第七章 可靠性和完全性(提纲)汇总

第七章可靠性和完全性（提纲）1. 可靠性与完全性现在逻辑基本上都是采用如下结构：形式语言语义语法语义与语法的关系形式语言：从初始符号出发，形成主要对象——公式。

（可能需要一些其它辅助对象，如在一阶逻辑，就有项的概念）。

公式是一种特殊的符号串（由初始符号组成的符号串）。

语义：给出某种结构，通过某种定义，定义出刻画逻辑规律的有效式。

（如在一阶逻辑，我们从结构和赋值出发，给出解释、公式在解释下的真值，用在所有解释下都真定义出有效式）。

有效式是一种特殊的公式，所有有效式的集合是全体公式的一个子集。

语法：由公理和推导规则组成。

按某种标准的方法给出证明序列和内定理。

（可以有一些推广的概念，最重要的是推演）。

有效式是一种特殊的公式，所有内定理的集合是全体公式的一个子集。

语义与语法的关系：最重要的有两个，可靠性和完全性。

7.1.1定义可靠性所有的内定理都是有效式。

7.1.2定义完全性所有的有效式都是内定理。

2. 一阶推演系统的可靠性可靠性有标准的证明方法：1. 证明每个公理都是有效的。

2. 证明推导规则保持有效性不变。

3. 归纳证明证明序列中的每个公式都是有效式，所以内定理是有效式。

7.2.1引理(1) σ(ϕ→ψ) = T当且仅当（如果σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T）。

(2) σ(ϕ1→…→ϕn→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T, …, σ(ϕn) = T，则σ(ψ) = T）。

证(1) 由定义得σ(ϕ→ψ) = T当且仅当σ(ϕ) = F或σ(ψ) = T。

σ(ϕ) = F或σ(ψ) = T就是（如果σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T）。

所以，σ(ϕ→ψ) = T当且仅当（如果σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T）。

(2) 对n作归纳。

1. n = 1。

由(1)得σ(ϕ1→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T，则σ(ψ) = T）。

2. n = k+1。

ϕ1→…→ϕk+1→ψ也就是ϕ1→…→ϕk→(ϕk+1→ψ)，由归纳假设σ(ϕ1→…→ϕk→(ϕk+1→ψ)) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T, …, σ(ϕk) = T，则σ(ϕk+1→ψ) = T）。

由(1)得σ(ϕk+1→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ k+1) = T，则σ(ψ) = T）。

所以，σ(ϕ1→…→ϕn→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T, …, σ(ϕn) = T，则σ(ψ) = T）。

7.2.2引理(1) 如果σ(ϕ→ψ) = T且σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T。

(2) 如果σ(ϕ→ψ) = T且σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T。

证(1) 如果σ(ϕ→ψ) = T，则σ(ϕ) = F或σ(ψ) = T，又σ(ϕ) = T，所以σ(ψ) = T。

7.2.3定理一阶推演系统的公理都是有效式。

证A1ϕ→ψ→ϕ。

任给解释σ，如果σ(ϕ) = T, σ(ψ) = T，则σ(ϕ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(ϕ→ψ→ϕ) = T。

A2(ϕ→ψ→θ)→(ϕ→ψ)→ϕ→θ。

任给解释σ，如果σ(ϕ→ψ→θ) = T, σ(ϕ→ψ) = T, σ(ϕ) = T，则由σ(ϕ) = T和σ(ϕ→ψ→θ) = T 得σ(ψ→θ) = T，由σ(ϕ) = T和σ(ϕ→ψ) = T得σ(ψ) = T，再由σ(ψ) = T和σ(ψ→θ) = T得σ(θ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ((ϕ→ψ→θ)→(ϕ→ψ)→ϕ→θ) = T。

A3(⌝ϕ→ψ)→(⌝ϕ→⌝ψ)→ϕ任给解释σ，如果σ(⌝ϕ→ψ) = T, σ(⌝ϕ→⌝ψ) = T，则用反证法证明σ((ϕ) = T。

假设σ(ϕ) = F，则σ(⌝ϕ) = T，由σ(⌝ϕ) = T和σ(⌝ϕ→ψ) = T得σ(ψ) = T，由σ(⌝ϕ) = T和σ(⌝ϕ→⌝ψ) = T得σ(⌝ψ) = T，所以σ(ψ) = F。

σ(ψ) = T和σ(ψ) = F，矛盾。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ((⌝ϕ→ψ)→(⌝ϕ→⌝ψ)→ϕ) = T。

