不等式与不等式组知识点与练习

不等式与不等式组知识点整理

一、知识要点：

1、不等式和一元一次不等式的含义。

①如：－3﹥－5，b ＋1≤3，2x ﹤y ，－1﹤x ≤3，x ≠1等，含有不等号的式子可称作不等式； 而：②如：y －3﹥－5，b ＋1≤2b －3，2x ＋1﹤4等，是不等式并只含有1个未知数，同时未知数的次数是1，则可称为一元一次不等式。 2、不等式的解、解集、解不等式的概念。

举例：判断下列哪些是不等式x ＋4﹥7的解？哪些不是不等式的解？

－4，－3．5，1，2．3，3．017，2

1

4

，7，11。 分析：由3＋3 = 6 可知：（1）当x ﹥3时，不等式x ＋4﹥7成立；（2）当x ﹤3或x=3时，不等式x ＋3﹥6不成立。也就是说，任何一个大于3的数都是不等式x ＋4﹥7的解（如题目中的x=7就是不等式x ＋4﹥7其中的1个解）。这样的解有无数个，因此x ﹥3表示了能使不等式成立的未知数“x ”的取值范围，我们把它叫做不等式x ＋4﹥7的解的集合，简称解集。 而求不等式的解或解集的过程叫做解不等式。

3、不等式的三个性质：（思考：与等式基本性质对比有何异同？） ①如果a ﹥b ，那么a ±c ﹥b ±c ；【移项的依据】

②如果a ﹥b ，c ﹥0，那么a ·c ﹥b ·c （或a ÷c ﹥b ÷c ）；【去分母、系数化为1的依据】 ③如果a ﹥b ，c ﹤0，那么a ·c ﹤b ·c （或a ÷c ﹤b ÷c ）；【去分母、系数化为1的依据】 4、不等式解集的数轴表示。举例：（注意数轴看作由无数个点组成，每一个点都与一个数对应，注意空心点和实心点的用法。）

4、利用不等式性质解一元一次不等式。

二、应用举例：

【例1】下列不等式，那些总成立？那些总不成立？那些有时成立而有时不成立？

（1）－9．4﹤2，（2）3﹥0，（3）b ＋5﹤0，（4）︱x ︱﹥0，（5）12

+b ﹤0，（6）5＋x ﹥5－x 。 分析：主要考虑未知数的取值，特别是正数、负数和零。

【例2】（07临沂试题）若a ﹤b ﹤0，则下列式子：①a ＋1﹤b ＋2，②b

a

﹥1，③a ＋b ﹤a b ， ④

a 1﹤b

1

中，正确的有（ ）。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

分析：由a ﹤b ﹤0得，a 、b 同为负数并且︱a ︱﹥︱b ︱。如取a =－2，b =－1代入式子中。 三、练习：

1、下列式子：①－3﹤0，②4x ＋3y ﹥0，③x=3，④12

+-y x ，⑤x ≠5，⑥x －3﹤y ＋2，其中是不等式的有（ ）。

A 、5个

B 、4个

C 、3个

D 、2个

2、有理数a 、b 在数轴上位置如图所示，用不等式表示： ①a ＋b ____0，②a b ____0，③︱a ︱____︱b ︱。

3、若a ﹥b ，则下列式子一定成立的是（ ）。

A 、a ＋3﹥b ＋5，

B 、a －9﹥b －9，

C 、－10a ﹥－10b ，

D 、a 2

c ﹥b 2

c

4、下列结论：①若a ﹤b ，则a 2c ﹤b 2

c ；②若a c ﹥b c ，则a ﹥b ；③若a ﹥b 且若c =

d ， 则a c ﹥b d ；④若a 2c ﹤b 2

c ，则a ﹤b 。正确的有（ ）。

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

5、如果不等式（a ＋1）x ﹥（a ＋1）的解为x ﹤1，则必须满足a ________。

6、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。

（1）4x－7﹥3x－1

（2）2（x－6）﹤3－x

7、已知m﹤0，n﹥0，m＋n﹥0，用“﹥”号连接：m，n，－m，－n，m－n，n－m。

【作业：】

1、若0﹤a﹤1，则下列四个不等式中正确的是（）。

（1）2x－5﹥5x－11 （2）3x－2（1－2x）≥1

不等式与不等式组（2）

一、知识要点：

1、解一元一次不等式的依据是不等式的三个性质。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（与解一元一次方程类似）

（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化成1（注意不等号开口的方向）。

举例：解不等式：

2

1

5312+-

-x x ≤1，并把解集在数轴上表示出来。 解：去分母（不等式两边同时乘以6）得：

6×（

2

1

5312+-

-x x ）≤1×6 即：2（12-x ）－3（15+x ）≤6 去括号（利用乘法分配律）得：

24-x －315-x ≤6

移项（要移动的项必须变号）得：

x 4－x 15≤6＋2＋3

合并同类项得：－11x ≤11

系数化成1得： x ≥－1（注意不等号方向是否需要改变） 所以，原不等式的解集在数轴上表示为：

3、列一元一次不等式解应用题。

方法、步骤与列一元一次方程解应用题类似，关键是设元和找出题目中各数量存在的不等关系。

二、应用举例：

【例1】（07枣庄试题）不等式2x －7≤5的正整数解有（ ）。

A 、7个

B 、6个

C 、5个

D 、4个

分析：先求出不等式的解：x ≤6，再从中找出符合条件的正整数。 【例2】如果3

)

1(2x --

的值是非正数，则x 的取值范围是（ ）。