第三章贝叶斯估计理论 LMMSE
贝叶斯信息准则 rmse
贝叶斯信息准则 rmse
贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion, BIC）是一种用于模型选择的统计量，常用于评估模型的拟合程度和复杂度。
BIC通过平衡模型的拟合优度和参数的数量，提供了一种可靠的方式来选择最佳的模型。
在使用BIC进行模型选择时，我们通常会比较不同模型的BIC值。
BIC的计算公式为BIC = n * ln(RMSE) + k * ln(n)，其中n是样本量，RMSE是模型的均方根误差，k是模型的参数个数。
BIC值越小，说明模型的拟合优度越好。
使用BIC可以避免过拟合问题。
过拟合是指模型过于复杂，过度拟合了训练数据，但在新数据上的预测效果却很差。
BIC考虑了模型的复杂度，并对参数个数给予了惩罚，因此可以有效地避免过拟合的发生。
BIC在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在回归分析中，我们可以使用BIC来选择最佳的回归模型。
在聚类分析中，BIC可以帮助我们确定最佳的聚类数目。
在时间序列分析中，BIC可以用来选择最合适的模型来预测未来的值。
贝叶斯信息准则是一种重要的模型选择工具，可以帮助我们评估模型的拟合程度和复杂度。
通过使用BIC，我们可以选择最佳的模型，并避免过拟合问题的发生。
无论是在科学研究还是实际应用中，BIC
都发挥着重要的作用。
最大似然估计与贝叶斯估计
最大似然估计与贝叶斯估计最大似然估计和贝叶斯估计是统计学中常用的两种参数估计方法。
它们都是通过对已知数据进行推断，来估计未知参数的取值。
尽管它们都用于估计参数，但是它们的思想和方法有一些不同之处。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是基于频率学派的一种估计方法。
在最大似然估计中，我们假设已知数据的抽样分布，然后寻找使得观测样本出现的概率最大的参数值。
在近似推断中，最大似然估计往往是一个很好的选择。
举个例子来说明最大似然估计的过程。
假设我们有一组观测数据，这些数据服从正态分布。
我们需要估计该正态分布的均值和方差。
首先，我们假设观测数据是独立同分布的，并根据这个假设构建似然函数。
然后，我们通过最大化似然函数来确定最合适的参数值，即使得观测数据出现的概率最大化。
最后，根据最大化似然函数的结果，我们得到了对未知参数的估计值。
贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是基于贝叶斯学派的一种估计方法。
与最大似然估计不同，贝叶斯估计引入了先验概率分布来描述参数的不确定性，并通过观测数据来更新参数的概率分布。
因此，贝叶斯估计可以更好地处理不完全信息和不确定性。
在贝叶斯估计中，我们首先根据已知的先验知识来构建参数的先验分布。
然后，当我们观测到新数据时，我们使用贝叶斯公式来更新参数的概率分布，得到后验分布。
最后，通过对后验分布进行统计量计算，我们可以得到关于参数的估计值和其不确定性。
与最大似然估计相比，贝叶斯估计考虑到了参数的不确定性，并且能够提供更丰富的信息。
然而，贝叶斯估计的计算复杂度较高，并且需要确定先验分布的形式和参数。
此外，贝叶斯估计还涉及到主观先验的选择，这使得结果有可能受到主观因素的影响。
总体来说，最大似然估计和贝叶斯估计是统计学中两种常见的参数估计方法。
最大似然估计是频率学派的主要方法，通过极大化似然函数来确定参数的取值。
贝叶斯估计则是贝叶斯学派的主要方法，通过引入先验概率分布和贝叶斯公式来更新参数的概率分布。
最大似然估计与贝叶斯估计
最大似然估计与贝叶斯估计估计是统计学中常用的一种方法，用于推断未知参数的值，帮助我们更好地了解数据背后的规律。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）和贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是两种常见的参数估计方法，它们在理论基础和应用领域上有所差异。
一、最大似然估计（MLE）最大似然估计是一种基于频率学派的统计推断方法。
它的核心思想是根据观测到的数据来寻找最有可能产生这些数据的概率分布，并通过最大化该概率来估计参数的值。
最大似然估计的步骤如下：1. 建立概率模型：首先需要选择一个概率模型来描述数据的分布情况，常见的包括正态分布、泊松分布等。
2. 构建似然函数：根据数据的观测值，构建关于参数的似然函数。
似然函数是参数的函数，表示观测数据在不同参数取值下的概率。
3. 极大化似然函数：通过对似然函数进行求导，并令导数等于零，求解出使似然函数达到最大值的参数值，即为最大似然估计值。
最大似然估计在统计推断中具有广泛的应用，例如在回归分析中用于估计回归系数、在假设检验中用于计算检验统计量等。
二、贝叶斯估计（Bayesian Estimation）贝叶斯估计是基于贝叶斯定理的统计推断方法。
与最大似然估计不同的是，贝叶斯估计将参数看作是随机变量，而不是一个确定的值。
