求线面角的三种常见思路方法
线面角的求法总结
线面角的求法总结一．直接法：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,图1∴SC⊥平面SAB 故SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,∴面ABC⊥面SCM过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC∴CH即为SC 在面ABC的射影。
∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。
sin ∠SCH=SH／SC∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）二利用公式sinθ=h／ι其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面AB1C1D 所成的角。
解：设点B 到AB1C1D的距离为h,=V A﹣BB1C1∴1／3S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5∵V B﹣AB1C1设AB 与面A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5图2∴AB与面AB1C1D 所成的角为arcsin 4／5三. 利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2（如图3）若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面α的射影，OC为面α的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，图3θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ=cosθ1·cosθ2（同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4）已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与面OBC所成的角的余弦值。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （如图1 ）四面体 ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M 为 AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2） SC与平面ABC所成的角。
解：（1）•/ SC± SB,SC丄 SA,••• SC丄平面SAB 故SB是斜线BC在平面SAB上的射影，•••/ SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。
（2）连结 SM,CM，贝U SM 丄 AB,又••• SC± AB, • AB 丄平面 SCM,•••面ABC丄面SCM过S作SH丄CM于H, 则SH丄平面 ABC•CH即为SC在面ABC内的射影。
/ SCH为SC与平面ABC所成的角。
sin / SCH=SH /SC•SC与平面ABC所成的角的正弦值为V 7/7（“垂线”是相对的， SC是面SAB的垂线，又是面 ABC的斜线.作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2.利用公式sin 0 =h/ i其中0是斜线与平面所成的角， h是垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （如图 2）长方体 ABCD-A 1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求 AB 与面 AB1C1D解：设点 B 到AB i C i D 的距离为h,T V B - ABC =V A -BBC.'. 1 / 3 S ^ ABC h= 1/3 SM BC AB ，易得 h=12/ 5 设AB 与 面A B 1C 1D 所成的角为0 ,则sin 0 =h/AB=4 /5图2 3. 利用公式 cos 0 =cos 0 i cos 0 2已知，如图，AO 是平面〉的斜线，A 是斜足，0B 垂直于平面 直线AB 是斜线在平面a 内的射影。
求线面角的三种常见思路方法
求线面角的三种常见思路方法线面角是指直线与平面之间所形成的角，是几何学中一个重要的概念。
解线面角问题可以采用以下三种常见的思路方法：思路一：利用平行线的性质在解线面角问题时，常常会涉及到平行线的性质。
根据平行线的特征，可以使用以下思路来解决线面角问题：1.利用平行线的对应角相等和内错角相等性质。
如果已知两条直线平行，可以利用对应角相等和内错角相等的性质来求解线面角。
通过对已知条件进行分析，找到与线面角有关的对应角或内错角，利用性质得到所求的线面角的大小。
2.利用平行线与截线的交角性质。
当一条直线与两条平行线相交时，可以利用平行线与截线的交角性质来求解线面角。
根据已知条件，找到已知直线与平行线之间的交角，利用交角的性质计算出线面角的大小。
思路二：利用投影思想在解线面角问题时，可以利用投影的概念，将线面角问题转化为由线段形成的平面角的问题。
通过以下思路来解决线面角问题：1.利用垂直平分线的性质。
如果已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段的中垂线与平面垂直相交，就可以利用垂直平分线的性质求解线面角。
通过画出线段的垂直平分线，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质计算出线面角的大小。
2.利用投影线段的长度比例。
当已知一条线段与平面之间的夹角，并且该线段在平面上的投影与线段本身的长度之间存在一定的比例关系时，可以利用投影线段的长度比例求解线面角。
通过给出的长度比例关系，利用投影线段的性质计算出线面角的大小。
思路三：利用旋转思想在解线面角问题时，可以借助旋转的概念，将线段或线面角问题转化为更容易解决的问题。
以下是利用旋转思想解决线面角问题的方法：1.利用其中一直线的旋转。
如果已知一条直线与平面之间的夹角，并且可以将该直线绕一个点旋转，使旋转后的直线与平面重合或相切，就可以利用旋转后的性质来求解线面角。
通过旋转后的直线与平面的位置关系，找到与线面角有关的平面角，根据平面角的性质求解线面角的大小。
2.利用绕轴旋转。
线面角的求法总结
线面角的求法总结线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。
在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。
下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。
一、正投影法正投影法是线面角的一种常用求法方法。
具体的求法步骤是：首先，以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个点投影到这两条垂直线上。
然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。
简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线段的两个端点所构成的三角形。
二、平行线交线法平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。
