有限元：第四章-空间问题

N = 3n8 = 9n(d + 1)
3 等效接点力
n 是节点总数
F e = ∑ PCe + PSe + PVe + ∑ H e
e e PCe = ( N i ) C {G}, Psi = ∫∫ N i {q}dA, Pvi = ∫∫∫ N i p}dA, H e = ∫∫∫ B T Dε 0 dxdydz
20
20
20
(4-33)
坐标变换
x = ∑ N i xi ， y = ∑ N i y i ， z = ∑ N i y i
1 1 1
20
20
20
（4-34）
1 (1 − ξ 2 )(1 + η 0 )(1 + ς 0 ) 4 1 N i (ξ , η , ς ) = (1 − η 2 )(1 + ξ 0 )(1 + ς 0 ) 4 1 N i (ξ , η , ς ) = (1 − ς 2 )(1 + ξ 0 )(1 + ς 0 ) 4 N i (ξ , η , ς ,) =
1 N i (ξ , η , ς ) = (1 + ξ 0 )(1 + η 0 )(1 + ς 0 )(ξ 0 + η 0 + ς 0 − 2) 8
i = 1,2,⋯ 20
位移模式
u = ∑ N i u i ， v = (ξ , η , ς ) = ∑ N i vi ， w = ∑ N i wi
1 1 1
(r, s = i, j, m, p )
可见单刚元素由接点坐标和弹性常数决定。 2 总刚
（4-30）
F = Kδ
e K rs = ∑ K rs
ne
(r, s = 1,2,..., n )
K 是对称，带状，稀疏，半正定的。
（1）三维问题半带宽：
B = 3(d + 1)
d 是相邻节点号的最大差值
（2）总刚阵按半带宽的存储量
（5-64） 3 表面力 （a）沿坐标方向的面力分布
(q
x
qy
qz )
T
Qix ( Psx ) p sx Q = Qiy ( Psy ) = ∫ ∫ N i p sy dS Q ( P ) p iz sz sz
e i
→
第一类曲面积分
（4-4）
u ( x, y, z ) = N i u i + N j u j + N m u m + N p u p
其中
（4-5）
N i = (ai + bi x + ci y + d i z ) 6V
（4-6）
1 (a j + b j x + c j y + d j z ) 6V 1 Nm = (am + bm x + cm y + d m z ) 6V 1 Nn = − (an + bn x + cn y + d n z ) 6V Nj =−
Ni N （ N i ,r = lim i ，在 N i 为多项式） r →0 r r
用 N i ,r 代替
§ 4.3
一 形函数
空间等参元(20 空间等参元(20 节点)
z
y
1
3
2
x
小单元
边长为 2 的立方面元
节点位移 δ = δ1
e
[
T
T δ2
T … δ20 ， δi = (u i
]
T
vi
wi )
（4-11）
I 为 3 × 3 ，可以证明，相邻单元在交界面上连续（保续）
由几何方程得
ε = Bδ e = Bi
bi 0 1 0 Bi = 6V ci 0 di 0 ci 0 bi di 0
[
− Bj
0 0 di 0 c bi
Bm
− B p {δ}
]
（4-15）
(i,
j , m,
p)
（4-16）
可见，线性模式的四面体单元好是常应变元 3 应力
k
z ξ dξdη = S × T dξdη zξ
其中
k ij k jj k mj k pj
k im k jm k mm k pm
k ip k jp k mp k pp
4 × 4 子阵
（4-29）
K rs = BrT DB sV A1br c s + A2 c r bs A1br d s + A2 d r d s br bs + A2 (c r c s + d r d s ) A3 = A1c r bs + A2 br c s c r c s + A2 (d r d s + br bs ) A1c r d s + A2 d 2 c s 36V A d d + A b d A d c + A c d d d + A ( b b + c c ) 1 r s 2 r s 1 r s 2 r s r s 2 r s r s
δ e = δ iT
1 位移
(
δT j
T δm
)
（4-2）
i
Байду номын сангаас
m
j
y
0
单元内位移 u ( x, y, z ), v( x, y, z ), w( x, y, z ) 假定为线性分量
x
u = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 z v = α5 + α6 x + α7 y + α8 z w = α 9 + α 10 x + α 11 y + α 12 z
(4-40)
{σ} = D{ε} = DBδ
四 单元刚度方程
θ
（4-41）
δπ = 0
Kδ e = F e
60×60
K =∫ ∫ ∫ B
−1 −1 −1
1
1
1
T
DB J dξdηdς
（4-42）
[K ]
等效节点力
ij 3×3
=∫
1
−1 −1 −1
∫∫
1
1
BiT DB j J dξdηdς
ς η
F e = PVe + PSe + PCe
(i,
j , m,
p ) （4-24）
A1 =
µ
1− µ
, A2 =
1 − 2µ 2(1 − µ )
S 称为应力阵，可见单元内应力也为常量
§4-2 刚阵和等效节点力 刚阵和等效节点力
单元上作用集中力 {G} ，分布力 {q}体力 {p} ，则由虚功原理导出刚度方程（学生自导） ：
Kδ e = F e
三 应力
(4-39)
∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ς N 2 ,ξ N 2,η N 2,ς
∂z ∂ξ ∂z ∂η ∂z ∂ς x1 ⋯ N 20,ξ x2 ⋯ N 20,η ⋮ ⋯ N 20,ς x 20 y1 y2 ⋮ y 20 z1 z2 ⋮ z 20
ne
(
)
ne
{
（1）表面力： q} = q x
{
(
qy
qz )
T
一般在边界单元的表面上
（2）体力：单元自重，积分结果均分到四个节点上 （3）热何载： ε 0 = αT [1 1 1 0
0 0]
T
H e = B T Dα [1 1 1 0 0 0]∫∫∫Tdxdydz
若温度是线性分布，则：
（4-32）
T
（4-37）
形 函 数 N1 由 三 个 坐 标 面 ξ = 1,η = 1, ς = 1 和 过 9 ， 16 ， 17 点 平 面 方 程 构 成
N 1 = (ξ , η , ς , ) =
统一写为
1 (1 − ξ )(1 − η )(1 − ς )( −ξ − η − ς − 2 ) 8
（4-51）
（i=1,2,…,20）
(4-38)
∂N i N i ,ξ ∂x ∂N i −1 = [J ] N i ,η ∂y N i ,ς ∂N i ∂z ∂x ∂ξ ∂x [J ] = ∂η ∂x ∂ς N 1,ξ = N 1,η N 1,ς
v = N i vi + N j v j + N m v m + N p v p w = N i wi + N j w j + N m wm + N p w p
v w ) = Nδ e = [ N i I 3×3
T
（4-9）
{ f } = (u
2 应变
N j I 3×3
N m I 3×3
N p I 3×3 ]δe
{ξ } = Bδ = [B
e
1
B2 ⋯ B20 ] δ e
{ }
其中
∂N i ∂x 0 0 [ Bi ] = ∂N i ∂y 0 ∂N i ∂z
0 ∂N i ∂y 0 ∂N i ∂x ∂N i ∂z 0
0 0 ∂N i ∂z 0 ∂N i ∂y ∂N i ∂x
σ = Bε = DBδ e = Sδ e = si
[
− sj
sm
T
− s p δe
∂v ∂y ∂w ∂z