浙江大学统计学第六讲卡方检验

表6-1中第（3）列为各组段上下限处的u值，如第1组段的上限对 应的u=-1.85；
第（4）列Ф （u）系按第（3）列的u值由附表1查出。如u＝－1.87时， 查表得Ф （－1.87）＝0.0307，余仿此。
第（5）列δ为相邻两Ф （u）之差值。如第一组段2.65～2.95的相对频 数 δ＝0.0322；而2.95～3.25组段的相对频数δ＝0.0793－0.0322＝0.0471； 余仿此，但最末组段5.35～5.65的δ＝l—0.9582＝0.0418。
1.建立检验假设，确定检验水准。 H0：实际频数与正态分布的理论频数符合 H1：实际频数与正态分布的理论频数不符合 α＝0.05 或α＝0.10
2.按式（6-6）计算统计量 2 值。
2
( f F)2 ,
F
v k 3
(6 6)
式中f为各组段的实际频数J为由拟合曲线算得的各组段的理论
第六章 2 检 验
2 检验（chi-square test）是一种用途较广的假设检验方
法。本章重点介绍它用于频数分布资料拟合优度检验和分类 资料的假设检验。
第一节 2 分布
分2 布是一种连续型分布，可用于检验资料的实际频数和
按检验假设计算的理论频数是否相符等问题。早在1875年，
F．Helmet即得出来自正态总体的样本方差的分布服从 2 分布。
频数，ｋ为用式（6-6）计算 2 值时所用F的个数，由于计算F
时，用了n、X 、S三个统计量，故v＝k－3。当总体参数μ 及σ 已知时，则 v＝k－l。
然后由u值附表1得Ф （u），它的意义是正态曲线下由-∞至u 的面积。相邻两Ф （u）之差值δ为各组段的相对频率，乘以n化 为理论频数F。
F=nδ
当v确定后， 2 分布曲线下右侧尾部的面积P为指定值α时， 横轴上相应的界值 2 ，记作 2(v)，如图6-l，这就是 2 分布的 分位数，此值有 2 界值表，即附表3。作 2 检验时，先求得 观察样本的统计量 2 值，然后按v由附表3查得 2 界值，与统
计量比较得到与统计量相应的P值。
（3）确定概率P并作统计推论。查附表3， 界值表得0.05＞P＞
平方，因此
2 (1)
等于标准正态分布的双侧分位数uα之平方和。例
如u0.05＝1.96，而＝3.84＝（1.96）2＝
u
2 0.05
四、 2 分布的应用
1.直接应用：用于检验某一分布的实际频数与理论频数是否符
合；某些统计量的分布可用 2 分布作近似处理，如各组含量
不小于5，且组数不小于3时，秩和检验统计量H的分布可近似
地用 2 分布来代替；正态总体方差的区间估计等。 2.间接应用：如t分布和F分布就是在 2 分布的基础上推导出
来的。
第二节 拟合优度检验 拟合优度检验是判断样本实际频数分布与拟合的理论频数分布 是否符合，或者说判断此样本是否来自某种分布。本节以正态分布 的拟合优度检验为例，说明该方法的步骤，具体步骤如下：
注意∑F应与∑f相等或很相近，否则计算有误。求 2 值时一
般要求F不宜过小，比如不小于 5。因此常将 F值小的相邻组合 并，相应的f亦合并。
3.确定概率P并作出统计推论。
例6-l 某医学院校医随机抽取100名一年级医学生，测定空腹血 糖值（mmol／L），其频数分布如表6-l（教材62页）中第（1）栏
（6 2）
一、分布函数及其图形
2分布的密度函数为
f
(
2)

1 2( v )

2
2
v 1 2
2 eΒιβλιοθήκη 2,20 2 , v 1,2,3,。
(6 3)
式中是 （ v ）伽玛（gamma）函数在v/2处的函数值。
2
这样，已知v时，就能按式（6-3）绘出 2 分布曲线，如图6-
1。 2 分布的分布函数为
F ( 2 ) 2 0
1 2(
v
)

2 2

v 1 2
e
2 2
d
2
,
2
0 2 , v 1,2,3,。
(6 4)
它的几何意义是： 2 分布曲线下从0到某给定 2 值的面
积，如图6-l。
二、分布的分位数
1900年，K．Pearson也独立地从检验分布的拟合优度发现这一
相同的 2 分布。
v个相互独立的标准正态变量ui（i=1，2，…，v）的平方和称
为 变2 量，即
2 u12 u22 uv2 ,
ui

Xi u

(6 1)
它的分布即为 2 分布，其自由度为v。式中Xi为服从正态分
第（6）列F是将第（5）列的相对频数乘以样本含量n化成的理论频数， 如第一行100仇0322）d．22，余仿此。注意第（5）、（6）列的6值与F 均写在相应组段中间，反映直方图上该直条的面积。
（2）求统计量。第（7）列系接式（6-6）的要求作 2 值计算，得 ＝125.05。表中共有10个F参加 值计2 算，故 的 自2 由度＝10－3＝7。
布的变量，μ 为总体均数，σ 为总体标准差。
在实际应用时，资料中k个实际频数Ai与相应的理论频数Ti之 间差别的大小，可用式（6-2）表示。如果样本含量n足够大
（大于40），且各Ti都大于5，则式（6-2）近似于 2 分布。n
愈大，近似程度愈好。
k
Ai
Ti
2
,
i1
Ti
i 1,2,, k。
三、 2分布与正态分布的关系
1．从图6-l可见，当v逐渐增大时， 2 曲线逼近于正态曲线，
这时它们的分布函数有如下关系：
2 f ( 2 )d 2 (u)， 0
2 v
u 2v
(6 5)
式中的自由度v恰好等于 2 分布的均数，2v等于它的方差。
2．当v=1时，由式（6-l）可知， 2 变量等于标准正态变量的
和第（2）栏所示，试用 2 检验判断该资料是否符合正态分布。
（l）建立检验假设和确定检验水准
H0：一年级大学生空腹血糖的实际频数与正态分布的理论频数 符合
H1：一年级大学生空腹血糖的实际频数与正态分布的理论频数 不符合
检验水准为 α＝0.10。
本资料的均数 X ＝4.1966，S＝0.6737。