平面与平面平行的判定教案

平面与平面平行的判定教案

文昌中学数学组曾叶

教学目标

1.使学生理解和掌握两个平面平行的判定定理及应用；

2.加深学生对转化的思想方法的理解及应用.

教学重点和难点

重点:两个平面平行的判定定理；

难点:两个平面平行的判定定理的证明.

教学设计过程

一、复习提问

师:上节课我们研究了两个平面的位置关系，请同学们回忆一下，两个平面平行的意义是什么？

生:两个平面没有公共点.

师:对，如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的直线与另一个平面具有怎样的位置关系呢?

生:平行.

师:为什么?

生:用反证法，假设不平行，则这些线中至少有一条和另一个平面有公共点或在另一个面内，而此两种情况都说明这两个平面有公共点，与两个面平行矛盾.

师:证得很好.反过来，如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行，那么这两个平面平行.由以上结论，就可以把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线和另一个平面平行的问题.但要注意:两个平面平行，虽然一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，但

这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线也可能是异面直线，但不可能是相交直线.

〔对旧知识复习，又有深入，同时又点出了“转化”的思想方法，为引入新课作铺垫〕二、新课

师:接下来，我们共同对两个平面平行作定性研究，先来研究两个平面平行的判定——具有什么条件的两个平面是平行的呢?

生:根据两个平面平行的定义，只要能证明一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，就可得出两个平面平行.

师:很好，实质就是由线面平行来得到面面平行.而实际上，判定两个平面平行，并不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面.

下面我们共同研究判定两个平面平行的其它方法，请大家思考以下几个命题.

(1)平面α内有一条直线与平面β平行，则α∥β，对吗?

(2)平面α内有两条直线与平面β平行，则α∥β，对吗?

〔学生讨论回答，并举出反例，得(1)，(2)不对，教师接着问〕

(3)平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥β，对吗?

〔教师对学生的回答，作出适当评述〕

师:以上三个命题均为假命题，那么，怎样修改一下命题的条件，就可得出正确结论? 〔学生讨论后，教师请一名同学回答〕

生:把条件改为:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面.

师:说说你的想法.

生:我想，两条相交直线确定一个平面，若它们分别与另一个平面平行，则所确定的平面也一定与这个平面平行.

［此是学生的猜想，教师给予肯定，并引导学生进行严格论证］

师:下面我们来证明.先把命题完整的表述出来.

生:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

［教师板书，画图，并请一位学生写出已知，求证］

已知:在平面β内，有两条相交直线a,b和平面α平行.

求证:α∥β.

师:欲证α∥β，而我们只知两个平面平行的定义，显然，若直接用定义证明，不很方便，大家看怎么办?

生:用反证法.

〔学生并未证明，只提出方法.教师先复习反证法的步骤:(1)否定结论，(2)推出矛盾，(3)得出结论.然后提出问题，让学生讨论，以引导学生用反证法得出结论〕

师:问，(1)如果平面α与平面β不平行，那么它们的位置关系怎样.

(2)如果平面α与平面β相交，那么交线与平行于平面α的直线a和b有什么关系?

(3)相交直线a和b都与交线平行合理吗?错误结论是如何产生的?

［教师根据学生回答，依次提出问题，同时板书该命题的证明过程］

证明:假设α∩β=c.

因为a∥α，a β，

所以a∥c,同理b∥c,所以a∥b.

这与题设a与b是相交直线矛盾.

故α∥β.

师:以上我们用反证法证明了命题的正确性.我们就把这一命题作为两个平面平行的判定定理之一.该定理是用来判定两个平面平行的，应用时关键是在一个平面内寻找两条相交直线

，并证明与另外一个平面平行.也就是说:欲证面面平行，要先转化为线面平行.而转化的思想方法是数学思维的重要方法之一，也是立体几何中，解决问题常用的方法.

［教师在该命题前写上:两个平面平行的判定定理，以强调本节课的重点］

师:在现实生活中，该定理应用比较广泛，比如:木工师傅为了检查一个平面是否水平时，往往用水准器在这个平面上交叉放两次，水准器的气泡如果两次都是居中的，就可以判定这个平面是水平的，否则就不是水平的.其理论根据就是这一判定定理.

［通过实例，证明定理在现实生活中的具体应用，贴近学生生活，更激发了学生探求知识的积极性，活跃思］

师:大家还能发现哪些判定两个平面平行的定理呢?(教师巡视，找一名学生回答)

生:我想，如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面一定是平行的.

师:想法很好，能否谈一谈如何得出的?

生:在学习平面几何时，曾有一个定理:垂直于同一条直线的两条直线平行.我就想，若把其中的两条直线改为两个平面，那么这两个平面会不会是平行的.

师:这位同学用到了一个重要的研究数学问题的方法——类比.就是从已经学过的定理出发，

对其中的某些条件作修改，得出一个新的命题.当然，这只是一种猜想，正确与否，还要大家

进一步证明.

这位同学的猜想简单的说就是:垂直于同一条直线的两个平面平行.下面我们就来证明这一命题.

已知:AA′⊥平面α于A，AA′⊥平面β于A′.

求α∥β.

师:本题要证的是两个平面平行，有哪些工具呢?

生:两个面平行的判定定理.

师:应用该定理的条件是什么?