立体几何---线面平行
用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt 人教课标版
( 1 , 1 , 1 ) 同理可得平面 CB1D 1的法向量为m
例4.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、 G、H分别是A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1的 中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF
例3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证： A 1 平面A1BD∥平面CB1D1
平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C 平行四边形DBB1D1 B1D1∥BD
D1
B1
C1
D A B
C
于是平面A1BD∥平面CB1D1
证明：建立如图所示的 空间直角坐标系o-xyz 设正方形边长为1， A1 ( 1 ,0 , 1 ) 则向量 DA 1
C N B
再见
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
线面平行的性质
• 在判断方向向量与法向量是否垂直时，需要计算向量的点积 • 在判断方向向量与法向量所成的点积是否为零时，需要计算向量的点积
利用空间几何性质判定线面平行
利用空间几何性质判定线面平行的方法有以下几种
• 判断直线与平面内的任意一条直线是 否不相交 • 判断直线与平面内的任意一条直线是 否平行
• 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系 • 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系
线面平行的几何表示
线面平行的几何表示方法有多种
• 利用角度关系表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线所成的同位角相等 • 利用向量关系表示线面平行，即直线的方向向量与平面的法向量垂直 • 利用空间几何性质表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线都不相交
• 在工程制图中，往往需要判断线与平面是否平行 • 在工程制图中，往往需要利用线面平行的性质进行绘图和计算
线面平行在立体几何中有广泛应用
• 在求解立体几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解立体几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计 算
线面平行在解析几何中也有广泛应用
• 在求解解析几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解解析几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计 算
线面平行解题技巧主要包括：
• 熟练掌握线面平行的性质和判定方法 • 灵活运用线面平行的性质和判定方法解决问题 • 注意解题步骤，避免计算错误
线面平行相关习题精选与解答
线面平行相关习题精选包括：
• 判断直线与平面是否平行的题目 • 利用线面平行性质进行推理和计算的题目 • 求解线面平行问题的题目
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明要证明两个线面平行，一般可以通过以下几种方法来进行证明：方法一：使用平行线的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设线面A和线面B不平行，即存在一条线a与线面A不平行，又与线面B相交于一点P。
2.假设在线面A上存在一点Q，它与直线a上相交于一点R。
3.由于线a与线面B相交于P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于线a与线面A相交于R，所以线段PR必然属于线面A。
5.由于线面A和线面B都包含线段PR，所以它们必然相交。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法二：使用支撑面的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行，可以通过以下步骤进行证明：1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.过直线a作平行于线面B的平面，该平面与线面A相交于线段QR。
3.由于直线a与线面B相交于点P，所以线段PR必然属于线面B。
4.由于平面上的任意两点可以确定一条直线，所以线段QR也属于线面B。
5.因此，线段QR同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
方法三：使用平行四边形的性质假设我们有线面A和线面B，要证明A和B平行1.假设在线面A上存在一条直线a，它与线面B相交于一点P。
2.在线面A上选择一点Q，并通过P点作一条平行于线面A的直线b。
3.连接直线a和直线b，得到平行四边形PQRD。
4.由于平行四边形的特性，相邻两边平行且长度相等，所以线段PD也是平行于线面A的，并且它必然属于线面B。
5.因此，线段PD同时属于线面A和线面B，所以它们不是平行的。
6.这与我们的假设相矛盾，因此假设不成立，即线面A和线面B是平行的。
以上三种方法是一些常用的证明线面平行的方法，根据实际问题的具体情况，可以选择适合的方法进行证明。
专题二：立体几何---线面平行、面面平行
专题二：立体几何---线面平行、面面平行一、知识点（1）线面平行性质定理（2）线面平行判定定理（3）面面平行性质定理（2）面面平行判定定理总结：立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。
