立体几何---线面平行

直线、平面平行的判定

【要点梳理】

要点一、直线和平面平行的判定

文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线

与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.

图形语言：

符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.

要点诠释：

（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：

①直线a 在平面α外，即a α⊄；

②直线b 在平面α内，即b α⊂；

③直线a ，b 平行，即a ∥b ．

这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．

（2）定理的作用

将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面

平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．

要点二、两平面平行的判定

文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

图形语言：

符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =，且//a β、//b β，则//αβ.

要点诠释：

（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．

（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面

面平行．

要点三、判定平面与平面平行的常用方法

1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．

2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们

平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．

3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．

【典型例题】

类型一、直线与平面平行的判定

例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，

求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．

例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对

角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．

【变式1】在正方体1111ABCD A B C D 中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．

【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.

【变式3】 如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．

（1）证明：EF ∥平面PAD ；

（2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．

类型二、平面与平面平行的判定

例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．

例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．

求证：平面AMN ∥平面EFDB ．

【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求

证：面123//G G G 面ABC .

【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．

求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．

【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D 中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．

【巩固练习】

1．下列说法中正确的是（ ）

A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行

B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行

C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行

D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行

2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（ ）

A ．平行

B ．相交

C ．平行或相交

D ．重合

3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：

①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ

⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。

其中正确命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )

A ．α、β都平行于直线l

B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等

C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β

D ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β

5．下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P

分别是为其所在棱的中点，能得出//AB MNP 平面的图形的序号是

( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④( )

6．已知平面α，β和直线,,a b c ，给出下列条件：

①//,//a c b c ；

②//,//,//a b αβαβ；