北大随机过程课件：第 4 章 第 5 讲 随机过程和无记忆系统

二维的概率密度函数
y a ) + fξ ;t ( x = − y a ) ⎤ ⎦
fη ;t ( y1 , y2 ; t1 , t2 ) = = 1 4 y1 y2
∂ ( x1 , x2 ) ∑ fξ ;t (± y1 , ± y2 ; t1 , t2 ) ∂ ( y1 , y2 )
;t
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
0 0
∞∞
如果输入是窄带实平稳高斯随机过程，均值为零，
E η 2 m (t ) =
[ [
]
b 2m 2m σ ξ (2m − 1) " 5 ⋅ 3 ⋅ 1 2 m! 2π bσ ξ 2 2 m b 2 m +1σ ξ2 m +1 (2m − 1) "5 ⋅ 3 ⋅ 1
E η 2 m +1 (t ) = E [η (t )] = 1 2π
0
求输出 η 的偶数（2m）阶矩，且概率密度函数是偶函数
E η 2 m (t ) = b 2 m ∫ x 2 m ⋅ f ξ ;t ( x)dx
0
[
]
∞
= =
b
2m ∞
2
−∞
∫x
2m
⋅ f ξ ;t ( x)dx
b 2m E ξ 2 m (t ) 2
[
]
输出的相关函数：
Rη η (t1 , t 2 ) = b 2 ∫ ∫ x(t1 ) x(t 2 ) f ξ1 ξ 2 ,t1 t2 [x(t1 ), x(t 2 )]dx1 dx 2
−∞
∫ g [x(t )]g [x(t )]⋅ f ξ ξ
1 2
1 2 , t1 t 2
[x(t1 ), x(t 2 )]dx
2.2 系统的输入输出关系 y = ax 2
输出的相关函数：
∞
Rηη (t1 , t2 ) =
−∞
∫ g [ x(t )] g [ x(t )] ⋅ fξ ξ [ x(t ), x(t )] dx
2n
[ ]
[ ]
E [η ] = aσ ξ2 E η 2 = 3a 2σ ξ4 D[η ] = 2a 2σ ξ4
瑞利随机变量 ξ 经过非线性器件 y = ax 之后，求输出 η 的 n 阶矩：
2
[ ]
E η n = ∫ y n ⋅ fη ( y )dy
0
[ ]
∞ 0
∞
= ∫ yn ⋅
⎡ 1 y ⎤ exp ⎢− dy 2 2 ⎥ 2 aσ ξ 2 a σ ⎢ ⎥ ξ ⎣ ⎦
= n!⋅a nσ ξ2 n E [η ] = aσ ξ2 E η 2 = 2a 2σ ξ4 D[η ] = a 2σ ξ4
[ ]
2.3 系统的输入输出关系 y = ⎨
求输出 η 的 n 阶矩
⎧bx, ⎩0,
x≥0 x<0
E η (t ) =
n ∞
[
] ∫y
−∞
∞
n
⋅ fη ;t ( y )dy
= b n ∫ x n ⋅ f ξ ;t ( x)dx
由于 fξ ;t ( x1 , x2 ," , xN ; t1 , t2 ," , t N ) 是严格平稳的，具有平移不变性， 因此 fη ;t ( y1 , y2 ," , y N ; t1 , t2 ," , t N ) 也具有平移不变性，是严格平稳的。
1.2 系统的输入输出关系 y = ax 2
Rxx (τ ) K = E [ g ′( x(t ) ] 。
6
非线性函数关系， y = ⎨
⎧bx, ⎩0,
x≥0 x<0
一般情形，概率分布函数，概率密度函数； 输入呈高斯分布，概率密度函数。
¾
非线性变换下的均值、矩
6
一般情形 y = g ( x ) 均值、矩、相关函数，
6
非线性函数关系， y = ax 相关函数、矩； 输入呈高斯分布，矩； 输入呈瑞利分布，矩。
随机过程和无记忆系统
¾ ¾ ¾
概述 非线性变换下的概率密度 非线性变换下的均值、矩
¾
非线性变换下的概率密度
6
一般情形 y = g ( x) 输入和输出的概率分布函数，概率密度函数。