（2）利用三角形中位线的性质。
（3）利用平行四边形的性质。
（4）利用对应线段成比例。
（5）利用面面平行，等等。
二、练习题(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；2、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面;（第1题图）(2) 利用三角形中位线的性质3、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：AM∥平面EFG。
4、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。
求证：PA ∥平面BDE5．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，D为AC的中点.求证：AB1//面BDC1；ABCDEFGM6、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB BC∠=∠=//=12AD ，BE //=12AF ，,G H 分别为,FA FD 的中点 证明：四边形BCHG 是平行四边形；（3） 利用平行四边形的性质7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心， M 为BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1;8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；9、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;(4)利用对应线段成比例10、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =NDBN， 求证：MN ∥平面SDC11、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 。
高中立体几何证明线面平行的常见方法
高中立体几何证明线面平行的常见方法1.通过“平移”再利用平行四边形的性质题目1：四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。
证明AF∥平面PCE。
证明：将四棱锥P-ABCD平移，使其底面平移到平面PCE上，得到四棱锥P'-A'B'C'D'，其中A'B'C'D'与ABCD平行，且P'、E'、F'分别为A'B'、C'D'、A'D'的中点。
因为AF∥PD，所以AF'=PD'=C'F'，又因为AD'=C'D'/2=AB'/2=AF'/2，所以AD'∥B'C'。
因此，根据平行四边形的性质，AF'∥B'C'，即AF∥CE。
题目3：四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC的中点，证明EB∥平面PAD。
证明：连接PE，因为E为PC的中点，所以PE∥AD。
又因为CD⊥AD，所以CD∥PE。
又因为CD=2AB，所以AB∥PE。
因此，根据平行四边形的性质，EB∥PA，即EB∥平面PAD。
2.利用三角形中位线的性质题目4：四面体ABCD中，E、F、G、M分别是棱AD、CD、BD、BC的中点，证明AM∥平面EFG。
证明：连接EF、EG、FG，因为E、F、G分别为三角形BCD、ACD、ABD的中点，所以EF、EG、FG分别是这三个三角形的中位线。
因此，EF∥AD，EG∥BD，FG∥AC。
又因为M为BC的中点，所以AM∥FG。
因此，AM∥平面EFG。
3.利用平行四边形的性质题目7：正方体ABCD-A' B' C' D'中O为正方形ABCD的中心，M为B'B的中点，求证D'O∥平面A'BC'。
立体几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。
．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理:面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相交，．．．．．．．．．则交线平行．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直nmAαaBA l βαaβα文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a m a na m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
立体几何证明方法——证线面平行
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。 求证:MN//平面 AA1B1B
D1
A1
面面平行 则线面平行
D A
N
C1 G
B1
M C
B
.
7
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
关键：构造三角形平面 D1 A1 四边形平面
面面平行
D
A
构造三角形平面 .
N
C1
B1
M C
B
5
方法演练二：
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。
求证:MN//平面 AA1B1B
D1
构造平行
A1
G
四边形平面
D
A
N
C1
B1
HM C
B
.
6
方法演练二：
a
的一条平行于一个平面，
b
那么另一条直线也平行于这个平面。
a // b
推理过程： a //
b //
b
.
3
方法演练一：
如图，在三棱锥 S ABC 中，
E，F 分别是侧棱 SA，SB 的中点。
求证： EF // 平面ABC .
S
E A
F C
关键点：找三角形平面 B
.
