§8.5复合函数微分法

§8.5多元复合函数微分法

复习：一元复合函数的求导法则

设)]([x f y ϕ=是由)(u f y =和)(x u ϕ=复合而成，则)()(x u f dx

du

du dy dx dy ϕ'⋅'=⋅=。

8.5.1全导数

定理1 若函数)(x u ϕ=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψϕ=在点x 可导，且

x

d v

d v z x d u d u z dx z d ⋅∂∂+⋅∂∂=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ∆，则u 、v 得相应的增量u ∆、v ∆， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -∆+∆+=∆， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微，

∴)(ρ+∆∂∂+∆∂∂=

∆o v v

z u u z z ，其中2

2)()(v u ∆+∆=ρ。 ∵)(x u ϕ=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ϕ=、)(x v ψ=都在点x 必连续，

即当0→∆x 时，0→∆u ，0→∆v ，从而0lim 0

=ρ→∆x 。

∵

x

o x v v z x u u z x z ∆ρ+

∆∆∂∂+∆∆∂∂=∆∆)

(， 而x o o x x ∆ρ⋅ρρ=ρρ→∆→∆)(lim )(lim

00])()([lim )(lim 220

0x v

x u o x x ∆∆+∆∆±⋅ρρ=→∆→∆

0])()([022=+±⋅=dx

dv

dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ∆ρ+∆∆∂∂+∆∆∂∂=∆∆→∆→∆→∆→∆)

(lim )(lim )(lim lim 0000，

即

x

d v

d v z x d u d u z dx z d ⋅∂∂+⋅∂∂=。

全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。

可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如：),,(w v u f z =，而)( ,)( ),(x w w x v v x u u ===，则 )](),(),([x w x v x u f z =， dx

dw

w z dx dv v z dx du u z dx dz ∂∂+

∂∂+∂∂=。

例1．已知x uv z arctan +=，而x e u =，x v cos =，求dx

dz 。 解法1：

x z

dx dv v z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂+∂∂=211)sin (x

x u ve x ++-+= 2

11)sin (cos x

x x e x ++

-=。

解法2： x x e z x arctan cos +=，

211

)sin (cos x

x x e dx dz x ++-=。 定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。

8.5.2复合函数的微分法 一、复合函数的微分法

定理2 设)v ,u (f z =，而),( ),,(y x v y x u ψ=ϕ=。若),( ),,(y x v y x u ψ=ϕ=在点),(y x 处偏导数都存在，而)v ,u (f z =在相应点),(v u 可微，则复合函数

)],(,),([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处存在偏导数，且 x

v

v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，

y

v

v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。 u

v

z

x

y x y

u v

z x

x

类似地，)w ,v ,u (f z =，而),(),,(),,(y x t t y x v v y x u u ===， 则)],(,),(,),([y x t y x v y x u f z =，

x t t z x v

v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，

y

t t z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。 在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。

例如：设)v ,u (f z =，)(),(x v y x u ψ=ϕ=和，则)](),,([x y x f z ψϕ=，

x d v

d v z x u u z x z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，

y

u

u z y z ∂∂⋅∂∂=∂∂。 如果),,, (y x u f z =，),(y x u ϕ=，则],,, ),([y x y x f z ϕ=

x

f

x u u f x z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y

f

y u u f y z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂

注意：这里

x z ∂∂与x f ∂∂是不同的，x

z ∂∂是把复合函数],,, ),([y x y x f z ϕ=中的y 看作 不变而对x 的偏导数，x

f

∂∂是把),,(y x u f 中的y u ,看作不变而对x 的偏导数。

y

z ∂∂与y f

∂∂也有类似的区别。 例2．设v e z u

sin =，而xy u 2=，y x v +=2，

u

v

t

z

x

y x

y y x u

v

x x

z

y

u

v

z

x

y x u

x x

z

y

y