A4∀xϕ→ϕ(t / x)，在ϕ中t对x代入自由。

任给解释σ，如果σ(∀xϕ) = T，则任给a∈A，都有σx, a(ϕ) = T，取a = σ(t)，由代入引理得σ(ϕ(t / x)) = σx, a(ϕ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(∀xϕ→ϕ(t / x)) = T。

A5∀x(ϕ→ψ)→(∀xϕ→∀xψ)。

任给解释σ，如果σ(∀x(ϕ→ψ)) = T, σ(∀xϕ) = T，则任给a∈A，都有σx, a(ϕ→ψ) = T且σx, a(ϕ) = T，所以任给a∈A，都有σx, a(ψ) = T，因此σ(∀xψ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(∀x(ϕ→ψ)→(∀xϕ→∀xψ)) = T。

A6ϕ→∀xϕ，x不是ϕ的自由变项。

任给解释σ，如果σ(ϕ) = T，则任给a∈A，由合同引理得σx, a(ϕ) = σ(ϕ) = T，所以σ(∀xϕ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(ϕ→∀xϕ) = T。

7.2.4定理一阶推演系统的推导规则保持有效性不变。

(1) 如果ϕ→ψ和ϕ都是有效式，则ψ也是有效式。

(2) 如果ϕ是有效式，则∀xϕ也是有效式。

证(1) 任给解释σ，因为ϕ→ψ和ϕ都是有效式，所以σ(ϕ→ψ) = T且σ(ϕ) = T，因此σ(ψ) = T。

这就证明了任给解释σ，都有σ(ψ) = T，所以ψ是有效式。

(2) 任给解释σ，任给a∈A，因为ϕ是有效式，所以σx, a(ϕ) = T，因此σ(∀xϕ) = T。

这就证明了任给解释σ，都有σ((∀xϕ) = T，所以∀xϕ是有效式。

7.2.5定理一阶推演系统可靠性定理一阶推演系统的内定理都是有效式。

证设ϕ是内定理，ϕ1, …, ϕn（=ϕ）是它的证明序列，归纳证明任给k（1≤k≤n），ϕk都是有效式，当k = n时，就是说ϕ是有效式。

1. ϕi是公理，由定理7.2.3得ϕi是有效式。

2.1 存在j, k<i≤n，使得ϕk = ϕj→ϕi。

由归纳假设得ϕj和ϕk = ϕj→ϕi都是有效式，由定理7.2.4(1)得ϕi是有效式。

2.2 存在j<i，存在变项x，使得ϕi = ∀xϕj。

由归纳假设得ϕj是有效式，由定理7.2.4(2)得ϕi = ∀xϕj是有效式。

7.2.6补充A7和A8是有效式。

证A7t ≡ t。

任给解释σ，如果σ(t) = σ(t)，所以σ(t ≡ t)。

A8t ≡ s→(ϕ(t / x)→ϕ(s / x))。

任给解释σ，如果σ( t ≡ s) = T, σ(ϕ(t / x)) = T，则σ(t) = σ(s)，取a = σ(t) = σ(s)，则由代入引理得σ(ϕ(s / x)) = σx, a(ϕ) = σ(ϕ(t / x)) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ( t ≡ s→(ϕ(t / x)→ϕ(s / x))) = T。