4
方法演练二：
如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 点 M、N 在分别是 BC1、B1D1 的中点。 求证:MN//平面 AA1B1B
二如何证明直线与平面平行：
方法一：线线平行，则线面平行。
立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)
DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点,证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
立体几何线面面面平行的证明
立体几何线面面面平行的证明线面、面面平行是立体几何中重要的概念，在几何证明中经常会遇到。
下面将分别介绍线面平行和面面平行的证明。
一、线面平行的证明：线面平行是指一条直线与其中一平面上的其他线段或射线都平行。
下面给出线面平行的证明。
设直线l与平面α相交于点A，我们要证明直线l与平面上任意一条线段或射线都平行。
设平面上有一条线段BC，先证明直线l与线段BC平行。
假设直线l与线段BC的其中一点D相交，连接线段AD和CD。
现在需要证明线段AD与线段BC平行。
根据平面几何的基本知识，在平面上，如果三个点在同一条直线上，那么该直线上的任意两点连线也位于平面上。
故点A、D、C三点在同一条直线上，那么线段AD也位于平面α上。
又因为直线l与线段BC和AD的交点分别为D和A，根据定理“若两条直线平行，则与这两条直线分别相交的两个平行线交点连线也平行”。
所以，直线l与线段AD平行。
同理，可以证明直线l与线段CD平行。
综上所述，直线l与线段BC平行。
接下来证明直线l与平面上的任意一条射线EF平行。
同样以与射线EF有相交点E的直线l为基准，连接射线BE和EF。
然后使用相同的证明方法，即证明射线BE与EF平行。
通过以上证明，我们可以得出结论：直线l与平面α上的任意一条线段或射线都平行。
即证明了线面平行。
二、面面平行的证明：面面平行是指两个平面平行，这在立体几何中也有重要应用。
下面给出面面平行的证明。
设平面α与平面β相交于一条直线l，我们要证明平面α与平面β上的任意一条线段或射线都平行。
以直线l为基准，设平面α上有一条线段AB，我们需要证明线段AB 与平面β平行。
作直线AB的平行线于平面β相交于点C。
现在需要证明直线BC与线段AB平行。
根据平面几何的基本知识，若两条直线平行，那么有一个点在一条直线上，则另一条直线上的点的连线也在同一平面上。
因此点C在平面β上，那么连接线段BC位于平面β上。
又因为平面α与平面β分别与直线AB和BC相交于A和C两点，根据定理“若两个平面分别与一条直线相交，那么它们的交线上的任意两点连线也在这两个平面的交线上”。
立体几何-平行关系
平行关系（文字语言、图形语言、符号语言） 1，线线平行： 2，线面平行 3，面面平行
（1）平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线与此平面平行。
线面平行的判定定理
（2）如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面相交，所得的交线与该直线平行。
（3）如果两条相交直线分别平行于同一个平面，则由这两条相交直线所确定的平面与此平面平行。
（4）如果一个平面平行于另一个平面，则该平面内的任一条直线与另一个平面平行。
（5）不在同一个平面的两组相交直线互相平行，则所确定的两个平面平行。
（6）两个平行平面被第三个平面所截，截得的两条交线平行。
重点：线面平行
例1：若一直线和两个相交平面都平行，则这条直线和两个平面的交线平行。
:
例2：在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。
求证：
11//ABC D EF 平面。
例3：已知正方体1111ABC D A B C D -中，E 、F 分别为1A A 、1C C 的中点。
求证：
11BD //B D E F 平面平面。
例4：如果两个平面分别平行于第三个平面，则这两个平面平行。
例5：已知正方体1111ABC D A B C D -中，M 、N 分别为棱1111B C C D 、的中点，求证： （1）E 、F 、B 、D 共面；
（2）平面AMN//平面EFDB ； （3）平面111AB D //C BD 平面
（5）
（6）。
怎样证明线面平行
解题宝典线面平行是指直线与平面平行，是一种常见的位置关系.证明线面平行是立体几何试题中的常考内容.证明直线与平面平行一般需要运用直线与平面平行的判定定理，设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，合理运用三角形的中位线定理、面面平行的性质定理、平行四边形的性质证明两直线平行.如何在平面内寻找或求作一条与已知直线平行的直线是解题的关键.一、利用三角形的中位线定理我们知道，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线定理是指三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.在证明线面平行时，可以构造合适的三角形，使已知直线为三角形的中位线，以便利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平行线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找或求作中位线.例1.如图1，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH //平面PAD .分析：通过观察图形，我们可以发现平面[PAD ]内的直线PD //GH ，G ，H 为PB ，AC 的中点，可构造三角形PBD ，使GH 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理来证明线面平行.