p(x)为（）A. xB. x+1C. x-1D. x+2正确答案：B7. 题面如下，正确的是（）A. 2B. 3C. -2D. 1正确答案：B8. 题面如下图所示，正确的是（）A. AB. BC. CD. D正确答案：D9. 用列主元消去法解线性方程组,A. 3B. 4C. -4D. 9正确答案：C10. 利用克莱姆法则求解行列式时，求解一个n阶方程组，需要（）个n阶行列式。
A. nB. n+1C. n-1D. n*n正确答案：C11. 线性方程组的解法大致可以分为（）A. 直接法和间接法B. 直接法和替代法C. 直接法和迭代法D. 间接法和迭代法正确答案：C12. （）的优点是收敛的速度快，缺点是需要提供导数值。
A. 牛顿法B. 下山法C. 弦截法D. 迭代法正确答案：A13. 设x* = 1.234是真值x = 1.23445的近似值，则x*有（）位有效数字。
A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：D14. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：C15. 所谓松弛法，实质上是（）的一种加速方法。
现代数值计算方法习题解答
E( x n ) x − x* ≈n = nE r ( x) = 0.01n . 所以 E r ( x ) = x xn
n
8 、解：
9 、证： E ( S ) = S − S * ≈ gt (t − t * ) = gtE (t ) Er (S ) = S − S * gt (t − t * ) 2 E (t ) ≈ = S t gt 2 / 2 由上述两式易知，结论.
* * 10 x 0 − 1 − 10 x0 + 1 |=1 x0 − x 0 | x1 − x1* |=| 0 | |< = 10δ
* * | x2 − x2 |=| 10 x1 − 1 − 10 x1 + 1 |=1 0 | x1 − x1* |< = 10 2 δ
类推有
* x10 − x10 | | < =1010 δ =
4
现代数值计算方法习题答案
是否大于零来判断.
3 2 3 3 2 所以系数矩阵是对称 = 2 > 0, 2 2 0 = 6 > 0, a11 ＝ 3 > 0, 2 2 3 0 12
正定的. 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
l11 = 3
3 2 1 3 2 所以系数矩阵是对称 = 2 > 0, 2 2 0 = 4 > 0, a11 ＝ 3 > 0, 2 2 1 0 3
正定的. 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
l11 = 3
l 21 =
2 3 3 6 3
l 22 =
所以数组 A 的形式为：
计算方法教程（第2版）习题答案
《计算方法教程(第二版)》习题答案第一章 习题答案1、浮点数系),,,(U L t F β共有 1)1()1(21++---L U t ββ 个数。
3、a ．4097b ．62211101110.0,211101000.0⨯⨯c ．6211111101.0⨯4、设实数R x ∈，则按β进制可表达为：,1,,,3,2,011)11221(+=<≤<≤⨯++++++±=t t j jd d lt t d t t d dd x βββββββ按四舍五入的原则，当它进入浮点数系),,,(U L t F β时，若β211<+t d ，则 l tt d dd x fl ββββ⨯++±=)221()(若 β211≥+t d ，则 l tt d d d x fl ββββ⨯+++±=)1221()(对第一种情况：t l lt l t t d x fl x -++=⨯≤⨯+=-βββββ21)21(1)()(11对第二种情况：t l ltl t t d x fl x -++=⨯≤⨯--=-ββββββ21)21(1)(11 就是说总有： tl x fl x -≤-β21)( 另一方面，浮点数要求 β<≤11d ， 故有l x ββ1≥，将此两者相除，便得t x x fl x -≤-121)(β 5、a ． 5960.1 b ． 5962.1 后一种准确6、最后一个计算式：00025509.0原因：避免相近数相减，避免大数相乘，减少运算次数7、a ．]!3)2(!2)2(2[2132 +++=x x x yb ．)21)(1(22x x x y ++=c ．)11(222-++=x x x yd ． +-+-=!2)2(!6)2(!4)2(!2)2(2642x x x x ye ．222qp p q y ++=8、01786.098.5521==x x9、 m )10(m f - 1 233406.0- 3 20757.0- 5 8.07 710计算宜采用：])!42151()!32141()!22131[()(2432+⨯-+⨯-+⨯--=x x x f第二章 习题答案1、a ．T x )2,1,3(= b ．T x )1,2,1,2(--= c ．无法解2、a ．与 b ．同上， c ．T T x )2188.1,3125.0,2188.1,5312.0()39,10,39,17(321---≈---=7、a ．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---14112111473123247212122123211231321213122 b ． ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----333211212110211221213231532223522121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111211212130213221219、T x )3415.46,3659.85,1220.95,1220.95,3659.85,3415.46(1= T x )8293.26,3171.7,4390.2,4390.2,3171.7,8293.26(2= 10、T LDL 分解：)015.0,579.3,9.1,10(diag D =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=16030.07895.05.018947.07.019.01L Cholesky 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1225.01408.10833.15811.18918.12333.12136.23784.18460.21623.3G 解：)1,1,2,2(--=x 12、16,12,1612111===∞A A A611,4083.1,61122212===∞A A A2)(940)()(12111===∞A Cond A Cond A Cond524)(748)()(22221===∞A C o n d A C o n d A C o n d⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--180.0000180.0000- 30.0000 180.0000- 192.0000 36.0000- 30.0000 36.0000- 9.0000,0.0139 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0556 0.1111- 0.0694- 0.1111- 0.0139 1211A A1151.372,1666.0212211==--A A15、 1A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 2A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代不收敛； 3A ：对应 Seidel Gauss - 迭代收敛，Jacobi 迭代收敛；第三章 习题答案1、Lagrange 插值多项式：)80.466.5)(20.366.5)(70.266.5)(00.166.5()80.4)(20.3)(70.2)(00.1(7.51)66.580.4)(20.380.4)(70.280.4)(00.180.4()66.5)(20.3)(70.2)(00.1(3.38)66.520.3)(80.420.3)(70.220.3)(00.120.3()66.5)(80.4)(70.2)(00.1(0.22)66.570.2)(80.470.2)(20.370.2)(00.170.2()66.5)(80.4)(20.3)(00.1(8.17)66.500.1)(80.400.1)(20.300.1)(70.200.1()66.5)(80.4)(20.3)(70.2(2.14)(4--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯+--------⨯=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x L Newton 插值多项式：)80.4)(20.3)(70.2)(00.1(21444779.0)20.3)(70.2)(00.1(527480131.0)70.2)(00.1(855614973.2)00.1(117647059.22.14)(4----+------+-+=x x x x x x x x x x x N2、设)(x y y =，其反函数是以y 为自变量的函数)(y x x =，对)(y x 作插值多项式：)1744.0)(1081.0)(4016.0)(7001.0(01253.0)1081.0)(4016.0)(7001.0(01531.0)4016.0)(7001.0(009640.0)7001.0(3350.01000.0)(----+---+--+--=y y y y y y y y y y y N 3376.0)0(=N 是0)(=x y 在]4.0,3.0[中的近似根。
计算方法练习题与答案
计算方法练习题与答案一、加减乘除练习1. 计算下列数的和并简化：a) 2 + 3 + 4 + 5b) 10 + 20 + 30 + 402.计算下列数的差：a) 100 - 50b) 75 - 253.计算下列数的积：a) 6 × 8b) 12 × 54.计算下列数的商：a) 100 ÷ 10b) 36 ÷ 6二、百分数计算练习1.计算以下百分数的值：a) 50% × 200b) 25% × 802.将以下分数转换为百分数：a) 1/4b) 3/53.将以下小数转换为百分数：a) 0.6b) 0.75三、比例计算练习1.解决以下比例问题：a) 如果一个长方形的长度为8cm，宽度为4cm，求其长宽比。
b) 假设一辆汽车每小时行驶50千米，行驶3小时，求行驶的总距离。
2.解决以下反比例问题：a) 如果一个鸟笼里有24只鸟，如果再加入6只鸟，那么所有鸟将平均得到多少空间？b) 一个机器能够在10小时内完成一项工作，那么如果再增加一倍的机器，需要多少小时才能完成同样的工作？四、平均值计算练习1.计算以下一组数的平均值：a) 5, 7, 9, 11, 13b) 16, 20, 24, 28, 322.已知某商品的销售数据如下，计算其平均销售量：月份销售量一月 120二月 150三月 170四月 140答案：一、加减乘除练习1.a) 2 + 3 + 4 + 5 = 14b) 10 + 20 + 30 + 40 = 1002.a) 100 - 50 = 50b) 75 - 25 = 503.a) 6 × 8 = 48b) 12 × 5 = 604.a) 100 ÷ 10 = 10b) 36 ÷ 6 = 6二、百分数计算练习1.a) 50% × 200 = 100b) 25% × 80 = 202.a) 1/4 = 25%b) 3/5 = 60%3.a) 0.6 = 60%b) 0.75 = 75%三、比例计算练习1.a) 长宽比为 8:4，简化为 2:1b) 汽车行驶总距离为 50km/h × 3h = 150km2.a) 初始鸟笼中每只鸟占据空间为 1/24，加入鸟后每只鸟占据空间为 1/30，所以平均空间为 30 / (24 + 6) = 1/2b) 原机器完成工作速率为 1/10，加入一倍机器后速率变为 1/20，完成工作所需时间为 10 × 2 = 20小时四、平均值计算练习1.a) 平均值 = (5 + 7 + 9 + 11 + 13) / 5 = 9b) 平均值 = (16 + 20 + 24 + 28 + 32) / 5 = 242. 平均销售量 = (120 + 150 + 170 + 140) / 4 = 145以上是本篇计算方法练习题与答案的内容。
