分式的通分 (5)

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分式方程的解法

分式方程的解法分式方程是含有分式的方程，其基本形式为$ \frac{A}{B} = C $，其中A、B、C均为代数表达式。

解决分式方程的关键在于消除分母，求得方程的解。

本文将介绍两种常见的分式方程解法：通分法和代入法。

一、通分法通分法是解决分式方程的常用方法。

首先，我们需要找到方程中分式的公共分母，然后将方程两边的分式通分，最终得到一个简单的方程。

例1：解方程$ \frac{x+1}{2} + \frac{x-2}{3} = \frac{x-1}{6} $解：首先，我们发现分式$ \frac{x+1}{2} $、$ \frac{x-2}{3} $、$ \frac{x-1}{6} $的公共分母为6。

因此，我们可以将方程两边的分式通分，得到：$ \frac{3(x+1)}{6} + \frac{2(x-2)}{6} = \frac{x-1}{6} $接下来，我们将分子相加，并且令等式两边相等：$ \frac{3x+3+2x-4}{6} = \frac{x-1}{6} $化简后得到：$ \frac{5x-1}{6} = \frac{x-1}{6} $由于等式两边的分式相等，我们可以得到：$ 5x-1 = x-1 $继续化简，我们得到：$ 4x = 0 $最终解得：$ x = 0 $二、代入法代入法是另一种解决分式方程的方法。

通过代入合适的值来验证方程的解，从而求得方程的解。

例2：解方程$ \frac{x+3}{2x-1} = \frac{4x+5}{3x+2} $解：首先，我们假设一个数值代入方程，例如x=1。

将该值代入方程中，计算等式两边的结果。

当x=1时，方程变为：$ \frac{1+3}{2(1)-1} = \frac{4(1)+5}{3(1)+2} $化简后得到：$ \frac{4}{1} = \frac{9}{5} $由于等式两边不相等，我们可以推断x=1不是方程的解。

接下来，我们尝试另一个值，例如x=2。

分式的约分和通分

15 21
=
35 5 37 7
理解应用
a 2bc a2bc ab ac
ab ab ab 分式的约分
把一个分式的分子和分母的公因式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
约分的依据是：分式的基本性质.
最简分式:一个分式的分子与分母没有1以外的公因式，叫做最简分式．
分式的约分和通分
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于０的整式，分式的值不变。
用式子表示为：
C , C .(C 0) C C
其中Ａ，Ｂ，Ｃ是整式。
分数是如何约分的? 1、约分：约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数。
解： (2)
x2
x2 9 6x
9

(
x
3)( x ( x 3)2
3)
x3 x3
约分时,分子或分母若是多项式,能分解则必须先进行因式分解.再找出分子和分母的公因式进行约分
例：约分 6x2 12xy 6y2
(3) 3x 3y
解：(3) 6x2 12xy 6y2
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数；（2）因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到；（3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
理解应用分式的通分
例4 通分：
(1)
3 2a2b
与
ab ab2c
;
(2) 2x 与 3x . x5 x5
分析：为通分要先确定分式的公分母.
1 3xyz
1
2x2z

4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z

初二数学必备知识点：二元一次方程

初二数学必备知识点：二元一次方程如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解。

下面是店铺收集整理的初二数学《二元一次方程》的必备知识点以供大家学习。

初二数学必备知识点：二元一次方程1.二元一次方程的定义含有两个未知数，并且未知项的次数是1，系数不是O，这样的整式方程，叫做二元一次方程.二元一次方程指的是有两个未知数的，而且未知数的质数都是1的方程式。

由二元一次方程衍生出了二元一次方程组、二元一次方程的解等方面的知识，一般来说，解二元一次方程都需要把方程中的未知数的个数减少，然后再解，它的方程式是X-Y=1。

2.二元一次方程的一般形式ax+by=c(其中x、y少是未知数，a、b、c是字母已知数，且ab≠O).3.判断一个方程是二元一次方程，它必须同时满足下列四个条件(l)含有两个未知数;(2)未知项的次数都是1;(3)未知项的系数都不是仇(4)等号两边的代数式是整式，即方程是整式方程.二元一次方程解题技巧：每个人初学二元一次方程的时候，总是会觉得十分难解的，但是只要你掌握了解题技巧，自然而然就能解开。

首先要想解开一个二元一次方程，就应该是解开二元一次方程组，第一步做的就是把第一个和第二个方程组合并，然后把需要解开的项移到一旁，然后合并同类项，最后就可以将解得的一个未知数带入原先的方程中，就可以得知两个未知数的值。

