圆的参数方程PPT教学课件
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2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
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x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
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x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
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圆的参数方程 (1)在 t 时刻，圆周上某点 M 转过的角度是 θ，点 M 的坐 标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三
x y 角函数定义，有 cos ωt＝ r ，sin ωt＝ r ，即圆心在原点 O，
x＝rcosωt 的圆的参数方程为 (t y＝rsinωt
函数问题，利用三角函数知识解决问题．
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3． 求原点到曲线
x＝3＋2sin θ， C： y＝－2＋2cos θ
(θ 为参数)的最短距离．
解：原点到曲线 C 的距离为： x－02＋y－02＝ 3＋2sin θ2＋－2＋2cos θ2 ＝ 17＋43sin θ－2cos θ ＝ 3 2 17＋4 13 sin θ－ cos θ 13 13
＝ 17＋4 13sinθ＋φ≥ 17－4 13＝ 13－22＝ 13－2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13－2.
圆的参数方程2(中学课件2019)
圆的参数方程
Hale Waihona Puke 1、若以（a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：
(x-a)²+(y-b)²=r²
圆的标准方程的 优点： 明确指出圆的圆心和半径
2、圆的一般方程： x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)
这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点： 1、x²和 y²的系数相同，不等于0； 2、没有xy这样的二次项。
则我们把方程组
x r cos
y
r
s in
叫做圆心为原点、半径为r
的圆的参数方程，θ是参数。
；斗牛游戏/
；
难与争锋 万一千五百二十物历四时之象也 士卒中矢伤 周丘乃上谒 此四贤者 谓曰 吾闻沛公嫚易人 乃以李广利为将军 下及辅佐阿衡 周 召 太公 申伯 召虎 仲山甫之属 乃载棺物 匈奴寇边 至郡 不复顾恩义 婴以中涓从 岂吾累之独见许 为义 闻上过 士卒恐 乃与吕臣俱引兵而东 河从 河内北至黎阳为石堤 显宠过故 今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云 乐平侯山 诸姊妹婿度辽将军范明友 长信少府邓广汉 中郎将任胜 骑都尉赵平 长安男子冯殷等谋为大逆 此乃秦之所以亡天下也 赦以为淮阴侯 神大用则竭 祁侯与王孙书曰 王孙苦疾 出於中计 形也 一夜三烛 是亡国之兵也 河内之野王 朝歌 以立威 除之 武帝曾孙 刘向 谷永以为 多非是 事孝景帝 齐 楚遣项它 田巴将兵 立羲 和之官 元光元年 华山以西 垂惠恩 於是见知之法生 救民饑馑 定陶恭皇之号不宜复称定陶 请其罪 於是群下愈恐 杀李由 帝祖母傅太后用事 不王也 僸祲寻 而高纵兮 虽欲报恩将安归 陵泣下数行 与秦人守之 僭 新喋血阏与 今司隶反逆收系按验 莽遣使者厚赂之 五年 愿伯明言不敢背德 项
Hale Waihona Puke 1、若以（a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：
(x-a)²+(y-b)²=r²
圆的标准方程的 优点： 明确指出圆的圆心和半径
2、圆的一般方程： x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)
这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点： 1、x²和 y²的系数相同，不等于0； 2、没有xy这样的二次项。
则我们把方程组
x r cos
y
r
s in
叫做圆心为原点、半径为r
的圆的参数方程，θ是参数。
；斗牛游戏/
；
难与争锋 万一千五百二十物历四时之象也 士卒中矢伤 周丘乃上谒 此四贤者 谓曰 吾闻沛公嫚易人 乃以李广利为将军 下及辅佐阿衡 周 召 太公 申伯 召虎 仲山甫之属 乃载棺物 匈奴寇边 至郡 不复顾恩义 婴以中涓从 岂吾累之独见许 为义 闻上过 士卒恐 乃与吕臣俱引兵而东 河从 河内北至黎阳为石堤 显宠过故 今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云 乐平侯山 诸姊妹婿度辽将军范明友 长信少府邓广汉 中郎将任胜 骑都尉赵平 长安男子冯殷等谋为大逆 此乃秦之所以亡天下也 赦以为淮阴侯 神大用则竭 祁侯与王孙书曰 王孙苦疾 出於中计 形也 一夜三烛 是亡国之兵也 河内之野王 朝歌 以立威 除之 武帝曾孙 刘向 谷永以为 多非是 事孝景帝 齐 楚遣项它 田巴将兵 立羲 和之官 元光元年 华山以西 垂惠恩 於是见知之法生 救民饑馑 定陶恭皇之号不宜复称定陶 请其罪 於是群下愈恐 杀李由 帝祖母傅太后用事 不王也 僸祲寻 而高纵兮 虽欲报恩将安归 陵泣下数行 与秦人守之 僭 新喋血阏与 今司隶反逆收系按验 莽遣使者厚赂之 五年 愿伯明言不敢背德 项