7.2.7补充带等词的一阶推演系统可靠性定理带等词的一阶推演系统的内定理都是有效式。

证略。

3. 和谐和极大和谐7.3.1定义和谐Φ是公式集。

如果存在公式ϕ，使得Φ |–ϕ且Φ |–⌝ϕ，则称Φ是不和谐的。

否则称Φ是和谐的。

由定义，Φ是和谐的条件是：不存在公式ϕ，使得Φ |–ϕ且Φ |–⌝ϕ。

7.3.2定理和谐集等价条件(1) Φ是不和谐的当且仅当（任给公式θ，都有Φ |–θ）。

(2) Φ是和谐的当且仅当（存在公式θ，使得Φ |–/ θ）。

证(1) 如果（任给公式θ，都有Φ |–θ），当然存在公式ϕ，使得Φ |–ϕ且Φ |–⌝ϕ。

如果存在公式ϕ，使得Φ |–ϕ且Φ |–⌝ϕ，则任给公式θ，由{ϕ, ⌝ϕ} |–θ得Φ |–θ。

(2) 由(1)直接可得。

7.3.3定理和谐集的性质(1) 单调性Φ⊆ψ。

如果Φ是不和谐，则ψ也是不和谐的。

所以如果ψ是和谐的，则Φ也是和谐的。

(2) 有限性Φ是和谐的当且仅当Φ的每个有限子集是和谐的。

(3) Φ |–/ ϕ当且仅当Φ⋃{⌝ϕ}是和谐的。

(4) Φ |–/ ⌝ϕ当且仅当Φ⋃{ϕ}是和谐的。

证(1) 如果Φ是不和谐，则任给公式θ，都有Φ |–θ，所以任给公式θ，都有ψ |–θ，因此ψ是不和谐的。

(2) 证明：Φ是不和谐的当且仅当存在Φ的有限子集ψ是不和谐的。

设Φ是不和谐的，则存在公式ϕ，使得Φ |–ϕ且Φ |–⌝ϕ。

取Φ到ϕ的推演序列为ϕ1, …, ϕn，令Φ1 = {ϕ1, …, ϕn}⋂Φ，则Φ1是Φ的有限子集且Φ1 |–ϕ，类似地存在有限Φ的有限子集Φ2，使得Φ2 |–⌝ϕ。

所以存在Φ的有限子集ψ = Φ1⋃Φ2，使得ψ |–ϕ且ψ |–⌝ϕ，因此存在Φ的有限子集ψ，使得ψ是不和谐的。

设存在Φ的有限子集ψ是不和谐的，由单调性得Φ是不和谐的。

(3) 证明：Φ |–ϕ当且仅当Φ⋃{⌝ϕ}是不和谐的。

设Φ |–ϕ，则Φ⋃{⌝ϕ} |–ϕ，又Φ⋃{⌝ϕ} |–⌝ϕ，所以Φ⋃{⌝ϕ}是不和谐的。

设Φ⋃{⌝ϕ}是不和谐的，则Φ⋃{⌝ϕ} |–ϕ，由演绎定理得Φ |–⌝ϕ→ϕ，由{⌝ϕ→ϕ} |–ϕ得Φ |–ϕ。

(4) 类似于(3)，留给读者。

7.3.4定义极大和谐Φ是和谐的公式集。

如果任给公式ϕ∉Φ，都有Φ⋃{ϕ}是不和谐的，则称Φ是极大和谐的。

7.3.5定理极大和谐集的性质Φ是极大和谐的公式集。

(1) 推演封闭性如果Φ |–ϕ，则ϕ∈Φ。

(2) 内定理封闭性如果ϕ是内定理，则ϕ∈Φ。

(3) 分离规则如果ϕ∈Φ且ϕ→ψ∈Φ，则ψ∈Φ。

(4) ⌝ϕ∈Φ当且仅当ϕ∉Φ。

(5) ϕ→ψ∈Φ当且仅当ϕ∉Φ或ψ∈Φ。

证(1) 反证法。

如果ϕ∉Φ，则Φ⋃{ϕ}是不和谐的，由定理7.3.3(4)得Φ |–⌝ϕ，又Φ |–ϕ，所以Φ是不和谐的，矛盾。

(2) 如果ϕ是内定理，则由5.3.1(1)得Φ |–ϕ，由(1)得ϕ∈Φ。

(3) 如果ϕ∈Φ且ϕ→ψ∈Φ，则Φ |–ψ，由(1)得ψ∈Φ。

(4) 如果⌝ϕ∈Φ，由Φ的和谐性得ϕ∉Φ。

ϕ∈Φ如果ϕ∉Φ，则Φ⋃{ϕ}是不和谐的，由定理7.3.3(4)得Φ |–⌝ϕ，由(1)得⌝ϕ∈Φ。

(5) 如果ϕ→ψ∈Φ，分两种情况证明ϕ∉Φ或ψ∈Φ。

情况1，ϕ∉Φ。

显然有ϕ∉Φ或ψ∈Φ。

情况2，ϕ∈Φ。

由(3)得ψ∈Φ，也有ϕ∉Φ或ψ∈Φ。

如果ϕ∉Φ或ψ∈Φ，则分两种情况证明ϕ→ψ∈Φ。

情况1，ϕ∉Φ。

由(4)得⌝ϕ∈Φ，因为⌝ϕ→(ϕ→ψ)是内定理，所以⌝ϕ→(ϕ→ψ)∈Φ，再由(3)得ϕ→ψ∈Φ。

情况2，ψ∈Φ。

类似情况1，由内定理ψ→(ϕ→ψ)。

由(4)和(5)得：(4') ⌝ϕ∉Φ当且仅当ϕ∈Φ。