贝叶斯估计的步骤如下：1. 建立先验分布：在得到观测数据之前，我们对参数的分布已经有了一些先验的了解。
先验分布是对参数的主观预期分布，通常选择参数具有某种特定的概率分布，如正态分布、均匀分布等。
2. 构建后验分布：根据观测数据和先验分布，利用贝叶斯定理计算参数的后验分布。
后验分布是参数在给定数据下的条件概率分布。
3. 计算贝叶斯估计值：通过对后验分布进行分析，可以得到参数的贝叶斯估计值，例如取后验分布的最大值或者计算期望值等。
贝叶斯估计将先验信息与观测数据相结合，能够提供对参数的更全面、准确的估计。
贝叶斯估计法
贝叶斯估计法贝叶斯估计法是统计学中常用的一种方法，它是基于贝叶斯定理的推论而来的，可以用于估计一个未知参数的值。
其核心思想是先假设一个先验分布，然后根据已知的样本数据和假设的先验分布，通过贝叶斯定理计算后验分布，最终得到对未知参数的估计。
在使用贝叶斯估计法时，我们需要首先定义以下概念：先验分布：指在未观测到数据前，对参数的概率分布的估计。
常见的先验分布有均匀分布、正态分布等。
似然函数：指在已知参数下，给定样本的条件下所有样本出现的概率密度函数，是样本数据给出参数信息的度量。
后验分布：指在已知数据后，对参数的概率分布的估计。
它是在先验分布和似然函数的基础上，通过贝叶斯公式计算得到的。
在实际数据分析中，我们需要对先验分布做出适当的假设，通过先验分布的假设来反映我们对参数的先验认知。
然后根据已知数据和似然函数，计算出参数的后验分布，并用其来估计未知参数。
贝叶斯估计法与点估计法的区别贝叶斯估计法与点估计法是统计学中常用的两种估计方法，它们之间的区别在于：点估计法：通常是求得一个能代表总体参数未知数的值作为估计，例如样本的平均数、中位数等。
点估计法估计参数时，只考虑来自样本的信息。
贝叶斯估计法：将样本和先验信息结合在一起，通过后验分布对未知参数进行估计。
在贝叶斯估计法中，我们对参数的先验知识和数据信息进行综合考虑，最终得到一个更加准确的估计值。
因此，相比于点估计法，贝叶斯估计法更加具有弹性，它不仅可以考虑已知数据的影响，还可以利用专家知识或先验信息来修正估计值，从而提高估计的准确性。
为了说明贝叶斯估计法的实际应用，我们以估计某测试设备的故障率为例进行说明。
假设我们已经收集了100个设备的测试数据，其中有5个出现故障。
我们希望用贝叶斯估计法来估计设备的故障率。
首先，我们需要对故障率做出一个先验分布的估计。
由于我们缺乏关于该设备故障率的信息，因此我们选择假设故障率服从0到1之间的均匀分布，即先验分布为P(θ)=1。
《贝叶斯估计》PPT课件
前面的分析总结如下：人们根据先验信息对参数θ
已有一个认识，这个认识就是先验分布π (θ )。通
过试验，获得样本。从而对θ 的先验分布进行调整，
调整的方法就是使用上面的贝叶斯公式，调整的结
果就是后验分布 ( x1,。, xn后) 验分布是三种信息 的综合。获得后验分布使人们对θ 的认识又前进一
1)
,
x
0,1, n
( x)
(n 2)
x (1 )nx ,0 1
(x 1)(n x 1)
即
X ~ Be(x 1, n x 1)
9
贝叶斯统计学首先要想方设法先去寻求θ的先验分布。 先验分布的确定大致可分以下几步： 第一步，选一个适应面较广的分布族作先验分布族， 使它在数学处理上方便一些，这里我们选用β分布族
步，可看出，获得样本的的效果是把我们对θ的认识
由π(θ)调整到 应建立在后验分布
( 。x1,所,以xn)对θ的统计推断就 ( 的x1,基础, xn上) 。
7
例1 设事件A(产品为废品)的概率为 ，即P(A) 。 为了估计 而作n次独立观察，其中事件A出现次数
为X，则有X服从二项分布 b(n, )
第三章 贝叶斯估计
§3.1贝叶斯推断方法 一 、统计推断中可用的三种信息
美籍波兰统计学家耐(E.L.Lehmann1894~1981) 高度概括了在统计推断中可用的三种信息：
1．总体信息，即总体分布或所属分布族给我们 的信息。譬如“总体是指数分布”或“总体是正 态分布”在统计推断中都发挥重要作用，只要有 总体信息，就要想方设法在统计推断中使用。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x|θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。
贝叶斯估计 PPT
解 其似然函数为
n
n
n
q(x| )
xi(1)1xi i 1xii(1)n i 1xi
i 1
n x( 1 ) n n x g n ( t|) g 1 ,
其 中 g n ( t |) t( 1 ) n t , 选 取 f () 1 ， 则
注 1、贝叶斯估计是使贝叶斯风险达到最小的决策 函数.
2、不同的先验分布，对应不同的贝叶斯估计
2、贝叶斯点估计的计算 平方损失下的贝叶斯估计
定理3.2 设 的先验分布为 ( )和损失函数为
L(,d)(d)2
则 的贝叶斯估计
为
d * (x ) E (|X x ) h (|x )d
其 中 h (|x ) 为 参 数 的 后 验 分 布 .