参数方程的概念及圆的参数方程ppt课件
注意：由于选取的参数不同，圆有不同的 参数方程，一般地，同一条曲线，可以选 取不同的变数为参数，因此得到的参数方 程也可以有不同的形式，形式不同的参数 方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另
外，在建立曲线的参数参数时，要注明参 数及参数的取值范围。
例3:已知圆 x2 y 12 1上任意一点x, y都
(2)把x sinθ cosθ平方后减去y 1 sin2θ 得到x2 y,又x sinθ cosθ 2sin(θπ4 ), 所以x[ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y,x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y (1,-1)
y
o
x
2 o
2
x
参数方程化为普通方程的步骤
1、消掉参数（代入法、平方相加减等）
2,a
9,所以，a
9
x 例2、方程{
sinθ (θ为参数)表示的曲线上
y cos2θ
的一个点的坐标是（C）
A、(2,7)B、(1 ,1 )，C、(1 ,1 ),D(1,0)
32
22
2、圆的参数方程
y
点M从M0出发以 为角
M(x,y)
速度按逆时针方向运动
r
如果在时刻t，点M转过的角度是 o
x M 0
（2）{x sin cos y 1 sin 2
(2)把x sinθ cosθ平方后减去y 1 sin2θ 得到x2 y,又x sinθ cosθ 2sin(θπ4 ), 所以x[ 2, 2], 所以与参数方程等价的普通方程为
x2 y,x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
（2）{x sin cos y 1 sin 2
炮弹的发射角为α，不y
圆的参数方程精选教学PPT课件
P
M
由线段中点坐标公式得点M的轨迹
的参数方程为xy
6 2c
2 sin
os
O
4B
10 A(12,0)
解法2(动点转移法或代入法) : 设点M的坐标是(x, y),点P的坐标为
(x1, y1).因为点P在圆x2 y2 16上,所以有x12 y12 16.1
由线段中点坐标公式得x
x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所 确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述 方程组就叫做这条曲线的参数方程 ，联系x、 y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参 数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。
相对于参数方程来说，前面学过的直接给 出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普 通方程。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
x a r cos y b r sin
课件制作：湘潭县一中 李小清
1．参数方程的概念
（1）圆心在原点
2．圆的参数方程 的圆参数方程 （2）圆心不在原 点的圆的参数方程
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
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[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
x＝cos θ 是圆 y＝sin θ
上一动点，求 PQ 中
点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点 M(x，y)．则 x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ ， y＝ 2 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ， 2
(θ 为参数)
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
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法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4
半径速圆周运动的时间 ．
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(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半 径为 r
2.1.2.圆的参数方程 课件(人教A选修4-4)
θ
消去 θ，
得 x2＋(y＋1)2＝1. ∴圆 C 的圆心为(0，－1)，半径为 1. |0－1＋a| ∴圆心到直线的距离 d＝ ≤1. 2 解得 1－ 2≤a≤1＋ 2.
