北大随机过程课件:第 4 章 第 5 讲 随机过程和无记忆系统

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随机过程4-4

随机过程4-4

X (t3 ) X (t2 ), ..., X (tm ) X (tm1 ) 相互独立。
需要指出,这个定义并不要求随机过程的状态空间是离 散的。在本节关于电话交换站的例1中, X(t) 显然是平稳独 立增量过程。
第4章 马尔科夫过程
第5页
定理3 若 { X (t ), t [0, )} 是状态离散的平稳独立增量过程, 则它是时齐马尔科夫过程。 证 往证“无后效性”成立。
P{ X ( t t ) X ( t ) 2} o( t )
(4.3)
这两种定义中的条件 (1) 是相同的,所不同的是条件 (2) .
前者给出增量的具体概率分布,后者给出在小时间间隔 t 内引起增量分布的极限性质。 可以说,前者从宏观上给出增量的概率分布,后者从 微观上给出增量的分布。 泊松过程是独立增量过程,由上节定理3可以判断它是 马尔科夫过程,且 X (0) 0 。
其中 0 .如果从零时刻起算, X 1 理解为第一个“事件” 的发生时刻,X 2 理解为第一个“事件”发生与第二个“事件” 发生的相隔时间, X 3 理解为第二个“事件”发生与第三个 “事件”发生的相隔时间,……。
第4章 马尔科夫过程
第15页
X 一般地, n 理解为第 n-1 个“事件”发生与第 n 个“事件” 发生的相隔时间。见上图。令 Sn X1 X 2 ... X n , n 1, 2, ... 它表示第 n 个 “事件”发生的时刻。在 [0, t] 时间 内发生的事件数记为 X(t) ,即
第1页
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P{ X a x | X a } 1 e
x
P{ X x}
遍历性 lim pij ( t ) p j , i , j E 与 i 无关。 t

北大随机过程课件:第 4 章 第 2 讲 随机分析

北大随机过程课件:第 4 章 第 2 讲 随机分析
2 2 n 2 2 n
2
即,
E ξn
同理可得,
{ }− E{ξ } ≤ E{ξ
2 2 2 2 n
n
−ξ
2
}
{ }− E{ξ } ≤ E{ξ − ξ } 当 n → ∞ , limE { ξ − ξ } = 0 ,则有

2 n
2 n
lim E ξ n
n →∞
⎧ ⎨ l.i. m ξ { } = lim E { ξ } = E ⎩
2 2 n →∞ n →∞
2 n
⎫ ⎬ ⎭
1.3 定理 2:线性变换的均方极限
设二阶矩随机序列 {ξ n } , n = 1, 2,3," 、 {η n } , n = 1, 2,3," 和随机变量 ξ 、 η ,
E ξn
n →∞
{ }< ∞ 、 E{η }< ∞ 、 E{ξ }< ∞ 、 E{η }< ∞ , l.i. m ξ = ξ 、

{
}
}
l.i.m ξ (t 0 + h) = ξ (t 0 )
h →0
又设 ξ (t ) 在 t =t 0 ∈ T 上均方连续,则,
R(t0 + h, t0 + k ) − R(t0 , t0 )
= E ξ (t0 + h)ξ (t0 + k ) − ξ (t0 )ξ (t0 )
0
{ = E{ ξ (t {
设{ ξ
n
} n = 1,2,3," 是随机序列,且 E {ξ n
n→∞ m →∞ m
2
}< ∞ ,则 {ξ
n
} 均方收敛于 ξ 的充要

随机过程课件

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1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x


1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量,有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12

2.随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在,t∈T, X 称为X(t)的方差。 x (t) Dx (t) 称为X(t)的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度, 对每个t1∈T, EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义,比 较有用。均方值定义为: E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式: 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中,有时需要对随机现象的变化进 行研究,这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ,Xt 是随机变量。假设我们从 t =0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t =0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0,t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t , 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。