通常求一个二元一次方程解的方法是:用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，如3x-x/2=7变形为y=2(3x-7)，给出二的一个值，就可以求出少的对应值，这样就得到了一个方程的解。

适合一个二元一次方程的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解.由于任何一个二元一次方程，让其中一个未知数取任意一个值，都可以求出与其对应的另一个未知数的值，因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解.但若对未知数的取值附加某些条件限制时，方程的解可能只有有限个。

15.1.3分式的约分和通分

15.1.3分式的约分和通分一知识要点：【约分】（1）定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

（3）注意：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

（4）最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

约分时。

分子分母公因式的确定方法：①系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.②取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.③如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式【通分】（1）定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

（依据：分式的基本性质！）（2）最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：①系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.②取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.③如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.【分式的约分和通分--关键先是分解因式】二例题教学：题型一：最简分式的概念例1: 1）下列各分式中，最简分式是( )A 、()()y x y x +-8534B 、2222xy y x y x ++ C 、y x x y +-22 D 、()222y x y x +- 2）下列分式.,24,,424,x 2222ba b a b b x x m m x +++-++π中，最简分式是————————————。

题型二：分式的约分例2：约分：（1）322016xy yx -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x . 题型三：最简公分母的确定例3: 1）分式23a ，a 65，28ba 的最简公分母是（） A ．48a 3b 2 B ．24a 3b 2 C ．48a 2b 2 D ．24a 2b 22）分式22)2(14a 1--a b b b 和的最简公分母是———————— 。

八年级数学上册《分式》知识点归纳

分式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成BA的形式。

如果除式．．B ．中含有分母．．．．．，那么称BA为分式。

（对于任何一个分式，分母不为0。

如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

分式：分母中含有字母。

整式：分母中没有字母。

而代数式则包含分式和整式。

）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。

（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。

）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。

定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。

二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都．乘以（或除以）同．一个不等于零．．．．的整式，分式的值不变。

三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：b a ﹒d c =bdac）2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：b a ÷dc =b a ﹒cd =bcad）分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。

(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式. 3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。

分式运算的八种技巧

分式运算的八种技巧分式运算是数学中的一项基础知识，通过巧妙地运用一些技巧，可以简化分式的计算过程，提高计算的效率。

下面将介绍分式运算的八种技巧。

一、分式的通分当两个或多个分式进行加减运算时，需要先进行通分。

通分的目的是使分母相同，从而方便进行分式的加减运算。

二、分式的化简对于分子和分母同时包含因式的分式，可以通过因式分解进行化简。

化简后的分式通常更简洁、易于计算。

三、分式的约分对于分子和分母有公因式的分式，可以通过约分将其化简为最简形式。

约分可以简化计算过程，并且可以减小分子和分母的数字的大小，便于观察和把握。

四、分式的乘法和除法分式的乘法和除法相对简单，只需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘即可。

当进行分数的除法运算时，可以将除法转化为乘法，将除法运算转化为分数的倒数，再进行乘法运算。

五、分式的加法和减法分式的加法和减法需要进行通分。

通分后，先对分子进行加减运算，再保持分母不变。

最后结果的分子分母可以进一步进行约分，化简为最简分数形式。

六、分式的分数化整数当分子大于分母时，可以进行分数化整数的运算。

将分子除以分母，得到一个整数，再将余数定为新的分子，保持分母不变，即可将分数化为带分数的形式。

七、小数转分数将小数转化为分数可以更方便地进行运算和比较。

通过将小数的小数位数与整数的数量级相匹配，将小数乘以适当的十的幂，然后化成最简分数即可。

八、分式的比较大小对两个分式进行比较大小的时候，可以化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。

