杨辉三角考题赏析
2018年中考数学真题赏析「杨辉三角」
2018年中考数学真题赏析「杨辉三角」1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”．（2018年孝感中考数学第15题）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，那么a4+a11﹣2a10+10的值是．【答案】﹣24．【分析】解：由a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，…，知an=1+2+3+…+n=(n(n+1))/2，∴a10=(10×11)/2=55、a11=(11×12)/2=66，则a4+a11﹣2a10+10=10+66﹣2×55+10=﹣24，故答案为：﹣24．（2018年宜昌中考数学第8题）1261年，我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律，比欧洲的相同发现要早三百多年，我们把这个三角形称为“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则a，b，c的值分别为A．a=1，b=6，c=15 B．a=6，b=15，c=20C．a=15，b=20，c=15 D．a=20，b=15，c=6【答案】B．【分析】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，∴a=1+5=6，b=5=10=15，c=10+10=20，答案为B．（2018年德州中考数学第11题）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为A．84 B．56 C．35 D．28【答案】B．【分析】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；（a+b）5的第四项系数为10=6+4；（a+b）6的第四项系数为20=10+10；（a+b）7的第四项系数为35=15+20；∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．答案为B．。
奥数竞赛分析：杨辉三角的数学之美
数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质杨辉三角（也称帕斯卡三角）相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。
杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。
在欧洲，帕斯卡（1623—-1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。
帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
杨辉三角就是这个看上去平平无奇的数字三角形，却有一些非常奇妙甚至是神秘的特性，本文将一一为您揭晓。
1、最外层的数字始终是 1最外层的数字始终是 12、第二层是自然数列第二层数字为自然数列3、第三层是三角数列第三层数字什么是三角数列，看一下下图就明白了，这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形。
4、三角数列相邻数字相加可得方数数列三角数列相邻数字相加的方数数列什么又是方数数列呢？雷同与三角数列，就是它的数字始终可以组成一个完美的正方形。
方数数列5、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列每一层数列之和6、斐波那契数列隐藏的斐波那契数列没错，如果按照一定角度将直线上的数字相加，我们也可以从杨辉三角中找到斐波那契数列。
斐波那契螺旋线波那契数列是指从0，1 两个数开始，每一位数始终是前两位的和。
这个数列有个神秘的特性，即越往后，相邻两数的比值越来越逼近黄金分割数0.618 (或1.618，两数互为倒数)。
斐波那契数列和黄金分割数不但在大自然中处处可见，在人类的艺术设计中也是应用非常广泛。
7、素数素数是指只能被 1 和它本身整除的数字。
然而在杨辉三角里，除了第二层自然数列包含了素数以外，其他部分的数字都完美避开了素数。
素数的分布8、可以被特定数整除的数字形成了奇妙的分形结构可以被2 整除的数字可以被 3 整除的数字可以被 4 整除的数字可以被 5 整除的数字如果我们把杨辉三角再放大，就会发现这些可以被特定数字整数的数的分布非常有规律，它们会形成类似分形的图案。
高考数学复习专题 数阵与杨辉三角
高考数学复习专题 数阵与杨辉三角数阵与杨辉三角主要考查我们视图、寻找规律的能力，要解好此类题目我们一定要从多方位结合题目表述来寻找规律。
一、高考例题题目1:（2004上海春季高考）如图，在由二项式系数 所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14 与第15个数的比为3:2.【命题意图】本小题考查杨辉三角的性质。
【规律总结】杨辉三角的性质和二项式定理的内容是 相同的，注意通项共式的使用。
【标准答案】根据题目表述，该数阵满足杨辉三角形，即第n 行中从左至右第14与第15个数的比为13142343n n C n C =⇒=故答案为34.题目2:（2004北京春季高考）下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i 行第j 列的数。
（1）写出a 45的值； （2）写出a ij的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。
（3）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
【命题意图】本题考查数阵、等差数列、数的分解问题。
【规律总结】研究数阵我们必须要就其规律性，主要是从某列或是某行入手。
【标准答案】（I ）4945=a（2）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：)1(341-+=j a j第二行是首项为7，公差为5的等差数列：)1(572-+=j a j第i 行是首项为)1(34-+i ，公差为21i +的等差数列，因此ji ij j i i a ij ++=-++-+=2)1)(12()1(34要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得20082=++j i ij 所以122008+-=i ij ，当1=i时，得669=j所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列（3）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21 从而2122121N i j j +=+++()=++()()2121i j 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
高中数学杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目(附解析)
杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目（附答案）(1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .(2)二项式系数的性质 ①对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． ②增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一、求二项展开式中系数或二项式系数的最大项1．(1)(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．第5项B ．第6项或第7项C ．第6项D ．第7项(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第6项 B ．第3项C ．第3项和第6项D ．第5项和第7项(3)(1－x )13的展开式中系数最小的项为( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析： (1)T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ×25＝C 6n ×26⇒n ＝8. 所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.故选A.(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝C 410x 2， T 7＝C 610x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D.(3)展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大． 由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.答案：(1)A (2)D (3)C 注：(1)根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的范围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．(1－x )2n －1展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．第n －1项 B ．第n 项C ．第n －1项与第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项解析：选D 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n －1－122n －1＝C n －12n －1，C2n －1＋122n －1＝C n2n －1，分别为第n ，n ＋1项． 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．252 C ．210 D ．45解析：选C 由题意，C n 2n ＝C 52n ，易知n ＝5，由T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 10x 30－5r 6，令30－5r ＝0，得r ＝6，故其常数项为C 610＝210.二：展开式的系数和1．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| 即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. 注：“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．2．在(1－3x )12的展开式中．求： (1)各二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和．解：(1)各二项式系数和为C 012＋C 112＋C 212＋…＋C 1212＝212＝4 096. (2)奇数项二项式系数和为C 012＋C 212＋C 412＋…＋C 1212＝211＝2 048. (3)偶数项二项式系数和为C 112＋C 312＋C 512＋…＋C 1112＝211＝2 048.三、二项式系数性质的应用1．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析：(1)展开式中二项式系数最大的项应是中间项，并要根据n 的奇偶性来确定是中间两项还是一项．(2)系数最大的系数，应满足不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，即设第r ＋1项的系数为A r ＋1，则满足不等式组⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，由不等式组解出r 的值．(1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， ∴T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大， 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎨⎧C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4. 又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16 896x 10. 注：求展开式中系数的最值的方法：(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)若展开式的系数为f (r )＝C r n ·m g (r )的形式，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ＋2，A r ＋1≥A r解出r ，即得系数最大项．(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定．2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项． 