第七章 可靠性和完全性(提纲)汇总

第七章可靠性和完全性（提纲）

1. 可靠性与完全性

现在逻辑基本上都是采用如下结构：

形式语言

语义语法

语义与语法的关系

形式语言：从初始符号出发，形成主要对象——公式。（可能需要一些其它辅助对象，

如在一阶逻辑，就有项的概念）。

公式是一种特殊的符号串（由初始符号组成的符号串）。

语义：给出某种结构，通过某种定义，定义出刻画逻辑规律的有效式。（如在一阶逻辑，

我们从结构和赋值出发，给出解释、公式在解释下的真值，用在所有解释下都真定义出有效式）。

有效式是一种特殊的公式，所有有效式的集合是全体公式的一个子集。

语法：由公理和推导规则组成。按某种标准的方法给出证明序列和内定理。（可以有一些推广的概念，最重要的是推演）。

有效式是一种特殊的公式，所有内定理的集合是全体公式的一个子集。

语义与语法的关系：最重要的有两个，可靠性和完全性。

7.1.1定义可靠性所有的内定理都是有效式。

7.1.2定义完全性所有的有效式都是内定理。

2. 一阶推演系统的可靠性

可靠性有标准的证明方法：

1. 证明每个公理都是有效的。

2. 证明推导规则保持有效性不变。

3. 归纳证明证明序列中的每个公式都是有效式，所以内定理是有效式。

7.2.1引理

(1) σ(ϕ→ψ) = T当且仅当（如果σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T）。

(2) σ(ϕ1→…→ϕn→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T, …, σ(ϕn) = T，则σ(ψ) = T）。

证(1) 由定义得σ(ϕ→ψ) = T当且仅当σ(ϕ) = F或σ(ψ) = T。σ(ϕ) = F或σ(ψ) = T就是（如果σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T）。所以，σ(ϕ→ψ) = T当且仅当（如果σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T）。

(2) 对n作归纳。

1. n = 1。由(1)得σ(ϕ1→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T，则σ(ψ) = T）。

2. n = k+1。ϕ1→…→ϕk+1→ψ也就是ϕ1→…→ϕk→(ϕk+1→ψ)，由归纳假设σ(ϕ1→…→ϕk→(ϕk+1→ψ)) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T, …, σ(ϕk) = T，则σ(ϕk+1→ψ) = T）。由(1)得σ(ϕk+1→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ k+1) = T，则σ(ψ) = T）。所以，σ(ϕ1→…→ϕn→ψ) = T 当且仅当（如果σ(ϕ1) = T, …, σ(ϕn) = T，则σ(ψ) = T）。

7.2.2引理

(1) 如果σ(ϕ→ψ) = T且σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T。

(2) 如果σ(ϕ→ψ) = T且σ(ϕ) = T，则σ(ψ) = T。

证(1) 如果σ(ϕ→ψ) = T，则σ(ϕ) = F或σ(ψ) = T，又σ(ϕ) = T，所以σ(ψ) = T。

7.2.3定理一阶推演系统的公理都是有效式。

证

A1ϕ→ψ→ϕ。

任给解释σ，如果σ(ϕ) = T, σ(ψ) = T，则σ(ϕ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(ϕ→ψ→ϕ) = T。

A2(ϕ→ψ→θ)→(ϕ→ψ)→ϕ→θ。

任给解释σ，如果σ(ϕ→ψ→θ) = T, σ(ϕ→ψ) = T, σ(ϕ) = T，则由σ(ϕ) = T和σ(ϕ→ψ→θ) = T 得σ(ψ→θ) = T，由σ(ϕ) = T和σ(ϕ→ψ) = T得σ(ψ) = T，再由σ(ψ) = T和σ(ψ→θ) = T得σ(θ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ((ϕ→ψ→θ)→(ϕ→ψ)→ϕ→θ) = T。