证明：连接BD ，易知AC ⋂BD =H ,BH =DH .由BG =PG ，故GH //PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD为矩形，E 为PD 的中点.证明：PB ∥平面AEC .证明：如图2所示，连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,因为ABCD 为矩形，所以F 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EH //PB .EF ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC .由E 为PD 的中点，可以联想到三角形的中位线，于是连接BD ，构造三角形PBD ，又由矩形的性质可知F 为BD 的中点，于是便证明EF 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理即可证明PB ∥平面AEC .二、利用平行四边形的性质平行四边形的性质有很多，如（1）平行四边形的两组对边相等；（2）平行四边形的两组对角相等；（3）夹在两条平行线间平行的高相等；（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.在证明线面平行时，我们可以结合几何体的结构特征，构造平行四边形，使已知直线为四边形的边或高，然后利用平行四边形的性质和线面平行判定定理证明线面平行.例3.如图3，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.求证：MN //平面C 1DE .分析：要证MN //平面C 1DE ，需要在平面C 1DE 内找到一条直线与MN 平行，才能运用线面平行判定定理证明结论.观察图3，我们可以猜测平面C 1DE 内的直线DE 与MN 平行且相等，不妨构造四边形MNDE ，证明它是平行四边形，这样就可以运用平行四边形的性质证明结论.证明：如图3所示，连接B 1C ,ME ，因为M ，E 分别为BB 1,BC 的中点，所以ME //B 1C ，且ME =12B 1C.谭治华图1图2图340解题宝典又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D.由题设知A 1B 1=//DC ，可得B 1C =//A 1D ，故ME =//ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，则MN //ED .又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ,所以MN //平面C 1DE .例4.如图4，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.求证：EF //平面PCD ．证明：如图4，取PC 中点G ，连接FG ,GD ．∵F ,G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG //BC ，且FG =12BC ．∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED //BC ,DE =12BC ，∴ED //FG ，且ED =FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF //GD ．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF //平面PCD ．上面通过构造平行四边形EFGD ，利用平行四边形的性质证明EF //GD ，然后利用线面平行的判定定理证明EF //平面PCD .三、利用面面平行的性质我们知道，面面平行的性质定理是若两个平面平行，则在一个平面内的直线平行于另一个平面.在解题时，可首先运用面面平行的性质定理证明已知直线与在平面内的直线平行，然后便可运用线面平行的判定定理证明线面平行.例5.如图5(1)，已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ,BD 上的点，且AP =DQ .求证：PQ //平面CBE .证法一：如图5（2），作PH //BE 交AB 于H ,连接HQ ，∴AP AE =AH AB，∵AP =DQ ,AE =DB ,∴AP AE =DQ DB ∴AH AB =DQDB ，∴HQ //AD ,∴HQ //BC ,又HQ ⊄平面CBE ,BC ⊂平面CBE ,∴HQ //平面CBE ,∵PH //EB ,又PH ⊄平面CBE ,EB ⊂平面CBE ,∴PH //平面CBE ,又PH ⋂HQ =H ,∴平面PHQ //平面CBE ,∴PQ //平面CBE .通过观察图5（1）可知，很难在平面CBE 内找到一条与直线PQ 平行的直线，故需要添加辅助线，构造一个平面PQH ，运用面面平行的判定定理证明两个平面平行，然后运用面面平行的性质定理证明PQ //平面CBE .本题还可以运用平行四边形的性质来求解.结合图形的特征，构造出平行四边形PMNQ ，利用平行四边形的性质：两组对边平行，证明结论.证法二：如图5(3)，作PM //AB 交BE 于点M ，作QN //AB 交BC 于点N ，连接MN ，∴PM //QN ,PM AB =EP EA ,QN CD =BQBD.易知EA =BD ,∵AP =DQ ,∴EP =BQ .又∵AB =CD ,∴PM =QN ，四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ //MN .又∴PQ ⊄平面CBE ,MN ⊂平面CBE ，∴PQ //平面CBE .综上所述，无论运用哪种方法证明线面平行，都需要结合几何图形的特征，构造合适的三角形中位线、平行四边形、两平行的平面，寻找或求作已知直线在平面内的平行直线，然后运用线面平行的判定定理证明线面平行.这就要求同学们熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、面面平行的性质定理、线面平行的判定定理，巧妙地作出辅助线，来提升解题的效率.（作者单位：广东省清远市英德市第一中学）图4图5（1）图5（2）图5（3）41。