π (1 ) 0 .4 π (2 ) 0 .6
这两个概率是经理的主观判断（也就是先验概率）， 为了得到更准确的信息，经理决定进行小规模的试验， 实验结果如下：
A：试制5个产品，全是正品，
由此可以得到条件分布：
p ( A |1 ) ( 0 . 9 ) 5 0 . 5 9 0 p ( A |2 ) （ 0 . 7 ） 5 0 . 1 6 8
t (1)n t
D f{1t (1)n td :n1 ,2,L,t0,1 ,2,L} 0
显然此共轭分布族为 分布的子族，因而，两点
分布的共轭先验分布族为 分布. 常见共轭先验分布
总体分布
参数
共轭先验分布
二项分布
成功概率p
分布 ( , )
泊松分布
均值
分布 ( )
指数分布
均值的倒数
分布 ( )
正态分布 （方差已知）
课件-贝叶斯估计量
贝叶斯估计量
Oct-10
后者综合了经理的主观概率和实验结果而 获得，要比主观概率更具有吸引力， 获得，要比主观概率更具有吸引力，更贴近 当前实际 当然经过实验A后经理对投资改进质量 当然经过实验 后经理对投资改进质量 的兴趣更大了， 的兴趣更大了，但如果为了进一步保险起 见可以把这次得到的后验分布列再一次作 为先验分布在做实验验证， 为先验分布在做实验验证，结果将更贴近 实际
要么正面朝上要么反面朝上概率各占12这个概率分布是根据我们以前的知识和经验得出来的一般被称做先验分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12先验分布先验分布但还是有不同的主要区别在与概率分布得到的途径上根据先验信息所给出的随机变量的分布这里的先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息先验分布与经典统计学里面的其他分布并没有什么区别同样有先验离散分布和先验连续分布山东财政学院贝叶斯估计量oct12经典统计学里要得到概率分布必须大量重复实验由大数定律中心极限定理这些基本定理来保证在大量重复实验中频率与概率具有一致从而的到随机变量的概率分布经典统计学的概率分布包含所有样本点即所有可能的实验结果都要被考虑进去贝叶斯统计学的先验概率分布考虑的只是已出现的样本来自于过去的经验山东财政学院贝叶斯估计量oct12可以由经验得来不必做大量的重复实验
f (x p ) = p x (1 p ) (1 x ) x = 0,1 0 < p < 1
山东财政学院
贝叶斯估计量
Oct-10
X 于是， 于是，= ( X , X
1
2
, , X n )
n
的联合条件概率函数为
(1 x i )
n x = p i=1 (1 p ) ∑ i i =1
q (x p ) = Π p xi (1 p )
第三章贝叶斯估计理论 LMMSE综述
可采用 “谱因式分解”求得 维纳滤波为IIR时不变的
定长FIR维纳滤波
数据：
FIR平滑器
为便于解释，考虑N=1的情况：
IIR平滑器
基于数据 估计
维纳-霍夫方程为：
1步预测的结果：对于AR（3）
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言
线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
估计方法
在经典方法 中，数据信息总结在概率密度函数p(x;θ)中， 其中PDF是θ的函数。 在贝叶斯方法 中，由于先验PDFp(θ)描述了有关θ的知识 而增加了数据的信息。数据信息总结在联合PDF p(x,θ)中。
应用正交原理
假定
可逆
矢量LMMSE估计
待估参数 线性估计量 目标：对每个元素，使 最小 的标量
可将矩阵A的第i行和矢量a第i个元素，看成 LMMSE估计量的形式 已知每个待估参数的标量LMMSE形式 • 得出相应的解 • 组合为矢量形式
矢量LMMSE的解
矢量LMMSE估计
若 相似地，可得 矩阵
定理4.2
若 则
一般线性模型的MVUE 定理11.1
贝叶斯线性模型下MMSE估计
序贯LMMSE估计
与序贯LS方法相同 固定参数个数（在此为随机的），增加数据样本数目
数据模型
目标： 给定基于 的估计 到达时，更新估计到
，当新的数据样本
求序贯LMMSE
在此，我们利用矢量空间得到“白噪声中的直流电平”的解，再推广 到一般情况
CRLB
CRLB
BLUE
BLUE
MLE
MLE
LSE
LSE
ME
ME
MMSE
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计的计算过程
贝叶斯估计是一种统计分析方法，用于估计随机变量的分布，其中随机变量是未知的或未观测的。
它是以概率论中的贝叶斯定理为基础的，可以用来推断在没有任何先验知识的情况下某个随机变量的分布。
从理论上讲，贝叶斯估计是基于贝叶斯定理，与最大似然估计（MLE）等其他形式估计相比，具有更大的灵活性，能够在没有任何先验知识的情况下推断随机变量的分布。
贝叶斯估计的计算过程通常有以下几个步骤：
1. 首先，需要根据观察到的样本数据来估计未知参数（随机变量的分布）的取值分布。
2. 然后，需要定义一个模型来描述未知的参数，其中通常会采用概率密度函数（PDF）或贝叶斯函数来描述不同的参数。