北大随机过程课件:第 4 章 第 1 讲 基本概念

北大随机过程课件:第 4 章 第 1 讲 基本概念

{
}
非周期平稳随机过程的相关函数和功率谱是傅立叶变换对

P( f ) = Rξ (τ ) =
−∞
∫ Rξ (τ )e
∞ −∞
− j 2π f τ

∫ P ( f )e
j 2π f τ

6 例题
例 1(例 P-9-12)广义平稳随机过程的积分
T
设 x(t ) 是广义平稳随机过程, s =
Rξ ξ (0 ) ≥ μ ξ
证明: 考虑到
2

μξ
是随机过程的均值。
Rξ ξ (0) = E ξ (t )ξ (t )
= E ξ (t ) − μ ξ ξ (t ) − μ ξ + μ ξ = D[ξ (t )] + μ ξ
2
{[
{
}
][
]}
2
D[ξ (t )] = E ξ (t ) − μ ξ ξ (t ) − μ ξ ≥ 0
t i ∈ T , i = 1,2," n 、及任意时间间隔τ和 x1 , x 2 , x3 ,", x n ∈ R ,有 n 维分布函数 Fξ ( x1 , x 2 , ", x n ; t1 , t 2 ," , t n ) = Fξ ( x1 , x 2 ," , x n ; t1 + τ , t 2 + τ ,", t n + τ ) 则称该过程为严
随机过程的基本概念
¾ 马尔科夫性质 6 马尔科夫过程与马尔科夫链的定义 6 马尔科夫过程与马尔科夫链的联合概率 二阶矩过程 6 定义 6 协方差函数和相关函数的存在性 6 自相关函数的对称性 6 自相关函数的非负定性 严平稳随机过程及其性质 宽平稳随机过程及其性质 6 定义 6 宽平稳正态过程是严平稳的 6 对称性 6 均值的平方小于平均功率 6 相关函数的模小于平均功率 6 相关矩阵的非负性 功率谱 6 周期平稳随机过程的谱分析 6 非周期平稳随机过程的谱分析 例题

随机过程的基本概念ppt课件

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求X(t)的均值、均方值和方差。
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
也称为归一化协方差函 数或标准协方差函数。
相关系数: rX()KXX 2 ()RX()X 2mX 2
相关时间:
0
0 rX()d
rX ( )
1
rX(0) 0.05
0
0
相关时间示意图
.
2.3 平稳随机过程
三、相关系数及相关时间
为随机过程X(t)的二维概率分布。定义
fX(x1,x2,t1,t2)2FX(xx11,xx22,t1,t2)
为随机过程X(t)的二维概率密度。 注意:X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
.
2.2 随机过程的统计描述
2、二维概率分布
例2、设随机相位信号
X (n )co s( n/1 0 )
.
2.2 随机过程的统计描述
二、随机过程的数字特征(连续)
• 协方差函数
K X ( t 1 , t 2 ) E { [ X ( t 1 ) m X ( t 1 ) ] [ X ( t 2 ) m X ( t 2 ) ] } (1)如果 KX(t1,t2)0,则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。
.
2.3 平稳随机过程
一、定义
(1)严格平稳随机过程
f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n ) f X ( x 1 , ,x n ,t 1 , ,t n )
一维概率密度: fX(x,t)fX(x)
二维概率密度: fX (x 1 ,x 2 ,t1 ,t2 ) fX (x 1 ,x 2 ,) t1 t2
接收机噪声
5
x1(t) 0

随机过程课件.ppt

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随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关, 记为FX (x,t) PX (t) x,x R,称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系, 一般地,对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻,t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师:田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1)随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分,即
它的研究对象是随时间演变的随机现象,它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类: 确定性过程:事物变化的过程可用时间的确定函数表示;
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5:考虑抛掷一颗骰子的试验:
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数,对于n 1, 2,L 的不同值,
X n是随机变量,服从相同的分布,P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程,称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程,它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。

