开环系统频率特性曲线的绘制方法

开环系统频率特性曲线的绘制方法

(一) 已知系统开环传递函数G k (s )，绘制Nyquist 曲线（开环幅相曲线） 一、ω：0＋→＋∞

1、由已知的G k (s )求()()k k s j G j G s ωω==，A (ω)，φ(ω) ，P (ω)，Q (ω)；

11211222

1

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1121

12221

1221

2

1

1

2

2

1

2

22222

2

2

2(1)[(1)2](1)[(1)2]()()(1)[(1)2](1)[(1)2]

m m m m j k j k k k j k j k

k k k v

n n n n i l i l l

l

i l i l l l

j T j j T j k

G j j j T j j T j ωωωωωξωξωωωωωωωωωωωξωξωωω

ω+-+---=

+-+---∏∏∏∏∏∏∏∏ （1）

式中：分子多项式中最小相位环节的阶次和为111212m m m =+，

分子多项式中非最小相位环节的阶次和为212222m m m =+， 分母多项式中最小相位环节的阶次和为111212n n n v =++， 分母多项式中非最小相位环节的阶次和为212222n n n =+，

分子多项式阶次之和为12m m m =+，分母多项式阶次之和为12n n n =+。 注：式中仅包含教材p192所列5种非最小相位环节，不包含形如1Ts -、

11Ts -、2

2

121

n

n

s s ξωω+-、22

21n

n

s s ξωω+-等非最小相位环节。 2、求N 氏曲线的起点

当ω→0＋时，（1）式可近似为：

0lim ()()k v

k

G j j ωωω+

→→

（2）

于是，N 氏曲线的起点取决于开环放大系数k 和系统的型v 。

① 当0v =时，N 氏曲线起始于实轴上的一点（k ，0）或（－k ，0）； ② 当0v >时，N 氏曲线起始于无穷远点：

0k >时，沿着角度()2

v πϕω=-⨯起始于无穷远点；

0k <时，沿着角度()2

v πϕωπ=--⨯起始于无穷远点。

③ 当0v <时，N 氏曲线起始于原点：

0k >时，沿着角度()2

v πϕω=⨯起始于原点；

0k <时，沿着角度()2

v πϕωπ=-+⨯起始于原点。

3、求N 氏曲线的终点

当ω→＋∞时，（1）式中各环节的相角分别为：

(1)j T ω+环节的相频特性：112

T tg ωπ-→，

(1)j T ω-环节的相频特性：1()

(

)1()2

Q T tg P ωπ---→-+， 2

2[(1)2]n

n

j ωωξωω-+环节的相频特性：1

1

2

22

1

22()()()11n n n n

Q tg tg P ωξξωωπωωωωω--+=→---， 22[(1)2]n n j ωωξωω--环节的相频特性：112

22

1

22()()()11n n n n

Q tg tg P ω

ξξωωπωωωωω-----=→----， 1

()v

j ω环节的相频特性：2

v π-⨯，K 环节的相频特性：0, ()0

0,()k k ϕωϕωπ>→⎧⎨

<→-⎩

。

于是，当ω→＋∞时，

① n m =，lim ()k G j k ωω→+∞

→，N 氏曲线终止于实轴上的一点（k ，0）或（－k ，0）

② n m >，N 氏曲线终止于原点；

③ n m <，N 氏曲线终止于无穷远点。 其终点的相频特性为：

112112221121122212121212

1212()()()

2

2

()()

2222 =2222

[()()], 0

2 =[()()], 02

k m m m m v n n n n k m m n n m m n n k m m n n k ππϕωπππππππππππ

πππ=⨯+⨯+⨯-+⨯--⨯-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-⨯-⨯+⨯⎧---⨯>⎨

---⨯-<的相角＋的相角＋⎪⎪⎩ （3)

特殊地，当开环系统为最小相位系统时，有：0k >，122212220m m n n ====，则分子的阶次为

111212m m m m ==+，分母的阶次为111212n n n n v ==++。

① n m =，N 氏曲线终止于实轴上的一点（k ，0）；

② n m >，N 氏曲线沿着角度()()2

n m πϕω=--⨯终止于原点；

③ n m <，N 氏曲线沿着角度()()2

m n πϕω=-⨯终止于无穷远点。

4、求ω：0＋→＋∞中的一些特色点：如N 氏曲线与实轴或虚轴的交点；极值点等等。

5、若开环系统存在等幅振荡环节，即开环频率特性（1）式中具有形如

2

21

(1)

n

ωω-的因子时（无论最小相

位系统还是非最小相位系统），N 氏曲线在ωn 处有无穷远间断点（A(ω)→∞），即N 氏曲线为由ω：0＋→ω

n-和ω：ωn ＋→＋∞两段曲线所组成。