3. 接着，需要使用维特比算法来求解最可能的模型参数的取值。
4. 最后，需要进行调整，以获得更精确的参数估计，这通常需要使用MCMC方法。
贝叶斯估计通过上述计算过程，可以推断出未知随机变量的分布，从而为数据分析提供基础支持，在实际生活中有着广泛的应用，例如比较不同模型在训练图像上的性能，这种类型的任务通常需要贝叶斯估计来完成。
另外，在自然语言处理（NLP）领域中，贝叶斯估计的有力分析也可以用来推断单词的准确性。
因此，贝叶斯估计在实际使用中非常重要，对于精确估计和分析未知参数及其取值范围非常重要。
贝叶斯先验概率贝叶斯估计
贝叶斯先验概率贝叶斯估计你有没有想过，我们每天做的决定背后，其实有很多不确定性？我们做的选择是根据过去的经验，也我们选择的结果并不完全能预测。
举个例子，假设你早上出门前看了天气预报，说今天有50%的可能下雨。
那么问题来了，你是带伞呢，还是不带呢？如果你经历了好几次天气预报错得离谱，是不是就会开始怀疑这些概率的准确性了？这时候，你可能会觉得，自己的经验比这些预测更靠谱。
嘿，这其实就跟贝叶斯估计有点关系！贝叶斯估计的核心思想就是：把我们的“信念”或者说“先入为主”的看法，结合新的信息，做出更合理的判断。
拿天气预报来说，假如你这几年过得比较顺风顺水，基本上从来没遇到过下雨的预报被错过过，天公作美，你心里可能会觉得今天下雨的可能性更小些。
这时候，你的“先验知识”就开始发挥作用了。
你并不是完全相信50%的下雨几率，而是结合自己以往的经验，觉得这50%的概率其实没那么准确，可能实际下雨的几率还得往低的方向调整。
对，先验概率，这名字听起来有点高深，但其实说白了，就是你在面对不确定的事物时，最初的判断和看法。
举个例子，假设你今天第一次见到一个人，想知道他是不是喜欢看足球。
你完全不了解他，只知道他长得高大，看起来像个运动员。
你的“先验”就是——他可能喜欢足球。
这个先验的看法，源自你对运动员的刻板印象。
可是，如果你后来得知，这个人其实从不碰球，反而热衷于下围棋，那你的想法肯定得做调整。
你会慢慢抛开原本的看法，开始根据实际信息重新评估他的兴趣。
贝叶斯估计的巧妙之处就在于，它鼓励你做这种“更新”。
每当有新的信息进来时，你就该重新调整自己原本的“信念”。
在上面的例子中，一开始你完全凭直觉判断这个人爱足球，结果一查，他竟然喜欢围棋，那你就得调整看法了，把新的信息加进来，改成一个更加准确的估计。
更有意思的是，贝叶斯估计的魅力不仅在于它能够帮助我们调整决策，还在于它不要求我们一开始就知道真相。
嘿，谁能一开始就知道自己做的决定百分之百正确呢？生活就是这样，充满了不确定。
贝叶斯理论
贝叶斯理论
贝叶斯理论是一种基于概率论的思想，由统计学家拉普拉斯（Thomas Bayes）在18世纪末提出的一种认识论的假设，它允许以一种系统的方法，以有限的统计数据来预测发生的可能性。
贝叶斯理论用于求解潜在概率问题，以推断未知事件未知参数，是有条件概率统计学的重要组成部分，在机器学习和计算智能中有广泛运用。
贝叶斯理论使用概率分布来指导结论，模拟结果在不同条件下的发展变化。
贝叶斯公式可以通过统计学方法，计算论证出特定条件下的特定事件发生的可能性。
贝叶斯理论的基本理论是，在最初的概率假设中，已经指定了已知变量的假设，即称为“先验概率”的概率。
贝叶斯定理指出，当观察发生时，观察的结果会影响可能发生的事件的可能性，因此，可以根据观察证据以及先验概率推断出可能发生的概率情况，称为“后验概率”。
贝叶斯理论也被用于确定诊断数据以及提高具有噪声信号的识别效率。
此外，它也可以结合反馈数据，不断优化系统表现，比如做自身认知和学习。
贝叶斯理论也可以用于机器学习技术，假设样本空间中的某些元素可以由机器自动获取，并且可以学习特定的决策规则，从而更高效地完成任务。
贝叶斯理论也经常用于文本分类，以及推荐算法，对用户的行为进行预测，进行准确推荐。
总的来说，贝叶斯理论是一种有效的数理统计方法，在提供有限统计数据的条件下，可以有效地找出可能出现的概率及其可能的结果，广泛应用于机器学习中。
mmse原理
mmse原理MMSE原理：一种优秀的信道估计方法简介•MMSE（Minimum Mean Square Error）是一种常用的信道估计方法，被广泛应用于无线通信系统中。
•本文将从基本概念、数学原理和实际应用三个方面进行全面解析。
基本概念•信道估计：通过已知的接收信号和发送信号，推测出信道本身的特性和状态，以提高接收信号的性能。
•MMSE：最小均方误差，是一种衡量信道估计准确性的指标。
•噪声：由于信道的不完美性质或其他外界因素导致的信号失真。
•线性滤波器：一种在时域或频域对信号进行滤波的数学工具。
数学原理1.MMSE的数学模型–设发送信号为x，接收信号为y，估计信号为ŷ，信道为h，噪声为n。
–假设x、h和n都是随机变量，满足高斯分布。
–信道估计问题可以转化为最小化误差平方期望。
2.MMSE的计算方法–利用贝叶斯准则，推导出MMSE估计的表达式。
–通过对接收信号和已知信道进行线性滤波，得到MMSE估计信号。
实际应用•无线通信系统中，MMSE估计在多个方面有广泛应用：1.自适应调制：根据信道状态，选择合适的调制方式，提高系统容量和可靠性。