A3(⌝ϕ→ψ)→(⌝ϕ→⌝ψ)→ϕ

任给解释σ，如果σ(⌝ϕ→ψ) = T, σ(⌝ϕ→⌝ψ) = T，则用反证法证明σ((ϕ) = T。

假设σ(ϕ) = F，则σ(⌝ϕ) = T，由σ(⌝ϕ) = T和σ(⌝ϕ→ψ) = T得σ(ψ) = T，由σ(⌝ϕ) = T和σ(⌝ϕ→⌝ψ) = T得σ(⌝ψ) = T，所以σ(ψ) = F。σ(ψ) = T和σ(ψ) = F，矛盾。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ((⌝ϕ→ψ)→(⌝ϕ→⌝ψ)→ϕ) = T。

A4∀xϕ→ϕ(t / x)，在ϕ中t对x代入自由。

任给解释σ，如果σ(∀xϕ) = T，则任给a∈A，都有σx, a(ϕ) = T，取a = σ(t)，由代入引理得σ(ϕ(t / x)) = σx, a(ϕ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(∀xϕ→ϕ(t / x)) = T。

A5∀x(ϕ→ψ)→(∀xϕ→∀xψ)。

任给解释σ，如果σ(∀x(ϕ→ψ)) = T, σ(∀xϕ) = T，则任给a∈A，都有σx, a(ϕ→ψ) = T且σx, a(ϕ) = T，所以任给a∈A，都有σx, a(ψ) = T，因此σ(∀xψ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(∀x(ϕ→ψ)→(∀xϕ→∀xψ)) = T。

A6ϕ→∀xϕ，x不是ϕ的自由变项。

任给解释σ，如果σ(ϕ) = T，则任给a∈A，由合同引理得σx, a(ϕ) = σ(ϕ) = T，所以σ(∀xϕ) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ(ϕ→∀xϕ) = T。

7.2.4定理一阶推演系统的推导规则保持有效性不变。

(1) 如果ϕ→ψ和ϕ都是有效式，则ψ也是有效式。

(2) 如果ϕ是有效式，则∀xϕ也是有效式。

证

(1) 任给解释σ，因为ϕ→ψ和ϕ都是有效式，所以σ(ϕ→ψ) = T且σ(ϕ) = T，因此σ(ψ) = T。这就证明了任给解释σ，都有σ(ψ) = T，所以ψ是有效式。

(2) 任给解释σ，任给a∈A，因为ϕ是有效式，所以σx, a(ϕ) = T，因此σ(∀xϕ) = T。这就证明了任给解释σ，都有σ((∀xϕ) = T，所以∀xϕ是有效式。

7.2.5定理一阶推演系统可靠性定理

一阶推演系统的内定理都是有效式。

证设ϕ是内定理，ϕ1, …, ϕn（=ϕ）是它的证明序列，归纳证明任给k（1≤k≤n），ϕk都是有效式，当k = n时，就是说ϕ是有效式。

1. ϕi是公理，由定理7.

2.3得ϕi是有效式。

2.1 存在j, k

由归纳假设得ϕj和ϕk = ϕj→ϕi都是有效式，由定理7.2.4(1)得ϕi是有效式。

2.2 存在j

由归纳假设得ϕj是有效式，由定理7.2.4(2)得ϕi = ∀xϕj是有效式。

7.2.6补充A7和A8是有效式。

证

A7t ≡ t。

任给解释σ，如果σ(t) = σ(t)，所以σ(t ≡ t)。

A8t ≡ s→(ϕ(t / x)→ϕ(s / x))。

任给解释σ，如果σ( t ≡ s) = T, σ(ϕ(t / x)) = T，则σ(t) = σ(s)，取a = σ(t) = σ(s)，则由代入引理得σ(ϕ(s / x)) = σx, a(ϕ) = σ(ϕ(t / x)) = T。

由定理7.2.1(2)，任给解释σ，都有σ( t ≡ s→(ϕ(t / x)→ϕ(s / x))) = T。

7.2.7补充带等词的一阶推演系统可靠性定理

带等词的一阶推演系统的内定理都是有效式。

证略。

3. 和谐和极大和谐

7.3.1定义和谐Φ是公式集。如果存在公式ϕ，使得Φ |–ϕ且Φ |–⌝ϕ，则称Φ是不和

谐的。否则称Φ是和谐的。

由定义，Φ是和谐的条件是：不存在公式ϕ，使得Φ |–ϕ且Φ |–⌝ϕ。