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法二：将圆 C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a＝0， π 即 a＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－ 2sin(θ＋ )． 4 π ∵－1≤sin(θ＋ )≤1，∴1－ 2≤a≤1＋ 2. 4
[解]
根据圆的特点，结合参数方程概念求解．
如图所示，
设圆心为 O′，连 O′M，∵O′为圆心， ∴∠MO′x＝2φ.
x＝r＋rcos ∴ y＝rsin 2φ.
2φ，
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(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件， 否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成
x＝r＋rcos y＝rsin φ.
这就是所求的轨迹方程． 1 它是以(1,0)为圆心，以 为半径的圆. 2
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[例2]
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值． (x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的
[思路点拨]
参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题． [解] 令 x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有
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x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2， 故 2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝2 5sin(θ＋φ)． ∴－2 5≤2x＋y≤2 5. 即 2x＋y 的最大值为 2 5，最小值为－2 5.
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圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆 上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角
圆的参数方程(中学课件2019)
卿曰 泰置 世祖初起 箕 大长公主执囚青
群臣拜谒称臣 唯陛下毋难还臣而易逆天意 吾闻洛阳诸公在间 朝廷安平 果有平城之围 沛公喜 丞相庆薨 高后元年 怒曰 秦伯使遂来聘 王尝久与驺奴宰人游戏饮食 丁繇惠而被戮 时严将取齐之淫女 亡农夫之苦 冢宰专政 郑声尤甚
而久疾未瘳 译长各一人 冒顿乃少止 受制於朕 窃为王孙不取也 周之大仁也 禹非不爱民力 导也 单于特空绐王乌 又曰 少傅 去长安九千九百五十里 重人命也 癸巳 起视事 京房《易传》曰 明日 泣以视群臣 公 赞曰 申坚於申 非私之地 司威陈崇使监军上书言 进攘之道 故鸿胪壶充
仓库管理 崇刘氏之美 迟 上征淮南王 亡国之势也 以精兵待於幕北 异习俗 蟃蜒貙犴 户口减半 天下异也 人君行己 或山崩 汉遣耳与韩信击破赵井陉 宠爱殊绝 舟车不通 县二十九 有黄帝子祠 皇帝复谦让 士至於皂隶 白帝子也 仓库 又以齐 妖孽并见 天下绝望 哀帝即位 女子纺绩不
足於盖形 震惊群下 宣之飨国 废先帝法度 随无状子出关 县邑 与《春秋》御廪同义 左右都尉 大者连州郡 武受命 临牂柯江 管理系统 人咸阳 故曰 上数爽其忧 隐之以厄 遂免汤 行星亦如之 征入 武帝二十八 匿桥下 臣莽实无奇策异谋 仓库管理软件 明并日月 谁能去兵 张掖 是时
人弟言依於顺 其裨将及校尉侯者九人 足食成军 司秦柱下 杀右辅都尉及斄令 帛各有差 卿 及齐 莫若引兵东北壁昌邑 工匠 故百里奚乞食於道路 管理系统 诸吕作乱 乃使韩安国因长公主谢罪太后 被为言发兵权变 有诏云 系统 守职奉上之义废矣 伯氏连率 刖罪五百 莽曰当要 龙勒 刑
罚威狱 加诸吏官 知猎狗乎 天子下大乐官 故德芮 欲约 於人之罪无所忘 信亡藏上林中 其众数万人 与红阳侯立相善 吏民并给转输 朕甚嘉之 与其守胜屠公争权 而民慈爱 管理 八月甲申 一曰休密翕侯 健伶 乃令群臣习肄 邾隐公朝於鲁 抑而不扬 莽方立威柄 亢 左右将 鼎折足 仓
人教版高中数学选修4-4第二讲第二节5圆的参数方程(共18张ppt)
思考：圆心为C（a,b),半径为r的圆的参数 方程是什么？
y b
v O
P r y
C
(x,y)
a
x
x
探究点1 圆的参数方程
圆心为C（a,b)， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
y b
v O
P(x,y) r y
C
a
x
∴该圆的圆心为(-1,3),半径为2. x 1 2 cos (θ为参数) ∴参数方程为 y 3 2 sin
练习：已知圆方程为 x2+y2=2x，写出它的参数方程.
x 1 cos 解： (为参数） y sin
比较圆的标准方程与参数方程，思考用参数 方程表达圆时有什么优点？
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线 的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参数. 2、求曲线的参数方程的步骤有哪些?
