全概率公式、贝叶斯公式推导过程
概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式
C72 C125
C52 C120
ห้องสมุดไป่ตู้
C82 C125
C32 C120
C81C71 C125
C42 C120
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三、全概率公式应用
例2. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛
取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛
取得3个新球的概率．
解：Ai={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 )
由乘法公式得， P(B/Ω1)= P(Ω1B)/P(Ω1)= P(Ω1B)，
所以，P(B)= P(Ω1B)，其中 Ω1为Ｅ1的基本空间件。
而，Ω1B= (A1+A2+…+An)B= A1B+ A2B+…+ AnB，从而有
n
n
P(B) P(1B) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式推导 三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
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全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入
引例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 B i∩ B j= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω ，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程条件概率是指在一些事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(A)>0，条件概率P(B，A)定义为：P(B，A)=P(A∩B)/P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
首先，我们来推导全概率公式。
全概率公式是用来计算一个事件的概率的，当我们无法直接计算这个事件发生的概率时，可以通过计算其与多个不同事件的交集的概率来间接计算。
假设有一组互斥的事件B1,B2,...,Bn，它们加起来构成了样本空间，即B1∪B2∪...∪Bn=S，其中S表示样本空间。
同时，假设事件A是一个我们感兴趣的事件。
那么，全概率公式可以表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)这个公式的意义是，我们可以将事件A的概率表示为事件A在每个不同事件Bi上发生的概率乘以事件Bi发生的概率的和。
接下来，我们来推导贝叶斯公式。
贝叶斯公式是一种在已知事件B发生的条件下，计算事件A发生的概率的方法。
假设我们需要计算事件A的概率，但是只能通过事件B发生的条件下计算。
贝叶斯公式可以表示为：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)在这个公式中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
贝叶斯公式的推导过程如下：根据条件概率的定义，我们有P(A∩B)=P(A，B)P(B)，同样地，P(B∩A)=P(B，A)P(A)因为P(A∩B)=P(B∩A)，所以P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)将上式转化为等式P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)，即得到贝叶斯公式。
总结起来，全概率公式和贝叶斯公式是概率论中经常使用的两个公式。
全概率公式可以帮助我们计算一个事件的概率，通过将该事件与多个不同事件的交集的概率相加来间接计算。
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
第7节 全概率公式和贝叶斯公式
0.4825.
练习1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别 为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0；求 他迟到的概率．
解 设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来， A4＝他乘飞机来，B＝他迟到。
易见：A1, A2, A3, A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
1. 引例 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红 球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求
(1)从乙盒取出2个红球的概率; (2)已知从乙盒取出2个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。
解 (1)设A1=从甲盒取出2个红球，A2=从甲盒取出2个白球； A3＝从甲盒取出1个白球1个红球 ；B=从乙盒取出2个红球； 则A1, A2, A3 两两互斥，且A1+A2+A3=Ω, 所以
i 1
i 1
i 1
3. 全概率公式的应用