解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，∴n ＝10. ∴T r ＋1＝C r 10x10－r 22r x －2r ＝C r 102rx 10－5r 2，当r ＝0,2,4,6,8,10时，10－5r2∈Z ，∴展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第T r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧C r 102r ≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥111－r ，110－r ≥2r ＋1.解得193≤r ≤223. ∵r ∈N ，∴r ＝7.∴展开式中系数最大的项为T 8＝C 71027x －252＝15 360x －252.巩固练习：（基础题）题组1 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第6、7项 D ．第5、7项解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中第11＋12项和11＋12＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2．在(1＋x )n (n ∈N *)的展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n ＝10. 3．在(1－x )201的展开式中，系数的最大值是( )A．C99201B．C100201C．C101201D．C102201＝C r201(－x)r＝(－1)r C r201解析：选B在(1－x)201的展开式中，第r＋1项为T r＋1x r，所以系数的最大值是C100201，选B.4．下列关于(a＋b)10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1 024；②展开式中第6项的二项式系数最大；③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．答案：2题组2展开式的系数和5．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为()A．8 B．9C．10 D．11解析：选B由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B.6．(C14x＋C24x2＋C34x3＋C44x4)2的展开式中所有项的系数和为()A．64 B．224C．225 D．256解析：选C令x＝1，原式＝(C14＋C24＋C34＋C44)2＝(24－1)2＝225，故选C.7．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝()A．32 B．64C．128 D．256解析：选D由题意可得C1n＝C3n，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝256.8．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 解：(1)令x ＝0，可得a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100， (3)令x ＝－1.可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 与(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r (3)r x r ， ∴a 2r －1＜0(r ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 题组3 二项式系数性质的应用9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．5解析：选A 由二项式定理，知a k ＝C k －110(k ＝1,2,3，…，11)．又(1＋x )10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k 的最大值为6.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中a －1项的二项式系数． 解：依题意，令a ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－3a n展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r C r 545－r ·5－r 2b 10－5r6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27， 于是有2n ＝27，得n ＝7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T r ＋1＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r ·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.巩固练习（提升题)1．已知(x －1)n 的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4解析：选C 由已知，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，故选C.2．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项解析：选B 设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎨⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n ，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243解析：选B (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 5a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.4．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.解析：令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10()2＋110＝1.答案：15．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.解析：由已知，得C n C 14n＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34. 答案：346．将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n (n ≥2，n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，求1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r n x －2r ， 由题意可知r ＝2，此时a n ＝C 2n ＝n (n －1)2， 所以1a n ＝2n (n －1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 所以1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017. 7．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝4n .又展开式中二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，由题意有4n －2n ＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝－31(舍去)或2n ＝32.所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6. T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53r x 10＋4r 3，得⎩⎨⎧ C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92.又因为r ∈N *，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。
杨辉三角高中例题及其解析
杨辉三角高中例题及其解析1. 引言说到杨辉三角，大家可能会想，“这玩意儿有什么用啊？”但其实，它可不是只会在数学课上转圈圈的无聊东西，简直就是个数学宝藏！想象一下，一个看似简单的三角形，里面藏着的却是无穷无尽的组合和规律，真是让人拍案叫绝。
今天我们就来聊聊这个神奇的东西，看看它如何影响我们的日常生活和学习。
2. 杨辉三角的构建2.1 基础知识首先，杨辉三角是通过一种简单的方式构建出来的：每个数字都是它上面两个数字的和。
比如，第一行只有一个“1”，第二行就是两个“1”，第三行就变成了“1, 2,1”，依此类推。
就像一颗种子，慢慢长成一棵大树，枝繁叶茂，层层递进，真的是看着就让人心情大好。
2.2 规律揭示你知道吗？杨辉三角里面还藏着许多数学规律！比如说，三角形的每一行对应着二项式定理的系数，这些系数在组合数学中可是大有用处的。
有时候就像是在打麻将，抓到的牌越多，组合的可能性就越多，运气好的人总能组合出大胡来！是不是听着就很带感？3. 杨辉三角的应用3.1 组合问题好吧，接下来我们聊聊它的应用。
杨辉三角在组合问题上可谓是“如鱼得水”。
比如说，假设你有五种不同的水果，想从中选出三种来做沙拉，杨辉三角就能帮你轻松算出组合数。
用数学术语来说，就是“从五选三”的组合数，这在三角里就是“10”。
这下你再也不怕在超市里纠结该买哪个水果了！3.2 概率问题而且，它在概率问题上也是个高手。
假设你正在玩一个简单的游戏，随机抽取一个球，有三种颜色的球，你想知道抽到某种颜色的概率。
通过杨辉三角的帮助，你可以快速算出不同颜色球的组合，来制定最佳的抽取策略。
就好比在街上玩飞镖，选好目标才能一击必中，当然得事先做点功课啦！4. 经典例题解析让我们通过一个例题来深入了解一下杨辉三角的妙用。
比如说，考题问：“从八个人中选出三个人，一共有多少种选法？”如果不看三角，我们可能得算个半天，但用杨辉三角，我们可以直接找到第八行的第三个数，答案就是56。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-3学业分层测评8 杨辉三角 含解析
学业分层测评（建议用时:45分钟）[学业达标］一、选择题1。
在(a－b)20的二项展开式中,二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ）A.第15项B。
第16项C.第17项D.第18项【解析】第6项的二项式系数为C错误!，又C错误!＝C错误!,所以第16项符合条件。
【答案】B2。
（2016·吉林一中期末）已知错误!n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是( )A。
5 B。
20C.10 D。
40【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5,T r＋1＝C错误!x2（5－r）·x－r＝C错误!x10－3r，令10－3r＝1，解得r＝3，所以展开式中含x项的系数是C错误!＝10,故选C。
【答案】C3.设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2n x2n,则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于（）A.2n B。
错误!C。
2n＋1D。
错误!【解析】令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n,②①＋②得3n＋1＝2（a0＋a2＋…＋a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝错误!.故选D。
【答案】D4。
（2016·信阳六高期中）已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则错误!的值为( ）A。
错误! B.错误!C。
5125D。
错误!【解析】a＝C错误!＝70，设b＝C错误!2r,则错误!得5≤r≤6，所以b＝C错误!26＝C错误!26＝7×28,所以错误!＝错误!.故选A。
【答案】A5。
在(x－错误!）2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝错误!时,S等于（）【导学号:62980029】A.23 015B.－23 014C。
23 014D。
－23 008【解析】因为S＝错误!，当x＝错误!时，S＝－错误!＝－23 014。
新高中数学(人教B版,选修2-3)练习：1.3.2杨辉三角(含答案解析)
一、选择题
1．(2011 重·庆理 )(1 ＋3x) n(其中 n∈ N 且 n≥ 6的) 展开式中 x5 与 x 6的系数相等， 则 n＝ (
)
A． 6
B．7
C． 8
D．9
[答案 ] B
[解析 ] 本题主要考查二项式定理中二项展开式的通项公式的应用．二项式
(1＋ 3x) n 展
的展开式中各项系数的和
为 1，则该展开式第 2014 项为 ( )
(3)由 (1)知展开式中的第 6 项及第 7 项的系数绝对值最大，而第
的系数为正．
则系数最大的项为
T 7＝C68·(
x) 2
－
2 x2
6＝
1
792 x11
.
