线面垂直--经典练习题(精选.)
立体几何线面垂直-题型全归纳(解析版)
立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。
证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。
变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。
变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。
线面垂直题型20道
线面垂直题型20道
1. 两条直线的夹角为90度，则它们一定垂直。
2. 如果一条直线垂直于另一条直线，那么任意一条过这两条直线的线段，这条线段上的点就分别与这两条直线的交点连成的线段垂直。
3. 两条直线分别垂直于第三条直线，则这两条直线平行。
4. 一条线段的中垂线与线段垂直。
5. 任意一个点到平面上一直线的垂足所在的直线与这条直线垂直。
6. 如果一个三角形的两条边互相垂直，则这个三角形是直角三角形。
7. 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线称为这个平面的法线。
8. 一个正方体的某个面与它所在的平面垂直。
9. 一个矩形的对角线互相垂直。
10. 一个正方形的对角线互相垂直。
11. 如果两个面互相垂直，则它们的法线互相平行。
12. 如果平面P垂直于直线L1，且L1垂直于直线L2，则平面P和直线L2互相平行。
13. 如果两条直线互相垂直，则它们的斜率的乘积为-1。
14. 如果一条直线过一个圆的圆心，则这条直线与圆的切线垂直。
15. 如果一条直线垂直于直径所在的直线，则它和圆的切线互相平行。
16. 直角梯形的两条腰互相垂直。
17. 如果两个向量垂直，则它们的点积为0。
18. 如果直线L1垂直于平面P，那么L1上任意一点到P的距离均相等。
19. 一个正六面体的某个面与它所在的平面垂直。
20. 如果两个三维空间中的直线垂直，则它们的方向向量的点积为0。
线面垂直经典例题及练习题-完整可编辑版
页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！立体几何1．P 点在那么ABC ∆所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC两两垂直，那么D 点是那么ABC ∆ 〔 B 〕(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 〔 A 〕(A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行3．假设两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是〔 A 〕(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的选项是 〔 B 〕(A)假设直线//a 平面M ，直线b a ⊥，那么直线⊥b 平面M (B)假设平面M //平面N ，那么平面M 内任意直线a //平面N(C)假设平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，那么N b ⊥ (D)假设平面N 的两条直线都平行平面M ，那么平面N //平面M5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，以下命题中错误的选项是 〔A 〕 (A),,αα⊂⊂b a 且ββ//,//b a ，那么βα// (B)a 、b 是异面直线，那么存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥⊂⊥βα那么βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 那么b a ⊥6.直线l //平面α，αβ⊥，那么l 与平面β的位置关系是 〔 D 〕 (A) l β⊂ (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒，其中正确的选项是〔D 〕(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，那么〔 B 〕 (A)////αβγδ或 (B) ////αβγδ且(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，那么〔 D 〕(A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！10．PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，那么互相垂直的平面有〔 C 〕(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对12. 如图9-29，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． 求证：MN ⊥AB ．13. ：如图，AS ⊥平面SBC ，SO ⊥平面ABC 于O ， 求证：AO ⊥BC ．15. 如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC16. 如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，〔１〕求证：BC ⊥平面PAC ；〔２〕求证：PB ⊥平面AEF.17. 如图：PA ⊥平面PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥PM.CFEPBAC BAM P页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC的中点．且AC CC 21=.〔Ⅰ〕求证：CN //平面 AMB 1； 〔Ⅱ〕求证：平面AMG .【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
线面垂直及应用(习题及答案)
6
【参考答案】
1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 7. A 8. 证明略． 9. （1）证明略；
易得 AC1=BC1=
2 ， S△ABC
3， 4
在△ABC1 中，AC1=BC1= 2 ，AB=1，
∴ S△ABC1
7， 4
∵VCABC1 VC1ABC ，设点 C 到平面 ABC1 的距离为 d，
则 1 7 d 1 3 1 ，解得 d 21 ．
34
34
7
例 2：如图，∠BAC 在平面α内，点 P 在α外，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥α，垂足分别为 E，F，O，且 PE=PF，求证：∠BAO=∠CAO．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