它适用于直线与平面的交点在平行线上的情况。
具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的两条线，并找出这两条线与交线的交点。
然后，以这两个交点为基点，分别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到线面角。
简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的两个端点与两个交点连线所构成的三角形。
三、倾斜线投影法倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。
具体的求法步骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。
然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂直线上。
最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。
简单来说，就是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。
四、线面角的特殊情况求解除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。
例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。
这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。
总之，线面角的求法有多种方法，根据具体的问题和实际情况选择合适的方法进行求解。
正投影法、平行线交线法和倾斜线投影法是常用的求解方法，可以满足大多数情况下的求解需要。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
求线面角的方法 总结
求线面角的方法总结一、概述线面角是指一条直线与一个平面的夹角，常见于几何学、物理学等领域。
在实际应用中，求解线面角是非常重要的，因为它可以帮助我们计算出很多物理量，如反射角、折射角等。
本文将详细介绍如何求解线面角的方法。
二、基本概念1. 直线：在平面上无限延伸的一条连续的点。
2. 平面：在空间中无限延伸的一个连续的点集。
3. 线面角：由直线与平面之间所夹成的角度称为线面角。
三、求解方法1. 通过余弦定理求解余弦定理是指三边已知时，可以通过余弦函数来计算出任意一个角度大小。
因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过余弦定理来求解线面角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据余弦定理公式cosθ = a²+b²-c²/2ab来计算出θ。
2. 通过正弦定理求解正弦定理是指在已知一个角度和它对应的两条边的长度时，可以通过正弦函数来计算出另外两个角度的大小。
因此，在已知直线和平面之间距离以及直线与平面夹角大小时，可以通过正弦定理来求解线面角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面之间距离d以及直线与平面夹角θ；（2）根据正弦定理公式sinα/a = sinβ/b = sinθ/d来计算出θ。
3. 通过向量求解在三维空间中，我们可以用向量来表示一条直线或者一个平面。
因此，在已知直线和平面的向量表达式时，可以通过向量的点积公式来求解它们之间的夹角。
具体步骤如下：（1）确定直线和平面的向量表达式L和N；（2）根据向量的点积公式cosθ = L·N/|L||N|来计算出θ。
四、注意事项1. 在使用余弦定理或正弦定理求解时，需要注意单位一致性问题。
通常情况下，我们需要将所有长度单位转换为相同的单位进行计算。
2. 在使用向量求解时，需要注意向量之间的坐标系一致性问题。
如果两个向量不在同一个坐标系中，则需要将它们转换到同一个坐标系中进行计算。
线面角的求法总结
线面角的求法总结三种求解线面角的方法1.直接法：当平面的斜线与斜线在平面内的射影相交时，它们所成的角即为直线与平面所成的角。
一般通过解直角三角形来计算，其中垂线段是最重要的元素，它可以联系各线段。
例如，在四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，且∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。
（2）SC与平面ABC所成的角。
解：（1）由于SC垂直于SB和SA，因此SB是BC在平面SAB上的射影，∴∠XXX为60°。
2）连接SM和CM，得到SM垂直于AB。
由于SC垂直于AB，因此AB垂直于平面SCM，从而面ABC垂直于面SCM。
过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，∴CH即为SC在面ABC内的射影。
因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7／7.2.利用公式sinθ=h／ι，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。
求出垂线段的长是关键也是难点，可以使用三棱锥的体积相等来求解。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，A1A=4，求AB与面AB1C1D1所成的角的正弦值。
解：设点B到AB1C1D1的距离为h，由于VAB1C1D1=VA1B1C1D，因此1／3S△AB1C1·h=1／3S△BB1C1·AB，解得h=12／5.设AB与面AB1C1D1所成的角为θ，则sinθ=h／AB=4／5.3.利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2已知，其中AO是平面α的斜线，A是斜足，OB垂直于平面α，B为垂足，则直线AB是斜线在平面α内的射影。
设AC是平面α内的任意一条直线，且OBC垂直于AC，垂足为C，则∠BAO=θ1，∠BAC=θ2.例如，如图所示，求直线AB与平面α所成的角的余弦值。
解：由于OB垂直于平面α，因此∠XXX即为直线AB与平面α所成的角。
线面角的三种求法
长方体ABCD A1B1C1D1 , AB 3，BC 2, A1A 4，求AB与面AB1C1D 所成的角的正弦值
设点B到平面 AB1C1D的距离为 h 1
练 习
1.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面
成角，B是A在上的射影,OD是内的
直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则
sin =
6
解:
3
由最小角原理得ຫໍສະໝຸດ cosAOD cosBODcos
即cos 60 cos30 cos
。
A
O
B
C
D
cos 3
3
“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面 的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂 直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
例题
例1 . 如图，在Rt△ ABC中，已知
∠C=90，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且 PA= 2 ，求PB与平面PAC所成的角.