6 项系数为负，第 7 项
(4)系数最小的项为
T6＝ C58·(
x) 3
－
2
2
x
5＝－
1792
x x9 ＝－
1
792x－
17 .
2
一、选择题 1．在 (1＋ x)5＋(1＋ x) 6＋(1＋ x) 7 的展开式中，含 x4 项的系数是首项为－ 2，公差为 3 的 等差数列的第几项 ( )
∴
n 为奇数．故选 B.
6．在 (1－ x)11 的展开式中，含 x 奇次幂的各项系数的和是 (
)
A．－ 210
B ． 210
11
C．－ 2
11
D．2
[答案 ] [解析 ]
A 令 f(x) ＝ (1－ x) 11＝ a0＋ a1x ＋… ＋ a11x 11，
f(1) ＝ a0＋a1＋ … ＋ a11＝ 0，
[答案 ] 11 [解析 ] 由二项式定理可得 a＝C3n， b＝C2n.
数学文化---- 杨辉三角
杨辉三角，光辉四射湖北省孝感市一中刘翀一．考题展示1.（2004年上海春季高考11题）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1………………二．背景解读1.此题是考查“杨辉三角”的知识，杨辉三角是中国古代数学文化的代表，在数学史上具有很重要的意义，课本上也出现了杨辉三角（人教A版选修2-2 第77页，选修2-3中1.3.2节“杨辉三角与二项式系数的性质”）2．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家。
字谦光，钱塘（今杭州）人。
杨辉的数学著作甚多,有《日用算法》《杨辉算法》等.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。
古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。
三．杨辉三角的内容和特性1.杨辉三角数表11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1，………………………………上述数表就称为“杨辉三角”，这样的表，最早出现在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算术》一书中。
在这本书里，记载着类似下面的表2．杨辉三角数表的特性杨辉三角包含的内容很丰富，科学家发现了很多有趣的性质，现列举如下：（1）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，即组合等式：111=rrr n n n C C C ---+。
（2）杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等，即=rn rn n C C - （3）第二斜行的数（1,2,3,4,5,6，……）构成等差数列；第三斜行的数（1,3,6,10,15,21,28,36……）构成“三角形数”，其通项为(1)2n n n a +=。
高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)
高中数学杨辉三角综合测试题(含答案)选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质一、选择题1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为()A．2n－1 B．2n－1C．2n＋1－1 D．2n[答案] C[解析] 解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋ (2)＝1(2n＋1－1)2－1＝2n＋1－1.解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C. 2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是()A．第4项 B．第4、5两项C．第5项 D．第3、4两项[答案] B[解析] (x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n ＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．3．假设x3＋1x2n展开式中的第6项的系数最大，那么不含x的项等于()A．210 B．120C．461 D．416[答案] A[解析] 由得，第6项应为中间项，那么n＝10.Tr＋1＝Cr10(x3)10－r1x2r＝Cr10x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.T7＝C610＝210.4．(2022安徽6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，那么a0，a1，…，a8中奇数的个数为()A．2 B．3C．4 D．5[答案] A[解析] ∵a0＝a8＝C08＝1，a1＝a7＝C18＝8，a2＝a6＝C28＝28，a3＝a5＝C38＝56，a4＝C48＝70，奇数的个数是2，应选A.5．设n为自然数，那么C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)kCkn2n －k＋…＋(－1)nCnn＝()A．2n B．0C．－1 D．1[答案] D[解析] 原式＝(2－1)n＝1，应选D.6．设A＝37＋C2735＋C4733＋C673，B＝C1736＋C3734＋C5732＋1，那么A－B＝()A．128 B．129C．47 D．0[答案] A[解析] A－B＝37－C1736＋C2735－C3734＋…－1＝(3－1)7＝128.7.x2＋2x8的展开式中x4项的系数是()A．16 B．70C．560 D．1120[答案] D[解析] 考察二项式定理的展开式．设第r＋1项含有x4，那么Tr＋1＝Cr8(x2)8－r(2x－1)r ＝Cr82rx16－3r，16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C4824＝1120. 8．(2022广东惠州)等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，那么(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A．第9项 B．第10项C．第19项 D．第20项[答案] D[解析] ∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C4511＋C4612＋C4713＝5＋15＋35＝55，由3n－5＝55得n＝20，应选D.9．假设n为正奇数，那么7n＋C1n7n－1＋C2n7n－2＋…＋Cn－1n7被9除所得的余数是()A．0 B．2C．7 D．8[答案] C[解析] 原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n9n－1＋C2n9n－2－…＋Cn－1n9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，那么余数为7. 10．(2022江西理，6)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1 B．0C．1 D．2[答案] B[解析] (2－x)8的通项式为Tr＋1＝Cr828－r(－x)r＝(－1)r28－rCr8xr2，那么x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－1)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，应选B.二、填空题11．假设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022＋a2022x2022(xR)，那么(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2022)＋(a0＋a2022)＝________.