随机过程 北京理工课件

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π
2 2
2
3 2 2
P
π F (x; ) = 4

1 3
0, 1 , 3 2 , 3 1,
1 3
x < 2 2
1 3

2 ≤ x < 2 2 ≤ x < x ≥ 3 2 2 3
2 2 2
X(
π
2
) = A cos π

0, π F ( x, ) = 2 1,
4
随机过程 的有限维分布族
对任意固定的t∈ , 是一维随机变量, 对任意固定的 ∈T,X(t)是一维随机变量 其分 是一维随机变量 布函数是P{X(t)≤x}, 记为 记为F(x; t), 即 布函数是 F(x; t)= P{X(t)≤x}, 为随机过程X(t)的一维分布函数。 的一维分布函数。 称F(x; t)为随机过程 为随机过程 的一维分布函数 如对任意两个固定t 是二个随 如对任意两个固定 1 , t2∈T , X(t1) , X(t2)是二个随 机变量, 机变量,称 F(x1, x2 ; t1, t2) = P{X(t1)≤x1, X(t2) ≤x2} 为随机过程X(t) 的二维分布函数; 的二维分布函数; 为随机过程 一般地,对任意固定的t 一般地,对任意固定的 1, t2, … , tn∈T。X(t1), 。 个随机变量, X(t2) , … , X(tn)是n个随机变量,称 是 个随机变量 F(x1, …, xn ; t1, …, tn) = P{X(t1)≤x1, …, X(tn)≤xn} 5 为随机过程X(t) 的n 维分布函数 维分布函数. 为随机过程
= 0 取值仅一个0,且知 P ( X ( ) = 0) = 1 取值仅一个0 2 2

随机过程 课件

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fY
y
f
X
0
h
y
h
'
y , y
其它情况

h(y)是g(x)的反函数, min g x , max g x 。
1.2 二维随机变量及其概率分布
1.2.1 分布函数
定义1:二维分布函数
设X,Y为定义在同一概率空间 S,, P 上的两个随机变量,
则(X,Y)称为二维随机变量,对任意 x, y R ,令
,则n维向量 Y Y1,,Yn 的概率密度函数为
fY
y
fX hy
h
y
h1
h
y
y1
hn
y1
hn yn
hn yn
1.4 随机变量的数字特征
1.4.1数字期望(expected value, probabilistic average, mean) 1、一维随机变量的数学期望
E
X
x xpX
xf

P n1
An
n1
P
An
则称P(A)为事件A出现的概率,称(S, Ω, P)为一个概率空间。
定义2:随机变量
设已知一个概率空间 S,, P ,对于 s S , X(s)是一个取实数值的单值函数,若对于任意实数x,s : X s x 是一个随机事件,也就是 s : X s x ,则称X(s)为随机变量。
1.3.2 边沿分布
F xk F ,, xk ,,
1.3.3 独立性
定义2:如果 P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P Xn xn
,则 X1,, X n 是相互独立得。
离散型:
P X1 x1,, X n xn P X1 x1 P X n xn

随机过程第5章(Galton-Waston分支过程)

随机过程第5章(Galton-Waston分支过程)

