华南师范大学历年考研数学分析高等代数试题汇总

2000年华南师范大学数学分析
一、填空题（3*10=30分） 1.设_______lim _______,lim ,,2,1,4
sin
)1(===+-=∞→∞→n n n n n
n a a n n a 则 π
；
2.设处连续；
在则为无理数为有理数
____)(, , ,)(=∈⎩
⎨⎧-=x x f R x x x x x x f 3._____;1lim 1
0=+⎰∞→dx x
x n n
4._________;)cos (sin lim 10
=+→x
x x x
5.方程)(032
为实常数c c x x =+-在区间[0,1]中至多有_________个根； 6._______;
__________),1()(1122=>+=
++⎰n n n n I I n n a x dx
I 的递推公式，写出为自然数设7.设_;__________)(,)(),(cos sin 0
==
⎰
+du t f dt t f y x u y
x 是可微函数，则
8.),(y x f 设在P 0(2,0)处可微，且在P 0处指向P 1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P 0处指向P 2(1,2)的方向导数是_____________;
9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：____;____________________sin 2
=x 10.曲线π20,sin ,cos 3
3
≤≤==t t a y t a x 的弧长s=___________________.
二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，)(lim x f x +∞
→存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最
大值或最小值.
三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程)(2
2
2
y
z yf z y x =++所确定，其中f 是可微函数，试证：
xz y
z xy x z z y x 22)
(222=∂∂+∂∂--.
四、（12分）求极限：)22211(
lim 222n
n n
n n n n n ++++++++∞
→ .
五、（12分）已知a,b 为实数，且1<a<b,证明不等式：
a
b b a ln ln )1(1+>+）（.
六、(12分)计算曲面积分：.3
2dxdy z dzdx y xdydz I S
++=⎰⎰
其中S 是球面1222=++z y x 的外侧.
七、(10分)设0)(≥x u n ,在[a,b]上连续，n=1,2,…,
∑∞
=1
)(n n
x u
在[a,b]上收敛于连续函数
f(x),证明：∑∞
=1
)(n n
x u
在[a,b]上一致收敛于f(x).
2003年华南师范大学数学分析
一、(12分)求极限).)
12)(12(1531311(
lim +-++⋅+⋅∞
→n n n 二、(12分)设{}.,11,11:),(2dxdy x y y x y x D D
⎰⎰
-≤≤-≤≤-=求积分
三、(12分)证明
∑∞
=+13
31n x
n nx
在[a,b]上一致收敛(其中，0<a<b<+∞);在(0,+∞)上不一致收敛；并证明：函数S(x)=∑∞
=+1
3
31n x n nx
在(0,+∞)上连续.
四、(12分)求第二型曲线积分dy x dx y L 333
132+-⎰，其中，12:2
2=+y x L ，取逆时针方向。

五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果)(lim x f a
x +→和)(lim x f x +∞
→都存在(有限)，
那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。

问：逆命题是否成立如成立，请证明之；否则，请举反例。

六、(15分)设
dx y x f a
⎰
+∞
),(关于],[d c y ∈一致收敛，而且，对于每个固定的],[d c y ∈，
f(x,y)关于x 在[a,+∞)上单调减少。

求证：当+∞→x 时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于
],[d c y ∈一致地收敛于0.
2004年华南师范大学数学分析
1.(12分)设,,2,1,)11( =+=n n
a n
n 证明数列{}n a 严格单调增加且收敛。

2.(12分)求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00
,1sin )(2
x x x
x x f 的导函数，并讨论导函数的连续性。

3.(12分)求幂级数n n n n x n )21
(])1(2[1
--+∑∞
=的收敛半径和收敛域。

4.(12分)求函数⎩⎨
⎧<≤<≤-=ππx x x f 0
,00
,1)(的Fourier 级数，并由此求数列级数：
++-+++-1
21
)1(51311n n 的和。

5.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0<a<b)，f(a)≠f(b)，证明：存在
),(b a ∈ηξ，，使得a
b a b f f ln ln )
)(()(--'=
'ηξξ。