(用数字作答) [答案] 2021[解析] 令x＝0，那么a0＝1.令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋…＋a2022＋a2022＝(1－2)2022＝－1.(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2022)＋(a0＋a2022)＝2022a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2022)＝2022－1＝2021.12．(2022北京11)假设x2＋1x3n展开式的各项系数之和为32，那么n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．[答案] 5 10[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，那么Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1x3r＝Cr5x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.13．(2022全国Ⅱ理，14)假设x－ax9的展开式中x3的系数是－84，那么a＝________.[答案] 1[解析] 由Tr＋1＝Cr9x9－r－axr＝(－a)rCr9x9－2r得9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C39＝－84，解得a＝1.14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图的01三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．[答案] 2n－1 32[解析] 用不完全归纳法，猜测得出．三、解答题15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.[解析] 令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝12(28＋48)＝32 896.16．设(1－2x)2022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2022x2022(xR)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2022的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2022|的值．[分析] 分析题意令x＝1求(1)式的值令x＝－1求(2)式的值令x＝－1求(3)式的值[解析] (1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2022＝(－1)2022＝1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2022＝32022②与①式联立，①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2021)＝1－32022，a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝1－320222.(3)∵Tr＋1＝Cr202212022－r(－2x)r＝(－1)rCr2022(2x)r，a2k－10(kN*)，a2k0(kN*)．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2022|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022，所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022＝32022. 17．证明：(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n. [证明] ∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)(C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn)＝(1＋x)2n，而Cn2n是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理得C0nCnn＋C1nCn－1n＋…＋CnnC0n＝Cn2n.∵Cmn＝Cn－mn(0n)，(C0n)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝Cn2n.18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①n＝5；②三项的和与差．解答此题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法那么，由组合数的定义求解．[解析] 方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，那么Tr＋1＝Cr5(x－2x2)r(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Ckrxr－k(－2x2)k＝(－2)kCkrxx＋k.令r＋k＝4，那么k＝4－r.∵0r,05，且k、rN，r＝2k＝2或r＝3k＝1或r＝4k＝0.展开式中含x4的项为[C25(－2)2C22＋C35(－2)C13＋C45(－2)0C04]x4＝－15x4.方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5(1＋2x)5，那么展开式中含x4的项为C05C45(2x)4＋C15(－x)C35(2x)3＋C25(－x)2C25(2x)2＋C35(－x)3C15(2x)＋C45(－x)4C05(2x)0＝－15x4.。
从一道概率题透析杨辉三角的应用
第 2k + 1行 第 2k + 2行 第 2k + 3行
2
1 2 1 n n + 1 ( n ≥ 2); 2 2
=
( 3 ) 因为 a n bn
= 1, 所以 bn -
2
n - n + 2
2
<
2
n - n
2
= 2(
1
n - 1
1)
n
b2 + b3 + b4 + … + bn < 2 [ (
1 ) + … + ( 1 - 1 ) ] = 2 ( 1 - 1 ) < 2. 3 n - 1 n n 例 3 ( 2007 年湖南理 ) . 将杨辉三角中的奇数 换成 1, 偶数换成 0, 得到如图 4所示的 0 - 1三角数 表 . 从上往下数 , 第 1次全行的数都为 1的是第 1行 , 第 2 次全行的数都为 1的是第 3 行 , …, 第 n 次全行 的数都为 1 的是第 是 . 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 行 ; 第 61 行中 1的个数 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1
H A Z H I 中学数学杂志
2008 年第 5期
— — —第一行 — — —第二行 — — —第三行 — — —第四行
第 6行 1 0 1 0 1 0 1 第 7行 1 1 1 1 1 1 1 1 可见第 1, 3, 7行 , 也就是第 21 - 1, 22 - 1, 23 - 1全 行的数都为 1. 由此猜想 :第 2 - 1全行的数都为 1. 这个规律可以用数学归纳法证明如下 : 1 ( 1) n = 1时 , 已验证 2 - 1 全行的数都为 1 .