计算方法-刘师少版课后习题答案
计算⽅法-刘师少版课后习题答案1.1 设3.14, 3.1415, 3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数解近似值x =3.14＝0.314×101,即m =1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*?≤=- x x .即n =3，故x =3.14有3位有效数字. x =3.14准确到⼩数点后第2位. ⼜近似值x =3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 5-1*10?50≤00000740=-.. x x 即m =1,n ＝5，x =3.1416有5位有效数字.⽽近似值x =3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有4-1*10?50≤00009260=-.. x x即m =1,n ＝4，x =3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五⼊得到的，那么该数有s 位有效数字1.2 指出下列各数具有⼏位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.0004 －0.00200 9000 9000.00解（1）∵ 2.0004＝0.20004×101, m=1绝对误差限：4105.0000049.020004.0-*?≤≤-=-x x xm -n =-4,m =1则n =5,故x =2.0004有5位有效数字1x =2，相对误差限000025.010221102151)1(1=??=??=---n r x ε（2）∵－0.00200= -0.2×10-2, m =-25105.00000049.0)00200.0(-*?≤≤--=-x x xm -n =-5, m =-2则n =3,故x =-0.00200有3位有效数字1x =2，相对误差限3110221-??=r ε=0.0025 (3) ∵ 9000=0.9000×104, m =4，0105.049.09000?<≤-=-*x x xm -n =0, m =4则n =4,故x =9000有4位有效数字4110921-??=r ε＝0.000056 (4) ∵9000.00=0.900000×104, m =4，2105.00049.000.9000-*?<≤-=-x x xm -n =-2, m =4则n =6,故x =9000.00有6位有效数字相对误差限为6110921-??=rε＝0.000 00056 由(3)与(4)可以看到⼩数点之后的0，不是可有可⽆的，它是有实际意义的.1.3 ln2=0.69314718…，精确到310-的近似值是多少？解精确到310-＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005,故⾄少要保留⼩数点后三位才可以.ln2≈0.693 2.1 ⽤⼆分法求⽅程013=--x x在[1, 2]的近似根，要求误差不超过31021-?⾄少要⼆分多少？解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使⽤⼆分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满⾜ε<-+)(211a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝10.2.3 证明⽅程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有⼀个根，使⽤⼆分法求误差不超过0.5×10-4的根要⼆分多少次？证明令f (x )＝1－x －sin x ，∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.⼜ f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间[0，1]内有唯⼀实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，使⽤⼆分法时，误差限为)(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满⾜ε<-+)(211a b k 即可，亦即7287.1312lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k只要取n ＝14.2.4 ⽅程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把⽅程写成四种不同的等价形式，并建⽴相应的迭代公式：（1）211xx +=，迭代公式2111kk x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+（3）112-=x x，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x试分析每种迭代公式的收敛性，并选取⼀种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
计算方法课后习题答案
计算方法课后习题答案在计算方法课程中，学生通常会接触到各种数学问题的求解方法，包括但不限于数值分析、线性代数、微分方程等。