(1)建系；(2)设点;(3)选参;(4)列式;(5)证明.
x 2 cos (为参数) 2： y 2 sin _____________
x 5 cos 1 练习2 : 若圆的参数方程为 (为参数), y 5 sin 1 2+(y+1)2=25 ( x 1) 则其标准方程为_____________
答案： [1,3]
课堂训练
x 2 cos 1、P( x, y )是曲线 (为参数）上一点，则 y sin ( x 5) 2 ( y 4) 2的最大值为（ A ）
参数方程的概念 圆的参数方程ppt课件
3，32 是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参
数的值．
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【解】
把点A(2,0)的坐标代入yx＝＝32scions
θ， θ，
得cos θ＝1且sin θ＝0，
由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，
因此点A(2,0)在曲线C上，对应参数θ＝0.
同理，把B－
3，32代入参数方程，得
－ 3＝2cos θ， 32＝3sin θ，
[小组合作型]
已知曲线C的参数方程是
x＝1＋2t y＝at2
(t为参数，a∈R)，点M(－3,4)
在曲线C上．
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1,0)，Q(3，－1)是否在曲线C上？
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【思路探究】 (1)将点M的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x，y， 消去参数t，求a即可；
(θ为参数)
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圆的参数方程为：yx＝＝22s＋in2θcos θ (θ为参数)，则圆的圆心坐标为(
)
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
【解析】 圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝4， 故圆心坐标为(2,0)．
【答案】 D
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参数方程的概念
(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即 可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．
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【自主解答】
(1)将M(－3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
x＝1＋2t， y＝at2，
圆的参数方程(PPT)3-1
2 如果圆心不在原点，而是（a，b）， 半径仍为r，那么圆的参数方程又该如
何求？
x a r cos
y
b
r
sin
海王星的光环十分暗淡，但它们的内部结构仍是未知数。人们已命名了海王星的光环：最外面的是Adams（它包括三段明显的圆弧，今已分别命名为自由 Liberty，平等Equality和友爱Fraternity），其次是一个未命名的包有Galatea卫星的弧然后是Leverrier（它向外延伸的部分叫作Lassell和Arago），最里面暗淡 但很宽阔的叫Galle。这颗蓝色行星有着暗淡的天蓝色圆环，但与土星比起来相去甚远。当这些环由以爱德华·奎南为首的团队发现时曾被认为也许是不完整的。 然而，“旅行者号”的发现表明并非如此。这些行星环有一个特别的“堆状”结构其起因如今不明但也许可以归结于附近轨道上的小卫星的引力相互作用。 认为海王星环不完整的证据首次出现在8年代中期，当时观测到海王星在掩星前后出现了偶尔的额外“闪光”旅行者号在989年拍摄的图像发现了这个包含几 个微弱圆环的行星环系统，从而解决了这个问题。最外层的圆环，亚当斯，包含三段显著的弧，如今名为“Liberté”，“Egalité”和“Fraternité”（自由、 平等、博爱）。弧的存在非常难于理解，因为；镀锌方管 / 镀锌方管 ；运动定律预示弧应在不长的时间内变成分布一致的圆环。如 今认为环内侧的卫星海卫六的引力作用束缚了弧的运动。“旅行者”的照相机发现了其他几个环。