立体几何线面平行-题型全归纳(解析版)
立体几何线面平行-题型全归纳题型一利用三角形中位线例题1、如图所示，在三棱柱ABC-111C B A 中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点。
求证：1AB //平面DBC 1证明：连接C B 1，交1BC 于点Ｏ，再连接ＯＤ，平面11B BCC 是平行四边形，∴Ｏ是1BC 的中点，又Ｄ是ＡＣ的中点，∴ＯＤ是1ACB ∆的中位线，1//AB OD ∴，⊂OD 平面D BC 1，⊄1AB 平面D BC 1，//OD ∴平面D BC 1。
解题步骤（1）把直线通过平移到平面上，得到线线平行的初步形状；（2）连接平行四边形的对角线，再连接两个中点，恰好为平移所得到的线段；（3）通过延长两条线段的端点，构成一个三角形，即可得到三角形的中位线。
变式训练1、如图，在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点。
求证：1BD //平面ACE ；证明：连接ＢＤ，交ＡＣ于点Ｏ，再连接ＯＥ，在直四棱柱ABCD-1111D C B A 中，Ｏ为ＢＤ的中点，且Ｅ为1DD 的中点，∴ＯＥ是1BDD ∆的中位线，1//BD OE ∴，又ＯＥ⊂平面ＡＣＥ，⊄1BD 平面ＡＣＥ，∴1BD //平面ACE 。
变式训练2、如图，在斜三棱柱ABC-111C B A 中，CA=CB ，D 、E 分别是AB ，C B 1的中点，求证：DE//平面11A ACC ；证明：连接1BC ，连接1AC ，在斜三棱柱ABC-111C B A 中，∴点Ｅ在线段1BC 上，∴点Ｅ是1BC 的中点，又点Ｄ是ＡＢ的中点，∴ＤＥ是1ABC ∆的中位线，∴ＤＥ//1AC ，⊄DE 平面11A ACC ，⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC 变式训练3、如图所示，正三棱柱ABC-111C B A 的高为2，点D 是B A 1的中点，点E 是11C B 的中点，求证：DE//平面11A ACC证明：连接1AB ，连接1AC ，在正三棱柱ABC-111C B A 中，∴点Ｄ在线段1AB 上，∴点Ｄ是1AB 的中点，又点Ｅ是11C B 的中点，∴ＤＥ是11C AB ∆的中位线，∴ＤＥ//1AC ，⊄DE 平面11A ACC ，⊂1AC 平面11A ACC ∴DE//平面11A ACC题型二利用平行四边形的对边平行例题2、如图，在多面体ABCDE 中，AEB 为等边三角形，AD//BC ，BC AD 21=，F 为EB 的中点。
立体几何线面平行的判定
立体几何线面平行的判定
在立体几何中，线面平行的判定可以通过多种方法来进行。
首先，我们可以使用平行线的性质来判定线面的平行关系。
如果一条
直线与一个平面内的另一条直线平行，那么这两条直线与该平面平行。
这是因为平行线与同一平面的相交直线之间的对应角相等。
这
个性质可以帮助我们判定线面的平行关系。
另外，我们也可以利用垂直平分线的性质来判定线面的平行关系。
如果一条直线垂直于一个平面，并且平面内的另一条直线与这
条直线垂直，则这两条直线与该平面平行。
这是因为垂直平分线的
性质保证了这种平行关系成立。
此外，我们还可以利用平行四边形的性质来判定线面的平行关系。
如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边是平行的。
因此，如果我们能够构造出一个平行四边形，就可以通过其性质来判定线
面的平行关系。
总之，线面平行的判定可以通过平行线的性质、垂直平分线的
性质以及平行四边形的性质来进行。
这些方法可以帮助我们在立体
几何中判定线面的平行关系，从而解决相关的几何问题。
立体几何篇(线面平行、面面平行,线面垂直、面面垂直)
点线面的位置关系一（线面平行和面面平行）线面平行：1、判定定理：（1）平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行，则线面平行）；方法：平行四边形法则+中位线法则（2）直线所在的一个平面与此平面平行，则该直线与此平面平行（面面平行，则线面平行）；2、性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行（线面平行，则线线平行）；面面平行：1、判定定理：一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行，则面面平行）；2、性质定理（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行；（2）两个平面平行，同时与第三个平面相交，则交线平行。
例题选讲：1、如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°（1）求证：AE∥平面DCF；3、（全国卷）如图，直三棱柱111C B A ABC 中，E D ,分别是1,BB AB 的中点。
（1）证明：1BC //平面CD A 13.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1；线面垂直：3、判定定理：（3）一条直线与一个平面内的两条直交直线垂直，则这条直线垂直于这个面（线线垂直，则线面垂直）；（4）两平面垂直，在其中一个平面内，垂直于交线的直线，则垂直于另一个平面（面面垂直，则线面垂直）；方法：主动垂直+被动垂直4、性质定理（1）直线垂直于平面，则垂直于平面内的任意一条直线；（2）垂直于同一平面的两条直线平行；面面垂直：4、判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，则面面垂直）；5、性质定理若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
