沪教版八年级数学-三角形梯形的中位线-学生版讲义

三角形、梯形的中位线

知识精要

一、三角形的中位线

1）、三角形的中位线定义：

在△ABC 中①、BC AB F E 、为、 的中点 ②、∵M 、N 分别是BC 、AC 的中点

∴线段EF 是 △ABC 的 ∴ 线段MN 是△ABC 的

2）、三角形有 条中位线，它们构成的三角形叫 。 3）、三角形的中位线定理：

4）、在△ABC 中，AB =3，BC =5，CA =7，顺次连结三边中点得△DEF 的周长为___ ______. 5）、在△ABC 中，D 、E 、F 分别 为AB 、BC 、CA 的中点，△DEF 的周长为10，则△ABC 的周长是

6）、三角形的三条中位线的长分别是3，4，5，则这个三角形的周长是_

结论：中点三角形的周长等于原三角形的 .

7）、一个三角形的面积是40，则它的中点三角形的面积是__

结论：中点三角形的面积是原三角形面积的_ 二、中点四边形

1、定义：顺次连接四边形各边中点的四边形叫

2、中点四边形的形状与原四边形的对角线数量和位置有关 1）、原四边形的对角线相等时，中点四边形是 ； 2）、原四边形的对角线垂直时，中点四边形是 ；

3）、原四边形的对角线既相等又垂直时，中点四边形是 ； 4）、原四边形的对角线既不相等又不垂直时，中点四边形是 。 5）、任意四边形的中点四边形是 ；菱形的中点四边形是 ；

矩形、等腰梯形的中点四边形是 ；正方形的中点四边形是 。

三、梯形中位线

1、定义：联结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

2、梯形中位线定理： 热身练习

1．若三角形三条中位线长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则这个三角形的面积是 cm 2。 2．梯形的上底长为6，下底长为10，则由中位线所分得的两个梯形的面积之比为 ． 3. 梯形的两条对角线的中点的连线长为7，上底长为8，则下底长为 ． 4. 若等腰梯形的腰长是5cm ，中位线是6cm ，则它的周长是 cm ．

5. 已知等腰梯形的上、下底长分别为 2cm 和6cm ，且它的两条对角线互相垂直，则这个梯形的面积为 cm 2．

6. 已知三角形三边长分别为a 、b 、c ，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是( )

A. (a+b+c)

B. (a+b+c)

C. (a+b+c)

D. (a+b+c)

7．若等腰梯形较长的底等于对角线，较短的底等于高，则较短的底和较长的底的长的长度之比是 （ ） A.1:2 B. 2:3 C.4:1 D. 3:5 8．直角梯形中，上底和斜腰长均为a ，且斜腰和下底的夹角是60°，则梯形中位线长为（ ）

A. B. a C. D. 都不对

9．在梯形ABCD 中，AB//CD ，DC ：AB=1：2，E 、F 分别是两腰BC 、AD 的中点，则 （ ） A. 1：4 B. 1：3 C. 1：2 D. 3：4

10. 如图，在直角梯形ABCD 中，点O 为CD 的中点，AD ∥BC,试判断OA 与OB 的关系？

（10题图） （11题图）

11. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 中点，连结EC 、ED 、CE ⊥DE ，CD 、AD 与BC 三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由．

精解名题

例1．已知：如图所示，Rt △ABC 中，∠=ACB D E 90°，、分别为AB 、BC 的中点，点F 在AC 的延长线上，∠=∠FEC B 。

（1）求证：CF=DE；

（2）若AC=6，AB=10，求四边形DCFE的面积。

B

D E

A C F

例2．四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形

证明：

变式1．四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点。

求证：四边形EGFH是平行四边形

证明：

结论：任意四边形的中点四边形是

变式2. 四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点

求证：四边形EFGH是菱形。

结论：对角线相等的四边形的中点四边形是

变式3.已知菱形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，

求证：四边形EFGH是矩形。

结论菱形的中点四边形是

例3.已知四边形ABCD中，AC、BD交于O点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，四边形ABCD与四边形EFGH周长的和等于33厘米．求四边形EFGH的周长．

