高考函数专题-函数图像

函数图像作图：1． 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2． 图象变换法作图（对于需要掌握的基本初等函数或者已知部分图像的函数）(1)平移变换【变化是针对自变量的】(2)对称变换)①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝ ； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝ ； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝ ；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝ ． (3)翻折变换①y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝ . ②y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝(4)伸缩变换{①y ＝f (x )y ＝ ．②y ＝f (x )――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝ ．【练习】作函数图象1.分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1.~2. 作出下列函数的图象：(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝10|lg x|.3.函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是()【图像题的几点依据】(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；…(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．函数图象的应用：5 已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；】(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．6 (2011·课标全国)已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有()A．10个B．9个C．8个D．1个7直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．—高考中和函数图象有关的题目主要的三种形式一、已知函数解析式确定函数图象二、函数图象的变换问题典例：若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()三、图象应用【典例：讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．【练习题】一、选择题(每小题5分，共20分)1．把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是() A．y＝(x－3)2＋3 B．y＝(x－3)2＋1C．y＝(x－1)2＋3 D．y＝(x－1)2＋1答案C*解析函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，将其中的x换为x＋1，得到函数y＝(x－1)2＋2的图象；再向上平移1个单位，变成y＝(x－1)2＋3的图象．2．若函数f(x)＝log a(x＋b)的大致图象如图，其中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝a x＋b的大致图象是()答案 B解析 由f (x )＝log a (x ＋b )的图象知0<a <1,0<b <1， —则g (x )＝a x ＋b 为减函数且g (x )的图象是在y ＝a x 图象的基础上上移b 个单位，只有B 适合．3． (2011·陕西)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A 、C 错 误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.;4． (2012·北京)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 将函数零点转化为函数图象的交点问题来求解． 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 只有1个零点．二、填空题(每小题5分，共15分) .5． 已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________． 答案 ④②①③解析 按图象逐个分析，注意x 、y 的取值范围．6. 如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分 }别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是________．答案 ③解析 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN . 则BN ＝AE ＝x ，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋EN 2，即y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1 (0≤x ≤1，y ≥1)，图象应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分． 7． (2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，x －13， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实^根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1)解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的 取值范围为(0,1)．三、解答题(共25分)8． (12分)已知函数f (x )＝x 1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．！解(1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单 位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示． (2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．9． (13分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；；(2)若g (x )＝f (x )＋ax ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x ) 的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故 a 的取值范围是[3，＋∞)．"【练习题2】一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·厦门模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图象大致是 ( )答案 B解析 将f (x )的图象向左平移一个单位即得到y ＝f (x ＋1)的图象． $2． 函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象如图则函数y＝f (x )·g (x )的图象可能是( )答案 A解析 从f (x )、g (x )的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f (x )·g (x )是奇函数，排除 B 项．又g (x )在x ＝0处无意义，故f (x )·g (x )在x ＝0处无意义，排除C 、D 两项． 3． (2011·课标全国)函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横 ~坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t 和y ＝2sin πt 的图象．·由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0. 也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.二、填空题(每小题4分，共12分)4． (2012·课标全国改编)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，1 解析 易知0<a <1，则由函数y ＝4x 与y ＝log a x 的大致图象知，只需满足log a 12>2，解得…a >22，∴22<a <1.5． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________． 答案 6解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6.6． 设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．！答案 －1解析 本题考查二次函数的图象与性质，先根据条件对图象进行判断是解题的关键．因 为b >0，所以对称轴不与y 轴重合，排除图象①②；对第三个图象，开口向下，则a <0， 对称轴x ＝－b2a >0，符合条件，图象④显然不符合．根据图象可知，函数过原点，故f (0)＝0，即a 2－1＝0，又a <0，故a ＝－1. 三、解答题(13分)7． 已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； (2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1， 求x ∈[－4,0]时f (x )的表达式．(1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点， 则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)． 因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)] ＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0， 所以P ′也在y ＝f (x )的图象上，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称． (2)解 当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7，x ∈[－4，－2]，－2x －1，x ∈[－2，0].。