6. 如图，PA⊥矩形 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
7. 如图，下列四个正方体中，l 是正方体的一条对角线，M，N， P 分别为其所在棱的中点，能得出直线 l⊥平面 MNP 的图形 是（ ）
① A．①④
线面垂直及应用（习题）
例题示范
例 1：如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=1，则点 C 到 平面 ABC1 的距离为（ ）
A． 42 6
B． 3 3
C． 21 7
D． 2 3 7
思路分析： 思路一：观察特征，考虑采用构造垂面法，取 AB 的中点 E ，易 证平面 C1CE⊥平面 ABC1，过点 C 作 CF⊥C1E，则 CF 的长即为 所求距离，接着在直角三角形中研究边角关系，求解． 思路二：采用等体积法，VCABC1 VC1ABC ，建立等式，求解．
线面垂直练习题
线面垂直练习题一、选择题1. 若直线a与平面α内的直线b垂直，且b⊂α，那么直线a与平面α的关系是（）。
A. 平行B. 垂直B. 相交D. 无法确定2. 在空间几何中，若直线m与平面α垂直，直线n在平面α内，且m与n相交，那么直线m与直线n的关系是（）。
A. 垂直B. 平行C. 异面D. 相交3. 已知直线l垂直于平面α，点P在平面α外，若要确定过点P且垂直于平面α的直线，需要（）。
A. 一条直线B. 两条直线C. 至少两条直线D. 无数条直线4. 若直线a与直线b相交，且a垂直于平面α，b在平面α内，则直线b与平面α的关系是（）。
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 无法确定5. 已知直线m垂直于直线n，直线m在平面β内，直线n在平面α内，若平面α与平面β垂直，则直线m与平面α的关系是（）。
A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面二、填空题6. 若直线a与平面α垂直，直线a上的点A到平面α的距离为d，则直线a上任意一点到平面α的距离都是________。
7. 在空间几何中，若直线l1与直线l2垂直，且l1在平面α内，l2在平面β内，若平面α与平面β垂直，则直线l1与直线l2的位置关系是________。
8. 已知直线m垂直于平面α，若平面β与平面α垂直，且直线m在平面β内，则直线m与平面α的位置关系是________。
9. 若直线a与直线b垂直，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且平面α与平面β垂直，则直线a与平面β的位置关系是________。
10. 若直线l垂直于平面α，点P在平面α上，直线l'过点P且与直线l垂直，则直线l'与平面α的位置关系是________。
三、解答题11. 已知直线a与平面α垂直，直线b在平面α内，直线a与直线b 相交于点A。
求证：点A是直线b在平面α上的垂足。
12. 已知平面α与平面β垂直，直线m垂直于平面α且在平面β内，直线n在平面α内。
求证：直线m与直线n垂直。
线面垂直判定经典证明题
线面垂直判定经典证明题1.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB和AC。
证明PA垂直于平面ABC。
2.已知：在三角形ABC中，PA垂直于AB，BC垂直于平面PAC。
证明PA垂直于BC。
3.已知：在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。
证明VB垂直于AC。
4.已知：在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD的中心。
证明BD垂直于平面AEGC。
5.已知：在圆O中，AB是直径，PA垂直于AC和AB。
证明BC垂直于平面PAC。
6.已知：在三角形ABC中，AD垂直于BD和DC，AD=BD=CD，∠BAC=60°。
证明BD垂直于平面ADC。
7.已知：在矩形ABCD中，PA垂直于平面ABCD，M和N分别是AB和PC的中点。
1) 证明MN平行于平面PAD。
2) 证明XXX垂直于CD。
3) 若∠PDA=45°，证明MN垂直于平面PCD。
8.已知：在棱形ABCD所在平面外，P满足PA=PC。
证明AC垂直于平面PBD。
9.已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，平面ABC垂直于平面BCD，E是棱BC的中点。
1) 证明AE垂直于平面BCD。
2) 证明AD垂直于BC。
10.在三棱锥ABCD中，AB=1，BC=2，BD=AC=3，AD=2.证明AB垂直于平面BCD。
11.在四棱锥S-ABCD中，SD垂直于平面ABCD，底面ABCD是正方形。
证明AC垂直于平面SBD。
12.已知：正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE垂直于平面CDE。
证明AB垂直于平面ADE。
13.在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，H是△XXX的垂心。
证明PH垂直于底面ABC。
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明A1C垂直于平面BC1D1.15.在△ABC所在平面外一点S，SA垂直于平面ABC，平面SAB垂直于平面SBC。
证明AB垂直于BC。
16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，AA1=2，D是A1B1的中点。
线面垂直经典例题及练习题-
坐体几许之阳早格格创做1二笔曲，是内的射影，PA（ B ）(A)沉心 (B) 垂心 (C)内心 (D)中心2．取二个相接仄里的接线仄止的曲线战那二个仄里的位子闭系是（ A ）(A)皆仄止 (B) 皆相接(C) 正在二个仄里内 (D)起码取其中一个仄止3．若二个仄里内分别有一条曲线，那二条曲线互相仄止，那么那二仄里的位子闭系是（ A ）(A)仄止 (B) 相接 (C)仄止或者相接 (D)笔曲4．正在空间，下述命题精确的是（ B ）(A)(B)(C)(D)5中过失的是（A）存留唯一的仄里距仄里，，则取仄里的位子闭系是（D ）D ) 以上三种情况均有大概7精确的是（D ）(A)①②(B)②④ (C)③④(D)①③8．是四个分歧的仄里，且B ）(C) 四个仄里中大概任性二个皆没有服止 (D) 四个仄里中至多有一对于仄里仄止9（ D ）(A) (B)(C) (D)10．已知正圆形地圆仄里，垂脚为，连C ）(A)5对于 (B)6对于 (C)7对于(D) 8对于12.如图9-29，PA ⊥仄里ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中面．供证：MN ⊥AB ．13. 已知：如图，AS ⊥仄里SBC ，SO⊥仄里ABC 于O ，供证：AO ⊥BC ．15.已知如图，P ∉仄里ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°供证：仄里ABC ⊥仄里PBC16. 如图：正在斜边为AB 的R t △ABC 中，过面A 做PA ⊥仄里ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF⊥PC 于F ，（１）供证：BC ⊥仄里PAC ；（２）供证：PB ⊥仄里AEF. 17. 如图：PA ⊥仄里PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中面，供证：BC ⊥PM.如图，正在正三棱柱111C B A ABC -.中，底里ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、C F E PBAC B A M PAB、BC的中面．且ACCC2.1（Ⅰ）供证：CN//仄里AMB1；（Ⅱ）供证：仄里AMG.。