如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而成， E1有若干种可能的结果，E2在E1的基础上也有若干种 可能的结果，如果求与E2的结果有关事件的概率，可 以用全概率公式．试验E１的几种可能的结果就构成了 完备事件组．
例1 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三 等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的 穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所 结的穗含有50颗以上麦粒的概率。
P(B)= P(A1)P(B|A1 )+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
C22 C52
C32 C72
C32 C52
0 C72
C31C21 C22 C52 C72
全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式全概率公式（Law of Total Probability）和贝叶斯公式（Bayes' theorem）是概率论中的两个重要公式，用于计算复杂概率问题的解法。
在本文中，我们将详细介绍这两个公式的含义、推导过程和应用。
一、全概率公式（Law of Total Probability）设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分，即B1,B2,...,Bn两两互不相交，且它们的并集是整个样本空间S。
则对任何事件A，有如下公式成立：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A，Bi)是条件概率，表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率；P(Bi)是事件Bi的概率。
由概率的加法公式可知，P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+…+P(A∩Bn)利用条件概率的定义，P(A，Bi)=P(A∩Bi)/P(Bi)，将其带入上式中，有P(A)=P(A∩B1)/P(B1)P(B1)+P(A∩B2)/P(B2)P(B2)+…+P(A∩Bn)/P(B n)P(Bn)全概率公式的应用非常广泛。
例如，在医学诊断中，假设其中一种疾病的发病率与其中一种基因的突变有关，而该基因的突变状态是未知的。
根据现有的数据，可以计算出在其中一种突变状态下患病的概率。
全概率公式可以用来计算该疾病的总发病率，从而为医学诊断提供帮助。
二、贝叶斯公式（Bayes’ theorem）贝叶斯公式是概率论中的另一个重要公式，是在已知条件下计算事件的条件概率的一种方法。
该公式基于贝叶斯理论，可以通过已知的事实来更新假设的概率。
设A是样本空间S的一个非空子集，B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分。
则根据贝叶斯公式，对任何事件A和事件Bi有如下公式成立：P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/[P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+…+P(A，Bn)P(Bn)]其中，P(Bi，A)是在事件A发生的条件下事件Bi发生的概率，称为后验概率；P(A，Bi)是在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，称为似然函数；P(Bi)是事件Bi的概率，称为先验概率。
条件概率全概率公式和贝叶斯公式描述
条件概率全概率公式和贝叶斯公式描述概率（Probability）是用来衡量不同事件发生的可能性的一种数学
概念，它可以由数学公式来表示。
本文将重点介绍概率的三种基本公式：
条件概率公式，全概率公式和贝叶斯公式。
1、条件概率公式：
条件概率是指在已知条件时，一个事件发生的概率，它用来衡量在一
些特定情况下，一些事件发生的可能性，一般用英文缩写表示：P(A，B)，表示在B发生的条件下，A发生的概率，即条件概率公式为：
P(A，B)=P(A∩B)P(B)
其中P(A，B)表示在B发生的条件下A发生的概率，P(A∩B)表示A&B
同时发生的概率，P(B)为B发生的概率。
2、全概率公式：
全概率公式是一种概率计算方法，它用来计算一个事件的概率，即一
个事件发生的总概率和，也称为综合全概率。
它的计算公式为：P（A）=P（A，B1）P（B1）+P（A，B2）P（B2）+……+P（A，Bn）P （Bn）
其中P（A）表示A发生的总概率和，P（A，Bk）表示在Bk发生的条
件下A发生的概率，P（Bk）代表Bk发生的概率，其中k=1,2,3…,n。
3、贝叶斯公式：
贝叶斯公式（Bayes' formula）是一种计算条件概率的方法，它用来
计算一个条件概率，也称为后验概率，它的计算公式为：
P（A，B）=P（B，A）P（A）/P（B）。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
全概率公式与贝叶斯公式
例一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％，另两家工厂的产品各占２５％。
已知甲、乙、丙各厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出一只晶体管是合格品的概率（此货合格率）。
例连续做某项试验，每次试验只有成功和失败两种结果.已知当第k次成功时，第k+1次成功的概率为1/2 ，当第k次试验失败时，第k+1次成功的概率为3/4，如果第一次试验成功和失败的概率均为1/2，求第n次试验成功的概率.
