雪花曲线教学课例资料

“雪花曲线”教学课例
嘉定教师进修学院张桂明
2003年12月25日
一、教材背景分析
“雪花曲线”是高中数学（试验本）第七章中的拓展内容．教材中介绍了“雪花曲线” 的作法（生成过程），提出并解决了四个问题．由于学生对雪花有一定的感性认识，因而对用数列知识研究解决“雪花曲线”的问题很感兴趣．新教材把“雪花曲线”编入拓展内容，旨在培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．通过对雪花曲线的探索与研究，还可以了解一些分形几何的初步知识．
在一期课改的教材中没有“雪花曲线”这一内容，但我感到，学生在学完数列与极限的知识后，已经具备了探究“雪花曲线”的能力．结合嘉定教师进修学院“研、训、教”一体化的“大师训”教研模式，我选择了“雪花曲线” 这一教学内容，在嘉定一中高三（5）班上了一堂“下海课” ，一方面是探索在数学课堂上进一步渗透研究性学习，另一方面是请各基层学校教师一起进行新教材的教学研讨．
二、教学目标
1．进一步巩固数列与极限的有关知识．
2．培养应用数学知识解决实际问题的能力．
3．通过对“雪花曲线” 的探索与研究，培养学生辩证唯物主义的科学态度及合作交流的学习能力．
三、设计思路
数学课堂应该是发现问题、解决问题的场景，学生要成为学习的主人，成为知识的“发现者”和“创造者” ，教学过程应该是学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程．为此，我作了如下的教学设计：
1．创设情境：学生熟悉的雪花．从而引发学生的学习兴趣，对雪花我们可以研究什么问题啊？
2•启发学生提出问题•通过观察“雪花曲线”的形状，发现它是一个和我们平时研究的
多边形不同的平面多边形，引导他们从边数、边长、周长、面积等方面提出问题.
3.要求学生通过自主探索与合作交流，用学过的数列知识来解决自己所提出的问题，并反思总结解决问题过程中所用到的知识和方法.
4•引导学生对“雪花曲线”进行进一步的探究，从而培养学生对问题进行深入研究的良好思维习惯.
四、教学实施过程
（一）问题引入
问：前一段时间我们在复习什么内容？
那么今天我们研究什么问题呢？请同学们观察大屏幕，看一看屏幕上的图形象什么？（大屏幕显示“雪花曲线”的图形）
从而引出课题：“雪花曲线” •
雪花曲线其实是一个平面图形，由瑞典数学家科赫首先指出其作法，所以我们又称它为科赫雪花曲线.雪花曲线有着非常奇异的特性，通过我们的研究, 等一会儿我们就可以发现它的奇异特性.
图4
我们先来看一看，雪花曲线的作图方法：
（1）将一个正三角形（图1）的每边三等分，并以中间的那条线段为一底边向形外作正三角形，然后去掉底边，得到图2;
(2)将图2的每条边三等分，重复上述作图方法，得到图3;
(3)再按上述方法继续作下去，就得到图4所示的图形. 重复以上步骤，我们可以无限
地作下去(屏幕显示迭代过程)
(二)问题研究
1 •观察“雪花曲线”，它有什么特点？
(由学生通过观察，归纳“雪花曲线”的形状特点)
2.对“雪花曲线”，你认为可以从哪些方面进行研究，具体研究什么问题？
(通过学生的独立思考与讨论交流，总结出“雪花曲线”的四个基本问题)
为了交流研究结果的方便，我们统一数据.设原三角形(图1)的边长为1, 把图1,图2,图3,…，图4中的图形依次记为M i, M2，M3,…，M n,求:
(1)M n中的边数N n；
(2)M n中每条边的长度T n；
(3)M n的周长L n；
(4)M n所围成的面积A n.
3•问题的解决
(以下过程由学生独立探究并开展讨论，师生合作共同解决问题)
(1) 因为每个图形中的一条线段在后一个图形中变成四条线段，
所以，丿N n=4N n」(n >2) n4 n\ = Nn =3 4心Nj =3
所以, 「中4 (n—2)
T^1
T =(-)^1 * 3 4
l n (3)
(3)因为L^N n T n，所以Ln®捫
1
M 2是在M i 的每条边上生成一个边长为T 2 --的小正三角形，
3
于是，A 2 = A ,
3—^2
4
-
一般地，M n 是在M n 」的每条边上生成一个边长为 「=广」的小正三角
3
:‘3
形，所以，A n = An - N n J '一叽？
4
即 A n = A n d N n J T n A i
所以 A n =An 」3 V (-)n ' A
9 即
代二代」(3) (4)nJ A -
4
9 用累加法代厂代上(-)(4严A -
4 9
3
4、n_3 .