立体几何线面垂直-题型全归纳(解析版)
立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。
证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。
变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。
变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。
A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。
线面垂直判定定理测试题(含答案)
线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=√3．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；（2）证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）解:PA //平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE =DE ，可得PA //DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12PA =1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1， 则三棱锥E -BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC=√12+12=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．（3）解：三棱锥E-BCF的体积：V E-BCF=V C-BEF=13×S△BEF×AD=1 3×12×BE×EF×AD=1 3×12×1×2×1=13．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V C-BEF，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA=√2=CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，∵BE＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2）连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.【答案】解：（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）AD⊥SD∴CD⊥平面ADS（II）矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．∴Rt△SDC中，SC=√(√3)2+22=√7∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，∴SC⊥BCtan∠SBC=SCCB =√71=√7cos∠SBC=√24从而SB与AD的成的角的余弦为√24．（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB∴SD⊥面ABCD．∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB又过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角在矩形ABCD中，对角线∵√12+22=√5BD=√5∴在△ABD中，AE=AB⋅CDBD =1⋅2√5=2√55由（2）知在Rt△SBC，SB=√(√7)2+12=√8．而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，∴AF=√22AB=√2∴sin∠AFE=AEAF =2√55√2=√105所以所求的二面角的余弦为√155【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，又因为直角梯形ABCD中，AC=2√2，CD=2√2，所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，因为BC∥AD，所以BOOD =GEED，则OE∥BG，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，在△DFG中，HE∥FG，则GEED =FHHD=12，在底面ABCD中，BC∥AD，所以BOOD =BCAD=12，所以FHHD =BOOD=12，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，所以BF∥平面ACE．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，CD=2√2，PD=√PA2+AD2=2√5，所以sin∠DPC=CDPD =2√22√5=√105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直M为CC1 的中点，AC交BD于点O，求证：1 如图1，在正方体ABCD?A1BC11D1中，AO?平面MBD． 1A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，∴DB⊥平面A?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1ACC1，而AO1． 1 323222设正方体棱长为a，则A1O?a，MO?a．2492222AM?a．∵AO 在Rt△AC中，，∴AOM?OM?MO2?AM111111 4∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．