2.空间多址技术：利用多种天线配置和信道估计，减小同频干扰，提高系统吞吐量。
3.MIMO系统：通过准确的信道估计，实现多天线间的干扰消除和信号增强。
结论•MMSE作为一种优秀的信道估计方法，能够提高无线通信系统的性能。
•掌握MMSE原理和计算方法，对于设计高效的无线通信系统具有重要意义。
通过本文的介绍，我们对MMSE原理有了全面的了解。
希望读者可以更好地理解和应用这一方法，提高无线通信系统的性能和可靠性。
注意：本文旨在介绍MMSE原理，不涉及具体计算和应用细节。
如有需要，请参考相关专业文献和实际案例。
MMSE原理的优势和局限性优势1.低复杂度：相对于其他高级技术，MMSE估计具有较低的计算复杂度，适用于实际工程应用。
2.鲁棒性强：MMSE估计对于信号的统计特性的要求较低，对于复杂的信道环境有较好的适应性。
贝叶斯估计专业知识讲座
例如经典统计学以为参数旳无偏估计应满足： 其中平均是对样本空间中全部可能出现旳样本而求旳， 可实际中样本空间中绝大多数样本还未出现过，而多 数从未出现旳样本也要参加平均是实际工作者难以了 解旳。故在贝叶斯推断中不用无偏性，而条件措施是 轻易被实际工作者了解和接受旳。
4
Ⅱ估计
1.贝叶斯估计
定义3.2 使后验密度 ( x) 到达最大旳值
贝叶斯决策：把损失函数加入贝叶斯推断就形成 贝叶斯决策论，损失函数被称为贝叶斯统计中旳第 四种信息。
16
一、决策旳基本概念
例1 设甲乙二人进行一种游戏，甲手中有三张牌， 分别标以 1 , 2 , 3 。乙手中也有三张牌，分别标 以 a1 , a2 , a3 。游戏旳规则是双方各自独立旳出牌， 按下表计算甲旳得分与乙旳得分。
2．样本信息，即样本提供我们旳信息，这是任
一种统计推断中都需要。
1
3．先验信息，即在抽样之前有关统计推断旳某些 信息。譬如，在估计某产品旳不合格率时，假如工 厂保存了过去抽检这种产品质量旳资料，这些资料 （涉及历史数据）有时估计该产品旳不合格率是有 好处旳。这些资料所提供旳信息就是一种先验信息。 又如某工程师根据自己数年积累旳经验对正在设计 旳某种彩电旳平均寿命所提供旳估计也是一种先验 信息。因为这种信息是在“试验之前”就已经有旳， 故称为先验信息。
a1 a2 a3
1 3 －2 0
2 1
4 －3
3 －4 －1 2
17
这是一种经典旳双人博弈（赌博）问题。不少实际问 题可归纳为双人博弈问题。把上例中旳乙方改为自然 或社会，就形成人与自然（或社会）旳博弈问题。
例2 农作物有两个品种：产量高但抗旱能力弱旳
品种 a1 和抗旱能力强但产量低旳品种 a2 。 在来年雨量不知旳情况下，农民应该选播哪个品
第三章_贝叶斯估计
贝叶斯本人认为，当你对参数θ的认识除了在有限区 间（c，d）之外，其它毫无所知时，就可用区间（c， d）上的均匀分布作为θ的先验分布。这个看法被后 人称之为“贝叶斯假设”。
确定了先验分布后，就可计算出后验分布，过程如 下： p( x, ) p( X x ) ( )
(a b) n a x 1 (1 )b n x 1 (a)(b) x
x=0，1，…，n，0<θ<1
于是X的边际分布为
p ( x)
1 0
(a b) (a x)(b n x) n , x 0,1,, n. p( x, )d x (a)(b) (a b n) 15
最后在给出X=x的条件下，θ的后验密度为
假设Ⅰ 随机变量X有一个密度函数p（x；θ）， 其中θ是一个参数，不同的θ对应不同的密度函数， 故从贝叶斯观点看，p（x；θ）在给定θ后是个条 件密度函数，因此记为p（x│θ）更恰当一些。这 个条件密度能提供我们的有关的θ信息就是总体 信息。
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p（x│θ）中随机抽取一 个样本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这 种信息就是样本信息。 假设Ⅲ 我们对参数θ已经积累了很多资料，经过分析、 整理和加工，可以获得一些有关θ的有用信息，这种信 息就是先验信息。参数θ不是永远固定在一个值上，而 4 是一个事先不能确定的量。
p( x1 ,, xn ) p( x1 ,, xn ) ( )
p( x , , x
1
n
) ( )d
这就是贝叶斯公式的密度函数形式， ( x1 ,, xn ) 称为θ 的后验密度函数，或后验分布。而
p ( x1 ,, xn ) p ( x1 , , xn ) ( )d
模式识别-3-贝叶斯决策理论
(
)
确定性特征向量与随机特征向量
确定性特征向量 在获取模式的观测值时，有些事物具有确定的 因果关系，即在一定条件下，存在必然会发生 或必然不发生的确定性，这样获得的特征向量 称为确定性特征向量。 例如识别一块模板是不是直角三角形，只要 凭“三条直线边闭合连线和一个直角”这个 特征，测量它是否有三条直线边的闭合连线 并有一个直角，就完全可以确定它是不是直 角三角形。 这种现象是确定性的现象，比如上一讲的线 性模式判别就是基于这种现象进行的。
x1 x X = 2 ... xn
特征向量
g1(x) g2(x)
...
