2020年高中数学必修4 平面向量知识点总结(精华版)

平行向量（也叫共线向量）：
方向相同或相反的非零向量
a
、
b
叫做平行向量，记作：
a
∥
b
，
规定：零向量和任何向量平行.
注：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直
线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！；
y1x 2
0
.
第4页共6页
【例】
向量垂直的充要条件:
a
b
a
b
0
|
a
b
||
a
b
|
x1 x2
y1 y2
0.
【例】
线段的定比分点
【例】
三角形重心公式
【例】
若△ABC 的三边的中点分别为 A(2，1)、B(-3，4)、C(-1，-1)，则△ABC 的重心坐标为
.
三点共线问题：
第5页共6页
【例】答案为：（4）（5）
向量的基本概念
向量的概念：
既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
零向量：
长度为 0 的向量叫零向量.规定：零向量的方向是任意的；
单位向量：
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 AB 共线的单位向量是
AB
）；
| AB |
相等向量：
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
【例】答案为：
【例】答案为：
.
第6页共6页
参考答案
【例】答案为：
【例】答案为：（1）-9.（2）1.（3） 23 . （4）30°.
【例】答案为：2.4.
【例】答案为： 4 或 0 且 1 ；
3
3
【例】 答案为：
【例】答案为：
【例】答案为：
(1,11), 3
(7,9)
.
【例】答案为：
【例】答案为：
【例】答案为：①⑥⑨. 【例】答案为：(1)2. (2)4. (3)-2 或 11. 【例】答案为：(1)m=1.5；(2).(1,3)或（3，－1）；(3)(b,-a)或(-b,a).
同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能
约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即
a
(b
c)
(a
b)
c
，为什么？
向量平行(共线)的充要条件
a
/
/b
ab
(a
b)
2
(|
a
|| b
|) 2
x1y 2
AC
；
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.
（2）向量的减法
运算法则：三角形法则.
运算形式：若
AB
a
，
AC
b
，则
a
b
AB
AC
CA
，即由减向量的终点指向被减向量的终点.
注：减向量与被减向量的起点相同.
【例】
坐标运算：设
a
( x1 ,
y1 )
，
b
(x2
,
y2
)
，则
（1）向量的加减法运算： a b (x1 x2 , y1 y2 ) ， a b (x1 x2 , y1 y2 ) .
b
的几何意义：数量积
a
b
等于
a
的模
|
a
|
与
b
在
a
上的投影的积.
向量数量积的性质：设两个非零向量
a
，
b
，其夹角为
，则：
【例】
向量的运算
几何运算
（1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.
运算形式：若 AB
a
， BC
b
，则向量 AC
叫做
a
与
b
的和，即
a
b
AB BC
【例】
实数与向量的积： a (x1, y1) ( x1, y1) .
若 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则 AB (x2 x1, y2 y1) ， 即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
第3页共6页
【例】
平面向量数量积：
a
b
x1 x2
④三点 A,B,C 共线 AB、AC 共线.
相反向量：
长度相等方向相反的向量叫做相反向量.
a
的相反向量记作
a
.
【例】如下列命题：
向量的表示方法
平面向量的基本定理 定理：
第1页共6页
【例】
实数与向量的积
两个向量的夹角： 平面向量的数量积：
平面向量的数量积
【例】
向量的投影： 【例】
第2页共6页
a
y1 y2
.
【例】
向量的模：
a
2
|
a
|2
x2
y2
|
a
|
x2 y2 .
来自百度文库
【例】
两点间的距离：若 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则 | AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 . 向量的运算律
【例】给出下列命题：
其中正确的是
.
说明：
（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边