例两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.05，第二台出现废品的概率为0.02，加工的零件混放在一起，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为5:4。
求（１）任意地从这些零件中取出一个合格品的概率；
（２）若已知取出的一个零件为合格品，那么，它是由哪一台机床生产的可能性较大。
例（市场问题）某公司计划将一种无污染、无副作用的净化设备投放市场。
公司市场部事先估计该产品畅销的概率是0.5，一般为0.3，滞销为0.2。
为测试销路，公司决定进行试销，并设定了以下标准:若产品畅销，则在试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.6;若产品的销路一般，则在产品的试销期内卖出7000～10000台产品的概率是0.9;若产品滞销，则在试销期间能卖出7000～10000台产品的概率是0.2。
若在试销期满后，实际卖出的产品是9000台。
求该产品
（1）为销路一般的概率。
（2）为畅销品的概率。
（3）畅销或销路一般的概率。
条件概率全概公式贝叶斯公式
条件概率全概公式贝叶斯公式1.条件概率条件概率指的是事件A在另一个事件B发生的条件下发生的概率，通常表示为P(A，B)。
条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中P(B)不为0。
条件概率可以看作是在已知发生了B的情况下，事件A发生的概率。
2.全概公式全概公式也称为全概率公式，用于计算一个事件发生的概率。
假设有一组互斥且完备的事件B1,B2,...,Bn，全概公式表示为：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。
全概公式可以通过将事件A分解成一组互斥且完备的事件的条件概率的和来计算事件A的概率。
贝叶斯公式是一种根据先验概率和条件概率来计算后验概率的公式，对于两个事件A和B，贝叶斯公式表示为：P(A，B)=(P(B，A)P(A))/P(B)贝叶斯公式可以通过先验概率P(A)和条件概率P(B，A)来计算后验概率P(A，B)。
在实际应用中，贝叶斯公式常用于基于已知结果来更新先前猜测或估计的概率。
在机器学习中，条件概率、全概公式和贝叶斯公式被用于分类问题。
通过计算不同类别的条件概率和先验概率，可以使用贝叶斯公式来计算后验概率，进而进行分类。
在数据挖掘中，贝叶斯网络是一种常用的建模工具，通过条件概率和全概公式来描述变量之间的依赖关系。
贝叶斯网络可以用于概率推断、预测和填补缺失数据等任务。
在金融建模中，贝叶斯公式被用于计算风险概率和投资决策。
通过将已知的市场信息和先验概率结合起来，可以使用贝叶斯公式来更新投资决策的风险概率。
总结而言，条件概率、全概公式和贝叶斯公式是概率论中的基本概念和公式，它们在各个领域的实际应用中发挥着重要的作用。
理解和掌握这些概念和公式对于数据分析和决策具有重要的意义。
全概率公式与贝叶斯公式的由来
全概率公式与贝叶斯公式的由来
概率论作为一门学科，在现代社会中非常重要。
其中，概率公式，特别是全概
率公式和贝叶斯公式可谓不可或缺，它们已经成为概率理论的基石，并被广泛应用于众多领域中。
全概率公式可以说是概率论的一个基本定理，由德国数学家李克特（Leh）发现，全概率就是指一个事件的发生的概率受它的条件概率的影响所致。
它要求把事件的样本空间分解为一系列具有不同条件或条件组合的事件，从而求出概率的总和等于一的定理，从而认识到条件概率的重要性。
全概率公式的形式为：P（A）=
ΣP（A|B），式中P（A）表示事件A发生的概率，P（A|B）表示在条件B下事件A 发生的条件概率。
而贝叶斯公式，也就是贝叶斯定理，由德国数学家和物理学家贝叶斯（Bayes）于 18 世纪中叶提出，它是根据贝叶斯统计学理论以及古典概率的角度推导的，它主要应用于不完备信息条件下，即只知道一些概率下的先验信息，而不知道结论出现的条件概率情况，通过贝叶斯公式可以完成信息汇总，能够更恰当的认识问题。
贝叶斯公式的形式为：P（A|B）= P（A）P（B|A）/P（B），式中P（A“B）表示
在B发生情况下A发生的概率，P（A）表示A发生的概率，P（B|A）表示在A发生的情况下B发生的条件概率，P（B）表示B发生的概率。
总的来说，全概率公式和贝叶斯公式是概率论理论的重要组成部分，它们在现
代社会各个领域中都有广泛的应用，帮助我们更好地理解复杂的概率关系，更好地解决实际问题。
全概率公式与贝叶斯公式
P( A1) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A2 ) P(H1H2H3 H1H2H3 H1H2H3 ) P( A3 ) P(H1H2H3 )
将数据代入计算得:
P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.
10
于是
P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
已知 C
P(C)=0.005,P( )=0C.995,
求 P(C|PA()A.|
P(A|C)=0.95,
)=0.04
20
由贝叶斯公式，可得
P(C | A)
P(C)P( A | C)
P(C)P( A | C) P(C )P( A | C )
代入数据计算得 0.1066
P(C｜A)=
现在来分析一下结果的意义.
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458 即飞机被击落的概率为0.458.