例4. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，且AB ＞CD ，E ，F 分别是AC ，BD 的中点. 求证：EF=

2

1

（AB-CD ） A

B C

D

E

F

变式1. 已知：如图所示，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点。 求证：EF AB CD <

+1

2

() A D

F E

B C

备选例题

例1.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是腰AB 的中点，且AD ＋BC ＝DC 。求证：MD ⊥MC 。

例1图

N

M D

C

B A

例2.如图，△ABC 的三边长分别为AB ＝14，BC ＝16，AC ＝26，P 为∠A 的平分线AD 上一点，且BP ⊥AD ，M 为BC 的中点，求PM 的长。

例2图

Q

P M

D

C

B

A

例3． E 、F 为凸四边形ABCD 的一组对边AD 、BC 的中点，若EF ＝)(2

1

CD AB ，问：ABCD 是什么四边形？请说明理由。

方法提炼：

巩固练习

1．一个等腰梯形的周长为100cm ，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm ，那么这个梯

形的面积是 。

2．若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。

3．三角形各边分别是3cm 、5cm 、6cm ，则连结各边中点所围成的三角形的周长是 . 4. 已知梯形的中位线长16cm ，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是 cm.

5.如图5，△ABC 中，AD 、BE 是中线且交于G ，那么 ＝ .

图5 图6

6. 如图6，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12，BC ＝16，中位线EF 与对角线分别相交于H 和G ，则GH 的长是 . 自我测试

1．若梯形的一底长是14cm ，中位线长是16cm ，则另一底长为＿＿＿cm ． 2．已知梯形中位线长是5cm ，高是4cm ，则梯形的面积是 ． 3．梯形上底与中位线之比是2：5，则梯形下底与中位线之比是 ．

4．如图，ABC ?沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，若点D 为AB 边的中点， 50=∠B ，则A BD '∠的度数为 .

5．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是梯形的中位线，G 是BC 上任意一点，如果

22=?GEF S cm 2，那么梯形ABCD 的面积是 。

第5题图

G

F

E

D

C

B

A

第6题图

N M

F

E

D

C

B

A

第7题图

G Q P

F

E D

C

B

A

6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝300，∠C ＝600，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BC 、DA 的中点，已知BC ＝7，MN ＝3，则EF ＝ 。

7．如图，D 、E 、F 分别为△ABC 三边上的中点，G 为AE 的中点，BE 与DF 、DG 分别交于P 、Q 两点，则PQ ∶BE ＝ 。

8. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 是对角线，EF 为中位线，若ABD S ?∶BDC S ?＝1∶2，则AEFD S 梯形∶

EBCF S ?＝ 。

9. 等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm ，则它的高为（ ） A 、4 cm B 、24cm C 、8cm D 、28cm

10. 已知等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，它的中位线长为28cm ，周长为104cm ，AD 比AB 少6cm ，则AD ∶AB ∶BC ＝（ ）

A 、8∶12∶5

B 、2∶3∶5

C 、8∶12∶20

D 、9∶12∶19

11．如图，已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A 、

20031 B 、20041 C 、200321 D 、20042

1

（11题图）（12题图）

12. 如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，又AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分EG于T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG。其中正确的是（）

A、①和②

B、②和③

C、①②④

D、②③④

13. A′、B′、C′、D′顺次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是( )

A.四边形ABCD是矩形

B.四边形ABCD是菱形

C.四边形ABCD是等腰梯形

D.四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC＝BD

14．如图4.11-21，△ABC中，如果AB＝30cm，BC＝24cm，AC＝27cm，AE＝EF＝FB，EG ∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为( )

A.70cm

B.75cm

C.80cm

D.81mc

15. 已知：如上图在△ABC中，AH⊥BC于H，D、E、F、分别为AB、BC、CA的中点．求证四边形EFDH是等腰梯形。

16. 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD ⊥BC 于点D ，E 为BC 的中点，求证：DE=2

1AB.

17. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝600，AC 平分∠DAB ，E 、F 是对角线AC 、BD 的中点，且EF ＝a ，求梯形ABCD 的面积。

解：

j A

D

B

C

E