证明：连结MO，?．∵OM评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．利用面面垂直寻求线面垂直如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC．又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC．∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．．评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．判定性质判定性质????线面垂直???????面面垂直．这三者一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直?????之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AE?SB，AG?SD．证明：∵SA?平面ABCD，∴SA?BC．∵AB?BC，∴BC?平面SAB．又∵AE?平面SAB，∴BC?AEAE?平面SBC．∴AE?SB．同理可证AG?SD．．∵SC?平面AEFG，∴SC?AE．∴评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD ＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．∵AD?BD，∴DF?AB．又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴AH?平面BCD．评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA?平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC∵PA∴PA??BC．?平面ABC，BC?平面ABC，BC．∴BC?平面APC．∵BC?平面PBC，∴平面APC⊥平面PBC．∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，∴AE⊥平面PBC．∵AE?平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，已知条件出发寻找线线垂直的关系．6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD即证线面垂直，而证线面垂直则需从D证明：过A作AO⊥平面BCD于O?AB?CD，?CD?BO 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 . 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D 于是BD?CO?BD?ACAC证明：连结AC?BD?ACAC为A1C在平面AC上的射影?BD?A1C???A1C?平面BC1D同理可证A1C?BC1?8. 如图，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN?ABC1EN//DC2. 证：取PD中点E，则C?EN?AE///AM/MN9如图在ΔABC中，AD⊥BC， ED=2AE，过E作FG∥BC，且将ΔAFG沿FG折起，使∠A’ED=60°，求证:A’E⊥平面A’BC分析：A’C弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
线面垂直练习题及答案
线面垂直练习题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在空间几何中，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 相交D. 无法确定2. 若直线l与平面α垂直，直线m在平面α内，且直线l与直线m相交于点P，那么直线l与直线m的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 异面D. 相交但非垂直3. 在一个正方体中，如果一条直线垂直于正方体的一个面，那么这条直线与正方体的对角线的关系是什么？A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面4. 已知直线AB与直线CD相交于点P，且直线AB垂直于平面α，直线CD在平面α内，那么点P到平面α的距离是多少？A. 0B. 长度APC. 长度CPD. 无法确定5. 如果直线a与平面β垂直，直线b在平面β内，且直线a与直线b不共面，那么直线a与直线b的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面二、填空题（每空1分，共5分）6. 已知直线l垂直于平面α，若直线m在平面α内，且直线l与直线m的距离为d，则直线l与直线m的夹角为________。
7. 在三棱锥P-ABC中，若PA垂直于平面ABC，且AB垂直于AC，则PA 与AB的夹角为________。
8. 已知直线a垂直于直线b，直线c垂直于直线b，且直线a与直线c 相交，那么直线a与直线c的夹角为________。
三、计算题（每题5分，共10分）9. 在空间直角坐标系中，设直线l的方程为 \( x - 2y + z = 0 \)，平面α的方程为 \( 3x + y - 2z + 5 = 0 \)。
求证直线l与平面α垂直。
10. 已知直线AB通过点A(1,2,3)和点B(4,5,6)，求证直线AB垂直于平面xOy。
线面垂直及应用(习题及答案)
线面垂直及应用（习题）➢例题示范例1：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=1，则点C 到平面ABC1 的距离为（）A.42 6B.3C.217D.2 37思路分析：思路一：观察特征，考虑采用构造垂面法，取AB 的中点E ，易证平面C1CE⊥平面ABC1，过点C 作CF⊥C1E，则CF 的长即为所求距离，接着在直角三角形中研究边角关系，求解．思路二：采用等体积法，VC -ABC =VC -ABC，建立等式，求解．1 1解题过程：方法一：如图，取AB 的中点E，连接CE，C1E，过点C 作CF⊥C1E 于点F．在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，则AB⊥CC1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB⊥CE，又CE CC1=C，∴AB⊥平面CC1E，∴平面C1CE⊥平面ABC1，∴CF⊥平面ABC1，则CF 的长即为所求距离．在Rt△CEC1 中，CC1=1，CE = 3AB =3，∴C1E =2 2 =7．2由等面积得，CF =CC1 ⨯CE=C1E21，7即点C 到平面ABC1 的距离为21．