《最短路径问题探究》教案

最短路径问题探究一、教材分析与学情分析1．教材分析（1）教学内容《最短路径问题探究》是九年级下为让学生能灵活的运用对称、平移解决近几年中考中常见的最短路径问题而设置的一节专题课．初中三年，孩子们也具备了一定的学习能力，在老师的指导下，能针对某一问题展开讨论并归纳总结．但受年龄特征的影响，他们知识迁移能力不强，自主探究能力较差，不善于思考。

所以本节课设计为通过对最短路径问题探究，在于引导学生学会思考，帮助学生掌握良好的学习方法为一节学法指导课（2）地位和作用近几年各地中考均有最短路径问题的考试，为让学生能熟练解决该类问题，本节课在已有平移、对称知识的基础上，引导学生探究如何运用平移、对称解决最短路径问题。

它既是平移、对称知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用.2．学情分析（1）已有基础知识与生活经验分析学生已掌握对称、平移、勾股定理等知识，但综合运用能力还较差。

加之来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦．对于学习方法不好的同学来说，感觉疲惫，无法体验学习的乐趣；从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。

所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到提高学习能力的目的.（2）学生起点能力分析学生已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性．综合运用能力较差，学习死，不能做到学习与研究相结合.二、教学目标：依据新课程标准的理念和学生实际情况，制定如下教学目标：●知识与技能目标1、结合具体实例，能灵活的运用勾股定理、线段公理解决实际问题2、学会思考，逐步提高思维技能和思维的有效性，初步学会探究问题●方法与过程目标1、经历问题的探究，学会从中提取有用信息，善于思考，善于提问，善于归纳总结，培养良好思维习惯．2、经历运用已有的生活经验，已有的数学知识，培养思维能力、推理能力和有条理的表达能力●情感与态度目标1、鼓励学生大胆思考，善于思考，初步养成自觉思考的好习惯2、鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情．3、通过提供丰富的，有吸引力的探索活动和现实生活中的问题，使学生初步体会学习思考的积极作用，感受思考带给我们的好处，引导学生要积极思考，善于思考，渗透德育教育三、教学重、难点分析●教学重点：1、运用线段公理、勾股定理、平移、对称解决实际问题．2、学会从知识内容中提炼出数学思想或方法，学会归纳总结，初步学会思考．●教学难点：1、勾股定理、线段公理、平移、对称、转化的灵活运用和提升，2、提高思维的有效性．●突出重点、突破难点的方法与策略：（1）突出重点的方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点（2）突破难点的方法：充分运用多媒体教学手段，开展小组讨论、动手实践、归纳总结来突出主线，层层深入，逐一突破难点．勾股定理、线段公理、平移、对称的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升，层层深入，逐一突破难点．以达到突破难点的目的四、教学方法的选择与应用根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用本节课采用“引导—探究—发现”的教学模式，引导学生在探究活动中认识到良好学习方法的重要性．教师的教法突出学习方法的引导，注重思维习惯的培养，为学生搭建参与和交流的平台；学生的学法突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取本节课的知识与方法．五、教学准备：多媒体课件，三角板，直尺，铅笔六、教学过程：（一）让学生观看一组动画，并谈谈看了动画之后自己的感想，引入课题（二）本节课的教学结构如下图（三）例题教学立体图形中最短路径问题探究1、正方体（基础复习）案例1、如图边长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B需要爬行的最短路程是多少厘米？设计说明：在解答简单问题时，人的思路是清晰的，合乎逻辑且有效的，所以通过本题让学生体会研究问题的方法，从而掌握方法并能运用到较难题目中去．2、长方体（加深、提高、提升）案例二、（思维拓展一）如果盒子换成如图长为3cm，宽为1cm，高为2cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少厘米？设计说明：通过本变式练习，培养学生思维的灵活性；引导学生学会归纳总结，以达到解一题从而解决一类问题的目的，提高学习效率，减轻学习负担从上面例题及拓展1中，你能找出求几何体表面上相对两点的最短路程的规律吗？引导学生思考，并归纳出重要结论：知道长方体的长a、宽b、高c，且a b c<<，则长方体表面上相对两点A、B之间的3、中考研究、综合运用（1）案例三（2008年吉林）思维拓展二、如图是一个由若干个边长为1的小正方体摆放成的长方体，试问在A处的蚂蚁要吃到放在B处的食物，最短需要爬行的路程是多长？若事物在C处或者是D处呢？BABCA●●●D●设计说明：运用上面归纳总结出来的结论解决问题，让学生体验积极思考、归纳总结的乐趣和成功感，感受快乐，同时也训练学生的变式思维能力 （2）让学生归纳题型，总结方法 （3）中考题展示中考展示一：2009年乐山8．如图（1），一圆锥的底面半径为2，母线PB 的长为6，D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）AB． C． D ．3中考展示二：2009年江苏宿迁某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．平面图形中最短路径问题探究一、例题研究案例一（2折线问题）、一牧童在A 处牧马，牧童家在B 处，点A 、B 到河边的距离分别是70m 和50m ，且C D 的距离为50m ，天黑前，牧童要从A 处到河边让马饮水，然后再回家，请问牧童该怎样走路程才最短？设计说明：回顾复习线段公理，并能运用线段公理和勾股定理解决实际问题引导学生提出一个运用该原理解决的问题，引发思考，进行思维能力培养案例二、（3折线问题） 如图，A （2，－3），B （4，－1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p=____时，△PAB 的周长最短；设计说明：（1）简单变式：帮助学生灵活运用对称原理解决实际问题， （2）再次引导学生提问，提升思维的层次案例三、（4折线问题）A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这B图（1）中考展示二 ·A·B xyoA样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m=____,n=___（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。