存在性
对于给定的生育概率函数, Galton-Watson分支过程存在。
唯一性
对于给定的生育概率函数, Galton-Watson分支过程是唯一 的。
灭绝概率
定义
灭绝概率是指种群最终消亡的概率。
计算方法
通过递归方式计算每一代种群数量的概率分布, 最终得到灭绝概率。
应用
灭绝概率在生态学、遗传学等领域有广泛应用, 如评估种群稳定性、预测种群发展趋势等。
计算机科学
在计算机科学中,GaltonWatson分支过程可用于模拟网络 流量、路由协议等。
统计学
在统计学中,Galton-Watson分 支过程可用于估计事件的概率分 布和参数估计。
02
Galton-Watson分支过程的 数学模型
模型建立
01
02
03
定义
初始条件
繁殖规则
Galton-Watson分支过程是一个 离散时间的马尔可夫链,描述了 一代代繁殖的种群数量变化。
01
02
03
无重叠世代
每一代种群与下一代种群 没有重叠,即每一代种群 中的个体不会在下一代中 出现。
无移民和迁出
种群中没有新的个体加入 或离开,即种群数量只受 繁殖和死亡的影响。
独立同分布
每一代种群中个体的繁殖 数量独立且服从相同的概 率分布。
03
Galton-Watson分支过程的 性质与定理
存在性与唯一性
生物多样性研究
通过模拟不同环境下的物种繁殖和灭 绝过程,可以研究生物多样性的形成 和维持机制,为保护生物多样性提供 理论支持。
遗传学中的应用
基因传递模型
Galton-Watson分支过程可以用于描述基因在世代之间的传 递过程,帮助遗传学家理解基因突变和进化的机制。

随机过程 第4章 马尔可夫链

随机过程  第4章 马尔可夫链

一步转移概率矩阵
p11 P p 21 p12 p 22 p1n p2n
性质: (1) p ij 0 , i , j I
(2)

j I
p ij 1 , i I
(随机矩阵)
n 步转移概率
[定义] 称条件概率
p q q p
0 1
p, i j pij q, i j (i , j 0,1)
二步转移概率矩阵:
P
( 2)
2 2 p q P2 2 pq
2 pq 2 2 p q
[例2] (例4.4)具有吸收壁和反射壁的随机游动
设质点在线段 [1,4] 上作随机游动。假设ห้องสมุดไป่ตู้只能在时刻 nT 发生移动,且只能停留在1,2,3,4点上。当质点转移 到2,3点时,它以1/3的概率向左或向右移动一格,或停 留在原处。当质点移动到点 1 时,它以概率 1 停留在原 处。当质点移动到点4时,它以概率1移动到点3。若以 Xn 表示质点在时刻 n 所处的位置,则{ Xn , n T }是一 个齐次马尔可夫链。
f
(n) 12
( q1 p 3 ) m 1 q1 q 3 , m ( q1 p 3 ) p1 ,
n 2m, m 1 n 2 m 1, m 0
(n) f13
( p1 q 2 ) m 1 p1 p 2 , n 2 m , m 1 m n 2 m 1, m 0 ( p1 q 2 ) q1 ,

