变力做功的计算

变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020
变力做功的计算
公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。

一、微元法
对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。

这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。

但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。

例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。

求此过程中摩擦力所做的功。

图1
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。

图2
正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，
，…，，摩擦力在一周内所做的功。

误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。

必须注意本题中的F是变力。

小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。

如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。

［发散演习］
如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。

则转动半圆，这个力F做功多少
图3
答案：。

二、图象法
在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。

如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。

经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4（b）所示）。

图4
如果F－s图象是一条曲线（如图5所示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下方作阶梯形折线，则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功。

当阶梯折线越分越密时，这些小矩形的总面积越趋近于曲线下方的总面积，可见曲线与坐标轴所围成的面积在数值上等于变力所做的功。

由于F－s图象可以计算功，因此F－s图象又称为示功图。

图5
例2. 子弹以速度射入墙壁，入射深度为h。

若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h，求子弹的速度应增大到多少
思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示，由图象求出子弹克服阻力做的功，再由动能进行求解。

图6
正确解答：解法一：设射入深度为h时，子弹克服阻力做功W1；射入深度为2h 时，子弹克服阻力做功W2。

由图6可知
①
根据动能定理，子弹减少的动能用于克服阻力做功，有
②
③
①②③联立求解得。

解法二：设阻力与深度间的比例系数为k，F f＝ks。

由于F f随位移是线性变化的，所以F f的平均值为。

根据动能定理，有
①
②
①②联立求解得。

小结点评：若力随位移按一次方函数关系变化时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒力功的公式求功，也可用F－s图象求功；若力随位移的变化不是一次函数关系，则可用图象求功，而不能用平均值求功。

［发散练习］
1. 如图7所示，有一劲度系数k＝500N/m的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量m＝2kg的物块，物块与水平面间的动摩擦因数，弹簧处于自然状态。

现缓慢推动物块使弹簧从B到A处压缩10cm，然后由静止释放物块，求（1）弹簧恢复原长时，物块的动能为多大（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的最大动能为多大
图7
答案：（1）；（2）。

提示：（1）从A到B的过程，对物体应用动能定理得，其中。

W弹可利用示功图求出，画出弹簧弹力随位移变化的图象（如图8所示）
F
1＝kx
1
，弹力做功的值等于△OAB的面积，即，所以。

图8
（2）放开物体后，物体做的是加速度越来越小的加速运动，当弹簧的弹力等于摩
擦力时，物体有最大的动能。

设此时弹簧的压缩量为。

由得。

物体的位移。

在这一过程中弹力的功在数值上等于图8中梯形OADC的面积，即，所以物块的最大动能为。

2. 用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中至少要做多少功（g取10m/s2）
答案：2250J
提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，但在拉起铁索的过程中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也逐渐减小，即拉力是一个随距离变化的变力。

从物体在井底开始算起，拉力随深度h的变化关系是（0≤h≤10），作出F－h图线如图9所示，利用示功图求解拉力的功（可用图中梯形面积表示），得出。

图9
3. 一辆汽车质量为1×105kg，从静止开始运动，其阻力为车重的倍。

其牵引力的大小与车前进的距离是线性关系，且，是车所受阻力，当该车前进100m 时，牵引力做了多少功
答案：1×107J。

提示：阻力。

则牵引力为。

作出F－s图象如图10所示，图中梯形OABD的面积表示牵引力的功，所以。

图10
三、利用W＝Pt求变力做功
这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的。

例3. 汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由v1增至最大速度。

假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间为_____________。

思路点拨：汽车以恒定的功率P加速时，由P＝Fv可知，牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝F f时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大的速度做匀速直线运动。

正确解答：当F＝F f时，汽车的速度达到最大v2，
由可得①
对汽车，根据动能定理，有
②
①②两式联立得。

误点警示：有同学可能这样解：平均速度，时间。

这样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，不能用求平均速度。

小结点评：汽车以恒定的功率起动时，牵引力是变力，牵引力的功不能用W＝Fs计
算，但可以用W＝Pt计算；若用求牵引力的功也是错误的，因为牵引力随位移的变化不是线性关系，不能用求平均牵引力。

［发散演习］
质量为m的汽车在平直的公路上从速度v0开始加速行驶，经过一段时间t后，前进了距离s，此时恰好达到其最大速度，设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽车所受的阻力为恒力F f，则这段时间里，发动机所做的功为（）
.
.
答案：A、B
提示：发动机所做的功即为发动机牵引力做的功，由功率定义可知W＝Pt，选项B 正确。

汽车以恒定功率起动，当F＝F f时，达到最大速度，应有
，所以t，选项A正确。

选项C、D均将汽车的运动看作匀变速运动，其中选项C是先求出a，再求出合外力ma的功，选项D是先算出平均
速度，然后用表示发动机做的功，显然都是错误的，因为机车的运动是变加速运动而不是匀变速运动。

四、利用功能关系求变力功
求变力所做的功，往往根据动能定理、机械能守恒定律和功能关系等规律，用能量的变化量等效代换变力所做的功。

这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向的细节，只考虑变力做功的效果能量变化，解题过程简捷，是求变力功的首选方法。

例4. 如图11所示，质量m＝2kg的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O处。

将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条无形变）然后将小球由A处静止释放，小球到达O点正下方h＝处的B点时的速度为v＝2m/s。

求小球从A运动到B的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。

取g＝10m/s2。

图11
思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A运动到B的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。

正确解答：取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零。

设在B时橡皮条的弹性势能为E p2，由机械能守恒定律得
则
橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功－6J。

小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹力做功与弹性势能变化的关系。

［发散演习］
竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为v，已
1. 将一质量为m的物体以初速度v
知空气阻力与速率成正比，则从抛出到落回抛出点的整个过程中，空气阻力做的功为
__________。

答案：。

提示：对整个过程应用动能定理。

2. 如图12所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5m，速度为6m/s。

若物体的质量为1kg。

则下滑过程中物体克服阻力所做的功为多少
图12
答案：根据动能定理可得 。

五、利用动能定理求变力功
6．质量为m 的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。

设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（ ）
A ．41mgR
B ．21mgR
C ．31mgR
D ．mgR
5．某消防队员从一平台跳下，下落2m 后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自身重心又下降了。

在着地过程中，地面对他双腿的平均作用力是他自身重力的（ ）
A ．2倍；
B ．5倍；
C ．8倍；
D ．10倍
4．如图所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F 时，转动半径为R ，当拉力逐渐减小到
时，物体以另一线速度仍
做匀速圆周运动，半径为2R ，则物体克服外力所做的功是( )
A ．0
B ．
C ．
D ．
2．如图所示，AB为1/4圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为（）
A． B．
C． D．
1、质量为m的小球从离泥塘高H处由静止落下，不计空气阻力，落在泥塘上又深入泥塘如图所示，求小球在泥塘中运动时所受平均阻力多大后停止，训练1．一粒钢球从1 高处自静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭后停止运动，若钢球的质量为，空气阻力忽略不计，则钢球克服泥潭的阻力做功_____J。