自动控制原理第六章

5-25 对于典型二阶系统，已知参数3=n ω，7.0=ξ，试确定截止频率c ω和相角裕度γ。

解 依题意，可设系统的开环传递函数为

)

12

.4(143

.2)

37.02(3)2()(22+=⨯⨯+=+=s s s s s s s G n n ξωω

绘制开环对数幅频特性曲线)

(ωL 如图解5-25所示，得

143.2=c ω

︒=+︒=63)(180c ωϕγ

5-26 对于典型二阶系统，已知σ％=15％，s 3=s t ，试计算相角裕度γ。

解 依题意，可设系统的开环传递函数为

)

2()(2n n

s s s G ξωω+=

依题 ⎪⎩⎪⎨

⎧====--n s o o o o t e σξξπ

5.33152

1

联立求解 ⎩⎨⎧==257.2517

.0n

ωξ

有 )1333

.2(1824

.2)

257.2517.02(257.2)(2

+=⨯⨯+=

s s s s s G

绘制开环对数幅频特性曲线)(ωL 如图解5-26所示，得

1824.2=c ω

︒=+︒=9.46)(180c ωϕγ

5-27 某单位反馈系统，其开环传递函数 G s s

s s s ().(.)(.)(.)

=

+++1670810251006251

试应用尼柯尔斯图线，绘制闭环系统对数幅频特性和相频特性曲线。 解 由G(s)知：20lg16.7=24.5db 交接频率：ω11

08

125=

=.. , ω210254==. , ω310062516==.

图解5-27 Bode 图 Nyquist 图

5-28 某控制系统，其结构图如图5-83所示，图中 )

20

1(8.4)(,81)

1(10)(21s s s G s

s s G +=

++=

试按以下数据估算系统时域指标σ％和t s 。

（1）γ和ωc

（2）M r 和ωc

（3）闭环幅频特性曲线形状 解 (1) )

20

1)(81()1(48)()()(21s

s s s s G s G s G +++=

=

db 6.3348lg 20= 20,

1,125.081321====ωωω

065,6≈=∴

γωc

查图5-56 得 13.16

.6,

%21%==

=C

S t ωσ秒

(2) 根据M r ,ωC 估算性能指标 当 ω=5 时: L(ω)=0, ϕ(ω)=-111°

找出: )65(,103.1sin 1

===

r r

M r , ωC =6 查图5-62 得 13.18

.6,%21%===C

S t ωσ秒

(3) 根据闭环幅频特性的形状

ω 0.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 L(db) 36 18 9.5 5 3 0 -2 -4 -5 -7 -20 ϕ(°) -142.5 -130 -118.5 -114 -111 -111 -112.5 -115.5 -118.5 -124 -148 M(db) 0 0.68 1 1.05 0 1.1 -2.1 -3.3 -4 -5.5 -19.3

令 M M r 01113==. 或)(05.1dB M r = f f f f b a a

=

=

=

=72102324

1196π

π

π,,,. N M f M a =

==(

)

..411911190 79.01

13

.110706=⋅=⋅=M M f f F r a

σ%[()]%%=+=411710Ln NF

t F f S a

=

-=21604

06...秒

5-29 已知控制系统结构图如图5-84所示。当输入t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出

)45sin(4)(︒-=t t c s 。试确定系统的参数n ωξ,。

解 系统闭环传递函数为

2

222)(n

n n

s s s ωξωω++=Φ 令

22

4

4)()1(2

22222==+-=Φn n n j ωξωωω ︒-=--=Φ∠451

2arctan )1(2n n j ωξω

联立求解可得 244.1=n ω，22.0=ξ。

5-30 对于高阶系统,要求时域指标o o 18=σ,s t s 05.0=，试将其转换成频域指标。 解 根据近似经验公式 )1sin 1

(

4.016.0-+=γ

σ

o o

c

s K t ωπ0=

20)1sin 1(5.2)1sin 1(5.12-+-+=γ

γK 代入要求的时域指标可得

5.11)1

6.0(4

.01sin 1=+-=o

o

σγ

︒=8.41γ 375.30=K

)rad/s (1.2120==s

c t K π

ω

所求的频域指标为︒=8.41γ，1.212=c ω。

5-31 单位反馈系统的闭环对数幅频特性如图5-85所示。若要求系统具有30°的相角裕度，试计算开环增益应增大的倍数。

解 由图5-85写出闭环系统传递函数

)

15

)(125.1)(1(1

)(+++=

Φs

s s s

系统等效开环传递函数

)1425

.4)(1825.2(5

.0)

425.4)(825.2(25.6)(1)()(++=

++=Φ-Φ=

s s s s s s s s s G

可知原系统开环增益5.0=K 。

令相角裕度 425

.4arctan 825.2arctan

90)(18011

1c c c ω

ωωϕγ--︒=+︒==30°

有

732.1605

.121425.4825.221

1

1

=︒=-

+

tg c c c ωωω 整理可得 05.12186

.412

1=-+c c ωω 解出 1102.2K c ==ω