11
【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只 白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后 再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？
解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则
B =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、
7
【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取 到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
全概论公式和贝叶斯公式
全概论公式和贝叶斯公式
全概论公式和贝叶斯公式都是概率论中的基本公式，但它们的应用场景和计算方式不同。
全概论公式（也称为全概率公式）用于计算在已知条件下某个事件发生的概率。
它的形式为：
P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|非B) * P(非B)
其中，A表示事件，B表示另一个已知的事件。
P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A|非B)表示在事件B未发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)和P(非B)分别表示事件B发生和不发生的概率。
全概论公式可以用于计算在已知某个条件下某个事件发生的概率，或者在已知多个事件发生的条件下某个事件发生的概率。
贝叶斯公式（也称为贝叶斯定理）用于计算在已知某个事件发生的条件下另一个事件发生的概率。
它的形式为：P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)
其中，A和B分别表示事件，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率；P(A)表示事件A发生的概率。
贝叶斯公式可以用于计算在已知某个事件发生的条件
下另一个事件发生的概率，以及根据已知事件的概率更新后的另一个事件的概率。
总之，全概论公式和贝叶斯公式都是概率论中的基本公式，它们的应用场景和计算方式不同，但都是概率论中非常重要的工具。
概率论与数理统计第四节全概率公式与贝叶斯公式
概率论与数理统计第四节全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式是概率论与数理统计中非常重要的两个公式。
全概率公式用于求解复杂事件的概率，而贝叶斯公式则用于根据已有信息的更新概率。
本文将详细介绍这两个公式。
1.全概率公式全概率公式是在条件概率的基础上，通过将样本空间划分成互不相交的事件来求解复杂事件的概率。
假设事件A是一个复杂事件，它可以表示为若干个互不相交的事件的并，即A=A1∪A2∪A3∪...∪An。
而这些互不相交的事件A1，A2，...，An又可以被分为若干个相互独立的事件，即A=A1∪A2∪A3∪...∪An=(A1∩B)∪(A2∩B)∪(A3∩B)∪...∪(An∩B)。
那么，全概率公式表示为P(A)=P(A1∩B)+P(A2∩B)+P(A3∩B)+...+P(An∩B)=P(A1)P(B，A1)+P(A2)P(B，A2)+P(A3)P(B，A3)+...+P(An)P(B，An)，其中B是样本空间的一个事件。
全概率公式的作用是将复杂事件的概率求解转化为对简单事件的概率求解，从而简化计算。
贝叶斯公式是一种反向概率推理方法，它可以在已知其中一事件发生的条件下，通过已有的先验概率来更新事件的后验概率。
假设事件A和B都是样本空间的事件，且P(A)≠0，那么贝叶斯公式表示为P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A)。
其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和A的先验概率。
贝叶斯公式的应用非常广泛，尤其在数据挖掘、机器学习等领域有着重要的作用。
通过不断更新概率，可以更准确地预测和推断事件的发生。
3.全概率公式与贝叶斯公式的关系全概率公式和贝叶斯公式是密切相关的，贝叶斯公式可以看作是全概率公式的应用。
通过全概率公式可以将样本空间划分成若干个互不相交的事件，然后根据贝叶斯公式，可以根据已有信息来更新事件的概率。
概率全概公式和贝叶斯定理
概率全概公式和贝叶斯定理全概公式（Law of Total Probability）是概率理论的基本定理之一，用于计算一个事件的概率。
全概公式基于样本空间（sample space）的分割计算的原理。
在给定多个互不相交的事件的条件下，可以使用全概公式计算任意一个事件的概率。
下面我们将详细介绍全概公式以及贝叶斯定理的原理和应用。
一、全概公式（Law of Total Probability）全概公式是用于计算一个事件的概率的基本定理。
该定理表明，在给定多个互不相交的事件的条件下，可以利用全概公式计算特定事件的概率。
设A是样本空间Ω的一个分割，即A1，A2，…，An是样本空间Ω的一组互不相交的事件，并且A1∪A2∪…∪An=Ω（其中，n为有限数或无穷可数），则对于任意一个事件B，有P(B)=P(B，A1)・P(A1)+P(B，A2)・P(A2)+…+P(B，An)・P(An)其中，P(B，Ai)表示在Ai发生的条件下B发生的概率，P(Ai)表示事件Ai发生的概率。
全概公式是概率论中非常重要的定理，它可以用于计算复杂事件的概率。
通过分割样本空间，我们可以将复杂事件分解为多个互不相交的子事件，然后利用条件概率计算每个子事件的概率，最终利用全概公式求解。
二、贝叶斯定理（Bayes' Theorem）贝叶斯定理是概率论与统计学中一种基本的计算方法，用于从已知条件反推未知条件的概率。
它是由英国数学家托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）在18世纪提出的，因而得名。
贝叶斯定理是条件概率的重要应用之一设A和B是两个事件，且P(A)>0，P(B)>0，则根据贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)・P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
贝叶斯公式和全概率公式的讲解
贝叶斯公式和全概率公式的讲解1. 什么是贝叶斯公式？首先，咱们得聊聊贝叶斯公式。
这玩意儿一听名字就感觉高大上，但其实说白了，就是一种用来更新概率的方法。
想象一下，你在一个晴天出门，突然发现天边乌云密布。
这个时候，你原本以为今天没雨，但贝叶斯公式就可以帮助你重新评估这个“今天会不会下雨”的概率。
简单点说，就是当你获取到新信息后，如何调整你之前的看法。