pij(n) 不仅与状态 i , j 有关,而且与时刻 n 有关。
当 pij(n) 与时刻 n 无关时,表示马尔可夫链具有平稳 转移概率。

《随机过程教程》PPT课件幻灯片PPT

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主要教学成果
编写出版了教材?通信与信息工程中的随 机过程? 开设的?随机过程?课程2002年12月被评为 江苏省优秀研究生课程 至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位, 目前正在指导13名硕士研究生 协助指导5名博士研究生获得博士学位 指导本科毕业设计20名
教学理念
教者方面 认真、尽职 教的过程也是学的过程 学者方面 “贤良、喜悦、勤奋〞可使学习者臻于完善的 境地 共同方面 互换角度、互相尊重 互相配合、互相理解、互相学习
科研方向
主要科研方向
无线通信中的各种信号处理问题 无线通信系统中的无线资源管理问题
具体涉及的研究领越
DS/CDMA通信系统中的多用户检测 智能天线技术 MIMO系统中的空时编码技术 HSDPA技术 无线网络规划
完成的科研工程
1997年1月到12月,作为工程负责人完成了国 家863高技术开展工程“多址干扰抑制技术〞 1998年4月到2001年3月,作为工程技术负责人, 完成了本室与芬兰NOKIA移动 公司的国际合作 工程“移动通信中的新方法〞 2001年7月到2002年5月,作为工程负责人,完 成了深圳华为公司的委托工程 “WCDMA/HSDPA系统仿真分析〞
科研方向主要科研方向?无线通信中的各种信号处理问题?无线通信系统中的无线资源管理问题具体涉及的研究领越?dscdma通信系统中的多用户检测?智能天线技术?mimo系统中的空时编码技术?hsdpa技术?无线网络规划完成的科研项目1997年1月到12月作为项目负责人完成了国家863高技术发展项目多址干扰抑制技术1998年4月到2001年3月作为项目技术负责人完成了本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目移动通信中的新方法2001年7月到2002年5月作为项目负责人完成了深圳华为公司的委托项目wcdmahsdpa系统仿真分析2001年4月至今作为项目技术负责人负责本室与芬兰nokia移动电话公司的国际合作项目3g以后系统的基带算法研究2003年1月至今作为项目负责人正在进行深圳华为公司委托的开发项目hsdparrm调度算法建模和网络规划的建模2003年2月至今作为项目负责人正在进行和中国移动集团总公司的委托研究项目ngsobsss卫星系统和地面wcdma系统的干扰分析2002年9月至今作为项目副组长负责国家863高技术发展项目新型天线和分集技术研究的基带研究部分在研的科研项目主要教学成果编写出版了教材通信与信息工程中的随机过程开设的随机过程课程2002年12月被评为江苏省优秀研究生课程至今培养了7名硕士研究生获得硕士学位目前正在指导13名硕士研究生协助指导5名博士研究生获得博士学位指导本科毕业设计20名教学理念教者方面?认真尽职?教的过程也是学的过程学者方面?贤良喜悦勤奋可使学习者臻于完善的境地共同方面?互换角度互相尊重?互相配合互相理解互相学习一张去年的照片内容提要教者简介所教内容简介教学方式约定考核方式劝勉勤奋学习随机过程的内容随机对象

北大随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程

北大随机信号分析基础课件希尔伯特变换和解析过程

第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程4.1.1 希尔伯特变换 一. 希尔伯特变换的定义设有实信号)(t x ,它的希尔伯特变换记作)(ˆt x或)]([t x H ,并定义为τττπd t x t x H t x ⎰∞∞--==)(1)]([)(ˆ用'ττ+=t 代入上式,进行变量替换,可得到上式的等效形式为:'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞-+-=也可得'')'(1)(ˆτττπd t x t x ⎰∞∞--=希尔伯特反变换为τττπd t xt x H t x ⎰∞∞----==)(ˆ1)](ˆ[)(1经变量替换后得τττπτττπd t xd t xt x ⎰⎰∞∞-∞∞-+=--=)(ˆ1)(ˆ1)(二. 希尔伯特变换的性质1. 希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。

从定义可以看出,希尔伯特变换是)(t x 和tπ1的卷积,即tt x t xπ1*)()(ˆ=于是,可以将)(ˆt x看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1)(=的线性滤波器的输出。

由冲激响应可得系统的传输函数为)sgn()(ωωj H -=式中,)sgn(ω为符号函数,其表达式为0101)sgn(<-≥=ωωω可得滤波器的传输函数为00)(<≥-=ωωωj j H即1)(=ωH202)(<≥-=ωπωπωϕ上式表明,希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。

由上述分析可得,)(ˆt x的傅立叶变换)(ˆωX 为)()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X-=-⋅= 2. )(ˆt x的希尔伯特变换为)(t x -,即)()](ˆ[t x t x H -=。

3. 若)(*)()(t x t v t y =,则)(t y 的希尔伯特变换为)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y==4.)(t x 与)(ˆt x的能量及平均功率相等,即 dt t xTdt t x Tdt t xdt t x TTT TT T ⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞∞-∞∞-==)(ˆ21lim )(21lim )(ˆ)(2222此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位,不会改变信号的能量和功率。