若分子相同，再比较分母的大小。

通过掌握这些分式运算的技巧，可以更加熟练地进行分式的计算，提高计算的准确性和效率。

同时，可以将复杂的分式化简为简单形式，便于理解和运算。

人教版八年级数学上册分式的通分

；
4a 3c 5b (2)分式的 5b2c ,10a2b , 2ac2 的最简公分母
是
；
x
1 2x
(3)分式 2x 42 , 6x 3x2 , x2 4 最简公分母
是
；
练习：通分：
(1)
2c 与 3ac
bd 4b2
(2)
1
3ab3
，3
4a2b
，
4 9a3b
(3)
4a
5
12
与
a a2
-1 9
(4 ) (
2xy x y)2
与
x
2
x
y
2
(5 )
4x
1 2x2
与
1 x2
4
133页第7题
例1、如果
:
a b
2，
5
求
a2
4ab 4b2 a2 4b2
的值
2、若 1 1 3，求分式 3a 4ab 3b的值
ab
a ab b
3、已知：a2-5a+1=0,求
(1)a
1 a
1
(4)
x4
x2 3x2
1
分式的通分
1、通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫分式的通分。
2、通分的根据：分式的基本性质(用乘法)
3、通分的关键：确定最简公分母（所有因式的最高次幂的积）
4、通分的目的：把异分母分式化成同分母分式
(2)
a2
1
a2
(3)
a4
3a2 a2
1
(4)
a4
a2 3a2
1
练习1、如果
:

分式的基本性质分式的变形

1 2 a a (1) ( 2 ) 1 a a1 2 a a2 ( 3) 2 1 a
练习
不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项系数是正数，然后再约分
1- a - a ⑴ 2 3 1+a - a
⑶
2
x +1 ⑵ 2 1- x
1- a - 2 a - a +3
2
结
分式性质应用
(2a -
解：原式 =
2 ( a + b) ? 6 3
2
b) ? 6
12a 9b 4a 6b
巩固练习
y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B ) 1.若把分式 x+y
A．扩大两倍 C．缩小两倍 B．不变 D．缩小四倍
xy 2.若把分式中的 x+y 的值( A ).
A．扩大3倍 C．扩大4倍
12 xy 的最简公分母是
的最简公分母
2 ；
是
1 2x , , (3)分式最简公分母 2 2 2 6 x 3 x x 4 2 x 4 ) 2 ( 是 12 x ( x + 2) ( x - 2) ；
10a b c
x
2 2 2
4a 3c 5b , 2 , 2 2 5b c 10a b - 2ac
；
分式性质应用
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数。
0.01x 0.5 （ 1） 0.3xБайду номын сангаас 0.04
(0.01x 0.5) 100 解：原式 (0.3 x 0.04) 100
x 50 30 x 4
3 2a - b 2 （ 2） 2 a +b 3 3

分式讲义

分式一、基本知识1、分式定义：形如BA的式子叫分式，其中A 、B 是整式，且B 中含有字母。

（1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B ≠0时，分式有意义。

（2）分式的值为0：A=0，B ≠0时，分式的值等于0。

（3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。

方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。

（4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。

（5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。

（6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。

（7）有理式：整式和分式统称有理式。

2、分式的基本性质：（1）)0(的整式是≠⋅⋅=M M B M A B A ；（2）)0(的整式是≠÷÷=M MB M A B A （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算：（1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。

（2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

（3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。

（4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。

二、例题讲析 1、（2011黑龙江黑河，18，3分）分式方程=--11x x)2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为（）A 0和3B 1C 1和－2D 3 【答案】D2、（2011年铜仁地区，4，4分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（）A.60512601015-=+x x B.60512601015+=-x x C.60512601015-=-x x D.5121015-=+x x .【答案】A3、（2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 . 【答案】11-a 4. （2011广西梧州，24，10分）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机，那么去年销售额为8万元，今年销售额只有6万元．（1）今年甲型号手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划购进乙型号手机销售，已知甲型号手机每台进价为1000元，乙型号手机每台进价为800元，预计用不多于1.84万元且不少于1.76万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？（3）若乙型号手机的售价为1400元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金a 元，而甲型号手机仍按今年的售价销售，要使（2）中所有方案获利相同，a 应取何值？【答案】解：（1）设今年甲型号手机每台售价为x 元，由题意得， 80000x+500=60000x ．解得x =1500．经检验x =1500是方程的解．故今年甲型号手机每台售价为1500元．（2）设购进甲型号手机m 台，由题意得， 17600≤1000m +800（20-m ）≤18400， 8≤m ≤12．因为m 只能取整数，所以m 取8、9、10、11、12，共有5种进货方案．（3）方法一：设总获利W 元，则W =（1500-1000）m +（1400-800-a ）（20-m ）， W =（a -100）m +12000-20a ．所以当a =100时，（2）中所有的方案获利相同．方法二：由（2）知，当m =8时，有20-m =12．此时获利y 1=（1500-1000）×8+（1400-800-a ）×12=4000+（600-a ）×12 当m=9时，有20-m=11此时获利y 2=（1500-1000）×9+（1400-800-a ）×11=4500+（600-a ）×11 由于获利相同，则有y 1= y 2．即4000+（600-a ）×12=4500+（600-a ）×11，解之得a =100 ．所以当a =100时，（2）中所有方案获利相同． 5. （2011贵州黔南，21，10分）为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：单位清淤费用（元/m 3）清淤处理费（元）甲公司18 5000 乙公司20 0 （1）若剑江河首批需要清除的淤泥面积大约为1.2万平方米，平均厚度约为0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由。

