九年级上册数学 圆 几何综合章末训练(Word版 含解析)
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九年级上册数学 圆 几何综合章末训练(Word 版 含解析)
一、初三数学 圆易错题压轴题(难)
1.如图,二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ,且经过点(m ,9m ),⊙E 过A 、B 、C 三点。 (1)求这条抛物线的解析式; (2)求点E 的坐标;
(3)过抛物线上一点P (点P 不与B 、C 重合)作PQ ⊥x 轴于点Q ,是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,说明理由
【答案】(1)y=x 2
+2x-8(2)(-1,-
72)(3)(-8,40),(-15
4,-1316),(-174
,-25
16
) 【解析】
分析:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+=,解这个方程可求出m 的值;
(2)分别令y =0和x =0,求出OA ,OB ,O C 及AB 的长,过点E 作EG x ⊥轴于点
G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ,AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ,列方过程求出a 的值,
从而求出点E 的坐标;
(3)设点P (a , a 2+2a -8), 则2
28,2PQ a a BQ a =+-=-,然后分PBQ ∽CBO 时
和PBQ ∽BCO 时两种情况,列比例式求出a 的值,从而求出点P 的坐标.
详解:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+= 解得:121,0m m =-=(舍去) ∴228y x x =+-
(2)由(1)可得:2
28y x x =+-,当0y =时,124,2x x =-=;
∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ,== , ∴6AB OA OB =+=, 当0x =时,8y =-, ∴8OC =
过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ,,
则11
6322
AG AB =
=⨯= ,
设
,则
, 在Rt AGE ∆中,,
在
中,
()2
22218CE EF CF a =+=+-,
∵AE CE = ,
∴()2
2918a a +=+- ,
解得:7
2a =
, ∴712E ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
,
; (3)设点()2,28a a a P +-,
则2
28,2PQ a a BQ a =+-=-, a.当PBQ ∆∽CBO ∆时,
PQ CO
BQ OB =,即228822
a a a +-=-, 解得:10a =(舍去);
22a =(舍去);38a =- ,
∴()18,40P - ;
b.当PBQ ∆∽BCO ∆时,
PQ BO
BQ CO =,即228228
a a a +-=-, 解得:12a =(舍去),2154a =-;317
4
a =- , ∴21523,416P ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭;31725416P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
, ; 综上所述,点P 的坐标为:()18,40P -,21523,416P ⎛⎫--
⎪⎝⎭,31725416P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
, 点睛:本题考查了二次函数的图像与性质,二次函数与坐标轴的交点,垂径定理,勾股定理,相似三角形的性质和分类讨论的数学思想,熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、相似三角形的性质是解答本题的关键.
2.如图①,一个Rt △DEF 直角边DE 落在AB 上,点D 与点B 重合,过A 点作二射线AC 与斜边EF 平行,己知AB=12,DE=4,DF=3,点P 从A 点出发,沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动,Q 为AP 中点,设运动时间为t 秒(t >0)• (1)当t=5时,连接QE ,PF ,判断四边形PQEF 的形状;
(2)如图②,若在点P 运动时,Rt △DEF 同时沿着BA 方向以每秒1个单位的速度运动,当D 点到A 点时,两个运动都停止,M 为EF 中点,解答下列问题: ①当D 、M 、Q 三点在同一直线上时,求运动时间t ;
②运动中,是否存在以点Q 为圆心的圆与Rt △DEF 两个直角边所在直线都相切?若存在,求出此时的运动时间t ;若不存在,说明理由.
【答案】(1)平行四边形EFPQ 是菱形;(2)t=;当t 为5秒或10秒时,以点Q 为圆
心的圆与Rt △DEF 两个直角边所在直线都相切. 【解析】
试题分析:(1)过点Q 作QH ⊥AB 于H ,如图①,易得PQ=EF=5,由AC ∥EF 可得四边形EFPQ 是平行四边形,易证△AHQ ∽△EDF ,从而可得AH=ED=4,进而可得AH=HE=4,根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ ,即可得到PQ=EQ ,即可得到平行四边形EFPQ 是菱形; (2)①当D 、M 、Q 三点在同一直线上时,如图②,则有AQ=t ,EM=EF=,AD=12-t ,
DE=4.由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ,然后运用相似三角形的性质就可求出t的值;
②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切,则点Q在∠ADF的角平分线上(如图③)或在∠FDB的角平分线(如图④)上,故需分两种情况讨论,然后运用相似三角形的性质求出AH、DH(用t表示),再结合AB=12,DB=t建立关于t的方程,然后解这个方程就可解决问题.
试题解析:(1)四边形EFPQ是菱形.
理由:过点Q作QH⊥AB于H,如图①,
∵t=5,∴AP=2×5=10.
∵点Q是AP的中点,
∴AQ=PQ=5.
∵∠EDF=90°,DE=4,DF=3,
∴EF==5,
∴PQ=EF=5.
∵AC∥EF,
∴四边形EFPQ是平行四边形,且∠A=∠FEB.
又∵∠QHA=∠FDE=90°,
∴△AHQ∽△EDF,
∴.
∵AQ=EF=5,
∴AH=ED=4.
∵AE=12-4=8,
∴HE=8-4=4,
∴AH=EH,
∴AQ=EQ,
∴PQ=EQ,
∴平行四边形EFPQ是菱形;
(2)①当D、M、Q三点在同一直线上时,如图②,