沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-学生版讲义

三角形、梯形的中位线

知识精要

一、三角形的中位线

1）、三角形的中位线定义：

在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点

∴线段EF 是 △ABC 的 ∴ 线段MN 是△ABC 的

2）、三角形有 条中位线，它们构成的三角形叫 。 3）、三角形的中位线定理：

4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___ ______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是

6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是_

结论：中点三角形的周长等于原三角形的 .

7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__

结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形

1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫

2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是 ； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是 ；

3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是 ； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是 。 5）、任意四边形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ；

矩形、等腰梯形的中点四边形是 ；正方形的中点四边形是 。

三、梯形中位线

1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

2、梯形中位线定理： 热身练习

1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 cm 2。 2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是 cm ．

5. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 cm 2．

6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( )

A. (a+b+c)

B. (a+b+c)

C. (a+b+c)

D. (a+b+c)

7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是 （ ） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:5 8．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ ）

A. B. a C. D. 都不对

9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则 （ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：4

10. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？

（10题图） （11题图）

11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．

精解名题

例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中，∠=ACB D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，∠=∠FEC B 。

（1）求证：CF=DE；

（2）若AC=6，AB=10，求四边形DCFE的面积。

B

D E

A C F

例2．四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形

证明：

变式1．四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点。

求证：四边形EGFH是平行四边形

证明：

结论：任意四边形的中点四边形是

变式2. 四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

求证：四边形EFGH是菱形。

结论：对角线相等的四边形的中点四边形是

变式3.已知菱形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

求证：四边形EFGH是矩形。

结论菱形的中点四边形是

例3.已知四边形ABCD中，AC、BD交于O点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，四边形ABCD与四边形EFGH周长的和等于33厘米．求四边形EFGH的周长．

例4. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB ＞CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点. 求证：EF=

2

1

（AB-CD ） A

B C

D

E

F

变式1. 已知：如图所示，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点。 求证：EF AB CD <

+1

2

() A D

F E

B C

备选例题

例1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。求证：MD ⊥MC 。

例1图

N

M D

C

B A

例2.如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

例2图

Q

P M

D

C

B

A

例3． E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中点，若EF ＝)(2

1

CD AB ，问：ABCD 是什么四边形？请说明理由。

方法提炼：