Max(g(x))
最大值选择器
x ∈ ωi
gn(x)
判别计算
决策
§3-3 正态分布决策理论
一、正态分布判别函数
1、为什么采用正态分布：
a、正态分布在物理上是合理的、广泛的。 b、正态分布数学上简单，N(µ, σ ²) 只有均值和方差两个参数。
)
2
=
∫ (x − µ )
−∞
∞
2
P ( x)
P ( x ) d x，方 差 ) (
1
概率密度函数应满足下 列关系： P ( x ) ≥ 0, ( −∞ < x < ∞ ) ∞ ∫−∞ P ( x )dx = 1
0 . 95
µ − 2σ
µ
X
µ + 2σ
3、（多变量）多维正态分布 （1）函数形式：
µ i = E ( xi ) =
∑
= E
= E = E
(x 1 − ...... (x n − µ
[(x
贝叶斯估计方法
贝叶斯估计方法引言：贝叶斯估计方法是一种常用的统计学方法，用于通过已知的先验概率和观测到的证据来计算后验概率。
它在概率推理、机器学习、人工智能等领域都有广泛的应用。
本文将介绍贝叶斯估计方法的原理、应用场景以及常见的算法。
一、贝叶斯估计方法的原理贝叶斯估计方法基于贝叶斯定理，根据先验概率和观测到的证据来计算后验概率。
其基本思想是将不确定性表示为概率分布，并通过观测数据来更新这个分布。
具体而言，贝叶斯估计方法可以分为两个步骤：1. 先验概率的选择：根据领域知识或经验，选择合适的先验概率分布。
先验概率可以是均匀分布、正态分布等。
2. 观测数据的更新：根据观测到的证据，通过贝叶斯定理更新先验概率分布，得到后验概率分布。
二、贝叶斯估计方法的应用场景贝叶斯估计方法在各个领域都有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景：1. 文本分类：在文本分类中，可以使用贝叶斯估计方法来计算给定文本属于某个类别的概率。
通过观测到的文本特征，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而进行分类。
2. 信号处理：在信号处理中，可以使用贝叶斯估计方法来估计信号的参数。
通过观测到的信号样本，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而估计信号的参数。
3. 异常检测：在异常检测中，可以使用贝叶斯估计方法来判断观测数据是否属于正常情况。
通过观测到的数据，可以更新先验概率分布，从而得到后验概率分布，进而进行异常检测。
三、常见的贝叶斯估计算法1. 最大似然估计法（MLE）：最大似然估计法是贝叶斯估计方法的一种常见算法。
它通过最大化观测数据的似然函数，来估计参数的值。
最大似然估计法通常在先验概率分布为均匀分布时使用。
2. 最大后验估计法（MAP）：最大后验估计法是贝叶斯估计方法的另一种常见算法。
它通过最大化后验概率函数，来估计参数的值。
最大后验估计法通常在先验概率分布为正态分布时使用。
3. 贝叶斯网络：贝叶斯网络是一种图模型，用于表示变量之间的依赖关系。
MLE和EM算法的学习和阅读整理
MLE和EM算法的学习和阅读整理MLE和EM算法是统计学和机器学习中常用的两种方法。
MLE（最大似然估计）是一种用于估计参数的方法，它通过最大化一组数据的可能性函数来确定参数。
而EM（期望最大化）算法则是一种发现隐藏变量的通用方法，它通过迭代计算参数的估计值来找到最佳可能的参数。
MLE（最大似然估计）MLE的思想来源于贝叶斯定理，假设我们有一组数据D，在给定一组参数θ的条件下，D的联合概率可以表示为：P(D|θ)。
MLE所做的是通过选择使得P(D|θ)最大的一组参数值θ*来估计数据的参数。
即：θ* = argmaxθP(D|θ)根据贝叶斯定理，P(D|θ)可以表示为，P(D|θ) = ΠP(di|θ)，其中di是我们的数据。
那么我们就可以通过求解这个式子的最大值来得到我们的估计参数值θ*。
但是，有一些情况下，直接求导数无法得到闭式解（closed-form solution）的形式。
这时我们可以使用EM算法。
EM算法当有一些隐含变量存在时，如果我们采用MLE是很难得到模型参数的。
这时我们可以采用EM算法。
EM算法就是一种迭代的最大似然估计算法，使用EM算法求解的目标是联合分布P(x, z|θ)，其中x是观测变量，z是隐含变量，θ是待估计参数。
根据贝叶斯定理，我们可以写出后验分布P(z|x,θ)，也就是在知道x和θ的条件下，z的分布。
因此，EM算法讲求的是一种求解参数θ的迭代方法，每一步都涉及两个基本步骤：E步和M步。
E步：计算隐含变量z的期望。
即计算下式的期望。
Q(θ|θn) = E[logp(x, z|θ)|x,θn]M步：最大化该期望。
其中θn是在前一次迭代中估计出来的θ值。
1. 初始值设定：给定一个初始值θ02. E步：计算Q(θ|θn)3. M步：最大化Q(θ|θn)得到最新的参数值θn+14. 判断收敛：判断是否符合计算的精度要求5. 如果不满足，继续迭代对于MLE和EM算法的优缺点，我们可以梳理如下：MLE的优点：（1）MLE所需要的假设比贝叶斯方法简单，比如不需要设置先验分布（2）容易计算，计算的复杂度相对较低（1）由于MLE通常是点估计，我们无法得到参数的分布，这意味着我们对每个参数都分配了一个单一的值，忽略了这些参数值可能的不确定性（2）MLE也不够鲁棒，它对异常数据点非常敏感（1）EM算法可以处理缺失或者损失的数据（2）EM算法的鲁棒性比MLE好，它会更加平滑的估计参数（2）EM算法对初始值敏感，如果初始估计值不够准确，可能导致算法陷入局部最小值总结：。
机器学习技术中的概率模型评估方法比较
机器学习技术中的概率模型评估方法比较机器学习是一种通过从数据中自动学习模式和规律的技术。
在机器学习中，概率模型是一种常用的方法，它能够在不确定性的情况下进行推断和预测。