《随机过程》课件

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泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程,其事件的发生是 相互独立的,且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点,将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵,并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要,例如在金融 领域中,可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点,将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性,例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用,例如在 信号处理中,可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程,其未来状态只依赖于当前 状态,与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列,具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型,如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器,用于提取有用信号 或抑制噪声。

随机过程_课件

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第一章 概率论基础1.从传统的长度概念说起1.1 区间(a,b )、[a,b]等都有长度,用字母L 表示,而且知道L (a,b)=b-a我们进而认为(*)L 是一种(函数)运算,自变量*为一维数轴上的区间,显然,(*)L 应满足:(1) L(*)0≥非负性;(2)有限可加性;(3)甚至要求满足可列可加性∑∞=∞==11)()(n n n n I L I L我们提出问题1:区间I 作为R 的子集,具有长度,那么R 的一般子集E 也有长度吗?答案是否定的。

因为传统长度是集合的右端点与左端点之差值,而只有区间这种集合才有端点。

问题2:是否可以推广L 为某*L 作为一般点集E 的长度呢?当然可以适当推广L 成为某种运算*L ,用以作为更广泛的一类集合(包含全体区间)的“长度”。

但是,事实表明,无论怎样改进*L ,都无法适应R 的全体子集。

1.2长度L 向某*L 推广的直接动力是,人们发现了Riemann积分的缺陷并希望加以改进。

Riemann 积分的缺陷1:()ba f x dx ⎰也可写成[,]()ab f x dx ⎰,积分符号的右下角就是积分区间,也就是积分范围,此范围不可以是一般的实数点集,只能是区间。

缺陷2:按照黎曼积分的定义(工科高数教材):(1)分割区间[,]a b 成为若干小区间1[,]k k xx -,1,2,,k n = (2)任意取小区间1[,]k k x x -的点k ξ,求值()k f ξ,进而得到第k 个小矩形的面积()k k x f ξ∆(3)做和1()n k k k x f ξ=∆∑,也即全体小矩形面积之和(4)01lim ()n k k k x f λξ→=∆∑,这一步是对前三步工作的无穷细化。

这种方法的核心思想是微小范围内以直代曲,例如,第k 个小矩形的面积应是()k x f x dx ∆⎰,但这里却以()k k x f ξ∆加以代替,依据是在很小区间1[,]k k x x -上,函数()f x 的变化不大,可以近似看成常数()kf ξ。

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6
非线性函数关系, y = ⎨
⎧bx, ⎩0,
x≥0 x<0
一般情形,概率分布函数,概率密度函数; 输入呈高斯分布,概率密度函数。
¾
非线性变换下的均值、矩
6
一般情形 y = g ( x ) 均值、矩、相关函数,
6
非线性函数关系, y = ax 相关函数、矩; 输入呈高斯分布,矩; 输入呈瑞利分布,矩。
输出过程的概率分布函数
Pr { y (t ) = 1} = Pr { x(t ) ≥ 0} = 1 − Fx (0) Pr { y (t ) = −1} = Pr { x(t ) < 0} = Fx (0)
输出的均值
E { y (t )} = 1× Pr { y (t ) = 1} + ( −1) Pr { y (t ) = −1} Ry (τ ) = E { y (t + τ ) y (t )} = 1× Pr { y (t + τ ) y (t ) = 1} + ( −1) Pr { y (t + τ ) y (t ) = −1} = 1× Pr { x(t + τ ) x(t ) ≥ 0} + ( −1) Pr { x(t + τ ) x(t ) ≤ 0} = 1 − 2 Fx (0)
∂x ⋅ f ξ ;t ( x = ∂y y/a
2
y / a)
2 ay σ ξ
⎛ y ⎞ ⎟ exp⎜ − ⎜ 2 aσ 2 ⎟ ξ ⎝ ⎠ y≥0
⎛ ⎞ 1 ⎜− y ⎟ exp ⎜ 2 aσ 2 ⎟ 2aσ ξ2 ξ ⎠ ⎝
f η ;t ( y ) = 0
y<0 ⎧bx, ⎩0, x≥0 x<0
2n
[ ]
[ ]
E [η ] = aσ ξ2 E η 2 = 3a 2σ ξ4 D[η ] = 2a 2σ ξ4
瑞利随机变量 ξ 经过非线性器件 y = ax 之后,求输出 η 的 n 阶矩:
2
[ ]
E η n = ∫ y n ⋅ fη ( y )dy
0
[ ]
∞ 0