71CC12 +CE 22 1 37方法二：在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，AB=BC=AC=CC1=1，易得AC1=BC1=，S△ ABC =4，在△ABC1 中，AC1=BC1= ，AB=1，∴ S△ ABC =4，∵VC -A BC=V C -ABC ，设点 C 到平面ABC1 的距离为d，1 1则1⨯7⨯d =1⨯3⨯1 ，解得d =21．3 4 3 4 7例2：如图，∠BAC 在平面α内，点P 在α外，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别为E，F，O，且PE=PF，求证：∠BAO=∠CAO．思路分析：根据特征，有线面垂直、平面的斜线与平面内直线垂直，根据三垂线定理的逆定理处理．解题过程：∵PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∴Rt△PAE≌Rt△PAF，∴AE=AF，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠BAO=∠CAO．2232 3323➢巩固练习1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，则点C 到平面PBD 的距离为（）A.B．C．D．1第1 题图第2 题图2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=2，AD=4，则点A 到平面PCD 的距离为（）A.63B.2C．26D．233.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2，PA=AB=1，则点D 到平面PBC 的距离为（）A.22B.1C．12 3D．33第3 题图第4 题图4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E 是BC 的中点，则点B1 到平面AEC1 的距离为（）A.B．4 3C．3D．623665.下列命题：①若a 是平面α的斜线，直线b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b；②若a 是平面α的斜线，平面β内的直线b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b；③若a 是平面α的斜线，直线b⊂α且b 垂直于a 在另一平面β内的射影，则a⊥b；④若a 是平面α的斜线，直线b∥α且b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个6.如图，PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．PA⊥BD7.如图，下列四个正方体中，l 是正方体的一条对角线，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线l⊥平面MNP 的图形是（）①②③④A．①④B．①②C．②④D．①③48.直接利用三垂线定理证明下列各题：（1）已知：PA⊥正方形ABCD 所在平面，O 是BD 的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD．（2）已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M 是BC 的中点，求证：BC⊥AM．59.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ACB=90°，AC=BC=a，AA1 2a ，D，E，M 分别为棱AB，BC，AA1的中点．（1）求证：A1B1⊥C1D；（2）求点C 到平面MDE 的距离．10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=4，AC=AA1=2，∠ACB=90°．（1）求证：A1C⊥B1C1；（2）求点B1 到平面A1BC 的距离．62 【参考答案】 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.A 7.A 8. 证明略．9. （1）证明略； （2）点 C 到平面 MDE 的距离为 6a ．610. （1）证明略；（2）点 B 1 到平面 A 1BC 的距离为 ．7。
线面垂直判定定理测试题（含答案）
线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线上一点．段AC的中点，E为线段PC（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．第1页，共11页3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 （1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；的体积．（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD． （1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，的体积比．且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；所成角的余弦值；的余弦值．（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；所成的角的正弦值．（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，A B可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；的中点，（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）解:PA//平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA//DE，又D为AC的中点，的中点，可得E为PC的中点，且DE=PA=1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，2=1，可得S△BDC=S△ABC=××2×2×2=1则三棱锥E-BCD的体积为DE•S△BDC=×1×1×1=1=．