6
非线性函数关系， y = ax
2
一般情形，概率分布函数，概率密度函数； 输入呈高斯分布，概率密度函数； 输入呈瑞利分布，概率密度函数。
1 2
1 2 ,t1t2
1
2
2 2 = a2 E ⎡ ⎣ξ (t1 )ξ (t2 ) ⎤ ⎦
输出的 n 阶矩：
E η n = a n E ξ 2n
[ ]
[ ]
2
高斯随机变量 ξ 经过非线性器件 y = ax 之后，求输出 η 的 n 阶矩：
E η n = a n E ξ 2 n = a nσ ξ (2n − 1) " 3 ⋅ 1
输出过程的概率分布函数
Pr { y (t ) = 1} = Pr { x(t ) ≥ 0} = 1 − Fx (0) Pr { y (t ) = −1} = Pr { x(t ) < 0} = Fx (0)
输出的均值
E { y (t )} = 1× Pr { y (t ) = 1} + ( −1) Pr { y (t ) = −1} Ry (τ ) = E { y (t + τ ) y (t )} = 1× Pr { y (t + τ ) y (t ) = 1} + ( −1) Pr { y (t + τ ) y (t ) = −1} = 1× Pr { x(t + τ ) x(t ) ≥ 0} + ( −1) Pr { x(t + τ ) x(t ) ≤ 0} = 1 − 2 Fx (0)
相应输出的概率密度函数是，
fη ;t ( y ) = δ ( y ) / 2 +
⎡ y2 ⎤ exp ⎢− 2 2 ⎥ ⋅ U ( y ) / b 2πσ ξ2 ⎥ ⎢ 2b σ ξ ⎦ ⎣ 1
1.4 系统的输入输出关系 y = ⎨
⎧+1, y=⎨ ⎩−1,
⎧+1, ⎩−1,
x≥0 x<0
x≥0 ：非线性函数关系 x<0
输出信号的概率密度函数是 （如果输入输出关系是单调递增的、 单调递减的） ：
fη ;t ( y ) = f ξ ;t x = g −1 ( y ) ⋅
[
]
∂x ∂y
平稳不变性： 假设无记忆系统输入的随机过程是严格平稳的， 它的输出也是严格平稳的 输出随机过程。 证明： 设输入随机过程的 N 维概率密度分布函数为 fξ ;t ( x1 , x2 ," , xN ; t1 , t2 ," , t N ) ； 输出过程的 N 维概率密度分布函数可以表示为：
fη ;t ( y1 , y2 ," , y N ; t1 , t2 ," , t N ) = = = =
∂ ( x1 , x2 ," , x N ) fξ ;t ( x1 , x2 ," , xN ; t1 , t2 ," , t N ) ∂ ( y1 , y2 ," , y N ) ∂ ( x1 ) ∂ ( x2 ) ∂ ( x N ) " fξ ;t ( x1 , x2 ," , x N ; t1 , t2 ," , t N ) ∂ ( y1 ) ∂ ( y2 ) ∂ ( y N ) 1 1 1 " fξ ;t ( x1 , x2 ," , x N ; t1 , t2 ," , t N ) g ′( x1 ) g ′( x2 ) g ′( x N ) fξ ;t ( x1 , x2 ," , x N ; t1 , t2 ," , t N ) g ′( x1 ) g ′( x2 )" g ′( x N )
∑ fξ
(± y1 , ± y2 ; t1 , t2 )
2
输入是高斯过程，均值为零，方差为 σ ξ
f ξ ;t ( x) =
输出的分布是，
⎡ x2 ⎤ exp ⎢− 2 ⎥ ⎢ 2πσ ξ2 ⎣ 2σ ξ ⎥ ⎦ 1
fη ;t ( y ) = 2 = 1
∂x ⋅ fξ ;t ( x = ∂y
y /a) y≥0
y = ax 2 ：非线性函数关系
输出的概率分布函数、概率密度函数 一维的概率密度函数