例题选讲：1、如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥AD.E 和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.2、（全国卷）如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直底面ο90=∠ACB ，121AA BC AC ==，D 是侧棱1AA 的中点。
立体几何平行
A BC DA B ` C` DE FAED 1CB 1D CBA立体几何——平行关系11．线面平行：（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 。
(记忆口诀：线线平行 线面平行)（2）性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． (记忆口诀：线面平行 线线平行)2．两个平面平行：（1）判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)（2）性质定理：① 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行② 一个平面内的任一直线平行另一平面(记忆口诀：面面平行，则线线平行)1． a ∥α，b ∥α则a 与b 的位置关系（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．以上情况均有可能2．a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面（ ）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．以上答案都不对3、已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点。
求证：EF ∥面AD 1C 。
4、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 ，求证：EF ∥平面PAD ；5. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。
求证：AF ∥平面PCE ；6、如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是1AA 的中点， 求证：1//AC 平面BDE 。
CBDAPE F1A 17. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 是PD 的中点． 求证：PB ∥平面AEC ．8．已知正四棱锥P —ABCD ，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且PM ∶MA=BN ∶ND=5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC ； 9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。
立体几何线面平行证明
立体几何线面平行证明立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中点、线、面的相互关系和性质。
在立体几何中，平行是一个基本的概念，它描述了两个或多个线或面在空间中不相交且始终保持相同的间距。
本文将从线面平行的定义、性质和应用等方面进行阐述，以展示立体几何中线面平行的证明方法。
一、线面平行的定义在立体几何中，我们常常会遇到线和面的关系。
当一个线和一个面的方向相同，并且线上的任意一点到面的距离保持不变时，我们称这个线和面是平行的。
具体来说，设有一条直线l和一个平面P，如果直线l上的任意一点到平面P的距离d保持不变，那么我们就说直线l和平面P是平行的。
二、线面平行的性质线面平行具有以下性质：1. 平行线和同一平面内的直线没有交点；2. 平行线和同一平面内的直线的距离是恒定的；3. 平行线在同一平面内的投影线也是平行的；4. 平行线和平行面之间的角度为零。
三、线面平行的证明方法证明线面平行的方法有多种，下面列举几种常用的证明方法：1. 利用垂直关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一条垂线和平面垂直。
2. 利用距离关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线上的任意一点到平面的距离是恒定的。
3. 利用投影关系证明：若直线和平面是平行的，那么直线在平面上的投影线也是平行的。
四、线面平行的应用线面平行在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑工程：在建筑设计中，我们常常需要考虑墙壁和地面的平行关系，以保证建筑的稳定和美观。
2. 几何光学：在光学中，光线和镜面的关系是平行的，这是实现反射现象和成像的基础。
3. 地理测量：在地理测量中，为了计算地球上两点之间的距离，我们需要考虑经线和纬线的平行关系。
4. 电磁学：在电磁学中，电场线和等势面的关系是平行的，这是电场分布和电势分布的重要性质。
线面平行是立体几何中一个重要的概念。
通过定义、性质、证明方法和应用等方面的介绍，我们可以更深入地理解和应用线面平行的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线、平面平行的判定
【要点梳理】
要点一、直线和平面平行的判定
文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线
与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.