= ∫ yn ⋅
⎡ 1 y ⎤ exp ⎢− dy 2 2 ⎥ 2 aσ ξ 2 a σ ⎢ ⎥ ξ ⎣ ⎦
Fη ;t ( y ) = Pr (η t ≤ y ) = Pr (η t = g ( x) ≤ y ) = Pr (ξ t ≤ g −1 ( y ))
如果输入输出关系是单调递减的
Fη ;t ( y ) = Pr (ηt ≤ y ) = Pr (ηt = g ( x ) ≤ y ) = Pr (ξt ≥ g −1 ( y ))
Rxx (τ ) K = E [ g ′( x(t ) ] 。
fη ;t ( y1 , y2 ," , y N ; t1 , t2 ," , t N ) = = = =
∂ ( x1 , x2 ," , x N ) fξ ;t ( x1 , x2 ," , xN ; t1 , t2 ," , t N ) ∂ ( y1 , y2 ," , y N ) ∂ ( x1 ) ∂ ( x2 ) ∂ ( x N ) " fξ ;t ( x1 , x2 ," , x N ; t1 , t2 ," , t N ) ∂ ( y1 ) ∂ ( y2 ) ∂ ( y N ) 1 1 1 " fξ ;t ( x1 , x2 ," , x N ; t1 , t2 ," , t N ) g ′( x1 ) g ′( x2 ) g ′( x N ) fξ ;t ( x1 , x2 ," , x N ; t1 , t2 ," , t N ) g ′( x1 ) g ′( x2 )" g ′( x N )
∑ fξ
(± y1 , ± y2 ; t1 , t2 )
2
输入是高斯过程,均值为零,方差为 σ ξ
f ξ ;t ( x) =
输出的分布是,
⎡ x2 ⎤ exp ⎢− 2 ⎥ ⎢ 2πσ ξ2 ⎣ 2σ ξ ⎥ ⎦ 1
fη ;t ( y ) = 2 = 1
∂x ⋅ fξ ;t ( x = ∂y
y /a) y≥0
1.3 系统的输入输出关系 y = ⎨
⎧bx, y=⎨ ⎩0,
x≥0 :非线性函数关系 x<0
输出过程的概率分布函数、概率密度函数
Pr {ηt ≤ y} = 0, Pr {ηt ≤ y} = Pr {ξt ≤ y / b}
y/b
y<0
=
−∞