A
B
α
O
D
C
解：∵∠AOB=∠AOC ∴ OA 在面OBC 内的射影在∠BOC 的平分线OD上，则∠AOD即为OA与面OBC所成的角，可知
∠DOC=30° ,cos∠AOC=cos∠AOD·cos∠DOC ∴cos60° =cos∠AOD·cos30°∴ cos∠AOD= √3／3 ∴ OA 与 面OBC所成的角的余弦值为√3／3。
VB AB1C1 VABB1C1 3 SBB1C1 • AB 得h 12
线面角的三种求法
线面角的三种求法河北 王学会1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B MHSCA 图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
）2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。
解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5A 1C 1D 1H 4CB 123B A D图2∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／53. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2（如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， BαO AC 图3θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cos θ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成的角的余弦值。
线面角的求法总结
线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，两两垂直，∠∠SBA=45°SBA=45°, , ∠SBC=60°SBC=60°, , M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, BMHSCA图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为即为 SC 在面ABC 内的射影。
内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面是面 SAB 的垂线，又是面的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，垂直的性质定理，其思路是：其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin sinθθ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角，是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
求线面角的三种方法
试题研究SHI TI Y ANJIU本文介绍求线面角的三种常见方法，并对其作比较分析.例如图1，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE ．求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．A 1ABCDE C 1B 1A 1AB C D E C 1B 1FH 图1图2方法1直接作出线面角求解分析因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点D 在特殊位置上——线段A 1B 1的中点，所以本题比较容易作出线面角.解如图2，设F 是AB 的中点，连结DF ，DC 1，C 1F ．由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 1的中点知，A 1B 1⊥C 1D ，A 1B 1⊥DF ．又C 1DDF =D ，所以A 1B 1⊥平面C 1DF ．而AB ∥A 1B 1，所以AB ⊥平面C 1DF ．又AB 平面ABC 1，故平面ABC 1⊥平面C 1DF ．过点D 作DH 垂直C 1F 于点H ，则DH ⊥平面ABC 1．连结AH ，则∠HAD 是AD 和平面ABC 1所成的角．由已知AB =2AA 1，不妨设AA 1=2，则AB =2，DF =2，DC 1=3，C 1F =5，AD =AA 21+A 1D 2=3，DH =DF ·DC 1C 1F=305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．方法2用等体积法求出点D 到面ABC 1的距离h ，h AD为所求线面角的正弦值分析如图3，连结C 1D ，BD ，即得四棱锥D -ABC 1．用等体积法，即V D -ABC 1=V C 1-DAB，容易求出点D 到平面ABC 1的距离h ．解如图3，连结C 1D ，BD.因为平面A 1B 1C 1⊥平面AB 1，C 1D ⊥A 1B 1，所以C 1D ⊥平面AB 1．不妨设AA 1=2，则AB =2，DC 1=3，AC 1=BC 1=6，AD =BD =3.易求S ΔA DB =2，S ΔABC 1=5．设D 在平面ABC 1内的射影为H ，DH =h ，连结AH ，则∠HAD 是AD 和面ABC 1所成的角.因为V D -A B C 1=V C 1-DA B，所以13×h ×S ΔA B C 1=13×C 1D ×S ΔABD ，h =305．所以sin ∠HAD =DHAD=105．A 1AB C DE C 1B 1图3H ⊙潜江舒云水五胡十六国标志中国正式成为具有相似生活习惯和同一文化观念的多民族国家。
线面角的求法总结知识分享
线面角的求法总结线面角的三种求法1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。