杨辉三角考题赏析
杨辉三角考题赏析“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝．利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质，杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质．正因为如此，以“杨辉三角”为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现，有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．现采撷几例，与同学们共赏析．例1 （2004年上海春季高考卷）如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2:3．解析：由图1我们能发现，第1行中的数是0111C C ，；第2行中的数是012222C C C ，，；第3行中的数是01233333C C C C ，，，；L ；则第n 行中的数是012n n n n n C C C C L ，，，，设第n 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3，则13142:3n n C C =·，解得34n =．点评：本题是关于“杨辉三角”的一道高考题．杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，与排列、组合和概率的关系非常密切．因此，理解和掌握杨辉三角的一些性质，对发现某些数学规律是很有帮助的．例2 （2006届全国100所名校示范卷）如图2所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，L ，记这个数列的前n 项的和为()S n ，则(16)S 等于（ ）． A ．144B ．146C ．164D ．461解析：由图2知，数列中的首项是22C ，第2项是12C ，第3项是23C ，第4项是13C L ，，第15项是29C ，第16项是19C ．因此得121212111223399239(16)()S C C C C C C C C C =++++++=+++L L 222239()C C C ++++L 21123222333923391010()()1164C C C C C C C C C =+++-++++==+-=L L L ．故选Ｃ．点评：本题是杨辉三角与数列结合的一道考题．将数列的各项还原为各二项展开式的二项式系数，并依次应用杨辉三角中数的规律Ｃrn+1＝Ｃr-1n+Ｃrn （即组合数性质2），从而求得数列的和． 例3 （2004年江苏高考模拟卷）观察下列数表，问此表最后一个数是什么，并说明理由．解析：因为第一行有100个数，以后每一行都比前一行少一个数，因此共有100行．通过观察可以得到： 第1行首尾两项之和为101； 第2行首尾两项之和为1012⨯； 第3行首尾两项之和为21012⨯， 第4行首尾两项之和为31012⨯，…… 第99行首尾两项之和为981012⨯．因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和，所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和即为981012⨯．点评：本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题．通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．。
杨辉三角初二题型
杨辉三角初二题型杨辉三角是数学中一种经典的数列形式，它以数学家杨辉的名字命名。
这个数列有着许多有趣的性质和应用，被广泛应用于组合数学和概率论等领域。
在初二数学中，杨辉三角常常作为一道题目出现，旨在考察学生对数列和组合数学的理解和运用能力。
本文将就初二题型中常见的杨辉三角问题进行探讨和解答。
首先，我们先来了解一下杨辉三角的构造方法。
杨辉三角的第一行只有一个数，为1；第二行有两个数，均为1；从第三行开始，每个数是它上方两个数之和。
这样，第三行的数依次为1、2、1；第四行的数依次为1、3、3、1；以此类推。
每一行的数是对称的，且行数和列数相等。
接下来，我们来看一个典型的初二题型：给定杨辉三角的第n行，求第n行的第m个数。
解决这个问题的关键在于了解杨辉三角的性质和数列的求解方法。
首先，我们可以利用杨辉三角的性质，即每个数是它上方两个数之和，来逐行构造整个杨辉三角。
我们可以使用一个二维数组来表示杨辉三角，将每个数的值保存在相应的位置上。
具体的构造方法如下：1. 创建一个n行的二维数组，初始化每个元素的值为0。
2. 将第一行的第一个元素设置为1。
3. 从第二行开始，根据每个数是它上方两个数之和的性质，逐行计算杨辉三角的值。
4. 输出第n行的第m个数。
以求杨辉三角的第5行第3个数为例，我们可以按照上述步骤来构造杨辉三角并计算结果。
具体过程如下：1. 创建一个5行的二维数组，初始化每个元素的值为0。
2. 将第一行的第一个元素设置为1。
3. 根据每个数是它上方两个数之和的性质，计算第二行的数，即1、1。
4. 根据第二行的数，计算第三行的数，即1、2、1。
5. 根据第三行的数，计算第四行的数，即1、3、3、1。
6. 根据第四行的数，计算第五行的数，即1、4、6、4、1。
7. 输出第五行的第三个数，即6。
通过这个例子，我们可以看到，构造杨辉三角的关键在于理解每个数是它上方两个数之和的性质，并利用这个性质逐行计算杨辉三角的值。
由“杨辉三角”引发的思考
由“杨辉三角”引发的思考杨辉是我国古代最杰出的数学家之一，在他的著作《详解九章算术》里，记载着下面的表：这个三角形被称为“杨辉三角”，是我国古代数学的研究成果之一，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能.将上表写成数列的形式,即11 11 2 11 33 11 46411 5 10 10 5 116 15 20 15 6 1从整体来看，这些数组成了一个三角形.数字排列的规律是每行的第一个数和最后一个数都是1，其余的每个数为其上方左右两数之和；且第几行就有几个数.其实，这些数还有另外一个规律，即第n行（n为正整数）对应着（a＋b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数.如，第二行的两个数1，1，恰好对应着（a＋b）1＝a＋b展开式中的系数；第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数，等等.通过上面的分析，同学们不难发现，看似简单的杨辉三角数表却隐藏着一定的规律.由此，我们可以联想到一类数字规律探究问题，即根据已知条件或所提供的若干个数，通过观察、类比、归纳，发现其中蕴含的规律与特征的一类探究型问题.这类问题能够有效地培养同学们的逻辑推理能力、计算能力、归纳能力.下面略举两例由“杨辉三角”演变而来的题目，供同学们参考.例1观察数表11 －11 －2 11－33－11 －46－411 －510A5－11 －615-2022－61根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是.解析：通过观察，我们会发现本题的数表与“杨辉三角”十分相似，所不同的是部分数字变成了它们的相反数，所以无法运用“杨辉三角”的规律.如果单独从每一行来看会发现，从第二行开始，每行的数字之和等于0，问题即可得到解决了.所以1＋（－5）＋10＋A＋5＋（－1）＝0.故A＝－10.例2将正整数按如图所示的规律排列下去1 (1)23 (2)456 (3)78910 (4)若用有序实数对（n，m）表示第n排从左到右第m个数，如（4，3）表示的实数是9，则（7，2）表示的实数是.解析：本题中第几排就有几个数，而且整个数表中的数是从1开始按自然数的顺序排列的.因此，从第1排的第1个数起到第7排的第2个数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋2＝23个数，即表示的实数是23.万变不离其宗.无论题目的形式如何变化，只要同学们大胆地猜想、归纳、验证，一定会找到解题的突破口.总之，在感受“杨辉三角”的睿智和美的同时，我们要善于思考和分析，从而提升自己的数学能力和修养.。
初中数学应用杨辉三角题目
初中数学应用杨辉三角题目
杨辉三角是一个强大的数学工具，它可以帮助我们更好地理解数学知识，也可以用来帮助我们解决一些复杂的数学问题。
杨辉三角有极大的实用价值，它已被广泛应用于初中数学教学和学习中。
杨辉三角是由第一行开始，每一行的数字都比上一行多一个数字，并且每一行的首尾都为1。
每一行数字之间的差值为等差数列，即由第n项的数字减去第n-1项的数字，等于第1项的数字。
另外，每一行的数字之和都为2的幂次方，同时，每一行的中间部分的数字之和等于它上面一行所有数字之和。
杨辉三角被应用于初中数学教学和学习中，主要是为了更好地理解数学。