分式典型知识点与例题总结

人教版八年级下册分式全章知识点和典型例习题知识点回顾知识点一：分式形如的式子叫做分式。

知识点二：分式B A 的值1.当时,分式有意义;2.当时,分式无意义;3.当时,分式的值为0;4.当时,分式的值为1;5.当时, 分式的值为正;6.当时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示知识点四：分式中的符号法则用式子表示知识点五：分式的约分约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。

1.最简公分母= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示除法法则：用式子表示知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式：套平方差公式： 2 . 公完全平方和：式完全平方差：知识点九：分式的加减法法则加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先再最后再。

知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成其中101<≤a 。

知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤、、、、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

《分式》第五课时优课件

x
3.（2018广东）.先化简，再求值：
2a2 a2 16 a 4 a2 4a
，其中. a 3
2
解:原式 = 2a 2 (a 4)(a 4) a 4 a(a 4)
2a
把a= 3 代入得:原式=2 3
2
2
=3
二．强化训练
x2 4
1. 当x取何值时,分式 x 2 有意义？值为零？分析：分式有意义，则分母不等于0；
___3__(_x_____1_)____ ___(_x_____1_)______
____2_x__+__4_______
当
x
1 2
时，求 ( 3x x 1
x
x) 1
x x2
的值。 1
当x=
1 2
时，原式=
_2__12__4_
__5____
.
7.（2017广东）.先化简，再求值
x
1
练一练
1、计算：
2
（1）4 x 3y
•
y 2x2
__3_x____
（2）m2 pn22
3m2n2 4 pq
2q ___3_m_p___
(3)(
2a c2
)3
_____8c_a6_3 ____
2、化简
x2 1 x 1
x2
x2
2x 1 x
解：原式= (x 1)(x 1) x(x-1) x 1 (x 1)2
6
2.不改变分式的值,使分子.分母都不含负号.
（1）b a
=
___b__;
a
(2)
-bc a
___b_c____
a
.
（三）分式的通分

分式知识点讲解之分式通分加减最简公分母的5种确定方法(老师用含答案)

变为（）
A.6a(a b)2 (a b)
B.2(a b)
C.6a(aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b)
D.6a(a b)
知识点
算式中只有一项是分式，最简公分母就是这个分式的分母。
如算式 a 1 1 的最简公分母就是a+1。 a 1
经典例题
计算：
a2 a 1
a 1
B
A. 1 a2
B. 1 a 1
C. 1 a 1
的最简公分母就是 12abx2 y2
经典例题
通分：
1 3x2
,5 12 xy
4y , 5x 12 x2 y 12 x2 y
对应练习
通分：
y 2x2
,
5 6xy2 z
,
4c 3xy
3y3z 6x2 y2
z
,
6
5 x2
x y
2
z
,
8cxyz 6x2 y2z
知识点
当算式中分式的几个分母都是多项式时，则先把所有分母进行因式
D. 1 a2
对应练习
计算：
a2 a b
ab
B
A. b ab
B. b2 ab
C. 1 ab
D. b2 ab
知识点
算式中有几个分式相加减，分母互为相反数，最简公分母可取其中任何一个分母。如算式 a b 3b 的最简公分母可以是a–2b，也可以是
a 2b 2b a a 2b 2b–a 。
b=
3 5或10
对应练习
已知分式 1 与 1 (a,b为常数，且b＞0）的最简公分母为 2( x2 1)， A x 1
则分母 A =
±2(x＋1)或±2(x2－1)
对应练习