1.1 贝叶斯公式的基本形式贝叶斯公式可以用一个看似复杂但其实很简单的公式来表示：。
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
听起来像是外星人语言？别担心，我们一步一步来。
这里的P(A|B)表示在B发生的情况下，A发生的概率；P(B|A)是如果A发生，B发生的概率；P(A)和P(B)则分别是A和B各自发生的概率。
想象一下，你在喝咖啡，突然发现有块巧克力。
你可能会思考“我有多大概率再吃一块巧克力呢？”这时候贝叶斯公式就派上用场了。
1.2 贝叶斯公式的应用场景这公式的应用场景真的是五花八门，简直是无所不能。
比如说，医生在给病人诊断时，往往要根据症状和检测结果来判断病人可能得了什么病。
又比如，在互联网时代，贝叶斯公式也可以帮助你过滤垃圾邮件。
没错，想知道你的邮件有没有被丢进垃圾箱，贝叶斯公式也能给你提供很好的参考。
2. 全概率公式的魅力接下来咱们聊聊全概率公式。
听这个名字就知道，它与“全”字有关系，没错！全概率公式是用来计算一个事件的总概率，尤其是在这个事件可能由多个原因造成时。
可以这么理解，全概率就是把所有可能性都考虑进去，像是在拼图，把每一块都放到合适的位置。
2.1 全概率公式的基本概念全概率公式可以用公式表示为：P(B) = Σ P(B|A_i) * P(A_i)。
这里的意思是，B发生的概率可以通过它与每个可能的A事件的关系来计算。
想象你在一场派对上，派对上有三种饮料：可乐、果汁和啤酒。
你想知道有人喝果汁的概率。
这里的A就是这三种饮料，而B则是“喝果汁”这个事件。
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
全概率公式是指在多个互不相交的事件中，计算某一事件的概率，需要将所有事件的概率加起来。
而贝叶斯公式是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件的概率如何进行修正。
具体来说，条件概率可以表示为P(A|B)，其中A和B分别是两
个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
全概率公式可以表示为
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)，其中B1~Bn
表示多个互不相交的事件，P(B1)~P(Bn)表示这些事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)，其中A和B
同样表示两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
贝叶斯公式可以用于更新先验概率，即在已知某些信息的情况下，通过新的证据来更新我们对某一事件的概率的估计。
条件概率、全概率公式和贝叶斯公式在实际应用中有广泛的应用，如在机器学习、数据分析、医学诊断等领域。
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全概率公式、贝叶斯公式推导过程
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程
（1）条件概率公式
设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
（2）乘法公式
1.由条件概率公式得：
P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
上式即为乘法公式；
2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：
P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)
（3）全概率公式
1. 如果事件组B1，B2，.... 满足
1.B1，B
2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;
2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分
设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式（formula of total probability)
2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事
件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)
3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345
（4）贝叶斯公式
1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有
上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，B i 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(B i)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(B i|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率
2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：
P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)
（3）全概率公式
1. 如果事件组B1，B2，.... 满足
1.B1，B
2....两两互斥，即Bi ∩Bj = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;
2.B1∪B2∪....=Ω，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分
设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：
上式即为全概率公式（formula of total probability)
2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)
=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)
3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345
（4）贝叶斯公式
1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有
上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。