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：是正方形，）证明： 底面ABCD是正方形，AB∥CD , 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，AB∥平面PCD , 又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，AB∥EF ; （2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD , 又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PADCD⊥平面PAD , 又AF⊂平面PAD , CD⊥AF , 由（1）可知，AB∥EF，在同一平面内，又AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，CD∥EF , 中点，点E是棱PC中点，点F是棱PD中点, 中， PA=AD，在△PAD中，AF⊥PD , 又PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD, AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：）证明：四边形ABEF 为矩形，AF ∥BE ，AF ⊄平面BCE ，BE ⊄平面BCE ，AF ∥面BCE ．（2）证明：）证明： AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，为矩形，BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， AC ⊥BE ，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB =90°，AB ∥CD ，AD =AF =CD =1，AB =2 AC =BC = = ，AC 2+BC 2=AB 2， AC ⊥BC ， BC ∩BE =B ， AC ⊥面BCE ．（3）解：三棱锥E -BCF 的体积：V E -BCF =V C -BEF =△ = == ．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF ∥BE ，由此能证明AF ∥面BCE ．（2）推导出AC ⊥BE ，AC ⊥BC ，由此能证明AC ⊥面BCE ．（3）三棱锥E-BCF 的体积V E-BCF =V C-BEF ，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC 中点O ，连结DO 、BO ， △ABC 是正三角形，AD =CD ，DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，DO ∩BO =O ， AC ⊥平面BDO ，BD ⊂平面BDO ， AC ⊥BD ．（2）解：连结OE ，由（1）知AC ⊥平面OBD ，OE ⊂平面OBD ， OE ⊥AC ，设AD =CD = ，则OC =OA =1，EC =EA ，AE ⊥CE ，AC =2， EC 2+EA 2=AC 2，EC =EA = =CD ，E 是线段AC 垂直平分线上的点，垂直平分线上的点， EC =EA =CD = ，由余弦定理得：由余弦定理得：cos ∠CBD = = ， 即 ，解得BE =1或BE =2，BE ＜BD =2， BE =1， BE =ED ，四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ，BE =ED ， S △DCE =S △BCE ，四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC 中点O ，连结DO 、BO ，推导出DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，从而AC ⊥平面BDO ，由此能证明AC ⊥BD ．（2）连结OE ，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED ，四面体ABCE 与四面体ACDE 的高都是点A 到平面BCD 的高h ，S △DCE =S △BCE ，由此能求出四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．5.【答案】解：（I ）证明：）证明：ABCD 是矩形，是矩形， CD ⊥AD 又SD ⊥AB ，AB ∥CD ，则CD ⊥SD （2分）分）AD ⊥SDCD ⊥平面ADS（II ）矩形ABCD ， AD ∥BC ，即BC =1，要求AD 与SB 所成的角，即求BC 与SB 所成的角所成的角在△SBC 中，由（1）知，SD ⊥面ABCD ．Rt △SDC 中， CD 是CS 在面ABCD 内的射影，且BC ⊥CD ，SC ⊥BCtan ∠SBC = cos ∠SBC =从而SB 与AD 的成的角的余弦为 ．（III ） △SAD 中SD ⊥AD ，且SD ⊥ABSD ⊥面ABCD ．平面SDB ⊥平面ABCD ，BD 为面SDB 与面ABCD 的交线．的交线．过A 作AE ⊥DB 于E AE ⊥平面SDB又过A 作AF ⊥SB 于F ，连接EF ，从而得：EF ⊥SB ∠AFB 为二面角A -SB -D 的平面角的平面角在矩形ABCD 中，对角线中，对角线 BD = 在△ABD 中，AE = 由（2）知在Rt △SBC ， ． 而Rt △SAD 中，SA =2，且AB =2， SB 2=SA 2+AB 2， △SAB 为等腰直角三角形且∠SAB 为直角，为直角，所以所求的二面角的余弦为【解析】 （1）要证CD ⊥平面ADS ，只需证明直线CD 垂直平面ADS 内的两条相交直线AD 、SD 即可；（2）要求AD 与SB 所成的角，即求BC 与SB 所成的角，解三角形可求AD 与SB 所成角的余弦值；（3）过A 作AE ⊥DB 于E 又过A 作AF ⊥SB 于F ，连接EF ，说明∠AFB 为二面角A-SB-D 的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D 的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M 、N 分别为PD 、PC的中点，的中点，所以MN ∥DC ，又因为底面ABCD 是矩形，是矩形，所以AB ∥DC ．所以MN ∥AB ，又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ．（2）因为AP =AD ，P 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD ∩平面ABCD =AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ， 又AM ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AM ．因为CD 、PD ⊂平面PCD ，CD ∩PD =D ，AM ⊥平面PCD ．【解析】（1）推导出MN ∥DC ，AB ∥DC ．从而MN ∥AB ，由此能证明MN ∥平面PAB ．