设计说明：思维变式训练，提升学生的思维层次，让学生学会思考，学会提问案例四、（4折线问题）中考研究（2009年遂宁）如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．设计说明：直接运用前面知识，解决中考题，提高学生学习兴趣，积极参与研究与学习案例五（备用）、（4折线问题）A 、B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）若C （a ，0），D （a+3，0）是x 轴上的两个动点，则当a=____时，四边形ABDC 的周长最短；设计说明：难度加大，提高思维层次和灵魂运用的能力二、中考研究（中考题展示）中考展示一：（2009年达州）如图6，在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.中考展示二：（2009年内江）如图所示，已知点(10)A -，，(30)B ，，(0)C t ，，且0t >，tan 3BAC ∠=，抛物线经过A 、B 、C 三点，点(2)P m ，是抛物线与直线:(1)l y k x =+的一个交点．y xo A BB 2B 1C DOAC By（1）求抛物线的解析式；（2）对于动点(1)Q n ，，求PQ QB +的最小值；（3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动，求AMP △的边AP 上的高h 的最大值． 中考展示三: (2009年泸州)如图，已知二次函数c bx x y ++-=221(0)c < 的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，且OB OA OC ⋅=2． (1)求c 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求该二次函数的解析式； (3)设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC 上是否存在一点P 使△PBD 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．设计说明：通过四川各地中考题展示，提醒学生对这类题型应引起重视，能灵魂运用对称、平移等知识，通过转化解决问题，提高学习学习兴趣.作为课后研究材料.（四）归纳提升、课堂小结引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结： 1、解决上述问题运用了什么知识？（知识）2、在解决问题的过程中运用了什么方法？（方法）3、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？（数学思想） 知识方法思想归纳：1、立体图形上两点的最短路径问题，可通过展开，利用线段公理和勾股定理解决． （化曲为平）2、平面图形上不在同一直线上的最短路径问题，可以通过平移、对称等方法，将其转移到同一直线上来，利用两点之间，线段最短以及勾股定理等知识来解决．（化折为直）3、以上都体现了化归的数学思想 思维方法归纳：1、 学会反思回顾、归纳总结2、 学会并善于提问，提升思维层次3、 学会变式思考，活跃思维4、 学会联想，运用熟悉知识解决新问题5、 学会对比，举一反三 （五）作业布置1、请你提出一个运用曲化平的方法来解决的问题，并加以研究．2、请你提出一个运用折化直的方法来解决的问题，并加以研究．3、解答以上展示的中考题 七、板书设计：图八、九、教学设计说明：爱迪生说：“不下定决心培养思维习惯的人，便失去了生活中的最大乐趣”．同样，在学习中不懂得思考的学生，一定学的非常辛苦．真正聪明的人是更理性地掌握思考的方法，而不仅仅是感性的运用．聪明人是因为懂得思维的方法才变得聪明，而不是因为聪明才懂得学习．要让学生轻松快乐地取得成绩，我们必须要提高课堂效率，让学生学会思考，掌握思考方法．从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功．这一节课，主要采用的是引导——探究——发现的教学模式．所以设计这节课时我考虑到以下几个方面：1、设计“引导—探究—发现”模式的理由在解答简单问题时，人们的思路往往是清晰、合乎逻辑且有效的，但在解答复杂问题时，往往无从下手，思维混乱.思维缺乏灵活性，被动性较强，所以想通过勾股定理、线段公理这类大家非常熟悉的知识的运用，引导他们去探究，去发现，去体会思考.从而把在简单问题中获取的经验和研究问题的方法运用到复杂问题的解决中去，以达到“教”是为了“不教”的目的2、思考方法设计通过例题教学，引导学生学会从知识、方法、数学思想等方面进行归纳总结通过例题变式，让学生体会变式思考，反思回顾通过引导学生提问，让学生学会思考，善于提问，提升思维层次通过结论方法的归纳提升，让学生感受思考的快乐，体验学习的乐趣3、思考中辅以多种形式突破难点勾股定理、线段公理的灵活运用和提升是个难点，加上指导学生学会思考还在培养之中，仅靠学生是不能完成的，所以在教学中通过启发引导，小组讨论，例题讲解，变式提升来帮助学生理解知识的应用和方法的提升.以达到突破难点的目的4、重视引导知识和方法的归纳总结没有归纳总结，就没有提高。