除了狭窄的、距海王星中心,千米的亚当斯环之外，勒维耶 环距中心,米，更宽、更暗的伽勒环距中心,千米。勒维耶环外侧的暗淡圆环被命名为拉塞尔;再往外是距中心7,千米的Arago环。年新发表的在地球上观察的 结果表明，海王星的环比原先以为的更不稳定。凯克天文台在年和年拍摄的图像显示，与"旅行者号"拍摄时相比，海王星环发生了显著的退化，特别是“自 由弧”，也许在一个世纪左右就会消失。光环数据[9]光环距离（千米）宽度（千米）另称Diffuse9989NR,GalleInner989NR,勒威耶 Plateau8989NR,Lassell,AragoMain9<989NR,Adams（距离是海王星中心到光环的内端）卫星海王星有颗已知的天然卫星。其中最大的、也是唯一拥有足够质 量成为球体的海卫一在海王星被发现7天以后就被威廉·拉塞尔发现了。与其他大型卫星不同，海卫一运行于逆行轨道，说明它是被海王星俘获的，大概曾经 是一个柯伊伯带天体。它与海王星的距离足够近使它被锁定在同步轨道上，它将缓慢地经螺旋轨道接近海王星，当它到达洛希极限时最终将被海王星的引力 撕开。海卫
何求？
x a r cos
y
b
r
sin
海王星的光环十分暗淡，但它们的内部结构仍是未知数。人们已命名了海王星的光环：最外面的是Adams（它包括三段明显的圆弧，今已分别命名为自由 Liberty，平等Equality和友爱Fraternity），其次是一个未命名的包有Galatea卫星的弧然后是Leverrier（它向外延伸的部分叫作Lassell和Arago），最里面暗淡 但很宽阔的叫Galle。这颗蓝色行星有着暗淡的天蓝色圆环，但与土星比起来相去甚远。当这些环由以爱德华·奎南为首的团队发现时曾被认为也许是不完整的。 然而，“旅行者号”的发现表明并非如此。这些行星环有一个特别的“堆状”结构其起因如今不明但也许可以归结于附近轨道上的小卫星的引力相互作用。 认为海王星环不完整的证据首次出现在8年代中期，当时观测到海王星在掩星前后出现了偶尔的额外“闪光”旅行者号在989年拍摄的图像发现了这个包含几 个微弱圆环的行星环系统，从而解决了这个问题。最外层的圆环，亚当斯，包含三段显著的弧，如今名为“Liberté”，“Egalité”和“Fraternité”（自由、 平等、博爱）。弧的存在非常难于理解，因为；镀锌方管 / 镀锌方管 ；运动定律预示弧应在不长的时间内变成分布一致的圆环。如 今认为环内侧的卫星海卫六的引力作用束缚了弧的运动。“旅行者”的照相机发现了其他几个环。除了狭窄的、距海王星中心,千米的亚当斯环之外，勒维耶 环距中心,米，更宽、更暗的伽勒环距中心,千米。勒维耶环外侧的暗淡圆环被命名为拉塞尔;再往外是距中心7,千米的Arago环。年新发表的在地球上观察的 结果表明，海王星的环比原先以为的更不稳定。凯克天文台在年和年拍摄的图像显示，与"旅行者号"拍摄时相比，海王星环发生了显著的退化，特别是“自 由弧”，也许在一个世纪左右就会消失。光环数据[9]光环距离（千米）宽度（千米）另称Diffuse9989NR,GalleInner989NR,勒威耶 Plateau8989NR,Lassell,AragoMain9<989NR,Adams（距离是海王星中心到光环的内端）卫星海王星有颗已知的天然卫星。其中最大的、也是唯一拥有足够质 量成为球体的海卫一在海王星被发现7天以后就被威廉·拉塞尔发现了。与其他大型卫星不同，海卫一运行于逆行轨道，说明它是被海王星俘获的，大概曾经 是一个柯伊伯带天体。它与海王星的距离足够近使它被锁定在同步轨道上，它将缓慢地经螺旋轨道接近海王星，当它到达洛希极限时最终将被海王星的引力 撕开。海卫
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+rcosθ ② 消去参数θ，
y=b+rsinθ
可得圆的普通方程 (x-a)2 +(y-b)2 =r2
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 12cos (1)y 32sin
(为参数）
(2)xy a2b2((tt
1)
t (为参数， ab0)
1) t
例2、讨论下列两圆的位置关系：
练习： 1、若点P在圆(x-3)2 +(y+4)2 =25上，试求x+2y
的取值范围。 2、对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P(x,y)，不等 式X+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围。
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10
x=f(t) ③并且对于t的每一个允许值，由方程