比如，通过杨辉三角，学生可以更容易理解一些复杂的组合问题，从而更好地解决问题。
此外，杨辉三角也可以用来帮助学生求解一些概率问题，对于求解类似的组合与概率的问题，杨辉三角可以帮助学生更有效地解决。
同时，在使用杨辉三角求解问题时，学生可以使用规律性，从而提高解题效率和质量。
此外，杨辉三角也可以用于求解组合数学问题。
比如，通过杨辉三角，学生可以很容易地求解出在各种不同的组合情况下的行列式的值，从而更好地理解组合数学的概念。
此外，学生也可以利用杨辉三角求解一些多项式的值，比如二次函数的系数。
此外，杨辉三角也可以用于求解几何学问题。
比如，学生可以通过推算杨辉三角的每一行数字之和，来求解多边形的面积和周长，也可以求解角度和锐角三角形等几何学问题，从而加深对几何学的理解。
总之，杨辉三角在初中数学教学和学习中有着重要的应用价值。
它可以帮助我们更好地理解数学，也可以用来求解一些复杂的数学问题，从而提高自身的学习效率和水平。
数学人教B选修23课后导练 2“杨辉三角”与二项式系数的性质 含解析
课后导练基础达标1.已知（1-3x ）9=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 9x 9,则|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|等于（ ）A.29B.49C.39D.1解析：x 的奇数次方的系数都是负值，∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 9|=a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 9.∴已知条件中只需赋值x=-1即可.答案：B2.对于二项式（x 1+x 3）n （n ∈N ）,四位同学作出了四种判断，下述判断中正确的是（ ） ①存在n ∈N ,展开式中有常数项；②对任意n ∈N ,展开式中没有常数项；③对任意n ∈N,展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N ，展开式中有x 的一次项.A.①与③B.②与③C.②与④D.④与①解析：二项式（x 1+x 3）n 展开式的通项为T r+1=r n C （x1）n-r ·（x 3）r =r n C x r-n ·x 3r =r n C x 4r-n , 当展开式中有常数项时，有4r-n=0，即存在n 、r 使方程有解.当展开式中有x 的一次项时，有4r-n=1,即存在n,r 使方程有解.即分别存在n ，使展开式有常数项和一次项.答案：D3.若（2x x 1-）n 展开式中含21x项的系数与含41x 项的系数之比为-5，则n 等于（ ） A.4 B.6 C.8 D.10 解析：∵T r+1=r n C （2x ）n-r （-x1）r , 令n-2r 1=-2,n-2r 2=-4,然后利用系数比为-5，得关于n 的方程.即可解出n=6，故选B.答案：B4.(2005全国高考卷Ⅱ)（x 2-y ）10的展开式中x 6y 4项的系数是（ ）A.840B.-840C.210D.-210解析：（x-2y ）10可以看作是由10个括号形成的连乘积，而x 6y 4是10项中取6个x 、4个y ，∴系数是610C x 6·44C ·（-2y ）4中的系数，∴系数为610C ·22=840.答案：A5.如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______________行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1解析：由题可设第n 行的第14个与第15个数的比为2∶3,就等于二项展开式的第14项和第15项的系数比13n C ∶14n C =2∶3, 即!13)!13(!•-n n ∶!14)!14(!•-n n =2∶3⇒1314-n =32,解之得n=34. 答案：346.(2005广东高考)已知（xcosθ+1）5的展开式中x 2的系数与（x+45）4的展开式中x 3的系数相等，则cosθ=_______________.解析：（xcosθ+1）5=（1+xcosθ）5,展开式中x 2的系数为25C cos 2θ. （x+45）4=（45+x ）4，展开式中x 3的系数为4534C , 由题意可知25C cos 2θ=4534C ,∴cos 2θ=21, ∴cosθ=±22. 答案：±22 7.(2005东北三校联考)若（x 2+21x）n 的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式中的常数项是_______________.解析：∵n=6,T r+1=r C 6（x 2）6-r ·（x -2）r =r C 6·x 12-4r ,令12-4r=0,r=3.∴36C =20.答案：208.求（1-x ）8的展开式中二项式系数最大的项.解析：因为1-x 的幂指数8是偶数，由性质3，（1-x ）8的展开式中间一项（即第5项）的二项式系数最大，该项为128+T =T 5=48C （-x ）4=70x 4.9.已知n ∈N *,求证1+2+22+23+…+25n-1能被31整除.证明：1+2+22+23+…+25n-1=21215---n =25n -1 =32n -1=（31+1）n -1=31n +1n C 31n-1+2n C ·31n-2+…+1-n n C ·31+1-1=31（31n-1+1n C 31n-2+2n C 31n-3+…+1-n n C ）.而括号里的数必为正整数，故原式能被31整除.10.已知（x +31x）n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比（a+b ）2n 展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的中间项.解：（a+b ）2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为22n-1,（x +31x）n 展开式中偶数项的二项式系数的和为2n-1，依题意，有2n-1=22n-1-120,即（2n ）2-2n -240=0,解得2n =16或2n =-15（舍）.∴n=4.于是，第一个展开式中中间项为T x =24C （x ）2（31x）2=63x . 综合运用11.计算：（1）1.0095;（2）0.9986（精确到0.001）. 解：（1）1.0095=（1+0.009）5=1+5×0.009+25C ×（0.009）2+…+（0.009）5≈1+5×0.009+8.1×10 -4≈1.046. （2）（0.998）6=（1-0.002）6=1+6×（-0.002）+15×（-0.002）2+…+（-0.002）6≈1+6×（-0.002）=1-0.012=0.988.12.（1）证明：0n C +12n C +23n C +…+（n+1）n n C =（n+2）·2n-1.（2）设a 、b 、c 是互不相等的正数，且a 、b 、c 成等差数列，n ∈N *,求证：a n +c n >2b n .证明：（1）0n C +21n C +32n C +…+（n+1）n n C =0n C +1n C +2n C +…+n n C +（1n C +22n C +33n C +…+n n n C ）=2n +n （01-n C +11-n C +21-n C +…+11-+n n C ）=2n +n·2n-1=（n+2）·2n-1. （2）设公差为d,则a=b-d,c=b+d.a n +c n -2b n =（b-d ）n +（b+d ）n -2b n =［b n -1n C b n-1d+2n C b n-2d 2-…+（-1）n d n ］+［b n +1n C db n-1+2n C d 2b n-2-…+d n ］-2b n =2（2n C d 2b n-2+4n C d 4b n-4+…）>0, ∴a n +c n >2b n .拓展探究 13.用二项式定理证明(32)n-1<12+n （n ∈N *且n ≥3）. 证明：欲证（32）n-1<12+n 成立，只需证（32）n-1>21+n 成立，而（23）n-1=（1+21）n-1=01-n C +11-n C ·21+21-n C ·（21）2+…+11-+n n C ·（21）n-1=1+n-21+n n C 1-·（21）2+…+（21）n-1>n+21,所以原不等式成立.。
04数学文化——杨辉三角-2021年高中数学传统文化与人文价值素材