（2）推导出AM ⊥PD ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面PAD ，进而CD ⊥AM ，由此能证明AM ⊥平面PCD ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又因为直角梯形ABCD 中， ， ，所以AC 2+CD 2=AD 2，即AC ⊥CD ，又PA ∩AC =A ，所以CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD ，交AC 于O ，取PE 中点G ，连接BG ，FG ，EO ，则在△PCE 中，FG ∥CE ，又EC ⊂平面ACE ，FG ⊄平面ACE ，所以FG ∥平面ACE ，因为BC ∥AD ，所以 ，则OE ∥BG ，又OE ⊂平面ACE ，BG ⊄平面ACE ，所以BG ∥平面ACE ，又BG ∩FG =G ，所以平面BFG ∥平面ACE ，因为BF ⊂平面BFG ，所以BF ∥平面ACE ．解法二：如图，连接BD ，交AC 于O ，取PE 中点G ， 连接FD 交CE 于H ，连接OH ，则FG ∥CE ，在△DFG 中，HE ∥FG ，则 ，在底面ABCD 中，BC ∥AD ，所以 ， 所以 ，故BF ∥OH ，又OH ⊂平面ACE ，BF ⊄平面ACE ，所以BF ∥平面ACE ．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD ⊥平面PAC ，所以∠DPC 为直线PD 与平面PAC 所成的角，所成的角，在Rt △PCD 中， ， ，所以 ，所以直线PD 与平面PAC 所成的角的正弦值为． 【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。
线面垂直习题精选完整版
线面垂直的证明中的找线技巧◆通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图1，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ． 证明：连结MO ，1A M ，∵DB ⊥1A A ，DB ⊥AC ，1A A AC A =，∴DB ⊥平面11A ACC ，而1AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1AO ．设正方体棱长为a ，那么22132A O a =，2234MO a =．在Rt △11AC M 中，22194A M a =．∵22211AO MO AM +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =O ，∴ 1AO ⊥平面MBD ．评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．◆利用面面垂直寻求线面垂直2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC ．∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．〔另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC 〕．评注：条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过此题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于EFG ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．证明：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．评注：此题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵ACBC =，∴CF AB ⊥．∵AD BD =，∴DF AB ⊥．又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ．∵CD⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥．又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，∴AH ⊥平面BCD ．评注：此题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ．假设AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ． 证明：∵AB 是圆Ｏ的直径，∴AC BC ⊥．∵PA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面APC ．∵BC ⊂平面PBC ， ∴平面APC ⊥平面PBC ．∵AE ⊥PC ，平面APC ∩平面PBC ＝PC ， ∴AE ⊥平面PBC ．∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ．评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直那么需从条件出发寻找线线垂直的关系．6. 空间四边形ABCD 中，假设AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDAD B O C证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于OAB CD CD BO⊥∴⊥， 同理BC ⊥DO ∴O 为△ABC 的垂心 于是BD CO BD AC ⊥⇒⊥7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DD 1 C 1A 1B 1D CA B证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥PND CA BM. 证：取PD 中点E ，那么EN DC//12PE ND CA BM⇒ENAM// ∴AE MN//又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭ ⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
线面垂直经典例题及练习题-之欧阳理创编