A
n
2 二 A n A ( ) ( )
A
-
4 9
1 3
4 A^ A -(;)㈡ A
4
9
9
19丿
2亦_3后（4厂 20 9
数列中的哪些知识和方法?
（通过学生讨论，总结出解题过程中用到的数列知识与方法）
（三）“雪花曲线”的进一步研究
冈財我们运用数列的基础知识和数列求和的方法解决了雪花曲线的四个基
本问题•但是我们好象并没有发现它有什么奇异的特性•请同学们思考，对雪 花曲线，我们还有没有可以进一步研究的问题？ 通过学生的独立思考与合作讨论发现，如果从极限的角度考察四
nV
4 •反思：刚才我们在解决
“雪花曲线”的四个基本问题的过程中，用到了
个结果, 我们还可以得出如下结论：
lim N n与lim L n不存在，而lim T n=0，
n , n ・n
问：这些结论说明了什么问题?
通过讨论，得出：
当“雪花曲线”的迭代次数趋向于无穷大时，其边数、周长都趋向于无穷大，而它的边长趋向于零，它的面积趋向于一个常数•于是我们得出这样一个结论：“雪花曲线”的周长为无穷大，而它所围成的面积是有限的.
教师介绍“分形图”的初步概念，并通过网络欣赏一些精美的分形图.
（四）练习反馈一一谢氏三角的初步研究
波兰数学家谢宾斯基给出了如下的一系列三角形：
每一步，取一个大的正三角形（记为P i），连结各边的中点，得到4个完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个；
第二步，将剩下的三个小三角形（记为P2 ）按上述方法各自取中点，各自分出4个小正三角形，各去掉中间的一个小正三角形，得到P3 ；
依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形，如此可无限进行下去 ...................
观察如下谢氏三角，求图形P n中：
（1）阴影三角形的个数T n ；
（2）阴影三角形的总边数b n ；
（3）阴影二角形的周长之和L n ；
（4）阴影三角形的面积之和
学生独立思考，合作讨论后完成下表的填写.
（五）小结
请同学们思考并总结一下，今天这一堂课，我们学到了些什么，对我们有什么启发？
（师生讨论完成本堂课的小结）
（六）布置作业（课后探索问题）
1.如图，图形C i是一条长度为1的线段，将C i三等分，并去掉中间一段, 得到两条线段组成的图形C2，再将C2中的两条线段各自三等分并去掉中间的
线段组成图形C3,……记图形C n中的线段的长度为C n，求:
(1) {cj 的通项公式；(2) G * C2 一-
-------------------------------------------------------------------------- :Cl
°°°C2人，亲身感受
到发现问题与解决问题，从而获取知识的乐趣，也体会到了数学来
自于现实世界，又能广泛地应用于生产和生活实践．
00 c o0 P 0 O C3
1 1
2.下面三幅图中，设三种大小不同的正方形的边长依次为1,-,-,根
3 9 据这三幅图的规律，试写出第n幅图中着色正方形的个数及面积的表达式.
□ □ □
□口
口口
□ □
□口
□ □
3.从极限的角度对上面两个问题进行进一步的研究,
明.
并对你的结论加以说
五、教学反思
数学知识的学习与应用应十分重视学生的学习过程.本节课从学生熟悉的雪花入手，从发现问题、解决问题的需要出发，启发引导学生对“雪花曲线” 进行观察分析，提出问题.并通过自主探索、合作讨论来解决问题.学生经历了提出问题、分析问题、解决问题的学习过程，使学生真正成了课堂学习的主
□ □ □□ □口
□ □ □ □ □
□ 口□口□口口
□口
□□
本节课所要解决的几个问题有很好的层次性，在有关“雪花曲线”的四个问题中，前面三
个问题的难度都不大，学生通过独立思考，完全能够自己解决．而第四个问题，涉及到数列求和的方法，有一定的能力要求．嘉定一中是市重点中学，在日常的教学中，教师已经渗透了研究性学习的学习方法，学生在探索新知识方面有一定的探究能力，从实际的教学过程来看，学生通过自己的思考及讨论交流，对这一问题也能很好地解决，教师只是在学生思考与讨论过程中对部分学生进行了个别的点拨与启发．因为学生已经复习过数列极限的知识，因而，当教师提出对“雪花曲线”能否进行进一步的研究时，学生马上提出可以从求极限的角度进行研究．可以说，本节课基本达到了所定的教学目标．
本节课上，将多媒体及网络技术应用于课堂教学，从“雪花曲线”生成的动态过程的演示，到网络上精美的分形图，提高了学生的学习兴趣．对教学任务的完成起到了很好的辅助作用．
由于教学时间的限制，课堂上的反馈练习未能让学生展开充分的讨论，学生的思维方法与
过程无法得到充分的展示．
1
(2) 因为每个图形中的每条线段的长度在后一个图形中变为原来的-,
3。