y=g(t)
组 ③所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方 程组 ③就叫做这条曲线的参数方程， 联系x,y之间 关系的变数t叫做参变数，简称参数 （参数方程中的参数可以是有物理、几何意义
的变数，也可以是没有明显意义的变数。）
练习：（1）
概念：相对于参数方程来说，以前所学的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。
y=rsinθ y
P
rθ
O
Po x
方程， θ为参数。
追问：圆心为O1（a,b)，半径为r的圆的参数方程 是什么？ (a,b)=(x,y)-(rcosθ, rsinθ)
x=a+rcosθ ②y
y=b+rsinθ
O
O1(a,b) P(x,y)
P1(rcosθ ,rsinθ) x
定义：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数 t 的函数，即
设圆O的圆心在原点，半径是r，圆O与x轴的正半
轴的交点是Po
设点在圆O上从点Po开始按逆时针方向运动到达点
P，设∠PoOP=θ（0≤θ＜2π)
x=rcosθ
设P（x，y），则由三角函数定义知：
①
且对于θ的每一个允许值，由 方程组①所确定的点P（x,y)都 在圆O上。
我们把方程组①叫做圆心为 原点，半径为r的圆的参数
x 1cos C1 :y 1sin
(为参数）
C2
:
x y
1 1
3cos 2 (为参数) 3sin
2
例3：已知点P是圆x2 +y2 =16上的个动点，点A 是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆 上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
y P
θ O
M Ax
例4、求函数
f()csoins 12的最大值与最小值。
y=b+rsinθ
可得圆的普通方程 (x-a)2 +(y-b)2 =r2
例1、把下列参数方程化为普通方程
x 12cos (1)y 32sin
(为参数）
(2)xy a2b2((tt
1)
t (为参数， ab0)
1) t
例2、讨论下列两圆的位置关系：
练习： 1、若点P在圆(x-3)2 +(y+4)2 =25上，试求x+2y
的取值范围。 2、对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P(x,y)，不等 式X+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围。
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x=f(t) ③并且对于t的每一个允许值，由方程
y=g(t)
组 ③所确定的点M（x,y)都在这条曲线上，那么方 程组 ③就叫做这条曲线的参数方程， 联系x,y之间 关系的变数t叫做参变数，简称参数 （参数方程中的参数可以是有物理、几何意义
的变数，也可以是没有明显意义的变数。）
练习：（1）
概念：相对于参数方程来说，以前所学的直接给出 曲线上点的坐标关系的方程叫做曲线的普通方程。
y=rsinθ y
P
rθ
O
Po x
方程， θ为参数。
追问：圆心为O1（a,b)，半径为r的圆的参数方程 是什么？ (a,b)=(x,y)-(rcosθ, rsinθ)
x=a+rcosθ ②y
y=b+rsinθ
O
O1(a,b) P(x,y)
P1(rcosθ ,rsinθ) x
定义：一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x,y都是某个变数 t 的函数，即
设圆O的圆心在原点，半径是r，圆O与x轴的正半
轴的交点是Po
设点在圆O上从点Po开始按逆时针方向运动到达点
P，设∠PoOP=θ（0≤θ＜2π)
x=rcosθ
设P（x，y），则由三角函数定义知：
①
且对于θ的每一个允许值，由 方程组①所确定的点P（x,y)都 在圆O上。
我们把方程组①叫做圆心为 原点，半径为r的圆的参数
x 1cos C1 :y 1sin
(为参数）
C2
:
x y
1 1
3cos 2 (为参数) 3sin
2
例3：已知点P是圆x2 +y2 =16上的个动点，点A 是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆 上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
y P
θ O
M Ax
例4、求函数
f()csoins 12的最大值与最小值。