6.(15分))(0M B r 是以),,(0000z y x M =为心，r 为半径的球，)(0M B r ∂是以M 0为心，r 为
半径的球面，f(x,y,z)在R 3
上连续，证明：
dS z y x f dxdydz z y x f dr d
M B M B r r ⎰⎰⎰⎰⎰∂=)
()
(00),,(),,(
2005年华南师范大学数学分析
一、计算题（4*8=32分） 1.求x
x
x x 30sin cos )cos(sin lim
-→.
2.求dx x ⎰3sec .
3.求222
2)0,0(),(lim y x y x y x +→.
4.求⎰+-L y x ydx xdy 2
24.其中
10,)1(2
22≠<=-+R R y x L ：,取逆时针方向。

二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对)(2
1,,2
b a
b a e e e
R b a +≤
∈∀+； 2.设0lim =∞
→n n a ，证明：0lim
21=+++∞→n
a a a n
n ；
3.设f(x)在(0,1)上连续，-∞==-+→→)(lim )(lim 1
x f x f x x ，证明:f(x)在(0,1)内取到
最大值.
三、讨论题（2*8=16分） 1.讨论级数 +-
-+
+-
+
-
+
-3
12
13
12
13
12
13
1)
2(1)
12(16
15
14
13
12
11n n 的敛散性。

2.设0,0>>βα，讨论dx x x ⎰
∞+0
sin α
β
的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。

2006年华南师范大学数学分析
1.(15分)假设)(lim 30
x f x →存在，试证明：)(lim )(lim 30
x f x f x x →→=.
2.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。

3.(15分)假设),2,1)(( =n x u n 在[a,b]上连续，级数∑∞
=1)(n n x u 在(a,b)上一致收
敛，试证明：
（i ）∑∞
=1
)(n n a u ,∑∞
=1
)(n n b u 收敛； (ii)∑∞
=1
)(n n x u 在[a,b]上一致收敛。

4.(15分)假设⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=)0( 0)0( ),(2222222y x y x y x y
x y x f ,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且
偏导数存在，但此点不可微。

5.(15分)计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I s
222++=⎰⎰，其中s 为锥面
)0(222h z z y x ≤≤=+所示部分，方向为外侧。

2007年华南师范大学数学分析
1.(15分)证明数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n n 2收敛，并求其极限.
2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明0)0(='f ；
(2).(10分)只假定)0(f '存在，证明0)0(='f .
3.(15分)求积分： ,2,1,0,sin 20
=⎰n dx x n π
.
4.(15分)判别函数列),(,1)(2
2+∞-∞∈+=
x x
n x
x f n 的一致收敛性.
5.(15分)设12
2
2
=++z y x ，求x
z
∂∂和22x z ∂∂.
6.(15分)利用2
2
π
=
⎰∞+-dx e x 和分部积分法求dx e x ax )1(12
2
-+∞
-⎰
，其中a>0.
7.(20分)设L 是平面区域Ω的边界曲线，L 光滑。

u(x,y)在Ω上二阶连续可微，
用格林公式证明：ds n u
dxdy y u x u L
⎰⎰⎰∂∂=∂∂+∂∂Ω)(2222.其中n 是L 上的单位外法向量，n u ∂∂是u 沿n 方向的方向导数.
8.(20分)设f(x)的导函数)(x f '在[0,1]上连续，且)0(f '>0，证明瑕积分
)1(,)
0()(1
>-⎰
p dx x
f x f p
.当1<p<2时收敛，p ≥2时发散.
9.(20分)设f(x)在[0,+∞)上一致连续，且对任何]1,0[∈x ，有.0)(lim =+∞
→n x f n 证
明：
.0)(lim =+∞
→x f x
2008年华南师范大学数学分析
一.(15分)设.0lim ,10,lim ,01
=<≤=>∞
→+∞→n n n
n n n u a a u u u 证明
二.(15分)设R S ⊂为有界集，证明必存在数列{}.sup lim ,S x S x n n n =⊂∞
→使
三.(15分)设⎩⎨⎧+=为无理数
为有理数x x x x x x f ,
,)(2
(1)证明若0≠x ，则f 在x 处不连续；(2)计算)0(f '.
四.(15分)设n 为自然数，求不定积分xdx x I n n cos ⎰=的递推公式，并计算
xdx x cos 3⎰.
五.(20分)
(1)设]23
,0[,2sin
2
)(1∈=∑+∞
=x x n x x s n n n π，证明).1(),1()(lim 1s s x s x 并求=→
(2)证明函数项级数x x n n cos )cos 1(1∑+∞
=-在x=0的邻域U(0)内不一致收敛.
六.(15分)求函数)arctan(x
y
z =在位于圆)23,21(0222上一点=-+x y x 处沿这圆
周切线方向的方向导数（切线倾斜角παα<≤0的范围是）。