图形语言：
符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒.
要点诠释：
（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件：
①直线a 在平面α外，即a α⊄；
②直线b 在平面α内，即b α⊂；
③直线a ，b 平行，即a ∥b ．
这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．
（2）定理的作用
将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面
平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．
要点二、两平面平行的判定
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
图形语言：
符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =，且//a β、//b β，则//αβ.
要点诠释：
（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．
（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面
面平行．
要点三、判定平面与平面平行的常用方法
1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法．
2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们
平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．
3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．
【典型例题】
类型一、直线与平面平行的判定
例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，
求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．
例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对
角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．
【变式1】在正方体1111ABCD A B C D 中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．
【变式2】 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.
【变式3】 如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．
（1）证明：EF ∥平面PAD ；
（2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．
类型二、平面与平面平行的判定
例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．
例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．
求证：平面AMN ∥平面EFDB ．
【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求
证：面123//G G G 面ABC .
【变式2】 如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．
求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．
【变式3】 已知在正方体''''ABCD A B C D 中 ，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．
【巩固练习】
1．下列说法中正确的是（ ）
A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行
2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．平行或相交
D ．重合
3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：
①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ
⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是( )
A ．α、β都平行于直线l
B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等
C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β
D ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β
5．下列四个正方体图形中，,A B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P
分别是为其所在棱的中点，能得出//AB MNP 平面的图形的序号是
( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④( )
6．已知平面α，β和直线,,a b c ，给出下列条件：
①//,//a c b c ；
②//,//,//a b αβαβ；
③,,//a b αβαβ⊂⊂。
其中可以使结论//a b 成立的条件有（ ）
A.①②
B. ②③
C. ①③
D. ①
7．过已知直线外一点与已知直线平行的直线有 条；过平面外一点与已知平面平行的直线有 条，与已知平面平行的平面有 个。
8．当//,//αβγβ，则α与γ的关系是 。
9．①若平面α内有一条直线平行于另一个平面β，则//αβ；
②若平面α内有两条直线平行于另一个平面β，则//αβ；
③若平面α内有无数条直线平行于另一个平面β，则//αβ；
④若平面α内任意一条直线平行于另一个平面β，则//αβ；
⑤若平面α内两条相交直线平行于另一个平面β，则//αβ。
以上命题正确的是________．
10．AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，经过它们中点的平面和AC 的位置关系是________，和BD 的位置关系是________。
三、解答题
11．如右图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点．
求证：PC ∥平面BDQ ．
12．如右图，P 为梯形ABCD 所在平面外一点，CD //2AB ，E 为PC 的中点。
求证：BE ∥平面PAD 。
13． 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11A C 上任意一点。
（1）求证：//DP 平面1AB C ；
（2）求证：平面11AB D //平面1C BD .
14．两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM=FN ，过M 作MH ⊥AB 于H.
求证：MN ∥平面BCE ．。