04数学文化 —— 杨辉三角（12题）1．观察如图类似杨辉三角的数表，则此表最后一个数是 982×101 ． 【考点】归纳推理；数列的应用．【分析】由第一行第一个数为1，第二行第一个数是1+2，第三行第一个数是3+22+1⋅，第四行第一个数是4+33+23+1⋅⋅，然后猜想第n 行第一数是()n C +1n C ++3C +2C +1C 1n 1n 21n 21n 11n 01n ⋅-⋅⋅⋅⋅-------n ，利用倒序相加法和二项式定理的性质，即可求得结果．【解析】：令1，n a 表示第n 行的第一个数， 则1=a 1，1， 2+1=a 1，2，3+22+1=3+2+2+1=a 1，3⋅，4+33+23+1=4+3+3+2+3+2+2+1=a 1，4⋅⋅，…所以()n C +﹣1n C ++3C +2C +1C =a 1﹣n 1﹣n 2﹣n 1﹣n 21﹣n 11﹣n 01﹣n 1，n ⋅⋅⋅⋅ ， 所以100C ++3C +2C +1C =a 99992991990991，100⋅⋅⋅⋅ ， 1C ++98C +99C +100C =a 0999799989999991，100⋅⋅⋅⋅ ， ∵()9899992991990991，1002101C 101=2a ⋅=++++C C C ， 故答案为982101⋅．【点评】此题是个中档题．本题是一道找规律的题目，要求学生的通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题要根据已知的数据发现各行的第一个数和第二个数的规律．杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．2．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列{}n a ：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则19S 的值为 283 ．【考点】数列的求和．【分析】从杨辉三角的生成过程，m1n m n 1﹣m n C =C +C +，对该数列分奇偶讨论，求出数列的通项公式，解决S 19的值【解析】：从杨辉三角形的生成过程，可以得到这个数列的通项公式n a ； 当n 为偶数时，1+a =a n 2+n ，所以n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，所以24+=n an ， n 为奇数时，()3n a +a =a 1-n n 2+n ≥，即232+=-+n a a n n ， 所以3=a ﹣ a 35，4=a ﹣ a 57 …212+=--n a a n n ，所以()()831++=n n a n 而1=a 1满足上式 故n 为奇数是，()()831++=n n a n 。
杨辉三角考题解析
杨辉三角考题解析
李海淼
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2009(000)010
【摘要】杨辉三角是高中数学的研究性学习内容之一，同时在各种考题中经常出现．研究性学习是新教材的特点之一，能充分发挥学生自主学习的能力．而在众多研究性学习的内容中，杨辉三角的内容极为丰富，成为众多问题的载体．本文通过一些例题来体会杨辉三角的奇妙特点以及多种变化．
【总页数】3页(P17-19)
【作者】李海淼
【作者单位】浙江省绍兴市稽山中学,312000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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二项式定理与杨辉三角(A卷基础篇)(解析版)
专题3.2二项式定理与杨辉三角（A 卷基础篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·北京高二期末）在5(1)x +的展开式中，2x 的系数是（ ）A ．5B ．10C ．20D ．60【答案】B 【解析】5(1)x +的展开式的通项公式为515r r r T C x -+=，令52r，得3r =，所以2x 的系数为3510C = 故选：B2．（2020·山东济南�高二期末）61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ）A ．120B ．70C ．20D ．1【答案】C 【解析】二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，解得3r =，所以34620T C ==.故选：C.3．（2020·湖北恩施�高二期末）62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含4x 项的系数是（ ）A ．60B ．60-C ．12D ．12-【答案】D 【解析】由二项式定理展开式的通项公式得：()()6626166212kkkk k k k k T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，0,1,2,3,4,5,6k = 所以令264k -=得5k =，所以()5655445161212T C x x -+=-=-，故4x 的系数为12-.故选：D.4．（2020·北京通州�高二期末）5(1)a +展开式中的第2项是（ ）A ．35aB ．310aC ．45aD ．410a【答案】C 【解析】5(1)a +展开式中的第2项是1514255T C a a -==. 故选：C .5．（2020·广西七星�桂林十八中高二期中（理））()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．280【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式1C k n k kk n T a b -+=，得()712x -展开式的通项为()172kk kk T C x+=-，则()712x x-展开式的通项为()1172kk k k T C x -+=-，由12k -=，得3k =，所以所求2x 的系数为()3372280C -=-.故选C.6．（2020·辽宁辽阳�高二期中）5555除以8，所得余数是( ) A ．7 B ．1C ．0D ．1-【答案】A 【解析】()555555561=-，展开式的通项为()5555C 561rrr -⋅⋅-，不能被8整除即55r =时，余数为()5511-=-，由于余数要为正数，故加8，得187-+=.7．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a 所表示的数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】从第三行起头尾两个数均为1， 中间数等于上一行肩上两数之和， 所以336a =+=. 故选：C.8．（2020·山东潍坊�高二期中）已知7270127(1)x a a x a x a x -=++++则127a a a ++⋯+=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】由7270127(1)x a a x a x a x -=++++令0x =得：70(01)a -=，则01a =- 令1x =得：70127(11)a a a a -=++++所以01270a a a a ++++=，则12701a a a a ++=-+=故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（2020·永安市第三中学高二期中）若1()nx x+的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．第3项 B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】CD【解析】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为27,n n C C ， 又因为其相等，则9n =所以该展开式中二项式系数最大的项为91152-+=与91162++=项 即为第5项；第6项. 故选：CD10．（2020·无锡市大桥实验学校高二期中）已知()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】ABC 【解析】当()2na b +的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，7n =； 当()2n a b +的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，9n =； 当()2n a b +的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，8n =. 故选：ABC.11．（2020·山东省桓台第一中学高二期中）（多选）二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为（ ）. A ．第五项 B ．第六项C ．第七项D ．第八项【答案】BC 【解析】二项式1121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，每项的系数与二项式系数相等，共有12项所以系数最大的项为第六项和第七项 故选：BC12．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）关于()10a b -的说法，正确的是（ ） A ．