分式知识点归纳与总结

分式知识点归纳与总结分式是初中数学中的重要内容之一，它与整式一起构成了代数式的基础。

为了帮助大家更好地理解和掌握分式的相关知识，下面将对分式的知识点进行详细的归纳与总结。

一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为除数不能为 0。

如果分母 B 的值为 0，那么分式 A/B 就没有意义。

例如，x/（x ＋ 1) 是一个分式，因为分母 x ＋ 1 中含有字母 x；而2/3 不是分式，因为分母 3 是一个常数，不含有字母。

二、分式有意义、无意义和值为 0 的条件1、分式有意义的条件：分母不为 0。

即当B ≠ 0 时，分式 A/B 有意义。

例如，对于分式 1/（x 2)，要使其有意义，必须满足x 2 ≠ 0，即 x ≠ 2。

2、分式无意义的条件：分母为 0。

即当 B ＝ 0 时，分式 A/B 无意义。

例如，对于分式 3/（x ＋ 3)，当 x ＋ 3 ＝ 0，即 x ＝－3 时，分式无意义。

3、分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0。

即当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式 A/B 的值为 0。

例如，对于分式（x 1)／（x ＋ 2)，要使其值为 0，必须满足 x 1＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0，解得 x ＝ 1。

三、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C 为不等于 0 的整式）例如，对于分式2x/（3y)，将分子分母同时乘以2，得到4x/（6y)，分式的值不变。

这个性质是分式化简和计算的重要依据。

四、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

公因式的确定方法：系数取分子和分母系数的最大公因数，字母取分子和分母共有的字母，相同字母取最低次幂。

分式的基本性质分式的符号法则分式的约分步骤

一、分式的基本性质1、分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

2、分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号（或括号）的作用。

3、分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

4、在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。

这里，分母是指除式而言。

而不是只就分母中某一个字母来说的。

二、分式约分的步骤1.根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。

2.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。

3.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。

三、分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。

四、分式条件1、分式有意义条件：分母不为0。

2、分式值为0条件：分子为0且分母不为0。

3、分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。

4、分式值为1的条件：分子=分母≠0。

5、分式值为1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。

五、代数式分类1.整式和分式统称为有理式。

2.带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

3.无理式和有理式统称代数式。

六、分式的基本性质：1、分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

即，（C≠0），其中A、B、C均为整式。

2、分式的符号法则：一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、约分：分数可以约分，分式与分数类似，也可以约分，根据分式的基本性质把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

4、通分：根据分式的基本性质，把分子、分母同时乘以适当的整式，把几个异分母的分式转化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

分式和分式方程培优精讲

二、知识点梳理知识点一：分式的定义一般地.如果A.B 表示两个整数.并且B 中含有字母.那么式子BA叫做分式.A 为分子.B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件1、分式有意义：分母不为0（0B ≠）2、分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）3、分式无意义：分母为0（0B =）4、分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）5、分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）知识点三：分式的通分① 分式的通分：根据分式的基本性质.把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式.叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母.这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时.一般应先因式分解。

知识点四：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则：分式乘分式.用分子的积作为积的分子.分母的积作为积的分母。

式子表示为：db c a d c b a ∙∙=∙ 分式除以分式：式子表示为cc ∙∙=∙=÷bd a d b a d c b a 2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛3、分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变.把分子相加减。

式子表示为 cba cb ±=±c a异分母分式加减法：先通分.化为同分母的分式.然后再加减。

式子表示为bdbcad d c ±=±b a 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

分式的基本性质——通分

x x x 4 2 x 2(2 x) 2( x 2)
∴最简公分母是
（3）∵
2( x 2)(x 2)
运用新知
通分： 3 a b 1 x （ 1） 2 与；（2）与 . 2 2 3x 3 y （x y） 2a b ab c 例
运用新知
通分： 3 a b 1 x （ 1） 2 与；（2）与 . 2 2 3x 3 y （x y） 2a b ab c 例
【跟踪训练】
1 ．分式
5 6x y
2
和
3 4 xyz
的最简公分母是（
）
A.12xyz
C.24xyz
B.12x2yz
D.24x2yz
【解析】选B.6,4的最小公倍数是12，相同字母x， y的最高次幂分别为2,1，z只在一个分母中出现.所
以，两个分式的最简公分母是12x2yz.
2 、确定最简公分母 1 x²－y² 1 , x²＋xy
y x
3
4
z
3、单独字母 2、取相同字母的最高次幂。连同指数照写。
三个分式的最简公分母为 12x3y4z。
探索新知
追问何确定的？
1 2 分式与 2 2 的最简公分母是如 a b a b
分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．
(x＋y)(x－y) 解：∵ x²－y²＝________________, x(x＋y) x²＋xy＝_____________,
先把分母
分解因式
1 1 x(x＋y)(x－y) ∴ x²－y² 与 x²＋xy 的最简公分母为_______________,
3 ab （1） 2 a 2 b 与 ab 2 c