立体几何1．P 点在则ABC ∆所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC内的射影 ，PA 、PB 、PC 两两垂直，则D 点是则ABC ∆ （ B ）(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 （ A ）(A)都平行 (B) 都相交(C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是（ A ）(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直4．在空间，下述命题正确的是 （ B ）(A)若直线//a 平面M ，直线b a ⊥，则直线⊥b 平面M(B)若平面M //平面N ，则平面M 内任意直线a //平面N(C)若平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，则N b ⊥(D)若平面N 的两条直线都平行平面M ，则平面N //平面M5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，下列命题中错误的是 （A ）(A),,αα⊂⊂b a 且ββ//,//b a ，则βα// (B)a 、b 是异面直线，则存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥⊂⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥6.直线l //平面α，αβ⊥，则l 与平面β的位置关系是（D ）(A) l β⊂ (B) //l β(C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒，其中正确的是（D ） (A)①②(B)②④ (C)③④(D)①③8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，则（ B ）(A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行9．已知平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，则（ D ）(A) 在β内一定存在与a 平行的直线(B) 在β内一定存在与a 垂直的直线(C) 在β内一定不存在与a平行的直线(D) 在β内一定不存在与a垂直的直线10．已知PA⊥正方形ABCD所在平面，垂足为A，连PB PC PD AC BD，，、，，则互相垂直的平面有（ C ）(A)5对 (B)6对 (C)7对(D) 8对12.如图9-29，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N 分别是AB、PC的中点．求证：MN⊥AB．13.已知：如图，AS⊥平面SBC，SO⊥平面ABC于O，求证：AO⊥BC．15.已知如图，P∉平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°求证：平面ABC⊥平面PBC16. 如图：在斜边为AB的R t△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF ⊥PC于F，（１）求证：BC⊥平面PAC；（２）求证：PB⊥平面AEF.17.如图：PA⊥平面PBC，AB＝AC，M是BC的中C FEPB AP点，求证：BC ⊥PM. 如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC 的中点．且AC CC 21=.（Ⅰ）求证：CN //平面AMB 1；（Ⅱ）求证：平面AMG .时间：2021.03.05创作：欧阳理。
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1.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BCD ∠=︒，AB CD ∥，又1AB BC PC ===，2PB =，2CD =，AB PC ⊥．
(Ⅰ)求证：PC ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求PA 与平面ABCD 所成角的大小； (Ⅲ)求二面角B PD C --的大小．
2.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB CD ∥，90BAD ∠=︒，2PA AD DC ===，4AB =． (Ⅰ)求证：BC PC ⊥；
(Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PBC 的距离．
3.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB CD ∥，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面1D DB ；
（Ⅱ）求1D B 与平面11D DCC 所成角的大小．
9.如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 和△PBC 是边长为2的等边三角形，AB ＝2，O 是AB 中点．
(1)在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； (2)求证：平面PAB ⊥平面ABC .
10.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.
求证:VC ⊥AB ;
11.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点．
（1）求证：//1C B 平面BD A 1；
（2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ； 提示：11A C 中点和1B A 连
D
A C
B
S
E F
G
A 1
B 1
C 1 A
B C
D
12.已知等腰梯形PDCB 中，A PD DC PB ,2,1,3===为PB 边上一点，且PB DA ⊥，将PAD ∆ 沿AD 折起，使AB PA ⊥
求证：（1）PAB CD 面//；（2）PAC CB 面⊥
13.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1,BC BC BC AB ⊥⊥,1BC AB =，,,E F G 分别为线段1111,,AC AC BB 的中点，求证：（1）平面ABC ⊥平面1ABC ； （2）//EF 面11BCC B ； （3）GF ⊥平面11AB C
14.如图，在直角梯形ABCD 中，∠B ＝90°，DC ∥AB ，BC ＝CD ＝1
2AB ＝2，G 为线段AB 的中点，将△ADG 沿GD 折起，使平面ADG ⊥平面BCDG ，得到几何体A －BCDG. (1)若E ，F 分别为线段AC ，AD 的中点，求证：EF ∥平面ABG ； (2)求证：AG ⊥平面BCDG ；(3)求V C －ABD 的值．
1.如图，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，（I ）证明：侧面PAB ⊥侧面PBC ；
（II ）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角； （III ）求直线AB 与平面PCD 的距离．
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