fξ ;t ( x )dx
y/b
= Pr {ξt ≤ 0} +
输出信号的概率密度函数是 (如果输入输出关系是单调递增的、 单调递减的) :
fη ;t ( y ) = f ξ ;t x = g −1 ( y ) ⋅
[
]
∂x ∂y
平稳不变性: 假设无记忆系统输入的随机过程是严格平稳的, 它的输出也是严格平稳的 输出随机过程。 证明: 设输入随机过程的 N 维概率密度分布函数为 fξ ;t ( x1 , x2 ," , xN ; t1 , t2 ," , t N ) ; 输出过程的 N 维概率密度分布函数可以表示为:
]
D[η (t )] = E η 2 (t ) − {E [η (t )]}
2
[
]
2
⎛ 1 ⎞ 1 1 = b 2σ ξ2 − ⎜ bσ ξ ⎟ = b 2σ ξ2 (1 − 1 / π ) ⎜ -17)对于无记忆系统 y (t ) = g [x(t )] ,如果输入是零均值正态过程,自相关函数 是 Rxx (τ ) ,则输入和输出的互相关函数与 Rxx (τ ) 成比例,即 Rxy (τ ) = KRxx (τ ) ,其中,
y = ax 2 :非线性函数关系
输出的概率分布函数、概率密度函数 一维的概率密度函数
Pr (ηt ≤ y ) = Pr − y a ≤ ξt ≤ = Pr ξt ≤
{
{
y a
y a − Pr ξt ≤ −
} {
} y a}
⎡ 2 ay ⎤ ⎣ ⎦
fη ;t ( y ) = ⎡ ⎣ fξ ;t ( x =
由于 fξ ;t ( x1 , x2 ," , xN ; t1 , t2 ," , t N ) 是严格平稳的,具有平移不变性, 因此 fη ;t ( y1 , y2 ," , y N ; t1 , t2 ," , t N ) 也具有平移不变性,是严格平稳的。
1.2 系统的输入输出关系 y = ax 2
2
6
经过非线性函数关系, y = ⎨ 矩、相关函数;
⎧bx, ⎩0,
x≥0 之后 x<0
输入呈高斯分布,均值、方差,奇数阶矩、偶数阶矩;
1 无记忆系统变换的概率密度
1.1 系统的输入输出关系 y (t ) = g [x(t )]
输入输出的概率分布特性: 已知 输入信号 ξ (t ) 的分布函数: Fξ ; t ( x) = Pr (ξ t ≤ x) 概率密度函数: f ξ ;t ( x) 输出信号 η (t ) 的分布: 如果输入输出关系是单调递增的
二维的概率密度函数
y a ) + fξ ;t ( x = − y a ) ⎤ ⎦
fη ;t ( y1 , y2 ; t1 , t2 ) = = 1 4 y1 y2
∂ ( x1 , x2 ) ∑ fξ ;t (± y1 , ± y2 ; t1 , t2 ) ∂ ( y1 , y2 )
;t
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
0 0
∞∞
如果输入是窄带实平稳高斯随机过程,均值为零,
E η 2 m (t ) =
[ [
]
b 2m 2m σ ξ (2m − 1) " 5 ⋅ 3 ⋅ 1 2 m! 2π bσ ξ 2 2 m b 2 m +1σ ξ2 m +1 (2m − 1) "5 ⋅ 3 ⋅ 1
E η 2 m +1 (t ) = E [η (t )] = 1 2π
2 无记忆系统变换随机过程的均值、矩
2.1 输入输出的矩
输出的均值、n 阶矩:
E [η (t )] =

−∞
∫ g [x(t )]⋅ f ξ
∞ n −∞
;t
( x)dx
E [η (t )] =
n
{
} ∫ {g

[x(t )]}⋅ f ξ ;t ( x)dx
输出的相关函数:
Rη η (t1 , t 2 ) =

0
fξ ;t ( x )dx,
y≥0
fη ;t ( y ) = Pr (ξ t < 0)δ ( y ) + f ξ ;t ( x = y / b) ⋅ U ( y ) / b
如果输入是窄带实平稳高斯随机过程,均值为零,
f ξ ;t ( x) =
⎡ x2 ⎤ exp ⎢− 2 ⎥ 2πσ ξ2 ⎢ 2σ ξ ⎦ ⎥ ⎣ 1
−∞
∫ g [x(t )]g [x(t )]⋅ f ξ ξ
1 2
1 2 , t1 t 2
[x(t1 ), x(t 2 )]dx
2.2 系统的输入输出关系 y = ax 2
输出的相关函数:

Rηη (t1 , t2 ) =
−∞
∫ g [ x(t )] g [ x(t )] ⋅ fξ ξ [ x(t ), x(t )] dx
0
求输出 η 的偶数(2m)阶矩,且概率密度函数是偶函数
E η 2 m (t ) = b 2 m ∫ x 2 m ⋅ f ξ ;t ( x)dx
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