展开式中的二项式系数之和为1024B ．展开式中第6项的二项式系数最大C ．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小【答案】ABD 【解析】关于10()a b -的说法：对于选项A ，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为1021=024，故A 正确； 对于选项,B C ，当n 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B 正确，C 错误；对于选项D ，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故D 正确. 故选：ABD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·辽宁高二期末）7(56)x -的展开式的各项系数之和为_______. 【答案】1- 【解析】令1x =，得7(56)x -的展开式中各项的系数之和为：7(56)1-=-． 故答案为：1-．14．（2020·湖南高二期末）若6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为160，则a =__________．【答案】2 【解析】6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第k 1+项为662166T k k k k k k k k C x a x C x a ---+==， 令620k -=，则3k =，所以336160C a =，所以38a =，故2a =故答案为215．（2019·广东江门�高二期末）观察下图所示“三角数阵”，该数阵最后一行各数之和为________.【答案】102（或1024） 【解析】由题得最后一行的和为012101010101010=2C C C C ++++.故答案为：102（或1024）16．（2020·浙江海宁�高三一模）早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．已知()61ax -的展开式中3x 的系数为160-，则实数a =________；展开式中各项系数之和为________．（用数字作答）【答案】2 1 【解析】由题可知，()()3333461160T C ax x =-=-，则320160a =，故2a =．令1x =，展开式中各项系数之和为()6211-=． 故答案为：(1).2；(2).1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2020·上海高三专题练习）若5(12)x -的展开式中第2项小于第1项，但不小于第3项，求实数x 的范围． 【答案】1010x -< 【解析】通项公式15(2)r rr T C x +=-，则321T T T ≤<，得221100555(2)(2)(2)C x C x C x ⋅-⋅-⋅-<，化简得240101x x ≤-<，解得1010x -<. 18．（2019·全国高二课时练习）已知的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项． 【答案】【解析】由通项，，当时，取到常数项，即．19．(2nx x+的展开式中各项系数之和为81，求展开式中x 的系数． 【答案】24 【解析】 因为(2nx x+的展开式中各项系数之和为81， 所以(21)81n +=，解得4n =，因此4(2x x+的展开式的通项是344442214422r r r r r r r r T C x x C x -----+==， 由3412r -=得2r ，所以，展开式中x 的系数为224224C =.20．（2019·同济大学第一附属中学高二期末）21(2)nx x+的展开式一共有13项.（1）求展开式中二项式系数之和； （2）求展开式中的常数项 【答案】（1）122；（2）7920 【解析】由21(2)nx x+的展开式一共有13项得12n =，（1）由2121(2)x x+得展开式中二项式系数之和为122；（2）由2121(2)x x+得展开式的通项为()1221224311212122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令2430r -=，得8r =， 所以展开式中的常数项为81281227920C -⋅=.21．（2018·营口开发区第一高级中学高二月考（理））在41()nx x+的展开式中，第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大35. （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项.【答案】（1）10（2）45【解析】（1）由题意知得或（舍去）（2）设第项为常数项，则所以展开式中的常数项为22．（2020·永安市第三中学高二期中）已知的展开式中的系数是-35，（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）【解析】∵，∴，∴.（1）令时，，①令时，.∴.（2）令时，.②①-②得.。
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杨辉三角考题赏析
“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝．利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质，杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质．正因为如此，以“杨辉三角”为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现，有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．现采撷几例，与同学们共赏析．
例1 （2004年上海春季高考卷）如图１，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2:3．
解析：由图1我们能发现，第1行中的数是0111C C ，；第2行中的数是
012222C C C ，，；第3行中的数是01233333C C C C ，，，；
；则第n 行中的数是
012n n n n n C C C C ，，，，设第
n 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3，则
13142:3n n C C =·，解得34n =．
点评：本题是关于“杨辉三角”的一道高考题．杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，与排列、组合和概率的关系非常密切．因此，理解和掌握杨辉三角的一些性质，对发现某些数学规律是很有帮
助的．
例2 （2006届全国100所名校示范卷）如图2所示，在杨辉三角中，斜线
AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，
，记
这个数列的前n 项的和为()S n ，则(16)S 等于（ ）．
A ．144
B ．146
C ．164
D ．461
解析：由图2知，数列中的首项是22C ，第2项是12C ，第3项是23C ，第4项
是13C ，，第15项是29C ，第16项是1
9C ．
因此得121
21211
1223399239(16)()S C C C C C C C C C =++++++=+++2
22239()C C C ++++
21
123
2223
33923391010()()1164C C C C C C C C C =+++-++++==+-=．故选Ｃ．
点评：本题是杨辉三角与数列结合的一道考题．将数列的各项还原为各二项展开式的二项式系数，并依次应用杨辉三角中数的规律Ｃrn+1＝Ｃr-1n+Ｃrn （即组合数性质2），从而求得数列的和． 例3 （2004年江苏高考模拟卷）观察下列数表，问此表最后一个数是
什么，并说明理由．
解析：因为第一行有100个数，以后每一行都比前一行少一个数，因此共有100行．
通过观察可以得到： 第1行首尾两项之和为101； 第2行首尾两项之和为1012⨯； 第3行首尾两项之和为21012⨯， 第4行首尾两项之和为31012⨯，…… 第99行首尾两项之和为981012⨯．
因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和，所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和即为981012⨯．
点评：本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题．通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．。