以下是一些课后习题的解答示例：习题一：求解线性方程组设线性方程组为：\[ \begin{align*}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\\vdots \quad \quad & \ \vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m,\end{align*} \]解答：使用高斯消元法或矩阵分解法求解上述方程组。
首先将系数矩阵转换为行简化阶梯形式，然后回代求解未知数 \( x_1, x_2,\ldots, x_n \)。
习题二：数值积分给定函数 \( f(x) \)，需要在区间 \( [a, b] \) 上进行数值积分。
解答：可以使用梯形法、辛普森法等数值积分方法。
例如，使用梯形法的公式为：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{h}{2} \left( f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + \cdots + 2f(b-h) + f(b) \right), \]其中 \( h = \frac{b-a}{n} \) 是区间的等分宽度，\( n \) 是等分数。
习题三：常微分方程的数值解给定一个常微分方程 \( y' = f(x, y) \)，初始条件为 \( y(x_0) = y_0 \)。
解答：使用欧拉法或龙格-库塔法求解。
以欧拉法为例，其迭代公式为：\[ y_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n), \]其中 \( h \) 是步长，\( x_{n+1} = x_n + h \)。
计算方法习题及答案
第一章 绪论一.填空题1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y=为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***rx x e x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取1.73≈（三位有效数字），则-211.73 10 2≤⨯。
4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()()()=V V VV L W H L W HWH L HL W LW H ∂∂∂∆≈∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()r V V V∆∆=而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()()()325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤=2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()=b s ss a b a ba ab ∂∂∆≈∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()r s s s∆∆=而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()() 80*0.1110*0.119.019.00.0021598800r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。
计算方法习题第一、二章答案
第一章 误差1 问，，722分别作为π的近似值各具有几位有效数字分析 利用有效数字的概念可直接得出。
解 π= 592 65… 记x 1=，x 2=，x 3=722.由π- x 1= 59…= 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。
由π- x 2= 59…= 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字。
由π-722= 59 … 85…= 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。
2 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差限。
分析 本题显然应利用有效数字与相对误差的关系。
解 利用有效数字与相对误差的关系。
这里n=2,a 1是1到9之间的数字。
%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为%，问x*至少有几位有效数字 分析 本题利用有效数字与相对误差的关系。
解 a 1是1到9间的数字。
1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令-n+1=-1，则n=2，从而x*至少具有2位有效数字。
4 计算，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于%。
分析 本题应利用有效数字与相对误差的关系。
解 设取n 位有效数字，由=…，故a 1=9。
411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n r a x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a知取n=4即可满足要求。
5 计算76017591-，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
解 =-76017591 8×10-2-0.131 6×10-2=×10-5结果只有一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的扩大，若通分后再计算：56101734.0105768.01760759176017591-⨯=⨯=⨯=- 就得到4位有效数字的结果。