通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。
（2）SC 与平面ABC 所成的角。
解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,BMHSCA图1∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。
（2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB,又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。
∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。
sin ∠SCH=SH ／SC∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。
） 2. 利用公式sin θ=h ／ι其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面AB 1C 1D 所成的角的正弦值。
A 1C 1D 1H4C123BAD解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h,∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 图23. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2已知，如图，AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于平面α，B 为垂足，则直线AB 是斜线在平面α内的射影。
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求线面角的三种常见思路方法舒云水本文以 2009年湖南卷理 18 题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒如图 1，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB 2AA1，点 D是A1B1的中点，点 E 在A1C1上，且DE⊥ AE．（I）证明：平面ADE 平面ACC1A1 ；（ II ）求直线 AD和平面ABC1所成角的正弦值．（Ⅰ）证明略．下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒思路1：直接作出线面角求解﹒分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点 D 在特殊位置上——线段A1B1的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图 2，取AB的中点F ，连结DF ，DC1 ，C1F ，则面DFC1 面ABC1，过D作DH C1F于H ，则DH 面ABC1 ，连结AH，则HAD是AD和平面ABC1 所成的角﹒解法 1 如图 2，设 F 是 AB 的中点，连结 DF ， DC 1 ，C 1F ．由正 三棱柱 ABC A 1B 1C 1的性质及D 是A 1B 1的中点知， A 1B 1⊥ C 1D ，A 1B 1⊥ DF ． 又C 1D DF D ，所以 A 1B 1 ⊥平面C 1DF ．而 AB ∥ A 1B 1，所以 AB⊥平面C 1DF ．又 AB 平面ABC 1 ，故 平面 ABC 1 ⊥平面C 1DF ． 过点 D 作DH 垂直C 1F 于点 H ， 则 DH ⊥ 平面 ABC 1 ．连结 AH ，则 HAD 是直线 AD 和平面 ABC 1 所成的角． 由已知 AB 2AA 1，不妨设 AA 1 2，则 AB 2，DF 2， DC 1 3，所以 sin HAD D A HD15思路 2：用等体积法求出点 D 到面 ABC 1的距离h ，A h D为所求线面C 1F5， AD AA 12A 1D 23，DF·DC1 2 3 30DH C 1F55 即直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 10．角的正弦值．分析 如图 3，连结 C 1D ，BD ，即得四棱锥 D ABC 1 ．用等体积 法，即V D ABC 1V C1 DAB，容易求出点 D 到平面 ABC 1的距离 h ，h为所AD求线面角的正弦值．解法 2：如图 3，连结 C 1D ， BD ．因为平面 A 1B 1C 1 平面AB 1，C 1D A 1B 1 ，所以 C 1D 平面 AB 1 ．不妨设 AA 1 2，则 AB 2，DC 1 3，AC 1 BC 1 6，AD BD = 3.易求S ADB2， S ABC 15 ．设D 在平面 ABC 1内的射影为 H ，DH h ，连结 AH ，则 HAD 是 直线 AD 和平面 ABC 1 所成的角．因为 V DABC 1 VC 1 DAB，所以有5h 6 ，30 h ． 5所以 sin HADDH 10．AD 5即直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 10．5思路 3：坐标向量法．解法 3 如图 4，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空间直 角坐标系，不妨设 AA 1 2 ，则 AB 2 ，相关各点的坐标分别是 A （0， 1，0）， B （ 3，0，0） ， C 1（0，1，2） ， D 3， 1，h SABC 1C 1D S ABD2 ．1 2 2易知 AB =（ 3，1，0）， AC 1 =（0，2， 2），AD = 3，1n · AB 3 x y 0， n ·AC 1 2 y 2 z 0.故可取 n （1， 3，6） ．