然而，选择适当的概率模型评估方法对于机器学习任务的成功至关重要。
本文将比较几种常见的机器学习技术中的概率模型评估方法。
1. 最大似然估计（MLE）最大似然估计是一种常见的概率模型评估方法，它通过最大化观测到数据的可能性来估计模型参数。
MLE假设模型的参数是未知的，然后通过最大化观察到数据的可能性来找到最好的参数估计。
一个优点是MLE非常直观且易于理解和实现，特别是对于简单的概率分布模型。
然而，MLE会忽略先验信息，容易出现过拟合的问题，尤其在样本量较小的情况下。
2. 贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯定理的概率模型评估方法。
与MLE不同，贝叶斯估计引入了先验概率来对模型参数进行估计。
通过结合先验知识和观测数据，贝叶斯估计提供了更准确的模型参数估计。
一个优点是贝叶斯估计能够利用先验知识对模型参数进行约束，减小过拟合的风险。
此外，贝叶斯估计还能够在样本量较小的情况下进行可靠的参数估计。
然而，贝叶斯估计需要假设先验分布，并且计算复杂度较高，特别是在高维环境中。
3. 交叉验证交叉验证是一种将数据集划分为训练集和测试集的常用概率模型评估方法。
通过将数据集划分为多个子集，交叉验证可以对模型的性能进行评估，并且评估结果可以用于选择最佳的模型。
交叉验证的优点是可以很好地评估模型的泛化能力，并且可以通过重复实验减小误差。
然而，交叉验证需要更多的计算资源和时间，并且在数据量较大的情况下可能会出现计算不可行的情况。
4. AIC和BIC准则AIC（赤池信息准则）和BIC（贝叶斯信息准则）是常用的模型选择准则，用于比较不同概率模型的性能。
这两个准则根据模型的对数似然和模型的复杂度给出了一个综合评估指标，用于选择最佳的模型。
AIC和BIC的优点是可以用于选择最佳的模型，并且具备较好的理论基础。
贝叶斯分类器（2）极大似然估计、MLE与MAP
贝叶斯分类器（2）极⼤似然估计、MLE与MAP根据上⼀篇，我们对贝叶斯分类器所要解决的问题、问题的求解⽅法做了概述，将贝叶斯分类问题转化成了求解P(x|c)的问题，并提出了第⼀个求解⽅法：极⼤似然估计，也对似然的概念做了⼀定的理解，在本篇中，我们来介绍极⼤似然估计的原理、使⽤⽅法及其与最⼤后验估计MAP的区别。
1 极⼤似然估计1.1 极⼤似然估计的步骤我们已经知道，似然即参数的似然，表⽰给定样本下，参数θ为真值的可能性，所以，极⼤似然估计就是以最⼤化参数的似然值的⽅法来估计参数的真值的算法。
极⼤似然函数估计值的⼀般步骤：1. 假设概率服从某种确定的概率分布（或者分布已知）；2. 写出似然函数：L(θ1,θ2,...,θn,|x1,x2,...x n)；3. 对似然函数取对数，并整理；4. 求导数；5. 解似然⽅程，得到极⼤似然的参数；对于⼀批样本，共有M个属性值和N个类别，那么x就是⼀个M维向量，要求得P(x|c)，其实就是要求P([x1,x2,...x m]|c i),i=1,2,...,N，因为对不同的类别c，类条件概率P(x|c)应该是不同的分布，所以应该有N个不同的分布假设和似然函数。
我们按极⼤似然估计的步骤来看看怎样计算P(x|c)1. 假设分布：假设P(x|c)具有确定的形式并且被参数向量θ_c唯⼀确定,则我们的任务就是利⽤训练集D估计参数θ_c。
我们将假设的P(x|c)分布记为P(x;θ_c)；2. 似然函数，取对数：D_c表⽰训练集D中第c类样本组成的集合，假设这些样本是独⽴同分布的，则参数θ_c对于数据集D_c的似然函数是:L(θ_c|D_c)=\prod_{x\in D_c} P(x;θ_c)取对数得到对数似然函数，连乘转换为累加，求导之类的计算更加⽅便：LL(θ_c|D_c)=\sum_{x\in D_c} log(P(x;θ_c))3. 求导数：当似然函数取得极⼤值时，⾃变量θ_c的导数应该为0，所以可以得到针对参数向量θ_c中每个参数θ_i求偏导之后的⽅程组：\begin{cases} & \frac{\partial L(\theta_c|D_c)}{\partial \theta_1}=0 \\ & ... \\ & \frac{\partial L(\theta_c|D_c)}{\partial \theta_i}=0 \end{cases}4. 解似然⽅程：求解⽅程组得到参数向量θ_c，确定P(x|c)所假设的分布，根据x的取值[x_1,x_2,...x_m]得到其概率。
先验知识贝叶斯估计模型
先验知识贝叶斯估计模型贝叶斯估计模型是一种在统计学中常用的方法，用于根据先验知识对未知参数进行估计。
它基于贝叶斯定理，利用已观测到的数据来更新对参数的估计，从而得到后验概率分布。
本文将介绍贝叶斯估计模型的原理和应用，并探讨其优缺点。
让我们了解一下贝叶斯定理。
在统计学中，贝叶斯定理是用于计算在给定先验信息的情况下，更新概率估计的公式。
它的数学表达形式如下：后验概率 = (先验概率× 似然函数) / 边缘概率其中，先验概率是在没有观测到新数据之前对参数的初始估计，似然函数是已观测到的数据对参数的估计，边缘概率是对数据的整体概率分布进行归一化。
贝叶斯估计模型的核心思想就是利用贝叶斯定理来更新对参数的估计。
它将先验概率与似然函数相乘，得到后验概率分布。
通过后验概率分布，我们可以得到对参数的估计值以及相应的不确定性。
贝叶斯估计模型的应用非常广泛。
在机器学习中，贝叶斯估计模型可以用于参数估计、分类、聚类等任务。
例如，在文本分类中，可以利用贝叶斯估计模型来估计不同类别的先验概率，并根据已观测到的文本数据来更新对类别的估计。
在图像处理中，可以利用贝叶斯估计模型来估计图像的噪声分布，并根据观测到的图像数据来优化图像的恢复过程。
贝叶斯估计模型相比于传统的频率估计方法具有一些优点。