七.(15分)设有n 个实数01
2)1(3,,,12
121=--++-
-n a a a a a a n n n 满足，证明方程)2
,0(0)12cos(3cos cos 21π
在区间=-+++x n a x a x a n 中至少有一个根。

八.(20分)设dx x f ⎰+∞∞
-)(收敛，证明函数),()cos()()(+∞-∞=⎰
+∞
∞
-在dx x x f g αα上一
致连续。

九.(20分)设{}
222),(r y x y x D ≤+=，L 是D 的边界曲线，L 取逆时针方向为正向。

是L 的外法线方向上的单位向量，F （P(x,y),Q(x,y)）是定义在D 上的连续可微向量函数，计算极限：ds F r L
r ⎰⋅→201lim
π.
2009年华南师范大学数学分析
一、(20分) .)]()([lim .,,)(lim ,)(lim -∞=+-∈=-∞=→→→x g x f R A a A x g x f a
x a x a x 语言证明用这里设δε
二、(15分)设数列{}n x 无上界。

试证明存在{}n x 的子列{}
k n x 满足+∞=∞→k n k x lim 。

三、(20分)设R k x x x kx x F x x f ∈⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=+=，这里 0,10,)(,1)(2
,求函数G(x)=f(x)-F(x)的导数，并判别函数G 的单调性。

四、(20分)求下列函数的偏导数或全微分：
1、z x u xy u z
∂∂∂=2,)(求；
2、设函数f 有一阶连续偏导数，求由方程f(x-y,y-z,z-x)=0所确定的函数z=z(x,y)的全微分。

五、(15分)求圆锥面内的那一部分面积。

在圆柱体x y x y x z ≤++=22222
六、(20分)计算曲线积分)0,(,2
222a A L dy y x y x dx y x y x I L -++++-=⎰是从点其中经过上半椭圆0,0)0,()0(122
22>>≥=+b a a y b
y a x 的弧段，这里到点。

七、(20分)设正项级数..,1
1∑∑=∞==≤n
k k n n n n a S M a a 令发散
求证：1).发散收敛；∑∑⎰∑∞=∞=+∞+∞=+-+∞==11111).3 ).2 ;1n n n n n n n a n n n S a S a a x dx S a 。

八、(20分)设Λ是区间I 上定义的函数族。

若
εδδε<-Λ∈<-∈>∃>∀)()(,,,0,0212121x f x f f x x I x x 都有时，对所有且当，则称函数族Λ在区间I 上等度连续。

设函数列{})(x f n 各项在[a,b]上连续，且{})(x f n 在[a,b]上一致收敛于函数f(x),证明：函数列{})(x f n 在[a,b]上等度连续。

2010年华南师范大学数学分析
1.已知x
x y n
-=1，求对y 进行n 阶求导得到的公式。

2.已知)0()1(>+∑+p n
n n p n
，求p 取不同值的敛散性。

3.已知dt t f dt t f x x x f ⎰⎰+-=1
0202)(2)()(，求f(x)的值。

4.在{}n a 数列中，存在M>0时，M a a a n ≤+++ 21，证明{}n a 收敛。

5.已知函数f(x)在[a,+∞)上连续，g(x)在[a,+∞)上一致连续，)]()([lim x g x f x -+∞→存在，证明f(x)在[a,+∞)上一致连续。

6.f(x)在(-∞,0)上有),1()(lim )(lim ),()(0
3-===-→-∞→f x f x f x f x f x x 且 )0,(),1()(-∞∈-≡x f x f 求证.
7.f(x)、g(x)在[a,+∞)上可微，当,)()(x g x f a x '<'≥时，有
.
)()()()(a g x g a f x f -<-求
8.f(x,y)在D 内关于偏导数y 连续，),(y x f x 在D 上存在且有界，求证f(x,y)在D 上连续。

9.已知一条封闭曲线L,n 为它的外法向量,l 是任意方向的向量，求证.0),cos(=⎰
ds n l L
.。