Pr (ηt ≤ y ) = Pr − y a ≤ ξt ≤ = Pr ξt ≤
{
{
y a
y a − Pr ξt ≤ −
} {
Leabharlann Baidu
} y a}
⎡ 2 ay ⎤ ⎣ ⎦
fη ;t ( y ) = ⎡ ⎣ fξ ;t ( x =
∂x ⋅ f ξ ;t ( x = ∂y y/a
2
y / a)
2 ay σ ξ
⎛ y ⎞ ⎟ exp⎜ − ⎜ 2 aσ 2 ⎟ ξ ⎝ ⎠ y≥0
⎛ ⎞ 1 ⎜− y ⎟ exp ⎜ 2 aσ 2 ⎟ 2aσ ξ2 ξ ⎠ ⎝
f η ;t ( y ) = 0
y<0 ⎧bx, ⎩0, x≥0 x<0
1.3 系统的输入输出关系 y = ⎨
⎧bx, y=⎨ ⎩0,
x≥0 ：非线性函数关系 x<0
输出过程的概率分布函数、概率密度函数
Pr {ηt ≤ y} = 0, Pr {ηt ≤ y} = Pr {ξt ≤ y / b}
y/b
y<0
=
−∞
∫
fξ ;t ( x )dx
y/b
= Pr {ξt ≤ 0} +
Fη ;t ( y ) = Pr (η t ≤ y ) = Pr (η t = g ( x) ≤ y ) = Pr (ξ t ≤ g −1 ( y ))
如果输入输出关系是单调递减的
Fη ;t ( y ) = Pr (ηt ≤ y ) = Pr (ηt = g ( x ) ≤ y ) = Pr (ξt ≥ g −1 ( y ))
⎛ y ⎞ exp ⎜ − ⎜ 2aσ 2 ⎟ ⎟ 2π ayσ ξ2 ξ ⎠ ⎝
f η ;t ( y ) = 0
输入呈瑞利分布
y<0
⎧ x ⎡ x2 ⎤ , ⎪ 2 exp ⎢− 2 ⎥ f ξ ; t ( x ) = ⎨σ ξ ⎢ ⎥ ⎣ 2σ ξ ⎦ ⎪ ⎩0,
输出的分布是，
x≥0 x<0
fη ;t ( y ) = = = 1
]
D[η (t )] = E η 2 (t ) − {E [η (t )]}
2
[
]
2
⎛ 1 ⎞ 1 1 = b 2σ ξ2 − ⎜ bσ ξ ⎟ = b 2σ ξ2 (1 − 1 / π ) ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2π ⎠
例题
（P-9-17）对于无记忆系统 y (t ) = g [x(t )] ，如果输入是零均值正态过程，自相关函数 是 Rxx (τ ) ，则输入和输出的互相关函数与 Rxx (τ ) 成比例，即 Rxy (τ ) = KRxx (τ ) ，其中，
2 无记忆系统变换随机过程的均值、矩
2.1 输入输出的矩
输出的均值、n 阶矩：
E [η (t )] =
∞
−∞
∫ g [x(t )]⋅ f ξ
∞ n −∞
;t
( x)dx
E [η (t )] =
n
{
} ∫ {g
∞
[x(t )]}⋅ f ξ ;t ( x)dx
输出的相关函数：
Rη η (t1 , t 2 ) =
2
6
经过非线性函数关系， y = ⎨ 矩、相关函数；
⎧bx, ⎩0,
x≥0 之后 x<0
输入呈高斯分布，均值、方差，奇数阶矩、偶数阶矩；
1 无记忆系统变换的概率密度
1.1 系统的输入输出关系 y (t ) = g [x(t )]
输入输出的概率分布特性： 已知 输入信号 ξ (t ) 的分布函数： Fξ ; t ( x) = Pr (ξ t ≤ x) 概率密度函数： f ξ ;t ( x) 输出信号 η (t ) 的分布： 如果输入输出关系是单调递增的
∫
0
fξ ;t ( x )dx,
y≥0
fη ;t ( y ) = Pr (ξ t < 0)δ ( y ) + f ξ ;t ( x = y / b) ⋅ U ( y ) / b
如果输入是窄带实平稳高斯随机过程，均值为零，
f ξ ;t ( x) =
⎡ x2 ⎤ exp ⎢− 2 ⎥ 2πσ ξ2 ⎢ 2σ ξ ⎦ ⎥ ⎣ 1