由此即知，直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 510评析：上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法 1 解法最简洁，解法 1 是首选．上题容易建立空间直角坐标系，容易求 点的坐标，解法 3 也是不错的选择． 方法 2 相对来说计算稍复杂一些， 是最后的选择．面对上题的“Ⅱ小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析． 变式 1：如图 5，将题设条件“点 D 是 A 1B 1的中点”改为“点 D1是棱 A 1B 1上一点， A 1D 14A 1B 1 ”，其他不变．解法 1：如图 6，分别取 A 1C 1，AC 的中点 M ，N ，设MN 与 AC 1交与点设平面 ABC 1 的一个法向量为 n （x ， y ， z ），则有，222解得 x 33y ， z 2y ．所以 cos n ，ADn·AD2 3 10|n ·|| AD | 10 3 5G，在AB解法1上取点 F ，使 AF 1AB ，连结 DF ，FN ，FG ．4易证 FN AB ，DF AB ，又FN DF F ，所以 AB 平面 MNFD ，又 AB 平面 ABC 1 ，所以平面 MNFD 平面 ABC 1 ，过 D 作DH FG 于H ，则 DH 平面 ABC 1 ，连结 AH ，则 HAD 是直线 AD 和平面 ABC 1 所成的 角．不 妨 设 AA 1 2 ， 则 AB 2 ， DF 2 ，sin DFH sin(90 GFN ) cos GFNDH DF sin DFH 215 3055即直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为21530．GN 1 CC 12，212FN114 23，GF GN 2FN 213 2 4 2AD AA 1 2A 1D 2213 42GN 10sin GNFGF 5DH 2 30 sin HADAD 15AN 2 AF 215 522：如图 7，连结 BD ，取A 1B 1的中点 F ，连结C 1F ，则C 1FA 1B 1 ，C 1F 平面 DAB ．易求S AD B2，SABC 15．直线 AD 和平面 ABC 1 所成的角．因为 V D ABC1VC 1 DAB，所以有113h SABC 1 3 C1 F SABD，335h 6 ，h305所以 sin HADDH 2 30AD 15即直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 2 30．115解法 3：如图 8，同原题解法 3 建立空间直角坐标系， 设 AA 1 2 ， 点 A ，B ，C 1 ，AB ，AC 1 及平面 ABC 1 的法向量 n 的坐标同前面解法 3 ．不 同的是：cos n ，AD|n ·|| AD| 10 315不妨设 AA 1 2，则 AB 2，C 1F3， AD AA 12A 1D 2 3设 D 在平面 ABC 1 内的射影为 H ，DH h ，连结 AH ，则 HAD 是 所以n ·AD2 3 2 30由此即知，直线 AD 和平面ABC1所成角的正弦值为 2 30．15评析：与原题解法 1比较，变式 1的解法 1的作图与运算明显要2复杂一些．比较变式 1的三种解法，解法 2和解法 3比解法1要简单一些，解法 1 是最后的选择．变式 2：原题题设不变，将结论改为“求直线AE 和平面ABC1所成角的正弦值”．解法 1：点E不是特殊点，它在平面ABC1内的射影不好定位．可利用垂面法，作出点E在平面ABC1内的射影．如图9，过E作EF AC1 于F ，在平面ABC1内过 F 作FG AC1交BC1于G ，连结EG ，则AC1 平面EFG ，又AC1 平面ABC1 ，所以平面EFG 平面ABC1 ．再过 E 作EH FG 于H ，则EH 平面ABC1 ，连结AH ，则HAE 是直线AE和平面ABC1 所成的角．这样虽然作出了线面角，但要求出EH 运算很复杂，决定放弃此法．解法 2 ：如图 10 ，不妨设AA1 2 ，则AB 2 ， 2 23 1 1 3AE AA12 A1E2，A1E A1D ，EC1 ．2 2 2 2取AC 的中点 F ，连结BF ，易知BF 平面AEC1，BF 3 ．易求S AEC1 3 2，S ABC15 ．41设 E 在平面 ABC 1 内的射影为 H ， EH h ，连结 AH ，则 HAE 是 直线 AE 和平面 ABC 1 所成的角．因为V E ABC 1 V B AEC 1，所以有 5h 346， 330h ． 20 所以 sin HAE EH 30 ． AE 10即直线 AE 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 30 ．1 10解法 3：如图 4，同原题解法 3 建立空间直角坐标系， 设 AA 1 2 ， 点 A ，B ，C 1 ，AB ，AC 1 及平面 ABC 1 的法向量 n 的坐标同原题解法 3 ．不 同的是：由此即知，直线 AE 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 30 ．1 10评析：解法 1的作图与运算很复杂，不可取．选择解法 2 和解法 3 比较合适．综观原题与它们的两种变式的三种解法， 各有千秋，都应掌握好 .对于一道具体的题目来说究竟选择哪一种方法更好？具体问题具体 分析，需要根据题目所给的图形特征来确定： 若几何体容易作出线面 角，解法 1 是最佳选择；若几何体不容易作出1B 1C 31 BF S AE 1C3n ·AE 2 330 ．所以 cos n ，AE． |n ·|| AE| 3 10线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，向量法是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，解法 2 也是比较不错的选择．。