雪花曲线教学课例资料

“雪花曲线”教学课例

嘉定教师进修学院张桂明

2003年12月25日

一、教材背景分析

“雪花曲线”是高中数学（试验本）第七章中的拓展内容．教材中介绍了“雪花曲线” 的作法（生成过程），提出并解决了四个问题．由于学生对雪花有一定的感性认识，因而对用数列知识研究解决“雪花曲线”的问题很感兴趣．新教材把“雪花曲线”编入拓展内容，旨在培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．通过对雪花曲线的探索与研究，还可以了解一些分形几何的初步知识．

在一期课改的教材中没有“雪花曲线”这一内容，但我感到，学生在学完数列与极限的知识后，已经具备了探究“雪花曲线”的能力．结合嘉定教师进修学院“研、训、教”一体化的“大师训”教研模式，我选择了“雪花曲线” 这一教学内容，在嘉定一中高三（5）班上了一堂“下海课” ，一方面是探索在数学课堂上进一步渗透研究性学习，另一方面是请各基层学校教师一起进行新教材的教学研讨．

二、教学目标

1．进一步巩固数列与极限的有关知识．

2．培养应用数学知识解决实际问题的能力．

3．通过对“雪花曲线” 的探索与研究，培养学生辩证唯物主义的科学态度及合作交流的学习能力．

三、设计思路

数学课堂应该是发现问题、解决问题的场景，学生要成为学习的主人，成为知识的“发现者”和“创造者” ，教学过程应该是学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程．为此，我作了如下的教学设计：

1．创设情境：学生熟悉的雪花．从而引发学生的学习兴趣，对雪花我们可以研究什么问题啊？

2•启发学生提出问题•通过观察“雪花曲线”的形状，发现它是一个和我们平时研究的

多边形不同的平面多边形，引导他们从边数、边长、周长、面积等方面提出问题.

3.要求学生通过自主探索与合作交流，用学过的数列知识来解决自己所提出的问题，并反思总结解决问题过程中所用到的知识和方法.

4•引导学生对“雪花曲线”进行进一步的探究，从而培养学生对问题进行深入研究的良好思维习惯.

四、教学实施过程

（一）问题引入

问：前一段时间我们在复习什么内容？

那么今天我们研究什么问题呢？请同学们观察大屏幕，看一看屏幕上的图形象什么？（大屏幕显示“雪花曲线”的图形）

从而引出课题：“雪花曲线” •

雪花曲线其实是一个平面图形，由瑞典数学家科赫首先指出其作法，所以我们又称它为科赫雪花曲线.雪花曲线有着非常奇异的特性，通过我们的研究, 等一会儿我们就可以发现它的奇异特性.

图4

我们先来看一看，雪花曲线的作图方法：

（1）将一个正三角形（图1）的每边三等分，并以中间的那条线段为一底边向形外作正三角形，然后去掉底边，得到图2;

(2)将图2的每条边三等分，重复上述作图方法，得到图3;

(3)再按上述方法继续作下去，就得到图4所示的图形. 重复以上步骤，我们可以无限

地作下去(屏幕显示迭代过程)

(二)问题研究

1 •观察“雪花曲线”，它有什么特点？

(由学生通过观察，归纳“雪花曲线”的形状特点)

2.对“雪花曲线”，你认为可以从哪些方面进行研究，具体研究什么问题？

(通过学生的独立思考与讨论交流，总结出“雪花曲线”的四个基本问题)

为了交流研究结果的方便，我们统一数据.设原三角形(图1)的边长为1, 把图1,图2,图3,…，图4中的图形依次记为M i, M2，M3,…，M n,求:

(1)M n中的边数N n；

(2)M n中每条边的长度T n；

(3)M n的周长L n；

(4)M n所围成的面积A n.

3•问题的解决

(以下过程由学生独立探究并开展讨论，师生合作共同解决问题)

(1) 因为每个图形中的一条线段在后一个图形中变成四条线段，

所以，丿N n=4N n」(n >2) n4 n\ = Nn =3 4心Nj =3

所以, 「中4 (n—2)

T^1

T =(-)^1 * 3 4

l n (3)

(3)因为L^N n T n，所以Ln®捫

1

M 2是在M i 的每条边上生成一个边长为T 2 --的小正三角形，

3

于是，A 2 = A ,

3—^2

4

-

一般地，M n 是在M n 」的每条边上生成一个边长为 「=广」的小正三角

3

:‘3

形，所以，A n = An - N n J '一叽？

4

即 A n = A n d N n J T n A i

所以 A n =An 」3 V (-)n ' A

9 即

代二代」(3) (4)nJ A -

4

9 用累加法代厂代上(-)(4严A -

4 9

3

4、n_3 .

A

n

2 二 A n A ( ) ( )

A

-

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1 3

4 A^ A -(;)㈡ A

4

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9

19丿

2亦_3后（4厂 20 9

数列中的哪些知识和方法?

（通过学生讨论，总结出解题过程中用到的数列知识与方法）

（三）“雪花曲线”的进一步研究

冈財我们运用数列的基础知识和数列求和的方法解决了雪花曲线的四个基

本问题•但是我们好象并没有发现它有什么奇异的特性•请同学们思考，对雪 花曲线，我们还有没有可以进一步研究的问题？ 通过学生的独立思考与合作讨论发现，如果从极限的角度考察四

nV

4 •反思：刚才我们在解决

“雪花曲线”的四个基本问题的过程中，用到了