首先，贝叶斯估计模型可以很好地处理参数估计问题，特别是在数据量较小的情况下。
它能够利用先验知识来缓解数据的不足，并且能够灵活地适应不同的先验分布。
其次，贝叶斯估计模型可以提供对参数估计的不确定性评估。
通过后验概率分布，我们可以得到对参数的估计值以及相应的置信区间。
这对于决策和推断是非常有帮助的。
然而，贝叶斯估计模型也存在一些限制。
首先，贝叶斯估计模型需要选择先验分布。
选择不合适的先验分布可能导致估计结果的偏差。
其次，贝叶斯估计模型的计算复杂度较高。
由于需要对整个参数空间进行求积分，计算量往往较大。
因此，在实际应用中需要结合适当的近似方法来简化计算。
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若 A ~ u[ A0 , A0 ] 因此，采用LMMSE
，
需要积分而无法得到闭合形式的解
1×N
几何解释
内积空间(IP Spaces)
矢量：全部随机变量集合/0均值、有限方差（ZMFV） 标量：全部实数集合 内积：<X,Y> = E{XY} 构成内积空间 首先：是矢量空间
用于估计标量随机变量 由N个随机变量的线性组合进行估计
《信号检测与估计》
Signal Detection and Estimation
贝叶斯估计理论 ——LMMSE和小结
罗义军
QQ:896442923
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言
线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
一般贝叶斯估计量
选择估计量使得平均代价（贝叶斯风险）最小
对给定代价函数，可得最优估计量的形式
三种代价函数
最小均方误差 （MMSE）估计
条件中位数估计
最大后验概率 （MAP）估计
图11.2 不同代价函数的估计量
LMMSE的引入
MMSE含有多重积分，MAP含有多维最大值求解问题。 联合高斯假设条件下容易得到，一般情况下难以求得 不能做出高斯假定时，选择保留MMSE准则 限定估计量线性
LMMSE估计
类似于 BLUE
估计量的显式可由前两阶矩来确定
卡尔曼滤波器是维纳滤波器的重要推广
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言 线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
线性MMSE估计
假定标量参数 给定数据矢量 假定：联合PDF未知；已知前两阶矩； X与θ统计相关 目标：求满足如下形式的最佳估计量
选择加权系数 LMMSE估计量
LMMSE估计量的两个性质
1. 在线性变换上是可以转换的 若 且 为LMMSE估计量， 则 为 的LMMSE估计量
2. 未知参数之和的LMMSE估计量是每个估计量之和 若 则
贝叶斯高斯-马尔可夫定理
令数据为
应用前面的结果，可得
与贝叶斯线性估计（已包含高斯假定）形式相同 除非最佳估计线性，通常为次佳估计 LMMSE只需得到均值和协方差矩阵
应用正交原理
假定
可逆
矢量LMMSE估计
待估参数 线性估计量 目标：对每个元素，使 最小 的标量
可将矩阵A的第i行和矢量a第i个元素，看成 LMMSE估计量的形式 已知每个待估参数的标量LMMSE形式 • 得出相应的解 • 组合为矢量形式
矢量LMMSE的解
矢量LMMSE估计
若 相似地，可得 矩阵
可采用 “谱因式分解”求得 维纳滤波为IIR时不变的
定长FIR维纳滤波
数据：
FIR平滑器
为便于解释，考虑N=1的情况：
IIR平滑器
基于数据 估计
维纳-霍夫方程为：
1步预测的结果：对于AR（3）
贝叶斯估计理论——内容安排
主要内容 引言
线性贝叶斯估计量（LMMSE）
估计量总结
估计方法
在经典方法 中，数据信息总结在概率密度函数p(x;θ)中， 其中PDF是θ的函数。 在贝叶斯方法 中，由于先验PDFp(θ)描述了有关θ的知识 而增加了数据的信息。数据信息总结在联合PDF p(x,θ)中。
CRLB
CRLB
BLUE
BLUE
MLE
MLE
LSE
LSE
ME
ME
MMSE
MMSE
MAP
MAP
LMMSE
LMMSE
估计量的选择
作业：p330 12.2，12.6
假定
和
均为0均值，给定
，其LMMSE估计
再由
寻求该估计的序贯更估计新数据 预测
利用正交原理
由
提供的新的非冗余信息，称为“新息”
A在误差矢量上的投影正是所求的修正项
回顾特性：
新息序列
新息序列是： 1. 推导和应用序贯LMMSE的关键 2. 正交的（即不相关的）矢量序列 3. 在信号处理和控制中非常重要
定理4.2
若 则
一般线性模型的MVUE 定理11.1
贝叶斯线性模型下MMSE估计
序贯LMMSE估计
与序贯LS方法相同 固定参数个数（在此为随机的），增加数据样本数目
数据模型
目标： 给定基于 的估计 到达时，更新估计到
，当新的数据样本
求序贯LMMSE
在此，我们利用矢量空间得到“白噪声中的直流电平”的解，再推广 到一般情况
使贝叶斯MSE最小，导出的估计量称为
最佳加权系数的推导
代入得
对
求偏导数，
代入可得
这里
标量！
展开 可得
对加权系数
求偏导
可得 注意：LMMSE估计仅需1阶和2阶矩，不需PDF
代入并化简
可得 若 和 统计独立，则
完全基于先验 信息，数据无用
例12.1 WGN中具有均匀先验PDF的DC电平
回顾例10.1
一般序贯LMMSE估计
初始化：无数据，利用先验信息
估计量更新：
序贯LMMSE框图
框图与序贯LS相同
信号处理的例子——维纳滤波器
信号模型：
问题表述：用线性滤波器处理 相关的 最小
，得到去噪的信号，使得所求信号
滤波、平滑、预测
FIR维纳滤波
原理上： 实际中：
IIR维纳滤波
可看作 则 维纳-霍夫等式为 ，此时维纳滤波为时不变的